高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 超几何分布课时作业

第六章　§4　4.2　

A　组·素养自测

一、选择题

1．如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　基本事件总数n＝C＝35，至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m＝CC＋CC＝25，∴至少含有一颗上珠的概率为P＝＝＝.

2．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为(　D　)

A．1－　　 B．

C．　　 D．

[解析]　从这批产品中抽取4个，则事件总数为C个，其中恰好有一个二等品的事件有C·C个，∴所求概率为，故选D．

3．袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则Eξ等于(　B　)

A．4　　 B．4.5　　

C．4.75　　 D．5

[解析]　ξ的可能取值为3,4,5，

P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，

∴E(ξ)＝3×＋4×＋5×＝4.5.

4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　P(X<2)＝P(X＝1)＋P(X＝0)＝＋＝.

5．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是(　B　)

A．至少有1个深度贫困村

B．有1个或2个深度贫困村

C．有2个或3个深度贫困村

D．恰有2个深度贫困村

[解析]　用X表示选到的3个村中深度贫困村的个数，则X～H(7,3,3)，所以P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以P(X＝1)＋P(X＝2)＝，即有1个或2个深度贫困村的概率为.

6．(多选)某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为(　AD　)

A．1－　　 B．

C．1－　　 D．

[解析]　任意抽取4个产品有C种不同的抽取方法，其中恰好有1个二等品的抽取方法有CC种，故所求事件的概率为.“恰好有1个二等品”的对立事件是“没有二等品”或“有2个二等品”，故A选项也对．

二、填空题

7．生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格品，采购方接收该批产品的标准是从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格品，便接收该产品．则该批产品被接收的概率是___.

[解析]　一批50箱的产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱产品中不合格品的箱数”，则X服从参数为N＝50，M＝2，n＝5的超几何分布．

这批产品被接收的条件是“5箱中没有不合格品或只有1箱不合格品”，所以被接收的概率为P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.

即这批产品被接收的概率为.

8．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为___.

[解析]　因为此时盒中旧球个数X＝4，即旧球增加一个，所以取出的3个球中必有1个新球，2个旧球，所以P(X＝4)＝＝.

三、解答题

9．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．

(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；

(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．

[解析]　(1)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人，共有C＝84种情况，所选3人中恰有一名男生的情况有CC＝40种，

故所选3人中恰有一名男生的概率为＝.

(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，

P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝.

所以随机变量ξ的分布列为

B　组·素养提升

一、选择题

1．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到次品数的数学期望值是(　C　)

A．n　　 B．(n－1)

C．　　 D．(n＋1)

[解析]　设抽到的次品数为X，∵共有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽取n件产品，∴抽到的次品数X服从参数为N，M，n的超几何分布，∴抽到次品数的数学期望值E(X)＝.

2．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　B　)

A．2　　 B．3　　

C．4　　 D．5

[解析]　设袋中有M个白球，从中任取2个球，取出白球的个数为X，则X～H(7,2，M)，所以E(X)＝＝，所以M＝3.

3．有8名学生，其中有5名男生．从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其数学期望为EX＝(　B　)

A．2　　 B．2.5　　

C．3　　 D．3.5

[解析]　X的可能取值为1,2,3,4，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝，

∴E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝2.5.

4．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　C　)

A．10%　　 B．20%　　

C．30%　　 D．40%

[解析]　设10件产品中有n件次品，

∵P(ξ＝1)＝，∴＝，

化简得n2－10n＋16＝0，

解得n＝2或n＝8.

又该产品的次品率不超过40%，∴n≤4，∴n＝2.

∴这10件产品的次品率为＝20%，故选C．

二、填空题

5．为了抗击新冠肺炎疫情，某市医护人员积极响应号召，现拟从A医院呼吸科中的5名年轻医生中选派2人参加支援队伍，已知男医生2名，女医生3人，则选出的2名医生中至少有1名男医生的概率是___.

[解析]　选出的2名医生中至少有1名男医生的概率P＝＝.

6．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽一只，设抽取次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝_3__.

[解析]　ξ的可能取值为0,1,2，

P(5ξ＋1＝1)＝P(ξ＝0)＝＝，

P(5ξ＋1＝6)＝P(ξ＝1)＝＝，

P(5ξ＋1＝11)＝P(ξ＝2)＝＝，

∴E(5ξ＋1)＝1×＋6×＋11×＝3.

三、解答题

7．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取3人，进行睡眠时间的调查．

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查，用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

[解析]　(1)由已知得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3︰2︰2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．

(2)由条件知随机变量X服从参数为N＝7，M＝4，n＝3的超几何分布．X的所有可能取值为0,1,2,3.

则P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．

所以随机变量X的分布列为

E(X)＝＝.

8．某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量(单位：克)，整理后得到如下的频率分布直方图(其中重量的分组区间分别为[490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515])．

(1)若从这40件产品中任取2件，设X为重量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；

(2)若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．

[解析]　(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12，

由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2，

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

∴随机变量X的分布列为：

(2)由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，

设Y为从该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则Y～B(5,0.3)，

故所求概率为P(Y＝2)＝C×0.32×0.73＝0.308 7.