河北省石家庄市第四中学2022—2023学年下学期七年级期中数学试卷

这是一份河北省石家庄市第四中学2022—2023学年下学期七年级期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了下列方程组是二元一次方程组的是，关于命题，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省石家庄四中七年级（下）期中数学试卷一.选择题（共15小题，共30分）​1．下列方程组是二元一次方程组的是（　　）A． B． C． D．2．关于命题：若|a|＞|b|，则a＞b．下列说法正确的是（　　）A．它是真命题 B．它是假命题，反例a＝3，b＝﹣4 C．它是假命题，反例a＝4，b＝3 D．它是假命题，反例a＝﹣4，b＝33．下列计算正确的是（　　）A．（﹣a）4÷a3＝a B．a2•a3＝a6 C．（﹣x3y）2＝x5y2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y24．用代入法解方程组时，代入正确的是（　　）A．x﹣2+x＝5 B．x﹣2+2x＝5 C．x﹣2﹣2x＝5 D．x﹣2﹣x＝55．如图，从人行横道线上的点M处过马路，沿线路MC行走距离最短，其数学依据是（　　）A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直6．“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来．”每年4月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多市民和游客前来赏花踏春，桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（　　）A．0.3×10﹣4 B．3×10﹣5 C．0.3×10﹣5 D．3×10﹣47．如图，下列条件能使AB∥CD的是（　　）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠2＝∠48．已知是二元一次方程3x﹣ay＝1的一个解，则a的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．29．已知，P是任意一点，过点P画一条直线与BC平行，则这样的直线（　　）A．有且只有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在10．如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右边平移1米就是他的右边线，这块草地的绿地面积是（　　）平方米．A．ab B．a（b﹣1） C．b（a﹣1） D．（a﹣1）（b﹣1）11．为更加深入了解党的光荣历史，我校团委计划组织全校共青团员到曾家岩周公馆、红岩村纪念馆、烈士墓渣滓洞一线开展红色研学之旅．计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位．设计划调配30座客车x辆，全校共青团员共有y人，则根据题意可列出方程组为（　　）A． B． C． D．12．如果多项式（y+2a）与多项式（5﹣y）的乘积中不含y的一次项，则a的值为（　　）A． B． C．5 D．﹣513．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……，小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“29+28+……+2+1”的值，这个值为（　　）A．211﹣1 B．210﹣1 C．29﹣1 D．28﹣114．如图，把一张对边互相平行的纸条沿EF折叠，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝116°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝148°．其中正确的有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个15．下列说法中：①若am＝6，an＝3，则am﹣n＝2；②两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；③若（t﹣2）2t＝1，则t＝3或t＝0；④已知二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣3y＝﹣2的解，则a的值是0.5；其中正确的是（　　）A．①② B．②③ C．①④ D．③④二.填空题（共3小题，共9分）16．已知二元一次方程2x+3y＝7，用含x的代数式表示y，则y＝　                  　．17．如图，△ABC中，AC＝4cm，将△ABC沿AC方向右平移1cm得到△DEF，则DC＝　   　cm．​18．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3＝　     　． 三、解答题19．解方程组：（1）；（2）．20．（24分）计算：（1）x•x5﹣（2x3）2+x9÷x3；（2）（a﹣1）（a﹣2）﹣a（a﹣5）；（3）（2023﹣π）0﹣（﹣3）2+（）﹣1；（4）（1+3a）（1﹣3a）+（1+3a）2．21．如图，直线AB∥CD，∠1＝70°，∠D＝110°，求∠B的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝　     　（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝70°，∠D＝110° （已知），∴∠1+∠D＝180°（等式的性质）．∴∠C+∠D＝180°（ 　       　）．∴AC∥BD（ 　               　）．∴∠B＝∠1（ 　              　）．∴∠B＝70°．22．2022年北京冬奥会期间体育中心将举行短道速滑比赛，观看短道速滑比赛的门票分为两种：A种门票600元/张，B种门票120元/张．某旅行社为一个旅行团代购部分门票，若旅行社购买A，B两种门票共15张，总费用5160元，求旅行社为这个旅行团代购的A种门票和B种门票各多少张？（要求列方程组解答）23．【感知】如图①，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝130°，∠APC的度数为 　       　．【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线ON上运动，∠DAP＝∠α，∠CBP＝∠β，（1）当点P在线段CD上运动时，试探究∠APB，∠α，∠β之间的数量关系．（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出∠APB，∠α，∠β之间的数量关系为 　                  　． 
