2021北京西城初三二模数学（教师版）

2021北京西城初三二模

数    学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1．（2分）“沿着高速看中国”，镶嵌于正阳门前的“中国公路零公里点”标志牌见证了中国高速公路从“零”出发的跨越式发展．截至2020年底，我国高速公路总里程已达160000公里．将160000用科学记数法表示应为　　

A． B． C． D．

2．（2分）下列图形中是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

3．（2分）以下变形正确的是　　

A． B． C． D．

4．（2分）若如图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是　　

A．正三棱柱 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥

5．（2分）半径为，圆心角为的扇形的面积等于　　

A． B． C． D．

6．（2分）若相似三角形的相似比为，则面积比为　　

A． B． C． D．

7．（2分）密云水库是首都北京重要水源地，水源地生态保护对保障首都水源安全及北京市生态和城市可持续发展具有不可替代的作用，以下是年密云水库水体面积和年降水量变化图．

对于现有数据有以下结论：

①2004年的密云水库水体面积最小，仅约为；

②年，密云水库的水体面积呈持续增加趋势，表明水资源储备增多；

③在年中，2020年的密云水库水体面积最大，约为；

④在年中，密云水库年降水量最大的年份，水体面积也最大．

其中结论正确的是　　

A．②③ B．②④ C．①②③ D．③④

8．（2分）如图，，点在射线上，．点在射线上运动（点不与点重合），连接，以点为圆心，为半径作弧交射线于点，连接．若，，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．（2分）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　．

10．（2分）分解因式：　　．

11．（2分）50件外观相同的产品中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是　　．

12．（2分）在平面直角坐标系中，直线与轴的交点的坐标为　　．

13．（2分）如图，直线为线段的垂直平分线，垂足为，直线上的两点，位于异侧，两点不与点重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是　　．

14．（2分）图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两部分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形中，，在对角线上截取，连接，，可将菱形分割为“风筝”（凸四边形和“飞镖”（凹四边形两部分，则图2中的　　．

15．（2分）从1，2，3，4，5中选择四个数字组成四位数，其中，，，分别代表千位、百位、十位、个位数字，若要求这个四位数同时满足以下条件：①是偶数；②；③，请写出一个符合要求的数　　．

16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线，直线，直线交于点，交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线，交于点，过点作轴的垂线交于点，，按此方式进行下去，则的坐标为　　，的坐标为　　（用含的式子表示，为正整数）．

三、解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．（5分）计算：．

18．（5分）解不等式：．

19．（5分）已知，求代数式的值．

20．（6分）已知关于的方程有两个实数根．

（1）求的取值范围；

（2）当取最大整数时，求此时方程的根．

21．（5分）下面是小华设计的“作的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．

22．（5分）如图，在中，，为的角平分线，，，连接．

（1）求证：四边形为矩形；

（2）连接，若，，求的长．

23．（5分）在平面直角坐标系中，直线，函数的图象为．

（1）若在函数的图象上，求直线对应的函数解析式；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线，图象和直线围成的区域（不含边界）为图形．

①在（1）的条件下，写出图形内的整点的坐标；

②若图形内有三个整点，直接写出的取值范围．

24．（6分）某大学共有9000名学生，为了解该大学学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方式调查了150名学生，并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析下面是其中的部分信息：

．所调查的150名学生最常用的一种阅读方式统计图如图1．

．选择手机阅读为最常用的一种阅读方式的学生中，平均每天阅读时长统计表如表1；

表1 使用手机阅读的学生平均每天阅读时长统计表

．使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长在这一组的具体数据如下：

60  60  66  68  68  69  70  70  72  72  72  73  75  80  83  84  85

根据以上信息解答下列问题：

（1）图1中　　，表1中　　；

（2）使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长的中位数是　　，平均每天阅读时长在这一组的数据的众数是　　；

（3）根据所调查的这150名学生的阅读情况，估计该校使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长少于半小时的人数．

25．（6分）如图，在中，，点在上，，点在上，以点为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，交于点，．

（1）求证：为的切线；

（2）若的半径为3，，求的长．

26．（6分）在平面直角坐标系中，，为抛物线上两点，其中．

（1）求抛物线与轴的交点坐标；

（2）若，点，点在抛物线上运动，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，当为等腰直角三角形时，求的值；

（3）记抛物线在，两点之间的部分为图象（包含，两点），若图象上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出的取值范围．

27．（7分）如图，在中，，，点为外一点，点与点位于直线异侧，且，过点作，垂足为．

（1）当时，在图1中补全图形，并直接写出线段与之间的数量关系；

（2）如图2，当时，

①用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；

②在线段上取一点，使得，画出图形并直接写出此时的值．

28．（7分）对于平面内的点，如果点，点与点所构成的是边长为1的等边三角形，则称点，点为点的一对“关联点”．进一步地，在中，若顶点，，按顺时针排列，则称点，点为点的一对“顺关联点”；若顶点，，按逆时针排列，则称点，点为点的一对“逆关联点”．已知．

