2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：圆的性质1

这是一份2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：圆的性质1，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京重点校初三（上）期中数学汇编圆的性质1一、单选题1．（2021·北京市回民学校九年级期中）如图，是的外接圆，，则的度数是（     ）A． B． C． D．2．（2021·北京市回民学校九年级期中）如图，点是以点为圆心，为直径的半圆上的动点（点不与点，重合），．设弦的长为，的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（     ）A． B． C． D．3．（2021·北京师大附中九年级期中）如图所示，点C是⊙O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C所走过的路程为x，BC的长为y，根据函数图象所提供的信息，∠AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是（　　）A．150°， B．150°，2 C．120°， D．120°，24．（2021·北京市回民学校九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数是（    ）A．40 B．80 C．50 D．455．（2021·北京·人大附中九年级期中）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小宇的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于C点，交弧AB于D点，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（   ）A．50cm B．30cm C．25cm D．20cm6．（2021·北京四中九年级期中）如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（　　　）A． B． C． D．7．（2021·北京八十中九年级期中）如图，是的直径，是上两点，若，则的度数是（    ）A． B． C． D．8．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（   ）A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BACC．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°二、填空题9．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义:若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点.”①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 __________________；②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为 __________________．10．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠AOC＝142°，则∠CDM＝_____．11．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．如果AB＝8，CD＝2，那么⊙O的半径为_____．12．（2021·北京八十中九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，则∠BOD＝___°．13．（2021·北京市回民学校九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠DCE＝__________．14．（2021·北京八十中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论①AC＝BD；②AM＝BN；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．所有正确结论的序号是 ___．15．（2021·北京四中九年级期中）在⊙O 中，弦 AB 所对圆心角为 140°，则弦AB 所对的圆周角的度数是___________．16．（2021·北京四中九年级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径 88 米，最高点 A 距离地面 100 米，匀速运行一圈的时间是 18 分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过 34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为___________分钟．17．（2021·北京五十五中九年级期中）在进行垂径定理的证明教学中，老师设计了如下活动：先让同学们在圆中作了一条直径MN，然后任意作了一条弦（非直径）．如图1，接下来老师提出问题：在保证弦AB长度不变的情况下，如何能找到它的中点？在同学们思考作图验证后，小华说了自己的一种想法：只要将弦AB与直径MN保持垂直关系，如图2，它们的交点就是弦AB的中点，请你说出小华此想法的依据是__．18．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，C、D点在半圆O上，若∠BOC＝80°，则∠BDC＝_______．19．（2021·北京·景山学校九年级期中）如图，AB是⨀O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝，则OD长为 ___．20．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）21．（2021·北京八中九年级期中）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是__________三、解答题22．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）在Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，点E是△ABC外一动点（点B，点E位于AC异侧），连接CE，AE．(1)如图1，点D是AB的中点，连接DC，DE，当△ADE为等边三角形时，求∠AEC的度数；(2)当∠AEC=135°时，①如图2，连接BE，用等式表示线段BE，CE，EA之间的数量关系，并证明；②如图3，点F为线段AB上一点，AF=1，BF=7，连接CF，EF，直接写出△CEF面积的最大值．23．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．(1)求证:∠BCO＝∠D；(2)若BE＝8cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．24．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）若∠BAD＝30°，BC＝2，求⊙O的半径．25．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1=∠2；（2）若，求⊙O的半径的长．26．（2021·北京十五中九年级期中）下面是小明设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O． 求作：⊙O的内接正三角形．作法：如图，①作直径AB；②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC为等边三角形．∴∠BOC＝　    °．