2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：圆（上）2

2021北京重点校初三（上）期中数学汇编

圆（上）2

一、单选题

1．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（   ）

A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC

C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°

2．（2021·北京四中九年级期中）已知⊙O，如图，

（1）作⊙O的直径AB；

（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；

（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．

根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

3．（2021·北京十五中九年级期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（　　）

A． B． C． D．

4．（2021·北京市回民学校九年级期中）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

5．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（　　）

A．34° B．46° C．56° D．66°

6．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）

A．① B．② C．③ D．均不可能

7．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）如图，点A、B、C都在上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（）

A．18° B．30° C．36° D．72°

二、填空题

8．（2021·北京八中九年级期中）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是__________

9．（2021·北京四中九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为____．

10．（2021·北京八十中九年级期中）排水管的截面为如图所示的⊙O，半径为5m，已知现在水面位于圆心O下方，且水面宽AB＝6m，如果水面上涨后，水面宽为8m，那么水面上涨了_____m．

11．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）在平面直角坐标系中，的半径为5，则点在______．(填“内”、“上”或“外”)

12．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为___________．

13．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为6cm，则弦AB所对的圆周角的度数是_____．

三、解答题

14．（2021·北京八中九年级期中）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．

（Ⅰ）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，弧AD=弧AB，求AB的长；

（Ⅱ）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．

15．（2021·北京八十中九年级期中）如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．

16．（2021·北京五十五中九年级期中）已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠C= 45°，AB=2，求⊙O的半径.

17．（2021·北京市回民学校九年级期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径．

参考答案

1．C

【分析】以点O为圆心，OA长为半径作圆．再根据圆周角定理及其推论逐项判断即可．

【详解】如图，以点O为圆心，OA长为半径作圆．由题意可知：

OA=OB=OC=OD．即点A、B、C、D都在圆O上．

A ．由图可知AB为经过圆心O的直径，根据圆周角定理推论可知．故A不符合题意．

B．，所以根据圆周角定理可知．故B不符合题意．

C．当时，，所以此时AC不平分．故C符合题意．

D．根据圆周角定理推论可知，．故D不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键．

2．D

【分析】①根据作图过程可得，根据垂径定理可判断；

②连接OC，根据作图过程可证得△AOC为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；

③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．

【详解】解：①∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，

∴，

根据垂径定理可知，AB⊥CE，CE=DE，

∴①正确；

②连接OC，∵AC=OA=OC，

∴△AOC为直角三角形，

∵AB⊥CE，

∴AE=OE，

∴BE=BO+OE=3AE，

∴②正确；

③∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=60°，

∴∠ABC=30°，

∴BC=2CE，

∴③正确，

故选：D．

【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．

3．A

【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．

【详解】解：，

，

在中，，

设半径为得：，

解得：，

这段弯路的半径为

故选A．

【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．

4．C

【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．

【详解】如右图，连接OA，

∵半径OC⊥AB，

∴AE=BE= AB，

∵OC=5，CE=2，

∴OE=3，

在Rt△AOE中，AE=，

∴AB=2AE=8，

故选C．

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧 .

5．C

【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．

【详解】解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ACD＝34°，

∴∠ABD＝34°

∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，

故选C．

【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

6．A

【详解】解：第①块出现两条完整的弦，

作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．

故选A．

7．C

【详解】解：∵∠AOB=72°，

∴∠ACB=∠AOB=36°，

故选：C．

8．26°

【分析】根据垂径定理可得，再根据圆周角定理及其推论求得∠BOC=2∠ADC，进而可求得∠OBC的度数．

【详解】解：∵在⊙O中，OC⊥AB，

∴，∠BOC+∠OBA=90°，

∴∠BOC=2∠ADC=64°，

∴∠OBA=90°﹣∠BOC=90°﹣64°=26°，

故答案为：26°．

【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理及其推论、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握垂径定理和圆周角定理及其推论是解答的关键．

9．(5，5)

【分析】分别作出三角形任意两边的垂直平分线得到圆心的位置，进而得出答案．

【详解】∵B(0，3)，C(3，0)，

∴在网格中，BC可以看作边长为3的正方形的对角线，

根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出AB、BC的垂直平分线，交于点E，则点E即为外接圆的圆心，如图所示，

