2021北京五中分校初三（上）期中数学（教师版）

2021北京五中分校初三（上）期中

数    学

第I卷（选择题）

一、单选题（共30分，每小题3分）第1- 10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 

1. 已知点 在圆外，它到圆的最近距离是 ，到圆的最远距离是 ，则圆的半径为

A.  B.  C.  D.

2. 往水平放置的半径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度 ，则水的最大深度为

A.  B.  C.  D.

第2题                   第3题

3. 如图，正六边形 的边长为 ，以 为圆心， 的长为半径画弧，得 ，连接 ，，则图中阴影部分的面积为              

  B.

C.   D.

4. 如图，直线 与半径为 的 相切于点 ， 是 上一点，且 ，弦 ，则 的长度为

A.  B.  C.  D.

第4题                第5题

5. 如图，点 是 外一点， 为 的一条割线，且 ， 交 于点 ，若 ，，则 长为

A.  B.  C.  D.

6. 已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ，，且 ，则 的值为

A. B.  C.  D.

7. 若关于 的一元二次方程 无实数根，则一次函数 的图象不经过

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8. 如图，将函数 的图象沿 轴向上平移得到新函数的图象，其中点 ， 平移后的对应点分别为点 ，．若曲线段 扫过的面积为 （图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是

A.  B.

C.  D.

第8题                 第9题

9. 如图，正方形 的对角线 与 相交于点 ，将 绕点 顺时针旋转，设旋转角为，角的两边分别与 ， 交于点 ，，连接 ，，，下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ；其中正确结论的个数是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，， 是 的中点， 是以点 为圆心， 为直径的半圆上的一个动点（点 与点 ， 可以重合），连接 ，过 作 于点 ，设 ，，则下列图象中，能表示 与 的函数关系的图象大致是

A.  B.

C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（共24分，每小题4分）

11. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是                ．

12. 如图， 是 的内接正六边形的一边，点 在 上，且 是 的内接正十边形的一边．若 是 的内接正 边形的一边，则                 ．

第12题                 第13题

13. 如图，在 中，弦 ，点 在 上移动，连接 ，过点 作 交 于点 ，则 的最大值为                ．

14. 如图，抛物线 与直线 交于 ， 两点，则不等式 的解集是                ．

第14题                           第15题

15. 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径 长为 ．母线 长为 ．在母线 上的点 处有一块爆米花残渣，且 ，一只蚂蚁从杯口的点 处沿圆锥表面爬行到 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为                 ．

16. 已知在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ， 是抛物线 对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使 为直角三角形的点 的个数也随之确定，若抛物线 的对称轴上存在 个不同的点 ，使 为直角三角形，则 的值是                ．

三、解答题（共46分，第17-18题7分，第19-22题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17. 某地出土的明代残破圆形瓷盘如图所示，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．（不要求写作法，保留作图痕迹）

18. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象向右平移 2 个单位长度得到．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于一次函数 的值，直接写出 的取值范围．

19. 如图， 是 的直径， 与 相切于点 ．点 在 上，且 ，连接 交 于点 ．过点 作 于点 ，交 于点 ，交 于点 ．

（1）求证：；

（2）连接 ，若 ，，求 的长．

20. 在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为 ，其中 ．

（1）若此函数图象过点 ，求这个二次函数的表达式．

（2）若 ， 为此二次函数图象上两个不同点．

①若 ，则 ，试求 的值．

②当 ，对任意的 ， 都有 ，试求 的取值范围．

21．已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．

（1）如图1，求∠BDC的度数（用含α的式子表示）.