（1）在，，，，中，点的一对关联点是　　，它们为点的一对　　关联点（填“顺”或“逆” ；

（2）以原点为圆心作半径为1的圆，已知直线．

①若点在上，点在直线上，点，点为点的一对关联点，求的值；

②若在上存在点，在直线上存在两点，和，，其中，且点，点为点的一对顺关联点，求的取值范围．

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．

【解答】解：．

故选：．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

2．【分析】根据中心对称图形的概念求解．

【解答】解：、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

、是中心对称图形，故本选项符合题意；

、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选：．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐个判断．

【解答】解：，

错误．

．

错误．

．

错误．

，．

故正确．

故选：．

【点评】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是求解本题的关键．

4．【分析】由平面图形的折叠及正三棱柱的展开图的特征作答．

【解答】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是正三棱柱．

故选：．

【点评】考查了几何体的展开图，解题时勿忘记正三棱柱的特征．

5．【分析】利用扇形的面积公式即可求解．

【解答】解：扇形的面积是：．

故选：．

【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．

6．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．

【解答】解：两个相似三角形的相似比为，相似三角形面积的比等于相似比的平方是．

故选：．

【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．

7．【分析】根据图形中表示的含义，代入到各个选项判断正误即可．

【解答】解：①2004年的水体面积超过60，不符合题意；

②符合题意；

③符合题意；

④降水量最大的年份是2012年，水体面积最大的年份是2020年，不符合题意．

故选：．

【点评】此题考查的是直方图，仔细审题判断，只要粗略计算即可．

8．【分析】此题属于选择题，可以通过推理和代入特殊值得出答案，点在射线上运动，随着的变大先变小后变大，再确定最小值大概的位置即可确定大致图象．

【解答】解：由题知，点在射线上运动，，，

随着增大值先变小后变大，

故选项、错误，

在和选项中当时对应函数值差别较大，

选当时为特殊值求此时的函数值，

作于，作于，

，，，

，，，

，

，

，

，，

，

，

观察选项和的图象可以发现的图象符合，

故选：．

【点评】本题主要考查动点函数图象问题，用特值法判断函数图象是解决此题的关键．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．【分析】直接利用二次根式的定义求出的取值范围．

【解答】解：若式子在实数范围内有意义，

则，

解得：，

则的取值范围是：．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．

10．【分析】首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．

【解答】解：

．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．

11．【分析】直接根据概率公式求解．

【解答】解：件外观相同的产品中有2件不合格，

从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是；

故答案为：．

【点评】本题考查了概率公式：随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

12．【分析】令解析式中的，求得的值即可得到结论．

【解答】解：令，

则．

．

直线与轴的交点的坐标为．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了一次函数的图象上的点的坐标的特征．

13．【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．

【解答】解：条件可以是，

理由是：直线是线段的垂直平分线，

，

在和中

，

，

故答案为：（答案不唯一）．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．

14．【分析】由菱形的性质可求，，由等腰三角形的性质可求解．

【解答】解：四边形是菱形，，

，，

，

，

，

故答案为144．

【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．

15．【分析】由是偶数，求出或，再分两种情况，求解即可得出结论．

【解答】解：是偶数，

或，

当时，，

，

，

，

，，或，，，

四位数为5412或4312；

当时，，

，

，

，

，，或，，，

四位数为5324或5214，

即符合条件的四位数为5412或4312或5324或5214，

故答案为5412或4312或5324或5214（填其中的一个即可）．

【点评】此题主要考查了偶数的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

16．【分析】根据直线，直线，直线交于点，交于点，可得，，，，过点作轴的垂线交于点，可得的纵坐标为，过点作轴的垂线，交于点，可得，，过点作轴的垂线交于点，，进而发现规律即可得的坐标为，．

【解答】解：直线，直线，直线交于点，交于点，

，，，，

的纵坐标为，

，，

，，

同理：，，，，

，，，，

，

的坐标为，．

故答案为：，，，．

【点评】此题考查规律型：点的坐标，一次函数的性质，两条直线相交或平行问题，关键是利用一次函数的性质解决问题．

三、解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

【解答】解：原式

．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18．【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，求出解集即可．

【解答】解：去分母，得，

移项得，

合并，得，

系数化为1，得．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

19．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据已知等式可得答案．

【解答】解：原式

，

，

，

则原式．

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

20．【分析】（1）根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．

（2）由（1）中的取值范围得出符合条件的的最大整数值，代入原方程，利用因式分解法即可求出的值．

【解答】解：（1）关于的方程有两个实数根，

，

解得：且．

（2）当时，方程为：，即，

解得：．

【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．

21．【分析】根据要求作出图形，再利用圆周角定理可证，利用垂径定理可证．

【解答】解：如图，射线即为所求作．

理由：是直径，

（直径所对的圆周角是直角），

，

，，

平分．

故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，．

【点评】本题考查作图复杂作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

22．【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由等腰三角形的性质得，则，即可得出平行四边形为矩形；

