2021北京顺义初三（上）期末数学（教师版）

2021北京顺义初三（上）期末

数    学

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1. 数轴上A、B、C、D四个点的位置如图所示，这四个点中，表示2的相反数的点是（   ）

A. 点 A B. 点B C. 点C D. 点D

2. 如果（），那么下列比例式中正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

3. 在Rt△ABC中，，，，则tanB的值为（   ）

A.  B. 2 C.  D.

4. 将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是( )．

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则△ADE与△ABC的面积比等于（   ）   

A. 2：3 B. 4：5 C. 4：9 D. 4：25

6. 二次函数图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为（   ）

A  B.  C.  D.

7. 如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（　　）

A. 70° B. 80° C. 110° D. 140°

8. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：

有以下几个结论：

①抛物线的开口向上；

②抛物线的对称轴为直线；

③关于x的方程的根为和；

④当y＜0时，x的取值范围是＜x＜．

其中正确的是（   ）

A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ③④

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9. 方程组的解是__________．

10. 一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若⊙O中的直径为52cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_______________cm．

11. 小明为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A、B之间的距离，在垂直AB的方向BC上确定点C，测得BC＝45m，∠C＝40°，从而计算出AB之间的距离．则AB＝_______________．（精确到0.1m）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

12. 如图，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC ________2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）

13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝9，AC＝6，则cos∠DCB ＝________________ ． 

14. 如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是________米．

15. 在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜ x2＜0，y1＞ y2写出一个符合条件的函数表达式________________．

16. 如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为_______________．

三、解答题（本题共52分，其中第17－20题每小题5分，第21－23题每小题6分，第24，25题每小题7分）

17. 解不等式组：．

18. 计算：．

19. 已知：如图，点M为锐角∠APB的边PA上一点．

求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．

作法：①以点M圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB 于点D点；

②作射线MD．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：∵P、C、D都在⊙M上，

 ∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，

∴∠P＝∠CMD（ ）（填推理依据）．

∴∠AMD ＝2∠P．

20. 已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD ＝2，BD ＝3，求AC、DC的长．

21. 一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上．若继续沿正北方向航行，求航行过程中船距灯塔S的最近距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

22. 已知： AB为⊙O的直径，点D为弧BC的中点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接CB．

（1）求证：BC∥DE；

（2）若cosE＝， DE ＝20，求BC的长．

23. 在平面直角坐标系xOy中，有抛物线（） ．

（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；

（2）过点A（0，1）作y轴的垂线l，点B在直线l上且横坐标是2m＋1

①若m的值等于1，求抛物线与线段AB的交点个数；

②若抛物线与线段AB只有一个公共点，直接写出m的取值范围．

24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为线段BC上一动点（不与点B， C重合），作射线AD、AB，将射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线，，过点B作BC的垂线，分别交射线，于点E，F．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：AB＝AF；

（3）用等式表示线段AC，BD与BE之间的数量关系，并证明．

25. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”如下图所示．

（1）已知点A的坐标是（1，3）．

①在（－3，－1），（2，2），（3，3）中，是点A的“正轨点”的坐标是         ．

②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标 ．

（2）若点B（1，0）“正轨点”在直线y＝2x＋2上，求点B的“正轨点”的坐标；

（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x＋m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．

参考答案

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1. 数轴上A、B、C、D四个点的位置如图所示，这四个点中，表示2的相反数的点是（   ）

A. 点 A B. 点B C. 点C D. 点D

【答案】A

【解析】

【分析】

根据相反数的定义直接求得结果．

【详解】解：数轴上表示2的相反数的点是-2，即A点．
故选：A．

【点睛】本题主要考查了数轴及相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．

2. 如果（），那么下列比例式中正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据比例的基本性质直接判断即可．

