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2021北京十五中初三（上）期中数学（教师版）
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这是一份2021北京十五中初三（上）期中数学（教师版），共30页。试卷主要包含了填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京十五中初三（上）期中
数 学
（时间：120分钟)
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 抛物线的对称轴是
A. B.
C. D.
2. 如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（ ）
A. 30° B. 35° C. 45° D. 70°
3. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到新抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A. 55° B. 70° C. 125° D. 145°
5. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
6. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围（ ）
A. B. C. D.
7. 下表是二次函数y=ax2+bx+c的x,y的部分对应值:
x
…
-
0
1
2
…
y
…
-1
-
m
-
-1
n
…
则对于该函数的性质的判断:
①该二次函数有最大值;②不等式y>-1解集是x<0或x>2;
③方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-
其中正确的是:
A ②③ B. ②④ C. ①③ D. ①④
8. 如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A. ﹣4 B. ﹣2 C. 1 D. 3
9. 如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用，名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置，为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系（a，b，c是常数，且≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（ ）
A. 4.8 B. 5 C. 5.2 D. 5.5
二、填空题（本题共16分，每小题2分）.
11. 写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y轴交于点（0，3），这个二次函数的解析式可以是________．
12. A（-1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为________．
13. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC的长为___．
14. 如图，等边内接于，若的半径为3，则阴影部分的面积为_____.
15. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=____°．
16. 《九章算术》是中国传统数学重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为____步.
17. 如图，抛物线（）与轴交于点，与轴交于，两点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴交轴于点，，并与抛物线的对称轴交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______．
18. 如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为_____；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为_____．
三、解答题（本题共54分，19题8分，20题6分，其它每题5分）
19. 解方程：
（1）； （2）．
20. 已知二次函数y = x2 ＋4x + 3
（1）将其化成的形式_______________；
（2）指出该二次函数的图象的顶点坐标；
（3）请用列表法画出此二次函数的图象；
（4）当-3≤x≤0时，函数值的范围是
21. 下面是小明设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．
已知：⊙O． 求作：⊙O的内接正三角形．
作法：
如图，①作直径AB；
②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；
③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC为等边三角形．
∴∠BOC＝ °．
∴∠AOC＝ °．
同理∠AOD＝120°，
∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．
∴AC＝CD＝AD（ ）（填推理依据）．
∴△ACD是等边三角形．
22. 如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
23. 图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面．斜坡顶端B与地面的距离BC为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，A与C的距离是6米，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图2记录了x与y的相关数据．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，垂直距离为1米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．
24. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的根．
25. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D， OE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠A+∠OFC=90°；
（2）若CE：EF=3 : 4，BC=12，则线段CF的长为
26. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点，图形G上任意两点．
①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由；
②若对于，都有，求m的取值范围．
27. 是等边三角形，点P在的延长线上，以P为中心，将线段逆时针旋转n°（）得线段，连接，．
（1）如图，若，画出当时的图形，并写出此时n的值；
（2）M为线段的中点，连接．写出一个n的值，使得对于延长线上任意一点P，总有，并说明理由．
28. 在平面直角坐标系中，旋转角满足，对图形与图形给出如下定义：将图形绕原点逆时针旋转得到图形．为图形上任意一点，为图形上的任意一点，称长度的最小值为图形与图形的“转后距”．已知点，点，点．
（1）当时，记线段为图形．
①画出图形；
②若点为图形，则“转后距”为_________；
③若线段为图形，求“转后距”；
（2）已知点在点的左侧，点，记线段为图形，线段为图形，对任意旋转角，“转后距”大于1，直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 抛物线的对称轴是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．
【详解】抛物线y=（x+2）2-1的对称轴是直线x=-2，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2. 如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（ ）
A. 30° B. 35° C. 45° D. 70°
【答案】B
【解析】
【详解】∵∠AOB=70°，∴∠ACB=∠AOB=35°，
故选B．
3. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到新抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【详解】解：抛物线y=5x2先向右平移2个单位得到解析式：y=5（x-2）2，
再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=5（x-2）2+3．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
4. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A. 55° B. 70° C. 125° D. 145°
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵∠B=35°，∠C=90°，
∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．
∵点C、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．
∴旋转角等于125°．
故选C．
5. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选A．
【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
6. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由原方程有两个实数根可得出△≥0且二次项系数非0，由此即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个实数根，
∴，即，
解得：且；
故选：D.
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是依照题意得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
7. 下表是二次函数y=ax2+bx+c的x,y的部分对应值:
x
…
-
0
1
2
…
y
…
-1
-
m
-
-1
n
…
则对于该函数的性质的判断:
①该二次函数有最大值;②不等式y>-1的解集是x<0或x>2;
③方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-
其中正确的是:
A. ②③ B. ②④ C. ①③ D. ①④
【答案】A
【解析】
【分析】根据表格给出的数据和二次函数的各种性质逐项分析即可.