 参考答案一.选择题（共15小题，共30分）​1．下列方程组是二元一次方程组的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据二元一次方程组的定义进行判断即可．解：A、有三个未知数，不是二元一次方程组，故A错误，不合题意；B、有两个未知数，且次数为一次，故B正确，符合题意；C、含有未知数项和的次数不是1，因此不是二元一次方程组，故C错误，不合题意；D、含有未知数项xy的次数为2，因此不是二元一次方程组，故D错误，不合题意．故选：B．【点评】本题考查二元一次方程组的判断，解题的关键是熟记二元一次方程组的定义，如果方程组中含有两个未知数，且含未知数项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．2．关于命题：若|a|＞|b|，则a＞b．下列说法正确的是（　　）A．它是真命题 B．它是假命题，反例a＝3，b＝﹣4 C．它是假命题，反例a＝4，b＝3 D．它是假命题，反例a＝﹣4，b＝3【分析】根据绝对值的性质判断即可．解：若|a|＞|b|，当a＞b＞0时，则a＞b；当a＜b＜0时，则a＜b，故选：D．【点评】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．3．下列计算正确的是（　　）A．（﹣a）4÷a3＝a B．a2•a3＝a6 C．（﹣x3y）2＝x5y2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式可进行判断．解：A，根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”知（﹣a）4÷a3＝a4÷a3＝a4﹣3＝a，符合题意；B，根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知a2•a3＝a2+3＝a5，不符合题意；C，根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”知（﹣x3y）2＝x6y2，不符合题意；D，根据完全平方公式知（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式，关键是依据法则计算，注意符号．4．用代入法解方程组时，代入正确的是（　　）A．x﹣2+x＝5 B．x﹣2+2x＝5 C．x﹣2﹣2x＝5 D．x﹣2﹣x＝5【分析】将②代入①整理即可得出答案．解：，把②代入①得，x﹣2（1+x）＝5，去括号得，x﹣2﹣2x＝5．故选：C．【点评】本题考查了用代入法解一元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．5．如图，从人行横道线上的点M处过马路，沿线路MC行走距离最短，其数学依据是（　　）A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断．解：从人行横道线上的点M处过马路，沿线路MC行走距离最短，其数学依据是垂线段最短．故选：C．【点评】本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线段最短．6．“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来．”每年4月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多市民和游客前来赏花踏春，桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（　　）A．0.3×10﹣4 B．3×10﹣5 C．0.3×10﹣5 D．3×10﹣4【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：0.00003＝3×10﹣5．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．如图，下列条件能使AB∥CD的是（　　）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠2＝∠4【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到正确的选项．解：A、∵∠1＝∠2，不能得出AB∥CD，不符合题意；B、∵∠3＝∠4，不能得出AB∥CD，不符合题意；C、∵∠1＝∠3，∴AB∥CD，符合题意；D、∵∠2＝∠4，∴AD∥BC，不能得出AB∥CD，不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．8．已知是二元一次方程3x﹣ay＝1的一个解，则a的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．解：把代入方程得：3﹣2a＝1，解得：a＝1，故选：B．【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．9．已知，P是任意一点，过点P画一条直线与BC平行，则这样的直线（　　）A．有且只有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在【分析】分点P在BC上和不在BC上两种情况，根据平行公理解答即可．解：①若点P在直线BC上，则不能画出与BC平行的直线，②若点P不在直线BC上，则过点P有且只有一条直线与BC平行，所以，这样的直线有一条或不存在．故选：D．【点评】本题考查了平行公理，难点在于要考虑点P与BC的位置．10．如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右边平移1米就是他的右边线，这块草地的绿地面积是（　　）平方米．A．ab B．a（b﹣1） C．b（a﹣1） D．（a﹣1）（b﹣1）【分析】根据小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式，可得答案．解：小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，路的宽度是1米，绿地的长是（a﹣1）米，绿地的面积是（a﹣1）b，故选：C．【点评】本题考查了生活中的平移现象，矩形的面积公式是解题关键．11．为更加深入了解党的光荣历史，我校团委计划组织全校共青团员到曾家岩周公馆、红岩村纪念馆、烈士墓渣滓洞一线开展红色研学之旅．计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位．设计划调配30座客车x辆，全校共青团员共有y人，则根据题意可列出方程组为（　　）A． B． C． D．【分析】根据“调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位”列出方程组即可．解：设计划调配30座客车x辆，全校共青团员共有y人，根据题意得：，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找到等量关系并列出方程组，难度不大．