【详解】A、由，可得到，A错误；

B、由，可得到，B错误；

C、由，可得到，C正确；

D、由，可得到，D错误；

故选：C．

【点睛】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解题关键．

3. 在Rt△ABC中，，，，则tanB的值为（   ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用勾股定理求出BC，再根据正切公式计算即可．

【详解】在Rt△ABC中，，，，

∴BC=，

∴tanB=，

故选：B．

．

【点睛】此题考查求角的正切值，勾股定理，熟记计算公式是解题的关键．

4. 将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是( )．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

将抛物线向上平移 (＞0)个单位，得到的抛物线是；向下平移 (＞0)个单位得到的抛物线是，规律是：上加下减．

【详解】将抛物线向下平移一个单位，得到的抛物线是，

故选B．

【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．

5. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则△ADE与△ABC的面积比等于（   ）   

A. 2：3 B. 4：5 C. 4：9 D. 4：25

【答案】D

【解析】

【分析】

先由平行线判定，再根据相似三角形对应边成比例性质及已知条件AD：DB＝2：3，解得相似比为，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方解题即可．

【详解】DE//BC，

又 AD：DB＝2：3，

故选：D．

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

6. 二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，由函数图像的对称轴及与x轴的一个交点，则可以知道函数与x轴的另一个交点，再根据待定系数法求解函数解析式即可．

【详解】根据题意，二次函数对称轴为，与x轴的一个交点为，

则函数与x轴的另一个交点为，

故设二次函数的表达式为，

函数另外两点坐标，

可得方程组，

解得方程组得，

所以二次函数表达式为．

故答案为B．

【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法和二次函数的对称轴的问题，同时考查学生解方程组的知识，是比较常见的题目．

7. 如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（　　）

A. 70° B. 80° C. 110° D. 140°

【答案】C

【解析】

分析：作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．

详解：作对的圆周角∠APC，如图，

∵∠P=∠AOC=×140°=70°

∵∠P+∠B=180°，

∴∠B=180°﹣70°=110°，

故选C．

点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

8. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：

有以下几个结论：

①抛物线的开口向上；

②抛物线的对称轴为直线；

③关于x的方程的根为和；

④当y＜0时，x的取值范围是＜x＜．

其中正确的是（   ）

A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ③④

【答案】C

【解析】

【分析】

根据表格信息，可得抛物线经过两点，结合抛物线的对称性，解得抛物线的对称轴，再由表格信息知抛物线与x轴的其中一个交点为，结合对称性解得抛物线与x轴的另一个交点，即可判断抛物线的开口方向及关于x的方程的两个根，结合图象可得当y＜0时，x的取值范围．

【详解】由表格信息得，抛物线经过，结合抛物线的对称性可得

抛物线对称轴为，

故②正确；

因为抛物线经过点，即抛物线与x轴的一个交点为，根据抛物线的对称性可得，

抛物线与x轴的另一个交点为，

抛物线开口向下，

故①错误；

故关于x的方程的根为和，

故③正确；

当y＜0时，抛物线在x轴的下方的图象有两部分，即或，

故④错误，

因此正确的有：②③，

故选：C．

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9. 方程组的解是__________．

【答案】．

【解析】

【分析】

根据方程组的特点，选加减消元法．

【详解】解：在方程组中，

①②得：，

解得：．

代入①得：．

即原方程组的解为．

【点睛】要根据方程组特点，选择适当的解法．

10. 一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若⊙O中直径为52cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_______________cm．

【答案】16

【解析】

【分析】

连接OA，过O点作，垂足为H，交于点C，由垂径定理求出AH，根据勾股定理求出OH，即可求出最大深度CH.

【详解】解：如图

连接OA，过O点作，垂足为H，交于点C

∵的直径为52cm

∴OA=OC=26cm

∵，且过O点

∴OC垂直且平分AB

∴AH=24cm

根据勾股定理

得OH=10cm

∴CH=OC-OH=26-10=16cm

所以水的最深为16cm

【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟记概念是解题的关键.