（2）如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD；

（3）如图3，当α=90°时，记直线l与CD的交点为F，连接．将直线l绕点A旋转，求线段BF的最大值．

图1                           图2                       图3

22．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．

（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是　   　；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点　   　的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；

（2）若点A，B都在直线yx+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；

（3）若点A的坐标为（2，），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．

2021北京五中分校初三（上）期中数学

参考答案

一、单选题（共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．【分析】搞清楚点到圆上点的最近距离与到圆上点的最远距离的关系为差为直径为圆外一点），本题易解．

【解答】解：为圆外一点，且点到圆上点的最近距离为，到圆上点的最远距离为，则圆的直径是，因而半径是．

故选：．

【点评】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径，然后确定圆的半径．

2．【分析】连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．

【解答】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：

，

，

，

在中，，

，

即水的最大深度为，

故选：．

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

3．【分析】由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．

【解答】解：正六边形的边长为2，

，，

，

，

过作于，

，，

在中，

，

，

同理可证，，

，

，

图中阴影部分的面积为，

故选：．

【点评】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．

4．【分析】作辅助线，连接与．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，可知；又，可知，最后由勾股定理可将的长求出．

【解答】解：连接和，且与的交点为．

，

．

与相切，

，

又，

，即为直角三角形．

在中，，

，

．

故选：．

【点评】本题主要考查切线的性质及直角三角形的勾股定理．

5．【分析】设，延长交圆于点．根据切割线定理得即可求得的长，也就得到了的长．

【解答】解：设，延长交圆于点．

，，，

，

．

故选：．

【点评】根据切割线定理列方程求解．

6．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可．

【解答】解：，

，

，

把代入得：，

解得：，

故选：．

【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．

7．【分析】一次函数的图象，根据、的取值确定直角坐标系的位置．

在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：

（1）二次项系数不为零；

（2）在无实数根下必须满足△．

【解答】解：一元二次方程无实数根，说明△，即，

解得，所以，，故一次函数的图象不经过第三象限．

故选：．

【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△方程有两个不相等的实数根；

（2）△方程有两个相等的实数根；

（3）△方程没有实数根．

对于一次函数，当，时，它的图象经过一、二、四象限．

8．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出、两点的坐标，再过作轴，交的延长线于点，则，，，根据平移的性质以及曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出，然后根据平移规律即可求解．

【解答】解：函数的图象过点，，

，，

，，，

过作轴，交的延长线于点，则，，

，

曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），

，

，

即将函数的图象沿轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，

新图象的函数表达式是．

故选：．

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出是解题关键．

9．【分析】由“”可证，可得，，由余角的性质可判断②，由点，点，点，点四点共圆可判断①，由“”可证，由勾股定理可判断④．

【解答】解：四边形是正方形

，，，

将绕点顺时针旋转，

，且，

，

故②正确

点，点，点，点四点共圆

故①错误

，，

故③正确

，

，

；

故④正确

故选：．

【点评】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

10．【分析】连接，根据圆周角定理得到，证明，根据相似三角形的性质得到，得到，根据二次函数的图象判断．

【解答】解：连接，

为圆的直径，

，

，

，

，又，

，

，即，

解得，，

，

故选：．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用圆周角定理得到．

二、填空题（共24分，每小题4分）

11．【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．

【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

解得：且．

故答案为：且．

【点评】本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．

12．【分析】根据中心角的度数边数，列式计算分别求出，的度数，则，则边数中心角．

【解答】解：连接，

是内接正六边形的一边，

，

是内接正十边形的一边，

，

，

；

故答案为：15．

【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正十边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．

13．【分析】连接，如图，利用勾股定理得到，利用垂线段最短得到当时，最小，再求出即可．

【解答】解：连接，如图，

，

，

，

当的值最小时，的值最大，

而时，最小，此时、两点重合，

，

即的最大值为，

故答案为：．

【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点的位置是解此题的关键．

14．【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．

【解答】解：抛物线与直线交于，两点，

，，

如图，设抛物线与直线交于、两点，

抛物线与直线交于，两点，

观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，

即的解集为或．

故答案为：或．

【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据观察两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．

15．【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

【解答】解：因为，

所以底面周长，

将圆锥侧面沿剪开展平得一扇形，此扇形的半径，弧长等于圆锥底面圆的周长

设扇形圆心角度数为，则根据弧长公式得：

，

所以，

即展开图是一个半圆，

因为点是展开图弧的中点，

所以，

连接，则就是蚂蚁爬行的最短距离，

在中由勾股定理得，

，

所以，

即蚂蚁爬行的最短距离是．

【点评】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

16．【分析】由题意是直角三角形，当对称轴或时，可知一定存在两个以，为直角顶点的直角三角形，当对称轴或时，不存在满足条件的点，当以为直径的圆与抛物线的对称轴相切时，对称轴上存在1个以点为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，利用图象法求解即可．