详解】解：①由当x=1时，二次函数有最小值，a＞0，故(1)错误；
②由表格可知，当x=0及x=2时，y=-1，由a＞0可得y>-1的解集是x<0或x>2，故(2)正确.
③由表格可知，方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-
故：②③正确，故选A.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质.
8. 如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A. ﹣4 B. ﹣2 C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【详解】分析：抛物线与抛物线的对称轴相同是解题的关键.
详解：∵关于x的方程有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
抛物线的对称轴为直线
抛物线的对称轴也是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为
∴方程的另一个根为
故选B．
点睛：考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的对称轴方程是：
9. 如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分P在OC、CD、DO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故图像都是线段，分析选项可得答案．
【详解】根据题意，分3个阶段；
① P在OC之间,∠APB逐渐减小,到C点时, ∠APB为45°，所以图像是下降的线段，
②P在弧CD之间,∠APB保持45°，大小不变，所以图像是水平的线段，
③P在DO之间,∠APB逐渐增大,到O点时, ∠APB为90°，所以图像是上升的线段，
分析可得：C符合3个阶段的描述；
故选C.
点睛】本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段,依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况.
10. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用，名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置，为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系（a，b，c是常数，且≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（ ）
A. 4.8 B. 5 C. 5.2 D. 5.5
【答案】C
【解析】
【分析】先用待定系数法求得函数解析式，根据二次函数的性质求得y取得最大值时x的值即可得答案．
【详解】将（4，0.43）、（5，1.1）、（6，0.87）代入解析式得：，
解得： ，
∴y=-0.45x2+4.72x-11.25，
当x=-≈5.244时，y取得最大值，
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）.
11. 写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y轴交于点（0，3），这个二次函数的解析式可以是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质求解即可．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
【详解】解： ∵二次函数图象开口向下，
∴二次项系数，
∵与y轴交于点（0，3），
∴常数项，
∴这个二次函数的解析式可以是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质和系数的关系．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
12. A（-1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为________．
【答案】y1＜y3＜y2
【解析】
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．
【详解】∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴分别与对称轴的距离为，离对称轴越远的点的函数值越小，
则y1＜y3＜y2
故答案为：y1＜y3＜y2
【点睛】此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键．
13. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC的长为___．
【答案】6
【解析】
【分析】根据垂径定理和∠B等于60°求出BC和AB，再用勾股定理求出AC长度．
【详解】∵DC⊥AB
∴EC=6÷2=3
又∠B=60°
∴BC=
又∠B=60°；OB=OC
∴△OBC为等边三角形
∴OB=CB=
∴AB=
又AB过圆心O
∴∠C=90°
∴AC=
故答案为6
【点睛】本题考查垂径定理、锐角三角函数的应用，掌握上述知识是解题的关键．
14. 如图，等边内接于，若的半径为3，则阴影部分的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由等边三角形的性质可得∠ABC=60°，根据圆周角定理可得∠AOC=120°，利用扇形面积公式即可得答案.
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠ABC和∠AOC是所对的圆周角和圆心角，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∵⊙O的半径为3，
∴S阴影==，
故答案为：
【点睛】本题考查圆周角定理及扇形面积，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；根据圆周角定理得出∠AOC的度数并熟记扇形面积公式是解题关键.
15. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=____°．
【答案】45
【解析】
【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质得到的度数，再由∠AOC=105°，计算得到的度数，最后由三角形外角和得到的度数，即可知道的度数．
【详解】解：∵是由绕点O顺时针旋转40°后得到的图形
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为：45
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，学会数形结合处理相关的数据是解题的重点．
16. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为____步.
【答案】6
【解析】
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，进而可得到直径．
【详解】∵BC=8，AC=15，
∴AB==17，
∴该直角三角形内切圆半径===3
∴该内切圆的直径=2×3=6步，
故答案为：6
【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为为a、b，斜边为c，其内切圆半径r=是解题的关键．
17. 如图，抛物线（）与轴交于点，与轴交于，两点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴交轴于点，，并与抛物线的对称轴交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______．
【答案】②④
【解析】
【分析】①根据抛物线开口方向即可判断；
②根据对称轴在y轴右侧即可判断b的取值范围；
③根据抛物线与x轴的交点坐标与对称轴即可判断；
④根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴可得AD=BD，再根据CE∥AB，即可得结论．
【详解】①观察图象开口向下，a＜0，
所以①错误；
②对称轴在y轴右侧，b＞0，
所以②正确；
③因为抛物线与x轴的一个交点B的坐标为（4，0），
对称轴在y轴右侧，
所以当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，
所以＞③错误；
④∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，
∴AD=BD，
∵CE∥AB，
∴四边形ODEC为矩形，
∴CE=OD，
∴AD+CE=BD+OD=OB=4，
所以④正确．
综上：②④正确．
故答案为：②④.
【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点进行计算．
18. 如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为_____；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为_____．
【答案】 ①. 7 ②.
