2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：圆（上）1

这是一份2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：圆（上）1，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021北京重点校初三（上）期中数学汇编
圆（上）1
一、单选题
1．（2021·北京市回民学校九年级期中）如图，是的外接圆，，则的度数是（     ）

A． B． C． D．
2．（2021·北京师大附中九年级期中）如图所示，点C是⊙O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C所走过的路程为x，BC的长为y，根据函数图象所提供的信息，∠AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是（　　）

A．150°， B．150°，2 C．120°， D．120°，2
3．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是（    ）

A．2 B． C．3 D．
4．（2021·北京市回民学校九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数是（    ）

A．40 B．80 C．50 D．45
5．（2021·北京·人大附中九年级期中）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小宇的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于C点，交弧AB于D点，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（   ）

A．50cm B．30cm C．25cm D．20cm
6．（2021·北京四中九年级期中）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（　　）

A．83° B．84° C．86° D．87°
7．（2021·北京四中九年级期中）如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（　　　）

A． B． C． D．
8．（2021·北京八十中九年级期中）如图，是的直径，是上两点，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义:若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点.”
①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 __________________；
②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为 __________________．

10．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠AOC＝142°，则∠CDM＝_____．

11．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．如果AB＝8，CD＝2，那么⊙O的半径为_____．

12．（2021·北京八十中九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，则∠BOD＝___°．

13．（2021·北京市回民学校九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠DCE＝__________．

14．（2021·北京八十中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论
①AC＝BD；
②AM＝BN；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．
所有正确结论的序号是 ___．

15．（2021·北京四中九年级期中）在⊙O 中，弦 AB 所对圆心角为 140°，则弦AB 所对的圆周角的度数是___________．
16．（2021·北京四中九年级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径 88 米，最高点 A 距离地面 100 米，匀速运行一圈的时间是 18 分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过 34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为___________分钟．

17．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，C、D点在半圆O上，若∠BOC＝80°，则∠BDC＝_______．

18．（2021·北京·景山学校九年级期中）如图，AB是⨀O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝，则OD长为 ___．

19．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）

三、解答题
20．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）在Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，点E是△ABC外一动点（点B，点E位于AC异侧），连接CE，AE．

(1)如图1，点D是AB的中点，连接DC，DE，当△ADE为等边三角形时，求∠AEC的度数；
(2)当∠AEC=135°时，
①如图2，连接BE，用等式表示线段BE，CE，EA之间的数量关系，并证明；
②如图3，点F为线段AB上一点，AF=1，BF=7，连接CF，EF，直接写出△CEF面积的最大值．
21．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．

(1)求证:∠BCO＝∠D；
(2)若BE＝8cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
22．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，正方形ABCD，将线段AB绕点顺时针旋转2α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接BE，AP⊥BE于P，交DE于F，连接BF．
（1）①补全图形，
②∠ADE＝　 　（用含α的式子表示）；
（2）判断DE与BF的位置关系，并证明；
（3）若正方形ABCD的边长为2，点M是CD的中点，直接写出MF的最大值．

23．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）若∠BAD＝30°，BC＝2，求⊙O的半径．

24．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为图形M上一点，点Q为图形N上一点．若存在OP＝OQ，则称图形M与图形N关于原点O“平衡”．
（1）如图1，已知⊙A是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，点C（﹣1，0），D（﹣2，1），E（3，2）．
①在点C，D，E中，与⊙A关于原点O“平衡”的点是　 　；
②点H为直线y＝﹣x上一点，若点H与⊙A关于原点O“平衡”，求点H的横坐标的取值范围；
（2）如图2，已知图形G是以原点O为中心，边长为2的正方形．⊙K的圆心在x轴上，半径为2．若⊙K与图形G关于原点O“平衡”，请直接写出圆心K的横坐标的取值范围．

25．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．

（1）求证：∠1=∠2；
（2）若，求⊙O的半径的长．
26．（2021·北京十五中九年级期中）下面是小明设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．
已知：⊙O． 求作：⊙O的内接正三角形．
作法：
如图，①作直径AB；
②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；
③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：
证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC为等边三角形．
∴∠BOC＝　 °．
∴∠AOC＝　 °．
同理∠AOD＝120°，
∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．
∴AC＝CD＝AD（　 　）（填推理的依据）．
∴△ACD是等边三角形．
27．（2021·北京四中九年级期中）如图，已知 CD 为⊙O 的直径，点 A，B 在⊙O 上，AB⊥CD 于点 E，连接 OB，CE=1，AB=10， 求⊙O 的半径．