（2）由等腰三角形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由矩形的性质求解即可．

【解答】（1）证明：，，

四边形是平行四边形，

，为的角平分线，

，

，

平行四边形为矩形；

（2）解：，为的角平分线，

，，

，

，

由（1）得：四边形为矩形，

．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．

23．【分析】（1）把代入中可得的值，从而求得直线对应的函数解析式；

（2）①画图可得整点的个数；

②画图计算边界时的值，可得的取值范围．

【解答】解：（1）把代入得，

，

直线对应的函数解析式为；

（2）①解方程得（舍去），，则直线与函数的图象的交点为，

如图1所示，区域内的整点有一个；

②如图2，当时，则直线，函数经过点、、，此时图形内有，，三个整点；

当时，则直线，函数经过点和，此时图形内有，两个整点，

当时，则直线，函数经过点和，此时图形内有一个整点；

当时，则直线，函数经过点，此时图形内没有整点；

当时，则直线，函数，此时图形内有、两个整点；

当时，则直线，函数此时图形内有、、个整点；

观察图象可知：当或时，区域内有三个整点．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．

24．【分析】（1）根据百分比之和为1可求得的值，用总人数乘以使用手机阅读对应的百分比得出使用手机阅读的人数，再减去其它分组的人数即可求出的值；

（2）根据中位数和众数的概念求解即可；

（3）用总人数乘以使用手机阅读时间不超过半小时人数占被调查人数的比例即可．

【解答】解：（1），

，

故答案为：，19；

（2）使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长的中位数是第26个数据，

使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长的中位数是60，

平均每天阅读时长在这一组的数据的众数是72，

故答案为：60、72；

（3）根据所调查的这150名学生的阅读情况，估计该校使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长少于半小时的人数（人．

【点评】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

25．【分析】（1）由圆周角定理得出，由直角三角形的性质得出，则可得出结论；

（2）由勾股定理求出，设，则，得出，求出，由勾股定理可得出答案．

【解答】（1）证明：，，

，

，

，

，

，

，

，

，

为的切线；

（2）解：，

，

，

，

，

设，则，

在中，，

，

解得，

，，

，

．

【点评】本题考查了切线的判定，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．

26．【分析】（1）令，解得或，即可求解；

（2）由题意得，此时点的坐标为，再利用，即可求解；

（3）①当点、在对称轴同侧时，当点、均为对称轴的右侧时，即，则，进而求解；当点、均在对称轴左侧时，同理可解；②当点、在对称轴两侧时，同理可解．

【解答】解：（1）令，解得或，

故抛物线与轴的交点坐标为或；

（2）由题意得，此时点的坐标为，

为等腰直角三角形，故，

则，

，

解得或；

（3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为，，

①当点、在对称轴同侧时，

当点、均为对称轴的右侧时，即，

则，

，解得；

当点、均在对称轴左侧时，可得：；

；

②当点、在对称轴两侧时，

则最小值为，最大值为或，

当最大值为时，则，

即，解得或（舍去），

则与点关于抛物线对称轴对称的点的横坐标为，

故点的横坐标在和之间，即，

解得；

当最大值为时，同理可得，；

故；

综上，．

【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形性质、解不等式等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

27．【分析】（1）首先画出图形，得出和重合，根据等腰直角三角形的性质即可求解；

（2）①根据等腰直角三角形的性质，可得与的关系，根据相似三角形的判定与性质，可得与的关系，根据等量代换，可得答案；

②延长、交于点，先证，据相似三角形的性质可得，再证，据相似三角形的性质可得，根据等腰直角三角形的性质即可求解．

【解答】解：（1）如图1，

，，

，

，

，，

，

，

，

和重合，

，

；

（2）①，

证明：过点作于点，

，

，

，

．

，

又，

．

又，

，

，

，

；

②延长、交于点，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

【点评】本题是三角形综合题，考查了相似形三角形的判定与性质，利用了等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．

28．【分析】（1）画出图形，可得是等边三角形，根据“关联点”以及“顺关联点”，“逆关联点”的定义判断即可．

（2）①如图中，点，点为点的一对关联点，有三种情形如图所示，求出直线经过原点，，，，的值即可．

②如图中，当直线与相切于，时，解析法分别为：，．以为边向上构造等边三角形（边长，当等边三角形与有交点时，满足条件（这个交点为点，求出两种特殊位置，的值可得结论．

【解答】解：（1）如图1中，

观察图象可知，是边长为1的等边三角形，

点的一对关联点是，，是点的一对顺关联点．

故答案为：，，顺．

（2）①如图中，点，点为点的一对关联点，有三种情形如图所示，

当直线经过原点，满足条件，此时．

当直线经过点，满足条件，此时．

当直线经过点，，满足条件，此时．

综上所述，满足条件的的值为0或或．

②如图中，当直线与相切于，时，解析法分别为：，．

以为边向上构造等边三角形（边长，当等边三角形与有交点时，满足条件（这个交点为点，

当与重合时，直线的解析式为，

当与重合时，直线的解析式为，

观察图象可知，满足条件的的值为．

【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，“关联点”以及“顺关联点”，“逆关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．