【解析】
【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）如图1，∵l⊥PA，
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，
线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO＝90°，
∵AP＝2，OA＝5，
∴OP＝＝，
故答案为7,
【点睛】此题主要考查点到直线的距离以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
三、解答题（本题共54分，19题8分，20题6分，其它每题5分）
19. 解方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）x1=5，x2=-1；（2）.
【解析】
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先求出的值，再代入公式求出即可.
【详解】（1）x2-4x-5=0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
x-5=0，x+1=0，
x1=5，x2=-1；
（2）2x2-2x-1=0，
a=2，b=-2，c=-1，
△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（-1）=12＞0，
方程有两个不相等实数根，
.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键.
20. 已知二次函数y = x2 ＋4x + 3
（1）将其化成的形式_______________；
（2）指出该二次函数的图象的顶点坐标；
（3）请用列表法画出此二次函数的图象；
（4）当-3≤x≤0时，函数值的范围是
【答案】（1）y=(x+2)2-1 ；（2）（-2，-1）；（3）见解析；（4）-1≤y≤3
【解析】
【分析】（1）由配方可求解；
（2）由顶点式可得顶点坐标；
（3）列表画出图象；
（4）由图象可求解．
【详解】解：（1）由题意可得：y=x2+4x+3=（x+2）2-1；
（2）∵y=（x+2）2-1，
∴顶点坐标为（-2，-1）；
（3）如图所示：
（4）由图象可得：-1≤y≤3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
21. 下面是小明设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．
已知：⊙O． 求作：⊙O的内接正三角形．
作法：
如图，①作直径AB；
②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；
③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC为等边三角形．
∴∠BOC＝ °．
∴∠AOC＝ °．
同理∠AOD＝120°，
∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．
∴AC＝CD＝AD（ ）（填推理的依据）．
∴△ACD是等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等
【解析】
【分析】（1）利用画圆的方法作出C、D两点，从而得到△ACD；
（2）在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，利用等边三角形的判定方法得到△OBC为等边三角形，则∠BOC＝60°，接着分别计算出∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC＝CD＝AD，从而判断△ACD是等边三角形．
【详解】（1）解：如图，△ACD为所作；
（2）证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC为等边三角形．
∴∠BOC＝60°．
∴∠AOC＝180°−∠BOC＝120°．
同理∠AOD＝120°，
∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．
∴AC＝CD＝AD（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
∴△ACD是等边三角形．
故答案为：60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22. 如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）1
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据等边三角形性质求出∠ODE=90°，根据切线的判定定理证明即可；
（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据等腰三角形的性质即可解．
【详解】解：（1）如图1，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B=60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∴∠EDC=90°-∠C=30°．
∴∠ODE=180°-∠EDC-∠ODB=90°．
∴DE⊥OD于点D．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AD，BF，DF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AFB=∠ADB=90°．
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴，．
∴DC=CF，
∵∠C=60°，
∴△FDC是等边三角形，
∵DE⊥AC
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理的推论、等边三角形的性质和判定等，解题关键是牢记相关概念和性质．
23. 图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面．斜坡顶端B与地面的距离BC为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，A与C的距离是6米，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图2记录了x与y的相关数据．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，垂直距离为1米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．
【答案】（1）；（2）水珠能越过这棵树，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出两个点的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）代入x=2求得y的值后与1+1.8比较大小后即可确定正确的结论．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中， BC=3， AC=6．
∴ 点B的坐标为（6，3）．
∵ B（6，3），（4，4）在抛物线上，
解得：
∴ y关于x的函数关系式为．
（2）当x＝2时，＝3＞1+1.8，所以水珠能越过这棵树．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质、二次函数的图象与性质等知识点．
24. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的根．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）根据判别式即可求出答案．
（2）根据m的范围可知m＝1，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
（2）∵为正整数，且，
∴．
