2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：垂径定理

2021北京重点校初三（上）期中数学汇编

垂径定理

一、单选题

1．（2021·北京四中九年级期中）已知⊙O，如图，

（1）作⊙O的直径AB；

（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；

（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．

根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（       ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．（2021·北京一七一中九年级期中）如图所示，已知⊙O中，半径的长为5cm，测得圆周角∠ACB＝45°，则弦AB的长为（       ）

A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm

3．（2021·北京师大附中九年级期中）如图所示，点C是⊙O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C所走过的路程为x，BC的长为y，根据函数图象所提供的信息，∠AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是（　　）

A．150°， B．150°，2 C．120°， D．120°，2

二、填空题
4．（2021·北京八中九年级期中）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是__________

5．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．如果AB＝8，CD＝2，那么⊙O的半径为_____．

三、解答题

6．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接BC，过O点作OD⊥BC于D点，交弧BC于E点，连接AE交BC于F点．

（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E；

（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．

7．（2021·北京四中九年级期中）如图，已知 CD 为⊙O 的直径，点 A，B 在⊙O 上，AB⊥CD 于点 E，连接 OB，CE=1，AB=10， 求⊙O 的半径．

8．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．

（1）求证：∠BAD＝∠CAD；

（2）若∠BAD＝30°，BC＝2，求⊙O的半径．

9．（2021·北京师大附中九年级期中）已知：如图，AB是⊙O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是⊙O的弦，DF⊥AB于点E，OE＝1，∠BAD＝30°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）连接并延长DO交于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．

10．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．

(1)求证:∠BCO＝∠D；

(2)若BE＝8cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．

11．（2021·北京一七一中九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，EB＝2，求弦CD的长．

参考答案

1．D

【分析】

①根据作图过程可得，根据垂径定理可判断；

②连接OC，根据作图过程可证得△AOC为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；

③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．

【详解】

解：①∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，

∴，

根据垂径定理可知，AB⊥CE，CE=DE，

∴①正确；

②连接OC，∵AC=OA=OC，

∴△AOC为直角三角形，

∵AB⊥CE，

∴AE=OE，

∴BE=BO+OE=3AE，

∴②正确；

③∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=60°，

∴∠ABC=30°，

∴BC=2CE，

∴③正确，

故选：D．

【点睛】

本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．

2．A

【分析】

作，连接OB，根据圆周角定理和垂径定理计算即可；

【详解】

作，连接OB，

∵∠ACB＝45°，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

故选A．

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理，准确计算是解题的关键．

3．D

【分析】

观察图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，当x＝0时，y＝2，即AB＝2，如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，则OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，利用三角函数定义可得∠BOC′＝60°，即可求得答案．

【详解】

解：由函数图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，

∴⊙O的直径为4，OA＝OB＝2，

观察图象，可得当x＝0时，y＝2，

∴AB＝2，

如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，

∴OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，

∴sin∠BOC′＝＝，

∴∠BOC′＝60°，

∴∠AOB＝120°，

∵OB＝OC′，∠BOC′＝60°，

∴△BOC′是等边三角形，

∴BC′＝OB＝2，

即点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值为2．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了垂径定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

4．26°

【分析】

根据垂径定理可得，再根据圆周角定理及其推论求得∠BOC=2∠ADC，进而可求得∠OBC的度数．

【详解】

解：∵在⊙O中，OC⊥AB，

∴，∠BOC+∠OBA=90°，

∴∠BOC=2∠ADC=64°，

∴∠OBA=90°﹣∠BOC=90°﹣64°=26°，

故答案为：26°．

【点睛】

本题考查垂径定理、圆周角定理及其推论、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握垂径定理和圆周角定理及其推论是解答的关键．

5．5

【分析】

根据垂径定理求出AC，根据勾股定理列式计算即可．

【详解】

解答：解：设⊙O的半径为R，则OC＝R﹣2，

∵OD⊥AB，

∴AC＝AB＝4，

在Rt△AOC中，OA2＝OC2+AC2，即R2＝（R﹣2）2+42，

解得，R＝5，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．

6．（1）见解析；（2）6

【分析】

（1）根据垂径定理可知，，进而可得，由可得，进而即可证明；

（2）由是直径，可得，根据，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，进而求得的长．

【详解】

（1）

，

，

（2）是直径

又

在中，

【点睛】

本题考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等，垂直平分线的定理，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，求得是解题的关键．