11. 小明为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A、B之间的距离，在垂直AB的方向BC上确定点C，测得BC＝45m，∠C＝40°，从而计算出AB之间的距离．则AB＝_______________．（精确到0.1m）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】37.8m．

【解析】

【分析】根据题意可知，在直角三角形ABC中，利用，根据已知条件代入，从而可以求得AB的长．

【详解】由题意知：，

则为直角三角形，

中，，

∵BC＝45m，，

∴，

∴m，

故答案为：37.8m．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．

12. 如图，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC ________2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）

【答案】＜

【解析】

【分析】

利用圆心角、弧、弦的关系得到AB=BC=CD，然后根据三角形三边的关系可得到AC与2CD之间的关系．

【详解】解：连接AB、BC，如图，

∵ ，
∴AB=BC=CD，
∵AB+BC＞AC，
∴2CD＞AC，

即AC＜2CD．
故答案为：＜．

【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝9，AC＝6，则cos∠DCB ＝________________ ． 

【答案】

【解析】

【分析】

首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB，然后根据余弦的定义求出cosA即可．

【详解】解：在Rt△ABC中，

∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B=90°，

∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠DCB，
而cosA=＝=，
∴cos∠DCB=．
故答案为：．

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．

14. 如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是________米．

【答案】5

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质求解．

【详解】由可得，当t=6时，h最大=5，
所以小球距离地面的最大高度是5米，
故答案为：5．

【点睛】考查了函数的最值的求法，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．

15. 在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜ x2＜0，y1＞ y2写出一个符合条件的函数表达式________________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据反比例函数的性质得出k的符号，据此解答即可．

【详解】解：∵x1＜x2＜0，y1＞y2，

∴反比例函数在其中一分支上呈下降趋势，
∴此函数图象的两个分支分别在第一、三象限，
∴k＞0．

∴函数表达式可以是（答案不唯一）．
故答案是：（答案不唯一）．

【点睛】本题考查的是反比例函数的增减性，熟知反比例函数性质是解答此题的关键．

16. 如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为_______________．

【答案】1或3或8

【解析】

【分析】

根据相似三角形的性质列方程求解，但这里没有指明对应边，故要分两种情况进行讨论.

【详解】解：设AP=x，则BP=9-x，

（1）当AC与BP是对应边时，

∵△ACP∽△BPD，

∴

∵AC=2，BD=4，AP=x，BP=9-x，

∴

解得，x1=1，x2=8．

（2）当AC与BD是对应边时，

∵△ACP∽△BDP，

∴

∵AC=2，BD=4，AP=x，BP=9-x，

∴

解得；x=3．

综上所述，AP的长为1或3或8．

故答案为：1或3或8．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．

三、解答题（本题共52分，其中第17－20题每小题5分，第21－23题每小题6分，第24，25题每小题7分）

17. 解不等式组：．

【答案】．

【解析】

分析：分别解不等式，找出解集的公共部分即可.

详解：

由①得，，

由②得，，

∴不等式的解集为．

点睛：考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.

18. 计算：．

【答案】

【解析】

【分析】

利用绝对值的性质，零指数幂，特殊角的三角函数值进行化简，再根据实数的混合运算的法则进行计算．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了实数的运算，绝对值的性质，零指数幂，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．

19. 已知：如图，点M为锐角∠APB的边PA上一点．

求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．

作法：①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB 于点D点；

②作射线MD．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：∵P、C、D都在⊙M上，

 ∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，

∴∠P＝∠CMD（ ）（填推理依据）．

∴∠AMD ＝2∠P．

【答案】（1）作图见解析；（2）同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

【解析】

分析】

（1）按提示作法依次作图即可得到答案；

（2）由分别是所对的圆周角与圆心角，再利用同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，从而可得结论．