【解答】解：是直角三角形，

当对称轴或时，一定存在两个以，为直角顶点的直角三角形，且点在对称轴上的直角三角形，

当对称轴或时，不存在满足条件的点，

当以为直径的圆与抛物线的对称轴相切时，对称轴上存在1个以为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形（如图所示）．

观察图象可知，或4，

或，

故答案为：2或．

【点评】本题考查二次函数的性质，直角三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是判断出对称轴的位置，属于中考填空题中的压轴题．

三、解答题（共46分，第17-18题7分，第19-22题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．【分析】根据垂径定理，在残破的圆形瓷盘上任取两个弦，分别作弦的垂直平分线即可．

【解答】解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，

垂直平分弦的直线一定过圆心，

所以作出两弦的垂直平分线即可．

【点评】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．

18．【分析】（1）根据平移的规律即可求得．

（2）根据点结合一次函数的性质即可求得．

【解答】解：（1）函数的图象向右平移2个单位长度得到，

这个一次函数的解析式为．

（2）把代入，得，

函数与一次函数的交点为，

把点代入，求得，

当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，

．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟知一次函数的性质是解题的关键．

19．【分析】（1）由题意得，则，又，则结论得证；

（2）连，，可得，可证，则，可求的长．

【解答】（1）证明：与相切于点，

，

，

，

，

，

，

；

（2），是的直径，

，

，

，

，

，即，

，，，

．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．

20．【分析】（1）直接将点代入即可；

（2）①利用等式的性质，求解；②由已知当，对任意的，都有，则在时，二次函数是递增的，结合图象即可求解；

【解答】解：（1）函数图象过点，

将点代入，

解得，

二次函数的解析式为；

（2）①，，为此二次函数图象上两个不同点

，

，

，

，

，

，

；

②函数的对称轴是直线，

，对任意的，都有，

当，时，；

；

当时，不符合题意舍去；

；

【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征．能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键．

21．【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得，即可证点，，在以点为圆心，为半径的圆上；

②由等腰三角形的性质可得，可求的度数；

（2）连接，由题意可证，是等边三角形，可得，，，根据“”可证，可得；

（3）取的中点，连接，，，由三角形的三边关系可得，当点，点，点三点共线时，最长．

【解答】（1）解：如图1，连接，并延长交于点，

点关于直线的对称点为点，

，且，

，

点，，在以点为圆心，为半径的圆上，

；

（2）证明：如图2，连接，

，，

是等边三角形，

，，

，

，

，

，

点关于直线的对称点为点，

，且

是等边三角形，

，，

，

，，

，

；

（3）如图3，取的中点，连接，，．

在中，，

当点，点，点三点共线时，最长，

过点作于点，设，则，，，

，

此时．

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．

22．【分析】（1）根据平移的性质，以及线段到的“平移距离”的定义判断即可．

（2）如图1中，作等边，点在轴上，，设直线交轴于，交轴于．则，，，过点作于，解直角三角形求出即可判断．

（3）如图2中，以为圆心1为半径作，作直线交于，交于，以，为邻边构造平行四边形，以为边构造等边和等边△，则，的长即为线段到的“平移距离”，点与重合时，的值最小，当点与重合时，的长最大，如图3中，过点作于．

解直角三角形求出即可．

【解答】解：（1）如图，平移线段得到的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是；在点，，，中，连接点与点的线段的长度等于线段到的“平移距离”．

故答案为：，．

（2）如图1中，作等边，点在轴上，，

设直线交轴于，交轴于．则，，，

过点作于，

，，

，

，

，

观察图象可知，线段到的“平移距离”为的最小值为．

（3）如图2中，以为圆心1为半径作，作直线交于，交于，

以，为邻边构造平行四边形，以为边构造等边，等边△，则，的长即为线段到的“平移距离”，

当点与重合时，的值最小，最小值，

当点与重合时，的长最大，如图3中，过点作于．

由题意，，

的最大值，

．

【点评】本题属于圆综合题，考查了平移变换，一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，线段到的“平移距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．