7．13

【分析】

设OB=x，则OE=x-1，在直角三角形OBE中，根据勾股定理计算即可．

【详解】

设OB=x，则OE=x-1，

∵CD 为⊙O 的直径， AB⊥CD ，AB=10，

∴AE=EB=5，

在直角三角形OBE中，根据勾股定理得：

，

解得x=13，

故圆的半径为13．

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．

8．（1）见解析；（2）2．

【分析】

（1）先根据垂径定理得到，然后利用圆周角定理得到结论；

（2）连接OB，如图，利用垂径定理得到BE＝CE＝，再利用圆周角定理得到∠BOE＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求OB的即可．

【详解】

解答：（1）证明：∵BC⊥AD，

∴

∴∠BAD＝∠CAD；

（2）解：连接OB，如图，

∵BC⊥AD，

∴BE＝CE＝BC＝×2＝，

∵∠BOE＝2∠BAD＝2×30°＝60°，

在Rt△BOE中，∵OE＝BE＝×＝1，

∴OB＝2OE＝2，

即⊙O的半径为2．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．

9．（1）见解析；（2）图见解析，．

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD＝30°，根据垂直的定义得到∠AED＝90°，根据直角三角形的性质得到OE＝OD，求得OD＝2OE＝2，得到AB＝2OD＝4，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠DAC＝30°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；

（2）连接FG，根据勾股定理得到DE＝＝＝，根据三角形中位线的性质得到OE＝FG，求得FG＝2OE＝2，由勾股定理即可得到结论．

【详解】

（1）证明：∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD＝30°，

∵DF⊥AB，

∴∠AED＝90°，

∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°，

∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ODA＝30°，

∴OE＝OD，

∴OD＝2OE＝2，

∴OA＝OD＝2，

∵AB是⊙O直径，

∴AB＝2OD＝4，

∵AB＝2BC，

∴BC＝2，

∴AE＝OA+OE＝3，

∴AC＝AB+BC＝6，CE＝AC﹣AE＝3，

∴AE＝CE，

∴DA＝DC，

∴∠DCA＝∠DAC＝30°，

∴∠CDE＝90°﹣∠DCE＝60°，

∴∠ODC＝∠ODE+∠CDE＝90°，

∴OD⊥CD，

∵OD是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接FG，

在Rt△DOE中，

∵OD＝2，OE＝1

∴DE＝＝＝，

∵OE⊥DF，

∴EF＝DE＝，

∵OD＝OG，

∴OE是△DFG的中位线，

∴OE＝ FG，

∴FG＝2OE＝2，

在Rt△EFG中，GE2＝EF2+FG2，

∴GE＝＝＝．

【点睛】

本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等知识是解题的关键．

10．(1)见解析；

(2)⊙O的半径为 cm

【分析】

（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；

（2）由垂径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得AE的长，继而求得直径与半径．

(1)

证明：∵OB=OC，

∴∠BCO=∠B，

∵∠B=∠D，

∴∠BCO=∠D；

(2)

解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴CE=DE=CD=×6=3，

∵∠B=∠D，∠BEC=∠DEA，

∴△BCE∽△DAE，

∴AE：CE=DE：BE，

∴AE：3=3：8，

解得：AE=，

∴AB=AE+BE==，

∴⊙O的半径为(cm)．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△BCE∽△DAE是关键．

11．8

【分析】

连接OC，根据题意得出OC＝5，再由垂径定理知，点E是CD的中点，CE＝CD，在直角△OCE中，由勾股定理得出CE，从而得出CD的长．

【详解】

解：连接OC，

∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，

∴CE＝DE＝CD，

∵BE＝2，AB＝10，

∴OC＝5，OE＝3，

∴CE＝，

∴CD＝8．

【点睛】

本题考查了垂径定理，掌握垂径定理的内容，连接半径构建直角三角形是解题的关键．