【详解】解：（1）如图，即为所求作的角，

（2）证明：∵P、C、D都在⊙M上，

 ∠P为所对的圆周角，∠CMD为所对的圆心角，

∴（ 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）

∴．

故答案为：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

【点睛】本题考查的是作一个角等于已知角的倍，同时考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．

20. 已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD ＝2，BD ＝3，求AC、DC的长．

【答案】；DC=3．

【解析】

【分析】

根据相似三角形的性质及角平分线的定义即可求解．

【详解】证明： 如图

∵△ABC∽△ACD，

∴∠1=∠B，

又∵CD是平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠B，

∴BD=DC．

∵BD=3，

∴DC=3；

又∵AD =2，BD =3，

∴AB=5

由

得

即=2×5=10

∴．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质即角平分线性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质及角平分线的定义．

21. 一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上．若继续沿正北方向航行，求航行过程中船距灯塔S的最近距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

【答案】10.4海里

【解析】

【分析】

过点S作SC⊥AB于点C，根据三角形外角性质可得BS=AB=12，在Rt△CSE中，运用正弦函数即可求出SC．

【详解】（1）解：过点S作SC⊥AB于点C，

依题意可知∠1=30°，∠3=60°，AB=12，

∴∠2=30°，BS=AB=12，

在Rt△CSE中，∠SCB=90°，sin∠3=， ∠3=60°，

∴CS=BS× sin∠3

=12×sin60°

=12×≈12×1.73×=10.38≈10.4 （海里），

答：航行过程中船距灯塔S的最近距离是10.4海里．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够发现△ABS是等腰三角形，并正确运用三角函数解直角三角形是解题的关键．

22. 已知： AB为⊙O的直径，点D为弧BC的中点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接CB．

（1）求证：BC∥DE；

（2）若cosE＝， DE ＝20，求BC的长．

【答案】（1）见解析；（2）24

【解析】

【分析】

（1）连结OD，根据切线的性质得出OD⊥DE，再根据垂径定理的推论得出OD⊥BC，即可得出结论

（2）先根据已知cosE＝得出OD=15，AB=30，再由（1）得出∠ABC =∠E，再根据三角函数值即可得出BC的长

【详解】（1）证明：连结OD

∵DE切⊙O于点D，

∴OD⊥DE，

又∵点D为弧BC的中点，

∴OD⊥BC，

∴BC//DE．

（2）连接AC，

在Rt△OED中，∠ODE=90°，cosE=，

∴，

∵DE =20，

∴OE=25，

∴OD=15，AB=30，

∵BC//DE，

∴∠ABC =∠E，

∴cos ∠ABC=，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cos ∠ABC=，

∴BC=24．

【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理的推论以及解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．

23. 在平面直角坐标系xOy中，有抛物线（） ．

（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；

（2）过点A（0，1）作y轴的垂线l，点B在直线l上且横坐标是2m＋1

①若m的值等于1，求抛物线与线段AB的交点个数；

②若抛物线与线段AB只有一个公共点，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）(m，0) ；（2）①2个；②

【解析】

【分析】

（1）直接对原解析式进行配方变形为顶点式即可得出结论；

（2）①当m=1时，可先求出此时抛物线的解析式，再结合A，B的坐标分析即可；

②可先求解出抛物线与直线相交的两个交点的坐标表达式，再分类讨论即可．

【详解】（1）抛物线可化为

∴顶点坐标为(m，0) ．

（2）①当m=1，抛物线为，点A(0，1)，B点坐标为(3，1)，

令，则，

∴，或

∴抛物线与直线l的交点为(0，1)，(2，1)，两点均在线段AB上，

∴抛物线与线段AB有2个交点．

②当时，可解得：或，

∵，

∴，

即：抛物线与直线l左交点的横坐标为，右交点的横坐标为，

i>，即：，此时无解，舍去；

ii>，即：，故解集为：，

∴m的取值范围是．

【点睛】本题考查将二次函数一般式化为顶点式，以及函数图象平移过程中与直线交点问题，理解二次函数的基本性质是解题关键．

24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为线段BC上一动点（不与点B， C重合），作射线AD、AB，将射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线，，过点B作BC的垂线，分别交射线，于点E，F．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：AB＝AF；

