2022北京东直门中学初三一模数学（教师版）

这是一份2022北京东直门中学初三一模数学（教师版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022北京东直门中学初三一模
数 学
一、选择题（每题只有一个正确答案，共8道小题，每小题2分，共16分）
1. 在疫情防控的特殊时期，为了满足初三高三学生的复习备考需求，北京市教委联合北京卫视共同推出电视课堂节目《老师请回答特别节目“空中课堂”》，在节目播出期间．全市约有200000名师生收看了节目．将200000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是( )

A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
4. 下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（ ）
A B.
C. D.
5. 如图，实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )

A. B. C. D.
6. 如果那么代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，点的图象如图所示，则的值可以为（ ）

A. B. C. D.
8. 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要的支付方式之一，为了解某校学生上个月两种移动支付方式的使用情况，从全校名学生中随机抽取了人，发现样本中两种支付方式都不使用的有人，样本中仅使用种支付方式和仅使用种支付方式的学生的支付金额(元)的分布情况如下：
支付金额（元）
支付方式



仅使用
人
人
人
仅使用
人
人
人
下面有四个推断：
①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A支付方式的概率大于他使用B支付方式的概率；
②根据样本数据估计，全校1000名学生中．同时使用A、B两种支付方式的大约有400人；
③样本中仅使用A种支付方式的同学，上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元；
④样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数一定不低于1000元．其中合理的是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是______．
10. 因式分解：________．
11. 若某个正多边形的一个内角为，则这个正多边形的内角和为_________．
12. 如图，双曲线与直线y＝mx交于A，B两点，若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为_______．

13. 某班甲、乙、丙三名同学20天的体温数据记录如下表：
甲的体温
乙的体温
丙的体温
温度（℃）
36.1
36.4
36.5
36.8
温度（℃）
36.1
36.4
36.5
36.8
温度（℃）
36.1
36.4
36.5
36.8
频数
5
5
5
5
频数
6
4
4
6
频数
4
6
6
4
则在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是________．
14. 如图将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD翻折，点C的对应点为C′，AD与BC′交于点E，若∠ABE＝30°，BC＝3，则DE的长度为_____．

15. 为了做到合理用药，使药物在人体内发挥疗效作用，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图：

根据图中提供的信息，下列关于成人患者使用该药物的说法中：
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥疗效作用；
②每间隔4小时服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用；
③每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2.5小时，不会发生药物中毒．
所有正确的说法是_____．
16. 一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．
（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是_____．
（2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有______个球．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，第小题5分；第23-26题，第小题6分；第27-28题，每小题7分）
17. 计算：.
18. 解方程：．
19. 下面是小方设计的“作一个30°角”的尺规作图过程．
已知：直线AB及直线AB外一点P．
求作：直线AB上一点C，使得∠PCB＝30°．
作法：
①在直线AB上取一点M；
②以点P为圆心，PM为半径画弧，与直线AB交于点M、N；
③分别以M、N圆心，PM为半径画弧，在直线AB下方两弧交于点Q．
④连接PQ，交AB于点O．
⑤以点P为圆心，PQ为半径画弧，交直线AB于点C且点C在点O的左侧．则∠PCB就是所求作的角．
根据小方设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵PM＝PN＝QM＝QN，
∴四边形PMQN是　 　．
∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（　 　）．（填写推理依据）
∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝＝　 　（填写数值）
∴∠PCB＝30°．

20. 关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
21. 如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝3，tan∠CAB＝时，求AE的长．
22. 某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标，，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：

注“●”表示患者，“▲”表示非患者．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这40名被调查者中，
①指标低于0．4的有　　人；
②将20名患者的指标的平均数记作，方差记作，20名非患者的指标的平均数记作，方差记作，则 ， (填“>”，“=”或“<”)；
（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标低于0．3的大约有 人；
（3）若将“指标低于0．3，且指标低于0．8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率多少．
23. 如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），AB＝6cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交于点F，连接FD．小腾根据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：

位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
AC/cm
0.1
0.5
1.0
1.9
2.6
3.2
4.2
4.9
CD/cm
0.1
0.5
1.0
1.8
2.2
2.5
2.3
1.0
FD/cm
0.2
1.0
1.8
2.8
3.0
27
1.8
0.5

在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定　 　的长度是自变量，　 　的长度和　 　的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是　 　．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P(0，n)（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x＋3于点D．
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