28．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接BC，过O点作OD⊥BC于D点，交弧BC于E点，连接AE交BC于F点．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E；
（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．

29．（2021·北京·人大附中九年级期中）下图是小宇设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程．
已知：∠MON．
求作：射线OP，使得OP平分∠MON．
作法：如图，
①在射线OM上任取一点A，以A为圆心，OA长为半径作圆，交OA的延长线于B点；
②以O为圆心，OB长为半径作弧，交射线ON于C点；
③连接BC，交⊙A于P点，作射线OP．
射线OP就是要求作的角平分线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明
证明：∵OB是⊙A直径，P点在⊙A上
∴∠OPB＝90°（ ）（填依据）
∴OP⊥BC
∵OB＝OC
∴OP平分∠MON（ ）（填依据）
30．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．


参考答案
1．C
【分析】在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠OCB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．
【详解】解：在中，，
；
，，
；
又，
，
故选：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
2．D
【分析】观察图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，当x＝0时，y＝2，即AB＝2，如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，则OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，利用三角函数定义可得∠BOC′＝60°，即可求得答案．
【详解】解：由函数图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，
∴⊙O的直径为4，OA＝OB＝2，
观察图象，可得当x＝0时，y＝2，
∴AB＝2，
如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，

∴OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，
∴sin∠BOC′＝＝，
∴∠BOC′＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OB＝OC′，∠BOC′＝60°，
∴△BOC′是等边三角形，
∴BC′＝OB＝2，
即点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值为2．
故选：D
【点睛】本题主要考查了垂径定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
3．B
【分析】连接AD，令y＝0，则，得OE是△ABD的中位线，当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，即可求解．
【详解】解：连接AD，如图，
令y＝0，则，解得，则A（−4，0），B（4，0），
∴O是线段AB的中点，
∵E是线段BD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴，
设圆的半径为r，则r＝2，
当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，此时OE最大，
，
∴线段OE的最大值是．
故选：B．

【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点以及三角形中位线的性质，解题的关键是根据圆的基本性质，确定AD的最大值．
4．C
【分析】由OB=OC，根据等边对等角的性质，可求得∠OBC的度数，继而求得∠BOC的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
【详解】解：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=40°，
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=100°，
∴∠A=∠BOC=50°.
故选：C.
【点睛】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．C
【分析】由垂径定理可得出BC的长，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出轮子的半径即可．
【详解】解：如图，设圆心为点，连接，

∵，AB＝40cm，
∴，，
∵CD＝10cm，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：cm，
∴轮子的半径为25cm．
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6．C
【分析】圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】解：∵∠ACB＝43°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝86°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理求解圆心角或圆周角是解题的关键.
7．C
【分析】首先在优弧AC上取点D，连接AD，CD，首先求出∠AOC，然后由圆周角定理，求得∠ADC的度数，再由圆的内接四边形的性质，可求得∠B的度数．
【详解】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=40°，
∴∠AOC=180°-40°×2=100°，
∴∠ADC=∠AOC=50°，
∴∠B=180°-50°=130°，
故选C．

【点睛】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
8．D
【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠D=55°，得出∠B的度数，从而计算出∠CAB，根据同弧所对的圆心角是圆周角度数的2倍进行求解即可．
【详解】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=55°，
∴∠B=∠D=55°(同弧所对的圆周角相等)
∴∠BAC=90°-∠B=35°，
∴∠BOC=2∠BAC =70°．(同弧所对的圆心角是圆周角的2倍)
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆周角与圆心角之间的关系，解题的关键是理清角之间的关系．
9．     ①，     ②或
【分析】①根据P在直线x＝4上画图1，作△APB的外接圆C，连接AC，BC，可知：AB＝6，⊙C的半径为3，最后计算PD的长可得点P的坐标；
②同理作△APB的外接圆C，计算OP和OP1的长，可得点P的坐标，注意不要丢解．
【详解】解：①如图1，作△APB的外接圆，设圆心为C，连接AC，BC，

∵点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0），
∴AB＝7−1＝6，
∵∠APB＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，AC2+BC2＝AB2
∴AC＝BC＝3，
∴PC＝3，
∵点P在直线x＝4上，
∴AD＝4−1＝3，
∴AD＝BD，
∵CD⊥AB，
∴CD＝AD＝3，
∴P（4，3＋3）；
故答案为：（4，3＋3）；
②如图2，同理作△APB的外接圆，设圆心为C，过C作CD⊥x轴于D，作CE⊥OP于E，连接PC，P1C，