（3）用等式表示线段AC，BD与BE之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BE+BD=2AC，见解析

【解析】

【分析】

（1）按照要求画图即可；

（2）证∠ABF=∠AFB=45°即可；

（3）证△DAB≌△EAF，得BD=EF，BE+BD=BE+EF=BF，再根据等腰直角三角形的性质，BF=AB=2AC．

详解】解：（1）作图如下：

（2）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠1= 45°，

∵BF⊥BC，

∴∠CBF= 90°，

∴∠2= 45°，

∵射线AB绕点A顺时针旋转90°得到射线，

∴∠BAF= 90°，

∴∠3= 45°=∠2，

∴AB=AF．

（3）BE+BD=2AC．

证明：∵射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线，，

∴∠DAE=∠BAF= 90°，

∴∠4=∠5，

又∵∠1=∠3，AB=AF，

∴△DAB≌△EAF ，

∴BD=EF，BF=BE+BD，

在Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ABF中，BF=AB，

∴BF=2AC，

∴BE+BD =2AC．

【点睛】本题考查了旋转作图、等腰三角形的判定、勾股定理和全等三角形的判定，综合性较强，两个等腰直角三角形的直角顶点重合必出全等三角形是解题关键．

25. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”如下图所示．

（1）已知点A的坐标是（1，3）．

①在（－3，－1），（2，2），（3，3）中，是点A的“正轨点”的坐标是         ．

②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标 ．

（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x＋2上，求点B的“正轨点”的坐标；

（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x＋m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）①（-3，-1）或（2，2）；②（-1，1）；（2）或（-3，-4）；（3）且

【解析】

【分析】

（1）①根据题中“正轨点”的定义求解即可；

②根据题中“正轨点”的定义，写出一个点A的“正轨点”的坐标，验证即可；

（2）根据点B（1，0）的“正轨点”在直线y=2x+2上，列出方程组即可得出结果；

（3）分情况讨论①若H在C的右上方；②若H在C的左上方；③若H在C的左下方；④若H在C的右下方，解得即可．

【详解】解：（1）①由图得点A与点（－3，－1），（2，2）的连线都可以是边与坐标轴垂直的正方形的对角线，
∴点A的“正轨点”的坐标（-3，-1），（2，2）；

②（-1，1），∵(3-1)×=4，

∴（-1，1）符合要求；

（2）∵点B（1，0）的“正轨点”在直线y=2x+2上，

∴或．

∴或

∴点B的“正轨点”的坐标是，（-3，-4）

（3）设C的“正轨点”为H(n,2n+m)，

①若H在C的右上方，此时m＜0，

则n-m=2n+m，n=-2m，

∴H(-2m，-3m)，

∵(-2m-m)(-3m-0)＜4，

∴9m²＜4，m²＜，

∴-，

∴；

②若H在C的左上方，此时m＞0，

m-n=2n+m，3n=0,n=0，

∴H(0，m)，而C(m，0)，

∴m×n＜4，

∴-2＜m＜2，

∴；

③若H在C的左下方，此时m＞0，

m-n=0-(2n+m)，n=-2m，

∴H(-2m,-3m)，而C(m，0)，

∴(m+2m)(0+3m)＜4，

∴9m²＜4，m²＜，

∴-，

∴；

④若H在C的右下方，此时m＜0，

n-m=0-(2n+m)，n=0，∴H(0，m)，而C(m,0)，

∴(0-m)(0-m)＜4，m²＜4，

∴-2＜m＜2，

∴-2＜m＜0；

综上所述：且．

【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，正方形的性质以及一次函数解析式，解题的关键是：运用分类讨论的思想解决问题．