25. 如图，AB为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接CD，过点C作，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．

（1）若，求证：CE是的切线．
（2）若的半径为，，求AC的长．
26. 已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝　 　；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
27. 如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段EF，DF，BE之间的数量关系，并证明；
（3）连接CE，若AB＝2，请直接写出线段CE长度的最小值．

28. 对于平面直角坐标系xOy中图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系
(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，)，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP．
①线段OP的最小值为_______，最大值为_______；线段CP的取值范直范围是_____；
②在点O，点C中，点____________与线段DE满足限距关系；

(2)如图2，⊙O的半径为1，直线(b>0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；
(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和¤K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．

参考答案
一、选择题（每题只有一个正确答案，共8道小题，每小题2分，共16分）
1. 在疫情防控的特殊时期，为了满足初三高三学生的复习备考需求，北京市教委联合北京卫视共同推出电视课堂节目《老师请回答特别节目“空中课堂”》，在节目播出期间．全市约有200000名师生收看了节目．将200000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】将200000用科学记数法表示应为2×105，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
2. 如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答．
【详解】由侧面是3个矩形，上下为2个三角形，可得该几何体为三棱柱
故选：D．
【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．
3. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；
【详解】解：，A准确；
，B错误；
，C错误；
，D错误；
故选A．
【点睛】本题考查实数和整式的运算；熟练掌握同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．
4. 下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质，再结合图形逐项排查即可解答．
【详解】解：A、图形的大小发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，不符合题意；
B、图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，符合题意；
C、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，不符合题意；
D、图形由轴对称得到，不属于平移得到，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，掌握平移的性质是解题的关键．
5. 如图，实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察数轴得到实数a，b，c的取值范围，根据实数的运算法则进行判断即可.
【详解】∵−3＜a＜−2，∴2＜|a|＜3，故A选项错误；
∵1＜b＜2，∴﹣2＜﹣b＜﹣1，故B选项正确；
∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a＜﹣b，故Ｃ选项正确；a＋b＜0，故D选项错误．
故选C.
【点睛】本题主要考查数轴、绝对值以及实数及其运算，学会观察数轴是解题的关键.
6. 如果那么代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出a2＋a＝1，整体代入计算可得．
【详解】原式＝
=
=，
∵a2＋a−1＝0，
∴a2＋a＝1，
则原式＝＝3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
7. 在平面直角坐标系中，点的图象如图所示，则的值可以为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时的函数值，当时，的函数值，列出不等式组，即可求解．
【详解】解：将代入中时，得：，将代入中时，得：，
根据图像可知，时的函数值，当时，的函数值，
则有： ，解得：，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数，难度一般，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题．
8. 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要的支付方式之一，为了解某校学生上个月两种移动支付方式的使用情况，从全校名学生中随机抽取了人，发现样本中两种支付方式都不使用的有人，样本中仅使用种支付方式和仅使用种支付方式的学生的支付金额(元)的分布情况如下：
支付金额（元）
支付方式



仅使用
人
人
人
仅使用
人
人
人
下面有四个推断：
①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A支付方式的概率大于他使用B支付方式的概率；
②根据样本数据估计，全校1000名学生中．同时使用A、B两种支付方式的大约有400人；
③样本中仅使用A种支付方式的同学，上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元；
④样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数一定不低于1000元．其中合理的是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】由题意根据概率公式、样本估计总体思想的运用、中位数和平均数的定义逐一判断可得．
【详解】解：①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A支付方式的概率为
，使用B支付方式的概率为，此推断合理；
②根据样本数据估计，全校1000名学生中，同时使用A，B两种支付方式的大约有（人），此推断合理；
③样本中仅使用A种支付方式的同学，第15、16个数据均落在0＜a≤1000，所以上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元，此推断合理；
④样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数无法估计，此推断不正确．
故推断正确的有①②③.
故选：C．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握熟练概率公式、样本估计总体思想的运用、中位数和平均数的定义．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得，即可求得实数a的取值范围．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10. 因式分解：________．
【答案】a(a+1)(a-1)
【解析】
【分析】先找出公因式，然后提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：


