2023年北京市燕山地区中考二模数学试题（含解析）

2023年北京市燕山地区中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下图是某几何体的三视图，该几何体是（    ）

A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱

2．我国自主研发的“北斗系统”在卫星导航、通信、遥感等多项核心技术方面取得了突破，已经在国民经济和国防建设等多个领域得到了广泛的应用．2023年2月，北斗终端数量在交通运输营运车辆领域超过8000000台．将8000000用科学记数法表示应为（   ）

A． B． C． D．

3．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

4．一副三角板如图摆放，直线，则的度数是（   ）

A．15° B．30° C．45° D．75°

5．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．一个不透明的袋子中装有红、黄小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别，从中随机同时摸出两个球，那么两个球的颜色相同的概率是（   ）

A． B． C． D．

7．如果，那么代数式的值为（    ）．

A．2 B．1 C． D．

8．如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）

A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系

C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系

二、填空题

9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________．

10．分解因式：__．

11．方程组的解为________．

12．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则__________ (填“＞”，“＜”或“＝”)．

13．反比例函数在第一象限的图象如图所示，已知点A的坐标为(3，1)，写出一个满足条件的k的值________．

14．校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女生组成表演方队，现从全校200名女生中随机抽取40人，了解了她们的身高情况，数据如下：

根据以上数据，估计入选表演方队的女生身高范围为________cm．

15．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为________．

16．一个17人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只有双人标准间和三人间，其中双人标准间每间每晚100元，三人间每间每晚130元．住宿要求男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．

（1）若该旅游团一晚的住宿费用为750元，则他们租住了_______ 间三人间；

（2）若该旅游团中共有7名男士，则租住一晚的住宿费用最少为________元．

三、解答题

17．计算：．

18．解不等式组：

19．下面是小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．

已知：．

求作：边上的高．

作法：如图1，

①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点M，N；

②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P（不同于点A）；

③作直线交于点D． 所以线段就是所求作的的边上的高．

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明．

证明：连接．

∵ ， ，

∴是线段的垂直平分线（ ）(填推理的依据) ，

∴于点D，

即线段为的边上的高．

20．关于x的方程有两个不相等的实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)若m为正整数，求此时方程的根．

21．如图，在中，对角线交于点．

(1)求证：四边形是矩形；

(2)若的平分线交于点E，求的长．

22．某蔬菜批发基地为指导2023年的番茄销售，对历年的市场行情和供求情况进行了调查统计，得到番茄的售价x(单位：元/千克)与相应需求量(单位：吨)以及供给量(单位：吨)的几组数据：

(1)根据表中数据，供给量与售价x之间满足 函数关系(填“一次”、“二次”或“反比例”)，它的函数表达式为 ；需求量与售价x之间近似满足函数关系，它的函数表达式为 ．

(2)在同一平面直角坐标系中，画出(1)中所确定的函数的图象；

(3)结合函数图象，解决问题：为使番茄的供需平衡(即供给量与需求量相等)，售价应定为 元/千克．

23．在平面直角坐标系中，一次函数(k＞0)与反比例函数(m≠0)的图象交于点A(1，6)和点B．

(1)若点B(－6，－1)，求该一次函数和反比例函数的解析式；

(2)当时，对于的每一个值，函数(m≠0)的值大于一次函数(k＞0)的值，直接写出k的取值范围．

24．为了深入学习领会党的二十大精神，某校团委组织了两次“二十大知识竞赛”．从中随机抽取了30名学生两次竞赛成绩(百分制)的数据，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：

a．两次竞赛学生成绩情况统计图：

b．两次竞赛学生的获奖情况如下：

(说明：成绩，获卓越奖；成绩，获优秀奖；成绩，获参与奖)

c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：

90  90  91  91  91  91  92  93  93  94  94  94  95  95  96  98

根据以上信息，回答下列问题:

(1)写出表中m，n的值；

(2)甲同学第一次竞赛成绩是83分，第二次竞赛成绩是96分，在图中用“〇”圈出代表甲同学的点；

(3)下列推断合理的是 ．

①第二次竞赛成绩数据的中位数是90；

②两次竞赛都获得卓越奖的有10人；

③第二次竞赛的平均成绩高于第一次竞赛的平均成绩．

25．如图，为的直径，为弦，射线与相切于点A，过点O作交于点D，连接．

(1)求证：是的切线；

(2)过点B作交的延长线于点E，连接交于点F．若，，求的长．

26．在平面直角坐标系中，抛物线．

(1)求抛物线与x轴的交点坐标及抛物线的对称轴(用含的式子表示)；

(2)已知点，在该抛物线上，若，求的取值范围．

27．中，，，点D为边的中点，点E在线段上，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，当点E与点D重合时，求证：；