∴∠AOC＝　    °．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（　                 　）（填推理的依据）．∴△ACD是等边三角形．27．（2021·北京四中九年级期中）如图，已知 CD 为⊙O 的直径，点 A，B 在⊙O 上，AB⊥CD 于点 E，连接 OB，CE=1，AB=10， 求⊙O 的半径．28．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接BC，过O点作OD⊥BC于D点，交弧BC于E点，连接AE交BC于F点．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E；（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．29．（2021·北京·人大附中九年级期中）下图是小宇设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程．已知：∠MON．求作：射线OP，使得OP平分∠MON．作法：如图，①在射线OM上任取一点A，以A为圆心，OA长为半径作圆，交OA的延长线于B点；②以O为圆心，OB长为半径作弧，交射线ON于C点；③连接BC，交⊙A于P点，作射线OP．射线OP就是要求作的角平分线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：∵OB是⊙A直径，P点在⊙A上∴∠OPB＝90°（                         ）（填依据）∴OP⊥BC∵OB＝OC∴OP平分∠MON（                         ）（填依据）30．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．
参考答案1．C【分析】在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠OCB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．【详解】解：在中，，；，，；又，，故选：．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．B【分析】由AB为圆的直径，得到∠C=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得到，进而列出△ABC面积的表达式即可求解．【详解】解：∵AB为圆的直径，∴∠C=90°，，，由勾股定理可知：∴，∴此函数不是二次函数，也不是一次函数，排除选项A和选项C，为定值，当时，面积最大，此时，即时，最大，故排除，选．故选：．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．3．D【分析】观察图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，当x＝0时，y＝2，即AB＝2，如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，则OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，利用三角函数定义可得∠BOC′＝60°，即可求得答案．【详解】解：由函数图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，∴⊙O的直径为4，OA＝OB＝2，观察图象，可得当x＝0时，y＝2，∴AB＝2，如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，∴OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，∴sin∠BOC′＝＝，∴∠BOC′＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OB＝OC′，∠BOC′＝60°，∴△BOC′是等边三角形，∴BC′＝OB＝2，即点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值为2．故选：D【点睛】本题主要考查了垂径定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．4．C【分析】由OB=OC，根据等边对等角的性质，可求得∠OBC的度数，继而求得∠BOC的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．【详解】解：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=40°，∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=100°，∴∠A=∠BOC=50°. 故选：C.【点睛】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．C【分析】由垂径定理可得出BC的长，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出轮子的半径即可．【详解】解：如图，设圆心为点，连接，∵，AB＝40cm，∴，，∵CD＝10cm，∴，∵在中，， ∴，解得：cm，∴轮子的半径为25cm．故选：C．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6．C【分析】首先在优弧AC上取点D，连接AD，CD，首先求出∠AOC，然后由圆周角定理，求得∠ADC的度数，再由圆的内接四边形的性质，可求得∠B的度数．【详解】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=40°，∴∠AOC=180°-40°×2=100°，∴∠ADC=∠AOC=50°，∴∠B=180°-50°=130°，故选C．【点睛】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．D【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠D=55°，得出∠B的度数，从而计算出∠CAB，根据同弧所对的圆心角是圆周角度数的2倍进行求解即可．【详解】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠D=55°，∴∠B=∠D=55°(同弧所对的圆周角相等)∴∠BAC=90°-∠B=35°，∴∠BOC=2∠BAC =70°．(同弧所对的圆心角是圆周角的2倍)故选：D．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆周角与圆心角之间的关系，解题的关键是理清角之间的关系．8．C【分析】以点O为圆心，OA长为半径作圆．再根据圆周角定理及其推论逐项判断即可．【详解】如图，以点O为圆心，OA长为半径作圆．由题意可知：OA=OB=OC=OD．即点A、B、C、D都在圆O上．A ．由图可知AB为经过圆心O的直径，根据圆周角定理推论可知．故A不符合题意．B．，所以根据圆周角定理可知．故B不符合题意．C．当时，，所以此时AC不平分．故C符合题意．D．根据圆周角定理推论可知，．故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键．9．     ①，     ②或【分析】①根据P在直线x＝4上画图1，作△APB的外接圆C，连接AC，BC，可知：AB＝6，⊙C的半径为3，最后计算PD的长可得点P的坐标；②同理作△APB的外接圆C，计算OP和OP1的长，可得点P的坐标，注意不要丢解．