∵A(0，7)，B(0，3)，

∴点E纵坐标为5，

∴由图可得，E(5，5)．

故答案为：(5，5)．

【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握定义及性质是解题的关键．

10．1或7．

【分析】根据垂径定理和勾股定理即可得到结论．

【详解】解：过O点作OC⊥AB，连接OB，如图所示：

∴AB＝2BC，

在Rt△OBC中，BC2+OC2＝OB2，

∵OB＝5m，BC＝3m，

∴OC＝＝＝4m，

∵MN∥AB，

∴OC⊥MN于D，

连接ON，

同理OD＝＝＝3，

∴CD＝1，

当MN与AB在圆心的两侧时，

CD＝3+4＝7，

故水面上涨了1m或7m，

故答案为1或7．

【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

11．上

【分析】根据勾股定理求出OP的长，再与的半径相比即可解答.

【详解】解：∵OP=和的半径相等，故点P在圆上.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，即点到圆心距离小于半径在圆内、等于半径在圆上、大于半径在圆外.

12．

【详解】∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，

∴；

因为OB、OC是⊙O的半径，

所以OB=OC，

所以=，

在中，若⊙O的半径OC为2，

OB=OC=2，

在中，BC=2=

【点睛】本题考查圆周角与圆心角、弦心距，要求考生熟悉圆周角与圆心角的关系，会求弦心距和弦长．

13．30°或150°##150°或30°

【详解】试题分析：由题意分析可知，三角形OAB是等边三角形，所以弦AB所对应的圆周角是30°或者150°

考点：圆周角的性质

点评：本题属于对圆周角的基本知识的理解和运用

14．（Ⅰ）6；（Ⅱ）4

【分析】（Ⅰ）如图1，先利用圆周角定理得到BD为直径，即BD＝12，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形求出AB；

（Ⅱ）如图2，连接BD，作BH⊥AC于H，先利用圆周角定理得到BD为直径，利用勾股定理计算出BD＝，再证明△CDB为等腰直角三角形得到BC＝BD＝，接着在Rt△ABH中计算出AH＝BH＝，然后在Rt△BCH中计算出CH＝，从而得到AC的长．

【详解】解：（Ⅰ）如图1，

∵∠DAB＝90°，

∴BD为直径，即BD＝12，

∵，

∴AD＝AB，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∴AB＝BD＝6；

（Ⅱ）如图2，连接BD，作BH⊥AC于H，

∵∠DAB＝90°，

∴BD为直径，BD＝＝，

∴∠BCD＝90°，

∵AC平分∠DAB，

∴∠BAC＝∠BAC＝45°，

∴∠CBD＝∠BDC＝45°，

∴△CDB为等腰直角三角形，

∴BC＝BD＝×＝，

在Rt△ABH中，AH＝BH＝AB＝，

在Rt△BCH中，CH＝＝，

∴AC＝AH+CH＝＝4．

【点睛】此题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的判定及性质和勾股定理，掌握90°的圆周角所对的弦是直径、等腰直角三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.

15．作图见解析.

【分析】在圆中任意作两条弦，分别作这两条弦的垂直平分线，根据垂径定理可得两条垂直平分线的交点即为圆心.

【详解】如图，在圆中任意作两条弦，分别作这两条弦的垂直平分线，交点为O，由垂径定理得：点O即为圆心．

【点睛】本题考查垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧，熟练掌握垂径定理及推论是解题关键.

16．．

【分析】连结OB，OA，根据圆周角定理得出∠BOA=90°，再由勾股定理得出⊙O的半径即可．

【详解】连结OB，OA，

∵∠BCA=45°，

∴∠BOA=90°，

∵OB=OA，

∴∠OBA=∠OAB=45°，

∵AB=2，

∴OB=OA=．

【点睛】此题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半是解题关键．

17．13.

【分析】根据垂径定理得出EM⊥CD，则CM=DM=2，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，进而可求得半径OC．

【详解】如图，连接OC，

∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，

∴EM⊥CD．

∴CM=MD．

∵CD=10，

∴CM=5．

设OC=x，则OM=25-x，

在Rt△COM中，根据勾股定理，得

52+（25-x）2=x2．

解得 x=13．

∴⊙O的半径为13．

【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．