当时，方程为，
∴，．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
25. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D， OE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠A+∠OFC=90°；
（2）若CE：EF=3 : 4，BC=12，则线段CF的长为
【答案】（1）见解析；（2）CF=10
【解析】
【分析】（1）连接OC，BO，根据切线的性质可得∠OCF＝90°，再根据垂径定理可得结论；
（2）根据垂径定理可得CE＝BE＝BC＝6，结合已知条件可得OE，根据勾股定理可得OC的长，再根据sin∠OCE＝sin∠CFE，即可求出线段CF的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，BO
∴∠A=∠COB
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OFC＋∠COF＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠COF＝∠BOF=∠COB
∴∠COF＝∠A，
∴∠A＋∠OFC＝90°；
（2）解：∵∠A＋∠OFC＝90°，∠ECF＋∠OFC＝90°
∴∠A=∠ECF
∵tan∠ECF=
∴tanA＝tan∠COF＝，
∵OE⊥BC，
∴CE＝BE＝BC＝×12＝6，
∴tan∠COF=
∴OE＝，
∴OC＝，
∵∠OCF＝∠CEF＝90°，
∴∠FCE＋∠OCE＝∠CFE＋∠FCE＝90°，
∴∠OCE＝∠CFE，
∴sin∠OCE＝sin∠CFE，
∴，
∴，
∴CF＝10．
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点，图形G上任意两点．
①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由；
②若对于，都有，求m的取值范围．
【答案】（1）直线；（2）①；见解析；②
【解析】
【分析】（1）直接利用对称轴公式即可求出．
（2）①当时，二次函数解析式是，对称轴为y轴．由此可得图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小，即可求出．②通过计算可知，点为抛物线上关于对称轴对称的两点，
分类讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：Ⅰ当y轴在点P左侧时（含点P），作出图形，即可得出经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，此时，不符题意；Ⅱ当y轴在点Q右侧时（含点Q），作出图形，即可得出点M，N分别和点P，Q重合，此时，不符题意；Ⅲ当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），作出图形，即可得出经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，此时，符合题意．即有，即．
【详解】（1）抛物线的对称轴为直线；
（2）①当时，二次函数解析式是，对称轴为y轴；
∴图形G如图．
∴图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小；
∵，
∴．
②通过计算可知，为抛物线上关于对称轴对称的两点，
下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：
Ⅰ如图，当y轴在点P左侧时（含点P），
经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，，不符题意；
Ⅱ如图，当y轴在点Q右侧时（含点Q），
点M，N分别和点P，Q重合，，不符题意；
Ⅲ如图，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），
经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，，符合题意．
此时有，即．
综上所述，m的取值范围为．
【点睛】本题为二次函数综合题．考查抛物线的对称轴，二次函数图象的性质等知识，较难．利用数形结合与分类讨论的思想是解答本题的关键．
27. 是等边三角形，点P在的延长线上，以P为中心，将线段逆时针旋转n°（）得线段，连接，．
（1）如图，若，画出当时的图形，并写出此时n的值；
（2）M为线段的中点，连接．写出一个n的值，使得对于延长线上任意一点P，总有，并说明理由．
【答案】（1）60°；（2）n=120°，理由见详解.
【解析】
【分析】（1）由是等边三角形，得∠BAC=∠ACB=60°，由，，得∠PBQ=∠CPA=30°，，进而得到∠BPC=60°，即可求解；
（2）以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2，
设点B（a，0），点P（x，0），根据坐标系中，中点坐标公式和两点间的距离公式，分别表示出MP，AP的长度，即可.
【详解】如图1，若，当时，n=60°，理由如下：
∵是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵，
∴∠CAP=∠CPA=30°，
∵
∴∠PBQ=∠CPA=30°，
∵，
∴，
∴∠Q=90°，
∴∠BPC=180°-∠Q -∠PBQ =180°-90°-30°= 60°，
∴n=60°；
（2）当n=120°时，对于延长线上任意一点P，总有，理由如下：
以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2，
设点B（a，0），点P（x，0），
∴PQ=PC=x，
∵∠CPQ=120°，
∴∠NPQ=180°-120°=60°，
过点Q作QH⊥x轴，则PH=x，QH=x,
∴点Q坐标为（，），
∵点M时BQ的中点，
∴点M的坐标为：
过点A作AE⊥x轴，则CE=CB，AE=CE，
∴点A坐标为： ，
∴AP==
MP==，
即：.
图1 图2
【点睛】本题主要考查等边三角形和含30°角的直角三角形的性质，画出图形，建立合适的平面直角坐标系，把几何问题化为代数问题，用数形结合的思想方法，是解题的关键.
28. 在平面直角坐标系中，旋转角满足，对图形与图形给出如下定义：将图形绕原点逆时针旋转得到图形．为图形上任意一点，为图形上的任意一点，称长度的最小值为图形与图形的“转后距”．已知点，点，点．
（1）当时，记线段为图形．
①画出图形；
②若点为图形，则“转后距”为_________；
③若线段为图形，求“转后距”；
（2）已知点在点的左侧，点，记线段为图形，线段为图形，对任意旋转角，“转后距”大于1，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①见解析；②2；③转后距；（2）或
【解析】
【分析】（1）①根据要求画出图形即可．
②线段OC的长即为所求．
③如图2中，连接AC，过点A作AE⊥OC于E，过点O作OD⊥AC于D．求出线段OD的长即可．
（2）观察图象可知，只要线段PA上的任意一点到阴影部分图形上的任意一点的距离大于1时，即可满足条件．
【详解】（1）①如图，线段OA′，即图形M′：
②观察图象可知，点C为图形N，则“转后距”为线段OC的长＝2，
故答案为2；
③连接，作于，作于，如图．
依题意，的长度即为所求转后距．
∵，，
∴，，．
在中，．
∵，
∴．
∴转后距为．
（2）如图3中，由题意记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角α，“转后距”大于1，
观察图象可知，只要线段PA上的任意一点到阴影部分图形上的任意一点的距离大于1时，即可满足条件，
即满足条件的m的取值范围为：m＜−5或0＜m＜2．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，“转后距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是画出图形，利用图象法解决问题．
2021北京十五中初三（上）期中
数 学
（时间：120分钟)