在y轴上存在∠APB＝∠AP1B＝45°，
则①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝3，
由勾股定理得：PE＝，
∴PO＝3＋，
同理得：OP1＝3−，
∴P（0，3±），
同理在y轴的负半轴上，存在符合条件的点P的坐标为（0，−3±），
综上，点P的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查坐标和图形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，作△APB的外接圆是本题的关键．
10．71°
【分析】根据圆周角定理得到∠B＝71°，再根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角即可得解．
【详解】解：∵∠AOC＝142°，
∴∠B＝∠AOC＝71°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDM＝∠B＝71°，
故答案为：71°．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
11．5
【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】解答：解：设⊙O的半径为R，则OC＝R﹣2，
∵OD⊥AB，
∴AC＝AB＝4，
在Rt△AOC中，OA2＝OC2+AC2，即R2＝（R﹣2）2+42，
解得，R＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
12．
【分析】先利用圆的内接四边形的性质求解 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】解： 四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，


故答案为：
【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理，掌握“圆的内接四边形的对角互补，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键.
13．125°##125度
【分析】根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出∠BCD的度数，再根据邻补角的定义求出答案．
【详解】解：∵∠BOD＝110°，
∴∠，
∴∠DCE＝，
故答案为：125°．
【点睛】此题考查圆周角定理：圆周角等于同弧所对圆心角的一半，熟记定理是解题的关键．
14．①②④
【分析】先证明四边形CMND是矩形，再证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），可得结论①②正确，证明AB=MN，可得③错误；证明△OBN是等边三角形，可得④正确，从而可得答案．
【详解】解：连接OM、ON，AM如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°，
∵，
∴∠CMN+∠MCD=180°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形CMND是矩形，

∴CM=DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，
∴ ，
故②正确，
∵OA=OB，OC=OD， ∴AC=BD，故①正确，
当四边形MCDN是正方形时，CM=2OC，

∴OM=OC，
∴AB=2OM=OC=MN，
故③错误，
若M是的中点，连接BN，而
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，
∵ON=OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB， ∴OD=DB，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键．
15．70°或110°
【分析】根据圆周角定理计算即可．
【详解】如图，当角的顶点在优弧上时，∠ADB=∠AOB=70°；当角的顶点在劣弧上时，∠ACB=180°-∠ADB=110°；
故答案为：70°或110°．

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理，并灵活分类计算是解题的关键．
16．12
【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．
【详解】如图所示，根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，
∴CE=ED-CD=34-12=22，
∴OE=OC-CE=44-22=22，
在直角三角形OEF中，sin∠OFE=，

∴∠OFE=30°，
∴∠FOE=60°，
∴∠FOB=120°，
∴，
∵圆转动的速度为，
∴最佳观赏时长为（分钟），
故答案为：12．
【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数是解题的关键．
17．
【分析】连接，根据圆周角定理求得，进而根据圆的内接四边形对角互补，即可求得
【详解】如图，连接,




故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形对角互补，掌握以上知识是解题的关键．
18．
【分析】先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到的长．
【详解】解：，
，
，则∠EDO=30°
在中，，
故答案是：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
19．
【分析】连接AB、BC，根据题意得AB=BC=CD，再根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：如图，连接AB、BC，

∵弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴AB=BC=CD，
∵ ，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆的弧、弦，的关系，三角形的三边关系，熟练掌握同圆内，等弧所对的弦相等是解题的关键．
20．(1)∠AEC=135°；
(2)①BE=CE+EA，理由见解析；②4
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得∠CDA=90°，CD=DA，再由等边三角形的性质得DE=DA，∠DEA=∠EDA=60°，然后求出∠DEC=75°，即可求解；
 （2）①过点C作CH⊥CE交AE的延长线于点H，证△ACH≌△BCE（SAS），得BE=AH=HE+EA=CE+AE；
②取AB的中点O，连接OC，由勾股定理得CF=5，再证A、B、C、E四点共圆，由圆周角定理得AB是圆的直径，AB的中点O是圆心，过点O作ON⊥CF于N，延长ON交圆O于点E，此时点E到CF的距离最大，△CEF面积的面积最大，然后由三角形面积求出ON=，则EN=OE-ON=，即可求解．
(1)
解：∵∠BCA=90°，BC=AC，点D是AB的中点，
∴∠CDA=90°，CD=AB=DA，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=DA，∠DEA=∠EDA=60°，
∴DC=DE，∠CDE=∠CDA-∠EDA=90°-60°=30°，
∴∠DEC=（180°-∠CDE）=×（180°-30°）=75°，
∴∠AEC=∠DEC+∠DEA=75°+60°=135°；
(2)
解：①线段BE，CE，EA之间的数量关系为：BE=CE+EA，理由如下：
过点C作CH⊥CE交AE的延长线于点H，如图2所示：