故答案为：.
【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
11. 若某个正多边形的一个内角为，则这个正多边形的内角和为_________．
【答案】540°
【解析】
【分析】通过内角求出外角，利用多边形外角和360度，用360°除以外角度数即可求出这个正多边形的边数即可解答．
【详解】解：∵正多边形的每个内角都相等，且为108°，
∴其一个外角度数为180°-108°=72°，
则这个正多边形的边数为360÷72=5，
∴这个正多边形的内角和为108°×5=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角公式，求正多边形的边数时，内角转化为外角，利用外角和360°知识求解更简单．
12. 如图，双曲线与直线y＝mx交于A，B两点，若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为_______．

【答案】（-2，-3）
【解析】
【分析】根据反比例函数的中心对称性判断即可．
【详解】∵双曲线与直线y＝mx相交于、两点，直线y＝mx过原点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴A点坐标为（2，3），
∴点B的坐标为：（）
故答案为：（）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质·，熟练掌握反比例函数的中心对称性是解题关键．
13. 某班甲、乙、丙三名同学20天的体温数据记录如下表：
甲的体温
乙的体温
丙的体温
温度（℃）
36.1
36.4
36.5
36.8
温度（℃）
36.1
36.4
36.5
36.8
温度（℃）
36.1
36.4
36.5
36.8
频数
5
5
5
5
频数
6
4
4
6
频数
4
6
6
4
则在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是________．
【答案】丙
【解析】
【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．
【详解】解：甲的平均数为：×(36.1×5+36.4×5+36.5×5+36.8×5)=36.45；
乙的平均数为：×(36.1×6+36.4×4+36.5×4+36.8×6)=36.45；
丙的平均数为：×(36.1×4+36.4×6+36.5×6+36.8×4)=36.45；
甲的方差为：
×[5×(36.1-36.45)2+5×(36.4-36.45)2+5×(36.5-36.45)2+5×(36.8-36.45)2]=0.0625；
乙的方差为：
×[6×(36.1-36.45)2+4×(36.4-36.45)2+4×(36.5-36.45)2+6×（36.8-36.45）2]=0.0745；
丙的方差为：
×[4×(36.1-36.45)2+6×(36.4-36.45)2+6×(36.5-36.45)2+4×(36.8-36.45)2]=0.0505；
∵0.0505＜0.0625＜0.0745，
∴在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是丙，
故答案：丙．
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14. 如图将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD翻折，点C的对应点为C′，AD与BC′交于点E，若∠ABE＝30°，BC＝3，则DE的长度为_____．

【答案】2．
【解析】
【分析】由∠ABE＝30°，可得∠CBD=∠C'BD=∠EDB=30°，证出BE=2AE，得出DE=BE=2AE，求出AE=1，得出DE=2即可．
【详解】解：∵四边形ABCD矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝3，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
由折叠的性质得：∠CBD＝∠C'BD，
∵∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE，∠CBD＝∠C'BD＝∠EDB＝30°，
∴DE＝BE＝2AE，
∵AD＝AE+DE＝3，
∴AE+2AE＝3，
∴AE＝1，
∴DE＝2；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握翻折变换的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
15. 为了做到合理用药，使药物在人体内发挥疗效作用，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图：

根据图中提供的信息，下列关于成人患者使用该药物的说法中：
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥疗效作用；
②每间隔4小时服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用；
③每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2.5小时，不会发生药物中毒．
所有正确的说法是_____．
【答案】① ②
【解析】
【分析】根据该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，通过观察图象的变化情况即可判断① ②正确，③ 错误．
【详解】解：∵该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，
药物在人体内发挥疗效作用，
∴观察图象的变化情况可知：
① 首次服用该药物1单位约10分钟后，达到最低有效浓度，药物开始发挥疗效作用，
所以① 正确；
② 每间隔4小时服用该药物1单位，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间，可以使药物持续发挥治疗作用，
所以② 正确；
③ 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2.5小时，会发生药物中毒，
所以③ 错误．
故答案为：① ②．
【点睛】本题考查了函数图象的应用，解决本题的关键是利用数形结合思想．
16. 一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．
（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是_____．
（2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有______个球．
【答案】 ①. 红 ②. 20
【解析】
【分析】（1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是红球，由此可得答案；
（2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可．
【详解】解：（1）∵如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．
∴若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是红球，
故答案为：红；
（2）根据题意可知，取两个球往盒子中放入有以下4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1个；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；
∵红球和黑球的个数一样，
∴①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机；
∵乙盒中最终有5个红球，
∴①的情况有5次，
∴红球至少有10个，
∵红球、黑球各占一半，
∴黑球至少也有10个，
∴袋中原来最少有20个球，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了对立事件和互斥事件，属于基础题．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，第小题5分；第23-26题，第小题6分；第27-28题，每小题7分）
17. 计算：.
【答案】3
【解析】
【分析】根据零指数幂，特殊角三角函数，绝对值和负整数指数幂的运算法则求解即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，特殊角三角函数，绝对值和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题关键．
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】直接找出最简公分母进而去分母解方程求解，最后要检验．
【详解】解：方程两边同乘以3（x-1）得：3x+3（x-1）=2x，