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 抛物线的对称轴是
A. B.
C. D.
2. 如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（ ）
A. 30° B. 35° C. 45° D. 70°
3. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到新抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A. 55° B. 70° C. 125° D. 145°
5. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
6. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围（ ）
A. B. C. D.
7. 下表是二次函数y=ax2+bx+c的x,y的部分对应值:
x
…
-
0
1
2
…
y
…
-1
-
m
-
-1
n
…
则对于该函数的性质的判断:
①该二次函数有最大值;②不等式y>-1解集是x<0或x>2;
③方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-
其中正确的是:
A ②③ B. ②④ C. ①③ D. ①④
8. 如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A. ﹣4 B. ﹣2 C. 1 D. 3
9. 如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用，名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置，为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系（a，b，c是常数，且≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（ ）
A. 4.8 B. 5 C. 5.2 D. 5.5
二、填空题（本题共16分，每小题2分）.
11. 写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y轴交于点（0，3），这个二次函数的解析式可以是________．
12. A（-1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为________．
13. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC的长为___．
14. 如图，等边内接于，若的半径为3，则阴影部分的面积为_____.
15. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=____°．
16. 《九章算术》是中国传统数学重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为____步.
17. 如图，抛物线（）与轴交于点，与轴交于，两点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴交轴于点，，并与抛物线的对称轴交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______．
18. 如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为_____；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为_____．
三、解答题（本题共54分，19题8分，20题6分，其它每题5分）
19. 解方程：
（1）； （2）．
20. 已知二次函数y = x2 ＋4x + 3
（1）将其化成的形式_______________；
（2）指出该二次函数的图象的顶点坐标；
（3）请用列表法画出此二次函数的图象；
（4）当-3≤x≤0时，函数值的范围是
21. 下面是小明设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．
已知：⊙O． 求作：⊙O的内接正三角形．
作法：
如图，①作直径AB；
②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；
③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC为等边三角形．
∴∠BOC＝ °．
∴∠AOC＝ °．
同理∠AOD＝120°，
∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．
∴AC＝CD＝AD（ ）（填推理依据）．
∴△ACD是等边三角形．
22. 如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
23. 图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面．斜坡顶端B与地面的距离BC为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，A与C的距离是6米，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图2记录了x与y的相关数据．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，垂直距离为1米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．
24. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的根．
25. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D， OE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠A+∠OFC=90°；
（2）若CE：EF=3 : 4，BC=12，则线段CF的长为
26. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点，图形G上任意两点．
①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由；
②若对于，都有，求m的取值范围．
27. 是等边三角形，点P在的延长线上，以P为中心，将线段逆时针旋转n°（）得线段，连接，．
（1）如图，若，画出当时的图形，并写出此时n的值；
（2）M为线段的中点，连接．写出一个n的值，使得对于延长线上任意一点P，总有，并说明理由．
28. 在平面直角坐标系中，旋转角满足，对图形与图形给出如下定义：将图形绕原点逆时针旋转得到图形．为图形上任意一点，为图形上的任意一点，称长度的最小值为图形与图形的“转后距”．已知点，点，点．
（1）当时，记线段为图形．
①画出图形；
②若点为图形，则“转后距”为_________；
③若线段为图形，求“转后距”；
（2）已知点在点的左侧，点，记线段为图形，线段为图形，对任意旋转角，“转后距”大于1，直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 抛物线的对称轴是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．
【详解】抛物线y=（x+2）2-1的对称轴是直线x=-2，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2. 如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（ ）
A. 30° B. 35° C. 45° D. 70°
【答案】B
【解析】
【详解】∵∠AOB=70°，∴∠ACB=∠AOB=35°，
故选B．
3. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到新抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【详解】解：抛物线y=5x2先向右平移2个单位得到解析式：y=5（x-2）2，
再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=5（x-2）2+3．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
4. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A. 55° B. 70° C. 125° D. 145°
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵∠B=35°，∠C=90°，
∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．
∵点C、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．
∴旋转角等于125°．
故选C．
5. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选A．
【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
6. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由原方程有两个实数根可得出△≥0且二次项系数非0，由此即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个实数根，
∴，即，
解得：且；
故选：D.
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是依照题意得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
7. 下表是二次函数y=ax2+bx+c的x,y的部分对应值:
x
…
-
0
1
2
…
y
…
-1
-
m
-
-1
n
…
则对于该函数的性质的判断:
①该二次函数有最大值;②不等式y>-1的解集是x<0或x>2;
③方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-
其中正确的是:
A. ②③ B. ②④ C. ①③ D. ①④
【答案】A
【解析】
【分析】根据表格给出的数据和二次函数的各种性质逐项分析即可.
详解】解：①由当x=1时，二次函数有最小值，a＞0，故(1)错误；
②由表格可知，当x=0及x=2时，y=-1，由a＞0可得y>-1的解集是x<0或x>2，故(2)正确.
