数学北师大版 (2019)2.1 排列与排列数第1课时巩固练习

第五章　§2　第1课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有(　C　)

A．6个　　 B．10个　　

C．12个　　 D．16个

[解析]　符合题意的商有A＝4×3＝12.

2．乘积m(m＋1)(m＋2)…(m＋19)(m＋20)(m∈N*)可表示为(　A　)

A．A　　 B．A　　

C．A　　 D．A

[解析]　因为最大数为m＋20，所以共有21个自然数连续相乘，根据排列公式可得m(m＋1)(m＋2)…(m＋19)(m＋20)＝A.

3．已知3A＝4A，则n等于(　B　)

A．5　　 B．7　　

C．10　　 D．14

[解析]　由×3＝×4，

得(11－n)(10－n)＝12，解得n＝7，n＝14(舍)．

4．设x∈N*，且x>15，则(x－2)(x－3)(x－4)…(x－15)可化简为(　B　)

A．A　　 B．A　　

C．A　　 D．A

[解析]　先确定最大数，即n，再确定因式的个数，即m，易知n＝x－2，m＝(x－2)－(x－15)＋1＝14，所以原式＝A.

5．18×17×16×…×12×11等于(　A　)

A．A　　 B．A　　

C．A　　 D．A

[解析]　18×17×16×…×12×11＝A.

6．(多选)下列问题属于排列问题的是(　AD　)

A．从10个人中选2人分别去种树和扫地

B．从10个人中选2人去扫地

C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队

D．从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算

[解析]　根据排列的定义进行判断．

二、填空题

7．某人射击8枪，命中4枪，则4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为_20__.

[解析]　先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从4枪不命中之间的三个空位及两端两个空位共5个空位中选出2个进行排列，有A＝20种．

8．一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有_720__种排法．

[解析]　这是6个元素的全排列问题，故一天的课程表排法有A＝6×5×4×3×2×1＝720(种)．

三、解答题

9．下列问题中哪些是排列问题？

(1)5名学生中抽2名学生开会；

(2)5名学生中选2名做正、副组长；

(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；

(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除；

(5)6位同学互通一次电话；

(6)6位同学互通一封信；

(7)以圆上的10个点为端点作弦；

(8)以圆上的10个点中的某点为起点，作过另一点的射线．

[解析]　(2)(4)(6)(8)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是排列．

10．证明：A＋kA＝A.

[解析]　证明：左边＝＋k

＝

＝＝，

右边＝A＝，所以A＋kA＝A.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知A＝132，则n的值为(　B　)

A．11　　 B．12　　

C．13　　 D．14

[解析]　∵A＝132，∴n(n－1)＝132，∴n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(舍去)，∴n的值为12.

2．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是(　C　)

A．8　　 B．5　　

C．3　　 D．0

[解析]　由排列数公式知，A，A，…，A中均含有2和5的因子，故个位数均为0，所以S的个位数字应是A＋A＋A＋A的个位数字，而A＋A＋A＋A＝1＋2×1＋3×2×1＋4×3×2×1＝33，故个位数字为3.

3．下列四个等式中不正确的有(　C　)

A．n！＝　　 B．A＝nA

C．A＝　　 D．A＋mA＝A

[解析]　＝＝n！，所以A正确；

nA＝＝＝A，所以B正确；

A＝＝，所以C不正确；

由排列数公式可知A＋mA＝＋

m＝×

＝×＝＝A，所以D正确．

4．要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选出1名组长和1名副组长，但甲不能当副组长，则不同的选法种数是(　B　)

A．20　　 B．16　　

C．10　　 D．6

[解析]　不考虑限制条件有A种选法，若甲当副组长，有A种选法，故甲不当副组长的选法有A－A＝16(种)．

二、填空题

5．满足不等式>12的n的最小值为_10__.

[解析]　由排列数公式得>12，

即(n－5)(n－6)>12，

解得n>9或n<2.

又n≥7，所以n>9，

又n∈N*，所以n的最小值为10.

6．由数字2,0,1,9组成的没有重复数字的四位偶数的个数为_10__.

[解析]　个位数字为0时，符合要求的四位偶数有A＝6(个)；个位数字为2时，符合要求的四位偶数有AA＝4(个)．

故由数字2,0,1,9组成的没有重复数字的四位偶数的个数为6＋4＝10.

三、解答题

7．8个人排成一排．

(1)共有多少种不同的排法？

(2)8个人排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？

(3)8个人排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？

[解析]　(1)由排列的定义知共有A种不同的排法．

(2)8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数A.也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有A种排法，第二步：剩下的4人放在后排共有A种排法，由分步乘法计数原理知共有A×A＝A种排法．

(3)同(2)的分析可知，共有A×A＝A(种)．

8．求证：A＋mA＋m(m－1)A＝A(n，m∈N*，n≥m>2)．

[解析]　因为左边＝＋m＋m(m－1)＝

＝

＝＝＝A.