【详解】解：①如图1，作△APB的外接圆，设圆心为C，连接AC，BC，∵点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0），∴AB＝7−1＝6，∵∠APB＝45°，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，AC2+BC2＝AB2∴AC＝BC＝3，∴PC＝3，∵点P在直线x＝4上，∴AD＝4−1＝3，∴AD＝BD，∵CD⊥AB，∴CD＝AD＝3，∴P（4，3＋3）；故答案为：（4，3＋3）；②如图2，同理作△APB的外接圆，设圆心为C，过C作CD⊥x轴于D，作CE⊥OP于E，连接PC，P1C，在y轴上存在∠APB＝∠AP1B＝45°，则①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝3，由勾股定理得：PE＝，∴PO＝3＋，同理得：OP1＝3−，∴P（0，3±），同理在y轴的负半轴上，存在符合条件的点P的坐标为（0，−3±），综上，点P的坐标为或．故答案为：或．【点睛】此题主要考查坐标和图形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，作△APB的外接圆是本题的关键．10．71°【分析】根据圆周角定理得到∠B＝71°，再根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角即可得解．【详解】解：∵∠AOC＝142°，∴∠B＝∠AOC＝71°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDM＝∠B＝71°，故答案为：71°．【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．11．5【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理列式计算即可．【详解】解答：解：设⊙O的半径为R，则OC＝R﹣2，∵OD⊥AB，∴AC＝AB＝4，在Rt△AOC中，OA2＝OC2+AC2，即R2＝（R﹣2）2+42，解得，R＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．12．【分析】先利用圆的内接四边形的性质求解 再利用圆周角定理可得答案.【详解】解： 四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°， 故答案为：【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理，掌握“圆的内接四边形的对角互补，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键.13．125°##125度【分析】根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出∠BCD的度数，再根据邻补角的定义求出答案．【详解】解：∵∠BOD＝110°，∴∠，∴∠DCE＝，故答案为：125°．【点睛】此题考查圆周角定理：圆周角等于同弧所对圆心角的一半，熟记定理是解题的关键．14．①②④【分析】先证明四边形CMND是矩形，再证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），可得结论①②正确，证明AB=MN，可得③错误；证明△OBN是等边三角形，可得④正确，从而可得答案．【详解】解：连接OM、ON，AM如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB， ∴∠OCM=∠ODN=90°， ∵， ∴∠CMN+∠MCD=180°， ∴∠CMN=90°， ∴四边形CMND是矩形， ∴CM=DN， 在Rt△OMC和Rt△OND中，， ∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL）， ∴OC=OD，∠COM=∠DON， ∴ ， 故②正确， ∵OA=OB，OC=OD， ∴AC=BD，故①正确， 当四边形MCDN是正方形时，CM=2OC，  ∴OM=OC， ∴AB=2OM=OC=MN， 故③错误， 若M是的中点，连接BN，而  ∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°， ∵ON=OB， ∴△ONB是等边三角形， ∵ND⊥OB， ∴OD=DB，故④正确． 故答案为：①②④．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键．15．70°或110°【分析】根据圆周角定理计算即可．【详解】如图，当角的顶点在优弧上时，∠ADB=∠AOB=70°；当角的顶点在劣弧上时，∠ACB=180°-∠ADB=110°；故答案为：70°或110°．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理，并灵活分类计算是解题的关键．16．12【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．【详解】如图所示，根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，∴CE=ED-CD=34-12=22，∴OE=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sin∠OFE=，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=60°，∴∠FOB=120°，∴，∵圆转动的速度为，∴最佳观赏时长为（分钟），故答案为：12．【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数是解题的关键．17．等腰三角形三线合一的性质【分析】连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，依据等腰三角形的性质判断．【详解】解：连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，当MN⊥AB时，一定有MB过AB的中点，依据三线合一的性质可得．故答案是：等腰三角形三线合一的性质．【点睛】本题考查了垂径定理，正确转化为等腰三角形的性质解决问题是关键．18．【分析】连接，根据圆周角定理求得，进而根据圆的内接四边形对角互补，即可求得【详解】如图，连接,故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形对角互补，掌握以上知识是解题的关键．19．【分析】先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到的长．【详解】解：，，，则∠EDO=30°在中，，故答案是：．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．20．【分析】连接AB、BC，根据题意得AB=BC=CD，再根据三角形的三边关系，即可求解．【详解】解：如图，连接AB、BC，∵弧AB＝弧BC＝弧CD，∴AB=BC=CD，∵ ，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的弧、弦，的关系，三角形的三边关系，熟练掌握同圆内，等弧所对的弦相等是解题的关键．21．26°【分析】根据垂径定理可得，再根据圆周角定理及其推论求得∠BOC=2∠ADC，进而可求得∠OBC的度数．【详解】解：∵在⊙O中，OC⊥AB，∴，∠BOC+∠OBA=90°，∴∠BOC=2∠ADC=64°，∴∠OBA=90°﹣∠BOC=90°﹣64°=26°，故答案为：26°．【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理及其推论、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握垂径定理和圆周角定理及其推论是解答的关键．22．