③由表格可知，方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-
故：②③正确，故选A.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质.
8. 如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A. ﹣4 B. ﹣2 C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【详解】分析：抛物线与抛物线的对称轴相同是解题的关键.
详解：∵关于x的方程有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
抛物线的对称轴为直线
抛物线的对称轴也是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为
∴方程的另一个根为
故选B．
点睛：考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的对称轴方程是：
9. 如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分P在OC、CD、DO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故图像都是线段，分析选项可得答案．
【详解】根据题意，分3个阶段；
① P在OC之间,∠APB逐渐减小,到C点时, ∠APB为45°，所以图像是下降的线段，
②P在弧CD之间,∠APB保持45°，大小不变，所以图像是水平的线段，
③P在DO之间,∠APB逐渐增大,到O点时, ∠APB为90°，所以图像是上升的线段，
分析可得：C符合3个阶段的描述；
故选C.
点睛】本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段,依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况.
10. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用，名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置，为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系（a，b，c是常数，且≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（ ）
A. 4.8 B. 5 C. 5.2 D. 5.5
【答案】C
【解析】
【分析】先用待定系数法求得函数解析式，根据二次函数的性质求得y取得最大值时x的值即可得答案．
【详解】将（4，0.43）、（5，1.1）、（6，0.87）代入解析式得：，
解得： ，
∴y=-0.45x2+4.72x-11.25，
当x=-≈5.244时，y取得最大值，
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）.
11. 写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y轴交于点（0，3），这个二次函数的解析式可以是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质求解即可．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
【详解】解： ∵二次函数图象开口向下，
∴二次项系数，
∵与y轴交于点（0，3），
∴常数项，
∴这个二次函数的解析式可以是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质和系数的关系．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
12. A（-1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为________．
【答案】y1＜y3＜y2
【解析】
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．
【详解】∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴分别与对称轴的距离为，离对称轴越远的点的函数值越小，
则y1＜y3＜y2
故答案为：y1＜y3＜y2
【点睛】此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键．
13. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC的长为___．
【答案】6
【解析】
【分析】根据垂径定理和∠B等于60°求出BC和AB，再用勾股定理求出AC长度．
【详解】∵DC⊥AB
∴EC=6÷2=3
又∠B=60°
∴BC=
又∠B=60°；OB=OC
∴△OBC为等边三角形
∴OB=CB=
∴AB=
又AB过圆心O
∴∠C=90°
∴AC=
故答案为6
【点睛】本题考查垂径定理、锐角三角函数的应用，掌握上述知识是解题的关键．
14. 如图，等边内接于，若的半径为3，则阴影部分的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由等边三角形的性质可得∠ABC=60°，根据圆周角定理可得∠AOC=120°，利用扇形面积公式即可得答案.
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠ABC和∠AOC是所对的圆周角和圆心角，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∵⊙O的半径为3，
∴S阴影==，
故答案为：
【点睛】本题考查圆周角定理及扇形面积，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；根据圆周角定理得出∠AOC的度数并熟记扇形面积公式是解题关键.
15. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=____°．
【答案】45
【解析】
【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质得到的度数，再由∠AOC=105°，计算得到的度数，最后由三角形外角和得到的度数，即可知道的度数．
【详解】解：∵是由绕点O顺时针旋转40°后得到的图形
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为：45
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，学会数形结合处理相关的数据是解题的重点．
16. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为____步.
【答案】6
【解析】
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，进而可得到直径．
【详解】∵BC=8，AC=15，
∴AB==17，
∴该直角三角形内切圆半径===3
∴该内切圆的直径=2×3=6步，
故答案为：6
【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为为a、b，斜边为c，其内切圆半径r=是解题的关键．
17. 如图，抛物线（）与轴交于点，与轴交于，两点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴交轴于点，，并与抛物线的对称轴交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______．
【答案】②④
【解析】
【分析】①根据抛物线开口方向即可判断；
②根据对称轴在y轴右侧即可判断b的取值范围；
③根据抛物线与x轴的交点坐标与对称轴即可判断；
④根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴可得AD=BD，再根据CE∥AB，即可得结论．
【详解】①观察图象开口向下，a＜0，
所以①错误；
②对称轴在y轴右侧，b＞0，
所以②正确；
③因为抛物线与x轴的一个交点B的坐标为（4，0），
对称轴在y轴右侧，
所以当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，
所以＞③错误；
④∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，
∴AD=BD，
∵CE∥AB，
∴四边形ODEC为矩形，
∴CE=OD，
∴AD+CE=BD+OD=OB=4，
所以④正确．
综上：②④正确．
故答案为：②④.
【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点进行计算．
18. 如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为_____；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为_____．
【答案】 ①. 7 ②.