解得
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键．
19. 下面是小方设计的“作一个30°角”的尺规作图过程．
已知：直线AB及直线AB外一点P．
求作：直线AB上一点C，使得∠PCB＝30°．
作法：
①在直线AB上取一点M；
②以点P为圆心，PM为半径画弧，与直线AB交于点M、N；
③分别以M、N为圆心，PM为半径画弧，在直线AB下方两弧交于点Q．
④连接PQ，交AB于点O．
⑤以点P为圆心，PQ为半径画弧，交直线AB于点C且点C在点O的左侧．则∠PCB就是所求作的角．
根据小方设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵PM＝PN＝QM＝QN，
∴四边形PMQN是　 　．
∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（　 　）．（填写推理依据）
∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝＝　 　（填写数值）
∴∠PCB＝30°．

【答案】（1）见解析；（2）菱形，菱形对角线互相垂直平分，．
【解析】
【分析】（1）根据图中所给的作图步骤，补全图形，保留作图痕迹．
（2）根据菱形的判定与性质，即可推得四边形PMQN是菱形．菱形对角线互相垂直平分，可得PQ⊥MN，PQ＝2PO，利用正弦函数即可求得所作的叫是30°角．
【详解】（1）如图即为补全的图形；

（2）完成下面的证明．
∵PM＝PN＝QM＝QN，
∴四边形PMQN是菱形．
∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（菱形对角线互相垂直平分）．
∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝，
∴∠PCB＝30°．
故答案为：菱形，菱形对角线互相垂直平分，．
【点睛】本题考查了复杂作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．本题还考查了菱形的判定与性质，及其正弦函数的应用．
20. 关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）m＜3；（2）取m＝0时，方程的两根为：x1＝0，x2＝4.
【解析】
【分析】(1)根据判别式的意义得到△＝(-4)2-4(2m-2)＞0，然后解不等式即可；
(2)在(1)中m的范围内取一个确定的值，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：(1)根据题意得△＝(-4)2-4(2m-2)＞0，
解得m＜3
故答案为：m＜3.
(2)取m＝0，
此时方程为x2﹣4x＝0
即：x(x-4)=0
解得x1＝0，x2＝4．
取m＝0时，方程的两根为：x1＝0，x2＝4.
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
21. 如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝3，tan∠CAB＝时，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】(1)由平行四边形性质和已知条件得出AC＝BD，即可得出结论；
(2)过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出EG＝EA．由三角函数定义得出AB＝4，sin∠CAB＝sin∠ABD＝，设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BEG中，由三角函数定义得出，即可得出答案．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO．
∵AO＝BO，
∴AC＝BD．
∴平行四边形ABCD为矩形．
(2)过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的角平分线，
∴EG＝EA．
∵AO＝BO，
∴∠CAB＝∠ABD．
∵AD＝3，tan∠CAB＝，
∴tan∠CAB＝tan∠ABD＝＝．
∴AB＝4．
∴BD＝，sin∠CAB＝sin∠ABD＝．
设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x，
在△BEG中，∠BGE＝90°，
∴sin∠ABD＝．
解得：x＝，
∴AE＝．
故答案为：.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．
22. 某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标，，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：