则∠CEH=180°-∠AEC=180°-135°=45°，
∴△ECH是等腰直角三角形，
∴CH=CE，HE=CE，
∵∠BCA=∠ECH=90°，
∴∠ACH=∠BCE，
在△ACH和△BCE中，
，
∴△ACH≌△BCE（SAS），
∴BE=AH=HE+EA=CE+AE；
②取AB的中点O，连接OC，如图3所示：

∵∠BCA=90°，BC=AC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵O是AB的中点，
∴OC⊥AB，OC=OA=AB=（AF+BF）=×（1+7）=4，
∴OF=OA-AF=4-1=3，
在Rt△COF中，由勾股定理得：CF==5，
∵CF是定值，
∴点E到CF的距离最大时，△CEF面积的面积最大，
∵∠AEC=135°，
∴∠ABC+∠AEC=180°，
∴A、B、C、E四点共圆，
∵∠BCA=90°，
∴AB是圆的直径，AB的中点O是圆心，
过点O作ON⊥CF于N，延长ON交圆O于点E，
此时点E到CF的距离最大，△CEF面积的面积最大，
∵S△OCF=OC•OF=CF•ON，
∴，
∵OE=OC=4，
∴EN=OE-ON=4-=，
∴△CEF面积的面积最大值为：CF•EN=×5×=4．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和圆周角定理，证明△ACH≌△BCE是解题的关键．
21．(1)见解析；
(2)⊙O的半径为 cm
【分析】（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；
（2）由垂径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得AE的长，继而求得直径与半径．
(1)
证明：∵OB=OC，
∴∠BCO=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
(2)
解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=×6=3，
∵∠B=∠D，∠BEC=∠DEA，
∴△BCE∽△DAE，
∴AE：CE=DE：BE，
∴AE：3=3：8，
解得：AE=，
∴AB=AE+BE==，
∴⊙O的半径为(cm)．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△BCE∽△DAE是关键．
22．（1）①图见解析；②45°﹣α；（2）DE⊥BF，证明见解析；（3）+1．
【分析】（1）①根据叙述，画出图形；
②由AE＝AB，AB＝AD推出AE＝AD，进而求得结果；
（2）根据∠AEF＝∠ABF，∠AEF＝∠ADF，得出∠ABF＝∠ADF，推出A、F、B、D共圆，从而∠BFD＝∠BAD，从而得出结论；
（3）连接BD；由∠BFD＝90°推出点F在以BD为直径的圆上，当MF过圆心时，MF最大，进而求得结果．
【详解】（1）①补全的图形如图1所示，

②∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝90°+2α，
由旋转性质得：AE＝AB，
∴AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝
＝
＝45°﹣α，
故答案是：45°﹣α；
（2）如图2，连接BD，

DE⊥BF，理由如下：
∵AE＝AB，AP⊥BE，
∴∠AEB＝∠ABE，EP＝PB，
∴FE＝FB，
∴∠FEP＝∠FBP，
∴∠AEB﹣∠FEP＝∠ABE﹣∠FBP，
∴∠AEF＝∠ABF，
∵∠AEF＝∠ADE，
∴∠ABF＝∠ADE，
∴点A、F、B、D共圆，
∴∠BFD＝∠BAD＝90°，
∴DE⊥BF；
（3）如图3，连接BD，

∵∠BFD＝90°，
∴点F在以BD为直径的⊙O上，过M点作⊙O的直径NF′，
则MF′最大，
∵OM＝BC＝1，NF′＝BD＝2，
∴，
∴，
即MF的最大值是：+1．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，四点共圆等知识，四点共圆是解答本题的关键，也是难点．
23．（1）见解析；（2）2．
【分析】（1）先根据垂径定理得到，然后利用圆周角定理得到结论；
（2）连接OB，如图，利用垂径定理得到BE＝CE＝，再利用圆周角定理得到∠BOE＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求OB的即可．
【详解】解答：（1）证明：∵BC⊥AD，
∴
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：连接OB，如图，