【解析】
【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）如图1，∵l⊥PA，
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，
线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO＝90°，
∵AP＝2，OA＝5，
∴OP＝＝，
故答案为7,
【点睛】此题主要考查点到直线的距离以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
三、解答题（本题共54分，19题8分，20题6分，其它每题5分）
19. 解方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）x1=5，x2=-1；（2）.
【解析】
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先求出的值，再代入公式求出即可.
【详解】（1）x2-4x-5=0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
x-5=0，x+1=0，
x1=5，x2=-1；
（2）2x2-2x-1=0，
a=2，b=-2，c=-1，
△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（-1）=12＞0，
方程有两个不相等实数根，
.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键.
20. 已知二次函数y = x2 ＋4x + 3
（1）将其化成的形式_______________；
（2）指出该二次函数的图象的顶点坐标；
（3）请用列表法画出此二次函数的图象；
（4）当-3≤x≤0时，函数值的范围是
【答案】（1）y=(x+2)2-1 ；（2）（-2，-1）；（3）见解析；（4）-1≤y≤3
【解析】
【分析】（1）由配方可求解；
（2）由顶点式可得顶点坐标；
（3）列表画出图象；
（4）由图象可求解．
【详解】解：（1）由题意可得：y=x2+4x+3=（x+2）2-1；
（2）∵y=（x+2）2-1，
∴顶点坐标为（-2，-1）；
（3）如图所示：
（4）由图象可得：-1≤y≤3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
21. 下面是小明设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．
已知：⊙O． 求作：⊙O的内接正三角形．
作法：
如图，①作直径AB；
②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；
③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC为等边三角形．
∴∠BOC＝ °．
∴∠AOC＝ °．
同理∠AOD＝120°，
∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．
∴AC＝CD＝AD（ ）（填推理的依据）．
∴△ACD是等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等
【解析】
【分析】（1）利用画圆的方法作出C、D两点，从而得到△ACD；
（2）在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，利用等边三角形的判定方法得到△OBC为等边三角形，则∠BOC＝60°，接着分别计算出∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC＝CD＝AD，从而判断△ACD是等边三角形．
【详解】（1）解：如图，△ACD为所作；
（2）证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC为等边三角形．
∴∠BOC＝60°．
∴∠AOC＝180°−∠BOC＝120°．
同理∠AOD＝120°，
∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．
∴AC＝CD＝AD（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
∴△ACD是等边三角形．
故答案为：60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22. 如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）1
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据等边三角形性质求出∠ODE=90°，根据切线的判定定理证明即可；
（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据等腰三角形的性质即可解．
【详解】解：（1）如图1，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B=60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∴∠EDC=90°-∠C=30°．
∴∠ODE=180°-∠EDC-∠ODB=90°．
∴DE⊥OD于点D．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AD，BF，DF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AFB=∠ADB=90°．
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴，．
∴DC=CF，
∵∠C=60°，
∴△FDC是等边三角形，
∵DE⊥AC
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理的推论、等边三角形的性质和判定等，解题关键是牢记相关概念和性质．
23. 图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面．斜坡顶端B与地面的距离BC为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，A与C的距离是6米，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图2记录了x与y的相关数据．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，垂直距离为1米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．
【答案】（1）；（2）水珠能越过这棵树，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出两个点的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）代入x=2求得y的值后与1+1.8比较大小后即可确定正确的结论．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中， BC=3， AC=6．
∴ 点B的坐标为（6，3）．
∵ B（6，3），（4，4）在抛物线上，
解得：
∴ y关于x的函数关系式为．
（2）当x＝2时，＝3＞1+1.8，所以水珠能越过这棵树．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质、二次函数的图象与性质等知识点．
24. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的根．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）根据判别式即可求出答案．
（2）根据m的范围可知m＝1，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
（2）∵为正整数，且，
∴．
当时，方程为，