(2)当点E在线段上(与点C，D不重合)时，依题意补全图2；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28．在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦 (，分别是B，C的对应点)，则称线段是以直线l为轴的的“关联线段”．例如，图1中线段是以直线l为轴的的“关联线段”．

(1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．

① 在线段，，中，以直线：为轴的的“关联线段”是 ；

② 在线段，，中，存在以直线：为轴的的“关联线段”，求b的值；

(2)已知直线：交x轴于点A．在中，，，若线段是以直线为轴的的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的的长．

参考答案：

1．A

【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可．

【详解】根据主视图和左视图为矩形，则几何体为柱体；

由俯视图为圆形，所以得几何体为圆柱．

故选A．

【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．

2．B

【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．

【详解】解：8000000用科学记数法表示应为．

故选：B．

【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．

3．C

【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．

【详解】解：由图可知，

该图形有6条对称轴；

故选：C

【点睛】此题考查了轴对称图形，熟记轴对称图形的定义是解答本题的关键．

4．A

【分析】由三角形的性质，平行线的性质，即可求出角的度数．

【详解】解：如图，

∵，

又∵，

∴，

∴，

∴；

故选：A．

【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，解题的关键是掌握所学的知识进行计算．

5．D

【分析】根据数轴的定义，先确定，，，的符号和大小关系，然后再根据每个式子的符号及绝对值的性质即可做出判断．

【详解】解：

，

选项错误，

，

和的符号相反，

，

选项错误，

，

，

选项错误，

，

选项正确，

故选：D．

【点睛】本题主要考查实数与数轴，利用数形结合思想，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出是解题关键．

6．C

【分析】用表示两个红球，表示两个黄球，然后利用列举法确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，最后运用概率公式计算即可．

【详解】解：用表示两个红球，表示两个黄球，随机从中同时摸出两个球，共有：种等可能的结果，其中两个球颜色相同的有2种结果，则两个球的颜色相同的概率．

故选C．

【点睛】本题考查列举法求概率,正确列举出所有等可能结果是解题的关键．

7．D

【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可．

【详解】解：，

，

，

，

，

，

．

故选D．

【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用分式混合运算法则是解答本题的关键．

8．A

【分析】先求出，再证明都是等腰直角三角形，从而推出，，由此即可得到答案．

【详解】解：∵，

∴，

∵四边形是矩形，

∴，，

∴都是等腰直角三角形，

∴，

∴，即，

∴，

∴，

∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，

故选A．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，列函数关系式，二次函数的定义等等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．

9．

【分析】根据分式的分母不能为0即可得．

【详解】解：由题意得：，

解得，

故答案为：．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．

10．

【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．

【详解】解：，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．

11．

【分析】本题运用加减消元法即可求出方程组的解．

【详解】解：

得，解得，

把代入①得，解得．

故原方程组的解为．

故答案为：

【点睛】本题考查用加减消元法解方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．

12．＜

【分析】分别求出的面积和的面积，即可求解．

【详解】解：由题意，

，

，

∴；

故答案为：＜．

【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．

13．答案不唯一，如，1

【分析】反比例函数 的图象在第一象限，且，符合上述条件的的一个值可以是1．（答案不唯一）

【详解】解：∵反比例函数的图象在第一象限，

∴，

∵点A的坐标为(3，1)，

∴

∴满足条件的k的值，例如：1．

故答案为：1．（答案不唯一）

【点睛】此题主要考查反比例函数图象的性质：时，图象是位于一、三象限；时，图象是位于二、四象限．

14．

【分析】根据方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，即可判定．

【详解】解：在这个问题中，最值得关注的是队伍的整齐，身高必须差不多，

故应该关注该校所有女生身高的众数，

∴估计入选表演方队的女生身高范围为: ；

【点睛】本题考查了方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，平均数说明的是整体的平均水平；众数说明的是数据中的多数情况；中位数说明的是数据中的中等水平；方差是反应一组数据波动大小的量．