注“●”表示患者，“▲”表示非患者．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这40名被调查者中，
①指标低于0．4的有　　人；
②将20名患者的指标的平均数记作，方差记作，20名非患者的指标的平均数记作，方差记作，则 ， (填“>”，“=”或“<”)；
（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标低于0．3的大约有 人；
（3）若将“指标低于0．3，且指标低于0．8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率多少．
【答案】（1）①9；② <，>；（2）100；（3）0.25
【解析】
【分析】（1）①直接统计指标低于0．4的有人的个数即可；
②通过观察图表估算出指标、的平均数，然后再进行比较即可确定平均数的大小；根据点的分散程度可以确定方差的大小关系．
（2）先估算出样本中未患这种疾病的人中指标低于0．3的概率,然后500乘以该概率即可；
（3）通过观察统计图确定不在“指标低于0．3，且指标低于0．8”范围内且患病的人数，最后用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）①经统计指标低于0．4的有9人 ,故答案为9；
②观察统计图可以发现，大约在0.3左右，大约在0.6左右，故＜；
观察图表可以发现，x指标的离散程度大于y指标，故＞；
故答案为<、>；
（2）由统计图可知：在20名未患病的样本中，指标低于0．3的大约有4人，则概率为；所以的500名未患这种疾病的人中，估计指标低于0．3的大约有500×=100人．
故答案为100；
（3）通过统计图可以发现有五名患病者没在“指标低于0．3，且指标低于0．8”，漏判；则被漏判的概率为=0.25.
答：被漏判的概率为0.25.
【点睛】本题考查概率的求法，平均数、方差的估计等基础知识，从统计图中获取信息、估计平均数和方差是解答本题的关键．
23. 如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），AB＝6cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交于点F，连接FD．小腾根据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：

位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
AC/cm
0.1
0.5
1.0
1.9
2.6
3.2
4.2
4.9
CD/cm
0.1
0.5
1.0
1.8
2.2
2.5
2.3
1.0
FD/cm
0.2
1.0
1.8
2.8
3.0
2.7
1.8
0.5

在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定　 　的长度是自变量，　 　的长度和　 　的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是　 　．
【答案】（1）AC，CD，FD；（2）详见解析；（3）3.5cm＜x＜5cm
【解析】
【分析】（1）根据函数定义可得结论．
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）利用图象法，观察图象写出函数CD的图象在函数DF的图象上方时，自变量的取值范围即可．
【详解】解：（1）由题意可知：AC是自变量，CD，DF是自变量AC的函数．
故答案为：AC，CD，FD．
（2）函数图象如图所示：

（3）观察图象可知CD＞DF时，3.5cm＜x＜5cm．
故答案为：3.5cm＜x＜5cm．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了函数的有关性质，描点法画函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P(0，n)（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x＋3于点D．
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

【答案】（1）m=4，k=4；（2）①3；②0＜n≤2或．
【解析】
【分析】（1）先利用一次函数解析式求出m的值，即可得到A点坐标，然后将A点坐标代入反比例函数解析式即可求得k的值；
（2）①先确定C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差即可解答；
②先确定B点坐标为（-3，0），再根据C、D的纵坐标都为n，然后再根据题意确定C、D的坐标，最后分点C在点D的右侧和点C在点D的左侧两种情况解答即可．
【详解】解：∵直线y=x+3经过点A（1，m），
∴m=1+3=4
∴反比例函数y＝的图象经过点A（1，4），
∴k=1×4=4；
（2）如图：①当n=2时，点P的坐标为（0，2）.
当y=2时，2=，解得x=2，即点C的坐标为（2，2）
当y=2时，x+3=2，解得x=-1，即点D的坐标为（-1，2）
∴CD=2-（-1）=3；
②如图：当y=0时，x+3=0，解得x=-3，则B（-3，0）
当y=n时，n=，解得x=，即点C的坐标为（，n）.
当y=n时，x+3=n，解得x=n-3，即点D的坐标为（n-3，n）
当点C在点D的右侧时，
∵CD=OB
∴-（n-3）=3，解得n1=2，n2=-2（舍去）
∴当0 当点C在点D的左侧时
∵CD=OB，即n-3-=3，解得（舍去）
∴当n≥时，CD≥OB；
综上所述，n的取值范围为0＜n≤2或．

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题以及运用待定系数法求函数解析式等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
25. 如图，AB为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接CD，过点C作，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．

（1）若，求证：CE是的切线．
（2）若的半径为，，求AC的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）连接OC，可证明OC//DE，由于CE⊥DB，∠CED=90°，所以∠OCE=90°，OC⊥CE，根据切线的判定即可求出答案．
（2）连接BC，由于∠BDC=∠BAC，所以=，设BC=x，AC=2x，所以AB=x，列出方程即可求出x的值．
【小问1详解】
解：连接OC，

∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠COB=2∠OAC，
∵∠BDC=∠OAC，∠ABD=2∠BDC，
∴∠COB=∠ABD，
∴OC//DE，
∵CE⊥DB，∠CED=90°，
∴∠OCE=90°，OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线．
【小问2详解】
连接BC，
∵∠BDC=∠BAC，
∴=，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴，
设BC=x，AC=2x，
∴AB=，
∵⊙O的半径为，
∴，
∴x=2，
∴AC=2x=4．
【点睛】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定，锐角三角函数的定义、圆周角定理以及勾股定理．
26. 已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝　 　；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）1；（2）y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）﹣1≤t≤2
【解析】
【分析】（1）由对称轴是直线x＝，可求解；
（2）分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
（3）利用函数图象的性质可求解．
【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，
故答案为：1；
（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，
当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，
∴3a﹣（﹣a）＝4．
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；
当a＜0时，同理可得
y有最大值为﹣a； y有最小值为3a，
∴﹣a﹣3a＝4，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；
综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；
（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，
∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，
∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，
∴t≥﹣1，t+1≤3，
∴﹣1≤t≤2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．
27. 如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段EF，DF，BE之间的数量关系，并证明；
（3）连接CE，若AB＝2，请直接写出线段CE长度的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）EF＝DF+BE，证明见解析；（3）CE的最小值为．
【解析】
【分析】（1）依题意补全图形；
（2）过点A作AM⊥FD交FD的延长线于点M，可证四边形AEFM是矩形，由“AAS”可证△AEB≌△AMD，可得BE＝DM，AE＝AM，可证矩形AEFM是正方形，可得EF＝MF，可得结论；
（3）取AB中点O，连接OC，由勾股定理可求OC＝5，由点E在以O为圆心，OB为半径的圆上，可得当点E在OC上时，CE有最小值，即可求解．
【详解】解：（1）依题意补全图形，如图，

（2）线段EF，DF，BE的数量关系为：EF＝DF+BE，
理由如下：如图，过点A作AM⊥FD交FD的延长线于点M，

∵∠M＝∠F＝∠AEF＝90°，
∴四边形AEFM是矩形，
∴∠DAE+∠MAD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE+∠DAE＝90°，AB＝AD，
∴∠BAE＝∠MAD．
又∵∠AEB＝∠M＝90°，
∴△AEB≌△AMD（AAS）
∴BE＝DM，AE＝AM，
∴矩形AEFM是正方形，
∴EF＝MF，
∵MF＝DF+DM，
∴EF＝DF+BE；
（3）如图，取AB中点O，连接OC，

∵AB＝2
∴OB＝，
∴OC＝＝5，
∵∠AEB＝90°，
∴点E在以O为圆心，OB为半径的圆上，
∴当点E在OC上时，CE有最小值，
∴CE的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，确定点E的运动轨迹是本题的关键．
28. 对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系
(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，)，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP．
①线段OP的最小值为_______，最大值为_______；线段CP的取值范直范围是_____；
②在点O，点C中，点____________与线段DE满足限距关系；

(2)如图2，⊙O的半径为1，直线(b>0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；
(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和¤K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）①，，，②O；（2）；（3）0＜r≤3．
【解析】
【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，CP的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．
（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），分三种情形：①线段FG在⊙O内部，②线段FG与⊙O有交点，③线段FG 与⊙O没有交点，分别构建不等式求解即可．
（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据⊙H和⊙K都满足限距关系，构建不等式求解即可．
【详解】（1）①如图1中，

∵D（-1，0），E(0，)，
∴OD=1，，
∴，
∴∠EDO=60°，
当OP⊥DE时，，此时OP的值最小，
当点P与E重合时，OP的值最大，最大值为，
当CP⊥DE时，CP的值最小，最小值，
当点P与D或E重合时，PC的值最大，最大值为2，
故答案为：，，.
②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM=2ON，
故点O与线段DE满足限距关系．
故答案为O．
（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），
当0＜b＜1时，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1-b，最大距离为1+b，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴1+b≥2（1-b），
解得，
∴b的取值范围为．
当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，
当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为，最大距离为b+1，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴，
而总成立，
∴b＞2时，线段FG 与⊙O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为．
（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，

两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，
∵⊙H和⊙K都满足限距关系，
∴2r+2≥2（2r-2），
解得r≤3，
故r的取值范围为0＜r≤3．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．