∴，．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
25. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D， OE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠A+∠OFC=90°；
（2）若CE：EF=3 : 4，BC=12，则线段CF的长为
【答案】（1）见解析；（2）CF=10
【解析】
【分析】（1）连接OC，BO，根据切线的性质可得∠OCF＝90°，再根据垂径定理可得结论；
（2）根据垂径定理可得CE＝BE＝BC＝6，结合已知条件可得OE，根据勾股定理可得OC的长，再根据sin∠OCE＝sin∠CFE，即可求出线段CF的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，BO
∴∠A=∠COB
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OFC＋∠COF＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠COF＝∠BOF=∠COB
∴∠COF＝∠A，
∴∠A＋∠OFC＝90°；
（2）解：∵∠A＋∠OFC＝90°，∠ECF＋∠OFC＝90°
∴∠A=∠ECF
∵tan∠ECF=
∴tanA＝tan∠COF＝，
∵OE⊥BC，
∴CE＝BE＝BC＝×12＝6，
∴tan∠COF=
∴OE＝，
∴OC＝，
∵∠OCF＝∠CEF＝90°，
∴∠FCE＋∠OCE＝∠CFE＋∠FCE＝90°，
∴∠OCE＝∠CFE，
∴sin∠OCE＝sin∠CFE，
∴，
∴，
∴CF＝10．
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点，图形G上任意两点．
①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由；
②若对于，都有，求m的取值范围．
【答案】（1）直线；（2）①；见解析；②
【解析】
【分析】（1）直接利用对称轴公式即可求出．
（2）①当时，二次函数解析式是，对称轴为y轴．由此可得图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小，即可求出．②通过计算可知，点为抛物线上关于对称轴对称的两点，
分类讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：Ⅰ当y轴在点P左侧时（含点P），作出图形，即可得出经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，此时，不符题意；Ⅱ当y轴在点Q右侧时（含点Q），作出图形，即可得出点M，N分别和点P，Q重合，此时，不符题意；Ⅲ当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），作出图形，即可得出经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，此时，符合题意．即有，即．
【详解】（1）抛物线的对称轴为直线；
（2）①当时，二次函数解析式是，对称轴为y轴；
∴图形G如图．
∴图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小；
∵，
∴．
②通过计算可知，为抛物线上关于对称轴对称的两点，
下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：
Ⅰ如图，当y轴在点P左侧时（含点P），
经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，，不符题意；
Ⅱ如图，当y轴在点Q右侧时（含点Q），
点M，N分别和点P，Q重合，，不符题意；
Ⅲ如图，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），
经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，，符合题意．
此时有，即．
综上所述，m的取值范围为．
【点睛】本题为二次函数综合题．考查抛物线的对称轴，二次函数图象的性质等知识，较难．利用数形结合与分类讨论的思想是解答本题的关键．
27. 是等边三角形，点P在的延长线上，以P为中心，将线段逆时针旋转n°（）得线段，连接，．
（1）如图，若，画出当时的图形，并写出此时n的值；
（2）M为线段的中点，连接．写出一个n的值，使得对于延长线上任意一点P，总有，并说明理由．
【答案】（1）60°；（2）n=120°，理由见详解.
【解析】
【分析】（1）由是等边三角形，得∠BAC=∠ACB=60°，由，，得∠PBQ=∠CPA=30°，，进而得到∠BPC=60°，即可求解；
（2）以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2，
设点B（a，0），点P（x，0），根据坐标系中，中点坐标公式和两点间的距离公式，分别表示出MP，AP的长度，即可.
【详解】如图1，若，当时，n=60°，理由如下：
∵是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵，
∴∠CAP=∠CPA=30°，
∵
∴∠PBQ=∠CPA=30°，
∵，
∴，
∴∠Q=90°，
∴∠BPC=180°-∠Q -∠PBQ =180°-90°-30°= 60°，
∴n=60°；
（2）当n=120°时，对于延长线上任意一点P，总有，理由如下：
以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2，
设点B（a，0），点P（x，0），
∴PQ=PC=x，
∵∠CPQ=120°，
∴∠NPQ=180°-120°=60°，
过点Q作QH⊥x轴，则PH=x，QH=x,
∴点Q坐标为（，），
∵点M时BQ的中点，
∴点M的坐标为：
过点A作AE⊥x轴，则CE=CB，AE=CE，
∴点A坐标为： ，
∴AP==
MP==，
即：.
图1 图2
【点睛】本题主要考查等边三角形和含30°角的直角三角形的性质，画出图形，建立合适的平面直角坐标系，把几何问题化为代数问题，用数形结合的思想方法，是解题的关键.
28. 在平面直角坐标系中，旋转角满足，对图形与图形给出如下定义：将图形绕原点逆时针旋转得到图形．为图形上任意一点，为图形上的任意一点，称长度的最小值为图形与图形的“转后距”．已知点，点，点．
（1）当时，记线段为图形．
①画出图形；
②若点为图形，则“转后距”为_________；
③若线段为图形，求“转后距”；
（2）已知点在点的左侧，点，记线段为图形，线段为图形，对任意旋转角，“转后距”大于1，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①见解析；②2；③转后距；（2）或
【解析】
【分析】（1）①根据要求画出图形即可．
②线段OC的长即为所求．
③如图2中，连接AC，过点A作AE⊥OC于E，过点O作OD⊥AC于D．求出线段OD的长即可．
（2）观察图象可知，只要线段PA上的任意一点到阴影部分图形上的任意一点的距离大于1时，即可满足条件．
【详解】（1）①如图，线段OA′，即图形M′：
②观察图象可知，点C为图形N，则“转后距”为线段OC的长＝2，
故答案为2；
③连接，作于，作于，如图．
依题意，的长度即为所求转后距．
∵，，
∴，，．
在中，．
∵，
∴．
∴转后距为．
（2）如图3中，由题意记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角α，“转后距”大于1，
观察图象可知，只要线段PA上的任意一点到阴影部分图形上的任意一点的距离大于1时，即可满足条件，
即满足条件的m的取值范围为：m＜−5或0＜m＜2．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，“转后距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是画出图形，利用图象法解决问题．
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