∵BC⊥AD，
∴BE＝CE＝BC＝×2＝，
∵∠BOE＝2∠BAD＝2×30°＝60°，
在Rt△BOE中，∵OE＝BE＝×＝1，
∴OB＝2OE＝2，
即⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
24．（1）①C，D；②或；（2）或．
【分析】（1）①求出OC＝1，OD＝，OE＝，⊙A上的点到原点O的最小距离为1，最大距离为3，根据“平衡”定义判断即可；②由①可得出1≤OH≤3，求出两端点的坐标即可确定范围；
（2）分圆心K在原点左侧和右侧两种情况，分别求出极值，判断范围即可．
【详解】解：（1）①∵点C（﹣1，0），D（﹣2，1），E（3，2）．
∴OC＝1，OD＝，OE＝，⊙A上的点到原点O的最小距离为1，最大距离为3，
∵1＝1，1＜＜3，＞3，
∴点C，D是与⊙A关于原点O“平衡”，
故答案为：C，D．
②解：若点H可以与⊙A关于原点O“平衡”，则1≤OH≤3．

当OH＝1时，点H为直线y＝﹣x上一点，则点H坐标为，
∴，
解得，，
∴H（﹣，）或（，﹣），
当OH＝3时，同理可得，H（﹣，）或（，﹣）
∴点H横坐标的取值范围是或．
（2）如图3﹣1中，K从原点向右平移时，当⊙K经过（﹣，0）时，⊙K与图形G关于原点O刚好开始“平衡”，此时，K（2﹣，0），当⊙K经过（，0）时，⊙K与图形G关于原点O刚好结束“平衡”，此时，K（2+，0），观察图象可知满足条件的x的值为2﹣≤x≤2+．

如图3﹣2中，K从原点向左平移时，当⊙K经过（，0）时，⊙K与图形G关于原点O刚好开始“平衡”，此时，K（﹣2+，0），当⊙K经过（﹣，0）时，⊙K与图形G关于原点O刚好结束“平衡”，此时，K（﹣2﹣，0），观察图象可知满足条件的x的值为﹣2﹣≤x≤﹣2+．

综上所述，圆心K的横坐标的取值范围或．
【点睛】本题考查了一次函数与新定义问题，解题关键是熟练运用数形结合思想，分类讨论思想，准确作图，合理推导进行解答．
25．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【详解】（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

=．
∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6
∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．
设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2
∵在Rt△OEC中，
解得：
∴⊙O的半径是．
【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算．
26．（1）见解析；（2）60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等
【分析】（1）利用画圆的方法作出C、D两点，从而得到△ACD；
（2）在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，利用等边三角形的判定方法得到△OBC为等边三角形，则∠BOC＝60°，接着分别计算出∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC＝CD＝AD，从而判断△ACD是等边三角形．
【详解】（1）解：如图，△ACD为所作；

（2）证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC为等边三角形．
∴∠BOC＝60°．
∴∠AOC＝180°−∠BOC＝120°．
同理∠AOD＝120°，
∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．
∴AC＝CD＝AD（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
∴△ACD是等边三角形．
故答案为：60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
27．13
【分析】设OB=x，则OE=x-1，在直角三角形OBE中，根据勾股定理计算即可．
【详解】设OB=x，则OE=x-1，
∵CD 为⊙O 的直径， AB⊥CD ，AB=10，
∴AE=EB=5，
在直角三角形OBE中，根据勾股定理得：
，
解得x=13，
故圆的半径为13．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．
28．（1）见解析；（2）6
【分析】（1）根据垂径定理可知，，进而可得，由可得，进而即可证明；
（2）由是直径，可得，根据，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，进而求得的长．
【详解】（1）


，
，


（2）是直径




又










在中，



【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等，垂直平分线的定理，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，求得是解题的关键．
29．（1）见解析；（2）直径所对的圆周角为；在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合
【分析】（1）按照题中的作法，补全作图即可；
（2）根据圆和等腰三角形的有关性质，结合上下文，求解即可．
【详解】解：（1）作图如下：

（2）∵OB是⊙A直径，P点在⊙A上
∴∠OPB＝90°（直径所对的圆周角为）
∴OP⊥BC
∵OB＝OC
∴OP平分∠MON（在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合）
故答案为：直径所对的圆周角为；在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合
【点睛】此题考查了尺规作图，圆的有关性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆和等腰三角形的有关性质．
30．见解析
【分析】连接，通过证明即可得结论．
【详解】证明：如图，连接，

是的中点，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．