15．

【分析】证明，可得，而与的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故．

【详解】解：都是正方形，

，

，

，

，

与的面积比为，

，

设，则，

，

在中，

，

由“青朱出入图”可知：，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．

16．     5     790

【分析】（1）设该旅游团租住了间双人间，间三人间，利用该旅游团一晚的住宿房费租住双人间的间数租住三人间的间数，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数且，即可得出结论；

（2）由“男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元”，可得出“当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少”，结合男士、女士的人数及租住一人间的数量，可得出租住一晚的住宿房费最少的租住方案，再求出该方案租住一晚的住宿房费即可得出结论．

【详解】解：（1）设该旅游团租住了间双人间，间三人间，

根据题意得：，

，

又，均为自然数，

，

他们租住了5间三人间．

故答案为：5；

（2）当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少．

女士：（人)，男士7人，

 租住一晚的住宿房费最少的租住方案为：租住的4间双人间里面2间住男士，2间住女士，另租住3间三人间，

此时租住一晚的住宿房费为（元，

租住一晚的住宿房费最少为790元．

故答案为：790．

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

17．

【分析】由零指数幂、特殊角的三角函数、绝对值、二次根式的性质进行化简，即可得到答案．

【详解】解：原式＝．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握相关知识及运算法则，正确的进行化简．

18．

【分析】求出每个不等式的解集，取公共部分即可得到不等式组的解集．

【详解】解：

解不等式①，得 ，

解不等式②，得 ，

∴原不等式组的解集为：.

【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．

19．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P（不同于点A）；作直线交于点D． 所以线段就是所求作的的边上的高．

（2）由作图得到，，则是线段的垂直平分线，即可得到结论成立．

【详解】（1）解：使用直尺和圆规，补全图形，如图；

（2）证明：连接．

∵，，

∴是线段的垂直平分线（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），

∴于点D，

即线段为的边上的高．

【点睛】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定定理，解题的关键是正确的作出图形．

20．(1)

(2)，

【分析】（1）根据根的判别式列出关于m的不等式，解不等式即可；

（2）根据m为正整数，且，得出，然后再代入得出方程为，解方程即可．

【详解】（1）解：由题意得：

，

∵该方程有两个不相等的实数根，

∴，

∴．

（2）解：∵m为正整数，且，

∴，

此时，方程为，

解得 ，．

【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

21．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出，即可得出结论；

（2）如图，过点E作于点F，由角平分线的性质得出，在中，，即可得出答案．

【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，

∴．

∵，

∴，

∴平行四边形为矩形．

（2）解：如图，过点E作于点F．

∵四边形是矩形，

∴，

∴．

∵为的角平分线，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

在中，，设，则，

由 ，

解得 ，

∴．

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、锐角三角函数的定义、角平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．

22．(1)一次，，

(2)见解析

(3)6.2

【分析】（1）根据表格中数据的特点可解答空1和空2，用待定系数法可解答空3；

（2）根据表中数据描点、连线即可；

（3）根据图象解答即可．

【详解】（1）由表中数据可知，供给量比售价少1，所以供给量与售价x之间满足一次函数关系，它的函数表达式为；

把和代入，得

，

解得

，

∴．

故答案为：一次，，；

（2）描点，连线，得

（3）由函数图象可知，为使番茄的供需平衡(即供给量与需求量相等)，售价应定为6.2元/千克．

故答案为：6.2．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，以及二次函数的应用，掌握待定系数法、数形结合是解答本题的关键．

23．(1)．

(2)

【分析】（1）由待定系数法进行计算，即可求出函数的解析式；

（2）先求出，然后求出方程的解，结合即可求出答案．

【详解】（1）解：将点A(1，6)，B(－6，－1)的坐标分别代入中，

得

解得

∴一次函数的解析式．

将点A(1，6)的坐标代入中，

得m＝6，

∴反比例函数的解析式．

（2）解：由点A(1，6)在一次函数和反比例函数的图像上，

∴，，

令，

∴；

∴，，

∵当时，对于的每一个值，不等式都成立，

∴，

∴；

【点睛】本题考查了反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数图像和反比例函数图像交点的求法是解题的关键．

24．(1)