(1)∠AEC=135°；(2)①BE=CE+EA，理由见解析；②4【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得∠CDA=90°，CD=DA，再由等边三角形的性质得DE=DA，∠DEA=∠EDA=60°，然后求出∠DEC=75°，即可求解； （2）①过点C作CH⊥CE交AE的延长线于点H，证△ACH≌△BCE（SAS），得BE=AH=HE+EA=CE+AE；②取AB的中点O，连接OC，由勾股定理得CF=5，再证A、B、C、E四点共圆，由圆周角定理得AB是圆的直径，AB的中点O是圆心，过点O作ON⊥CF于N，延长ON交圆O于点E，此时点E到CF的距离最大，△CEF面积的面积最大，然后由三角形面积求出ON=，则EN=OE-ON=，即可求解．(1)解：∵∠BCA=90°，BC=AC，点D是AB的中点，∴∠CDA=90°，CD=AB=DA，∵△ADE是等边三角形，∴DE=DA，∠DEA=∠EDA=60°，∴DC=DE，∠CDE=∠CDA-∠EDA=90°-60°=30°，∴∠DEC=（180°-∠CDE）=×（180°-30°）=75°，∴∠AEC=∠DEC+∠DEA=75°+60°=135°；(2)解：①线段BE，CE，EA之间的数量关系为：BE=CE+EA，理由如下：过点C作CH⊥CE交AE的延长线于点H，如图2所示：则∠CEH=180°-∠AEC=180°-135°=45°，∴△ECH是等腰直角三角形，∴CH=CE，HE=CE，∵∠BCA=∠ECH=90°，∴∠ACH=∠BCE，在△ACH和△BCE中，，∴△ACH≌△BCE（SAS），∴BE=AH=HE+EA=CE+AE；②取AB的中点O，连接OC，如图3所示：∵∠BCA=90°，BC=AC，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∵O是AB的中点，∴OC⊥AB，OC=OA=AB=（AF+BF）=×（1+7）=4，∴OF=OA-AF=4-1=3，在Rt△COF中，由勾股定理得：CF==5，∵CF是定值，∴点E到CF的距离最大时，△CEF面积的面积最大，∵∠AEC=135°，∴∠ABC+∠AEC=180°，∴A、B、C、E四点共圆，∵∠BCA=90°，∴AB是圆的直径，AB的中点O是圆心，过点O作ON⊥CF于N，延长ON交圆O于点E，此时点E到CF的距离最大，△CEF面积的面积最大，∵S△OCF=OC•OF=CF•ON，∴，∵OE=OC=4，∴EN=OE-ON=4-=，∴△CEF面积的面积最大值为：CF•EN=×5×=4．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和圆周角定理，证明△ACH≌△BCE是解题的关键．23．(1)见解析；(2)⊙O的半径为 cm【分析】（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；（2）由垂径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得AE的长，继而求得直径与半径．（1）证明：∵OB=OC，∴∠BCO=∠B，∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D；（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×6=3，∵∠B=∠D，∠BEC=∠DEA，∴△BCE∽△DAE，∴AE：CE=DE：BE，∴AE：3=3：8，解得：AE=，∴AB=AE+BE==，∴⊙O的半径为(cm)．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△BCE∽△DAE是关键．24．（1）见解析；（2）2．【分析】（1）先根据垂径定理得到，然后利用圆周角定理得到结论；（2）连接OB，如图，利用垂径定理得到BE＝CE＝，再利用圆周角定理得到∠BOE＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求OB的即可．【详解】解答：（1）证明：∵BC⊥AD，∴∴∠BAD＝∠CAD；（2）解：连接OB，如图，∵BC⊥AD，∴BE＝CE＝BC＝×2＝，∵∠BOE＝2∠BAD＝2×30°＝60°，在Rt△BOE中，∵OE＝BE＝×＝1，∴OB＝2OE＝2，即⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．25．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，=．∴∠A=∠2．又∵OA=OC，∴∠1=∠A．∴∠1＝∠2．（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2∵在Rt△OEC中，解得：∴⊙O的半径是．【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算．26．（1）见解析；（2）60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等【分析】（1）利用画圆的方法作出C、D两点，从而得到△ACD；（2）在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，利用等边三角形的判定方法得到△OBC为等边三角形，则∠BOC＝60°，接着分别计算出∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC＝CD＝AD，从而判断△ACD是等边三角形．【详解】（1）解：如图，△ACD为所作；（2）证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC为等边三角形．∴∠BOC＝60°．∴∠AOC＝180°−∠BOC＝120°．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等），∴△ACD是等边三角形．故答案为：60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．27．13【分析】设OB=x，则OE=x-1，在直角三角形OBE中，根据勾股定理计算即可．【详解】设OB=x，则OE=x-1，∵CD 为⊙O 的直径， AB⊥CD ，AB=10，∴AE=EB=5，在直角三角形OBE中，根据勾股定理得：，解得x=13，故圆的半径为13．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．28．（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据垂径定理可知，，进而可得，由可得，进而即可证明；（2）由是直径，可得，根据，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，进而求得的长．【详解】（1），，（2）是直径又在中，【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等，垂直平分线的定理，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，求得是解题的关键．29．（1）见解析；（2）直径所对的圆周角为；在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合【分析】（1）按照题中的作法，补全作图即可；（2）根据圆和等腰三角形的有关性质，结合上下文，求解即可．【详解】解：（1）作图如下：（2）∵OB是⊙A直径，P点在⊙A上∴∠OPB＝90°（直径所对的圆周角为）∴OP⊥BC∵OB＝OC∴OP平分∠MON（在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合）故答案为：直径所对的圆周角为；在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合【点睛】此题考查了尺规作图，圆的有关性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆和等腰三角形的有关性质．30．见解析【分析】连接，通过证明即可得结论．【详解】证明：如图，连接，是的中点，，，在和中，，，．【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．