(2)见解析

(3)①③

【分析】（1）根据成绩统计图可直接得出结果；

（2）在统计图中直接标出点即可；

（3）根据中位数，平均数的计算方法及统计图依次判断即可．

【详解】（1）解：根据竞赛成绩统计图，第一次竞赛成绩在成绩之间的有12人，成绩的有10人

∴；

（2）如图所示：

（3）①第二次竞赛成绩数据中参与奖及优秀奖的人数为9+5=14人，

第15、16名学生的成绩为90、90，

∴第二次竞赛成绩数据的中位数是90；故推断合理；

②由统计图得，两次都获得卓越奖的人数有9人，故推断不合理；

③第二次竞赛的平均成绩为：，

第一次竞赛的平均成绩为：，故推断合理；

故答案为：①③．

【点睛】题目主要考查从统计图获取信息及统计表，中位数和平均数的计算方法，理解题意，从统计图中获取相关信息是解题关键．

25．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，先证，从而求出，进而可证是的切线；

（2）连接，得出，再根据三角函数求得的长．

【详解】（1）证明：如图，连接，

与相切于点A，

，

，

，，

，

，

，

又，，

，

，

即，

又是的半径，

是的切线．

（2）解：如图，连接，

，

为的切线，

也为的切线，

，

又，

，

是的直径，，

，，即，

，

，

，

于点F，

，

在中，，，，

，

，

在中，，，

，

．

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，三角形全等的判定，三角函数的应用，平行线的判定和性质，勾股定理等，本题是一道综合性较强的题目．

26．(1)；；

(2)或．

【分析】（1）由，当时，可得；即可得到抛物线与x轴的交点坐标；再根据抛物线的对称轴公式即可确定对称轴；

（2）由（1）可得抛物线与x轴交于点和，然后分和两种情况，分别根据抛物线列关于a的不等式组求解即可．

【详解】（1）解：，

当时，，解得 ，，

所以抛物线与x轴交于点和，抛物线的对称轴为直线．

（2）解：抛物线与x轴交于点和

当，由，

∴ 或解得 或无解；

当，由，

∴ 或解得 或无解．

综上，或．

【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，理解二次函数的图像与性质是解答本题的关键．

、

27．(1)证明见解析

(2)，证明见解析

【分析】（1）根据题中条件可得，再根据旋转的性质可得，，从而证明四边形为平行四边形，即可求解；

（2）过点F作交延长线于点G，证明，可得四边形为矩形，即可证明．

【详解】（1）证明：∵，，点D为边的中点，

∴于点D，，

∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段，

∴，，

∵点E与点D重合，

∴，，

∴，且，

∴四边形为平行四边形，

∴，

即．

（2）依题意补全图形，如图，

线段，，之间的数量关系：，

证明：如图，过点F作交延长线于点G，

∵，，点D为边的中点，

∴于点D，，

∴，

∴，

∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段，

∴，，

∴，，

∴，

∴，

∴，，

∴四边形为矩形，

∴；

【点睛】本题考查了几何问题，涉及到全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等，灵活运用所学知识是解题关键．

28．(1)①；② 1或3

(2)m的最大值为，；m的最小值为，．

【分析】（1）①根据题中定义即可画图得出；②通过判断直线，的最长的弦即直径为4，可排除，，所以成为的弦，根据圆的对称性，分两种情况讨论；

（2）画与关于直线：对称，以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，画出图形即可求出m的最大值和最小值，通过勾股定理即可求出．

【详解】（1）解：①如图所示：

∴以直线：为轴的的“关联线段”是 ；

② ∵直线：与x轴夹角为，

∴线段直线，

∴线段关于直线的对称线段还在直线上，不可能是的弦，

∵的最长的弦即直径为4，

，

∴线段的对称线段不可能是的弦；

∵线段直线，且，

∴线段的对称线段可以是的弦．

线段的对称线段，

且．

如图，平移线段使之成为的弦，有两种情况：

(ⅰ) ，的坐标分别为，，此时；

(ⅱ) ，的坐标分别为，，此时．

综上所述，或3．

（2）解：画与关于直线：对称，

∵，

以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，

∵与关于直线对称，

则与至少有一个交点，如图所示，

此时m取得最小值；

此时m取得最大值；

把代入直线：得：，

∴点A的坐标为，

∵与至少有一个交点，

∴，

解得：，

∴m的最大值为，m的最小值为；

连接、、，过点C作，如图所示，

∵，的半径为2，

∴是等边三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴；

连接、、，过点C作如图所示，

∵，的半径为2，

∴是等边三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴；

【点睛】本题考查了圆的几何问题，难度较大，正确理解新定义和考虑到以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，是关键．