12．如果多项式（y+2a）与多项式（5﹣y）的乘积中不含y的一次项，则a的值为（　　）A． B． C．5 D．﹣5【分析】先去括号，合并同类项，再根据多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0，列方程，解得．解：（y+2a）（5﹣y）＝5y﹣y2+10a﹣2ay＝﹣y2+（5﹣2a）y+10a，∵多项式的乘积中不含y的一次项，∴5﹣2a＝0，∴a＝2.5；故选：B．【点评】本题主要考查了合并同类项、多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．13．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……，小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“29+28+……+2+1”的值，这个值为（　　）A．211﹣1 B．210﹣1 C．29﹣1 D．28﹣1【分析】根据给定的式子的规律可得（2﹣1）×（29+28+……+2+1）＝210﹣1，进一步求解即可．解：根据上面的规律，可得（2﹣1）×（29+28+……+2+1）＝210﹣1，∴29+28+……+2+1＝210﹣1，故选：B．【点评】本题考查了整式的乘法，找出式子的规律是解题的关键．14．如图，把一张对边互相平行的纸条沿EF折叠，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝116°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝148°．其中正确的有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据折叠的性质，平行线的性质即可求解．解：根据题意，AC'∥BD'，∠EFB＝32°，∴∠C'EF＝∠EFB＝32°，故结论①正确；∵EF是折痕，∴∠C'EF＝∠FEG＝32°，则∠C'EG＝32°+32°＝64°，∵∠AEC+∠C'EG＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠C'EG＝180°﹣64°＝116°，故结论②正确；∵AC'∥BD'，∴∠BGE＝∠GEC'＝64°，故结论③正确；∵∠BGE＝64°，∠BGE+∠BGC＝180°，∴∠BGC＝180°﹣∠BGE＝180°﹣64°＝116°，∵EC∥FD，∴∠BFD＝∠BGC＝116°，故结论④错误；综上所述，正确的有：①②③．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，理解折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．15．下列说法中：①若am＝6，an＝3，则am﹣n＝2；②两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；③若（t﹣2）2t＝1，则t＝3或t＝0；④已知二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣3y＝﹣2的解，则a的值是0.5；其中正确的是（　　）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【分析】利用同底数幂的除法法则，平行线的判定与性质，零指数幂的意义，有理数的乘方的意义，二元一次方程组的解法对每个说法进行逐一判断，即可得出结论．解：∵am＝6，an＝3，∴am﹣n＝am÷an＝6÷3＝2，∴①的说法正确；∵如果两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，∴②的说法不正确；∵若（t﹣2）2t＝1，∴t﹣2＝1或2t＝0或t﹣2＝﹣1，∴t＝3或t＝0或t＝1．∴③的说法不正确；∵二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣3y＝﹣2的解，∴的解是方程ax+y＝4的解，∵的解是，∴是方程ax+y＝4的解，∴4a+2＝4，∴a＝0.5．∴④的说法正确．∴说法正确的有：①④，故选：C．【点评】本题主要考查了同底数幂的除法法则，平行线的判定与性质，零指数幂的意义，有理数的乘方的意义，二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．二.填空题（共3小题，共9分）16．已知二元一次方程2x+3y＝7，用含x的代数式表示y，则y＝　﹣x+　．【分析】把x看作已知数求出y即可．解：方程2x+3y＝7，解得：y＝﹣x+，故答案为：﹣x+．【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．17．如图，△ABC中，AC＝4cm，将△ABC沿AC方向右平移1cm得到△DEF，则DC＝　3　cm．​【分析】根据平移的性质即可得到结论．解：∵将△ABC沿AC方向右平移1cm，得到△DEF，∴AD＝CF＝1cm，∵AC＝4cm，∴DC＝AC+AD＝3cm，故答案为：3．【点评】本题考查平移的基本性质，掌握平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键．18．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3＝　20　． 【分析】根据拼图可用a、b的代数式表示S1，S2；可知，当S1+S2＝40时，就是a2+b2﹣ab＝40，再利用a、b的代数式表示S3，变形后再整体代入计算即可求出答案．解：由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝a（a﹣b）+2b2﹣a2＝2b2﹣ab；S3＝＝，∵S1+S2＝a2+b2﹣ab，S1+S2＝40∴S3＝，＝20．故答案为：20．【点评】本题考查了列代数式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，理解a2+b2＝（a+b）2﹣2ab是解决问题的关键．三、解答题19．解方程组：（1）；（2）．【分析】（1）利用加减消元法求解即可；（2）利用加减消元法求解即可．解：（1），①+②，得7x＝35，解得：x＝5，把x＝5代入①，得10﹣3y＝﹣2，解得：y＝4，所以方程组的解是；（2），①+②×2，得11x＝11，解得：x＝1，把x＝1代入②，得4﹣y＝3，解得：y＝1，所以方程组的解是．【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．20．（24分）计算：（1）x•x5﹣（2x3）2+x9÷x3；（2）（a﹣1）（a﹣2）﹣a（a﹣5）；（3）（2023﹣π）0﹣（﹣3）2+（）﹣1；（4）（1+3a）（1﹣3a）+（1+3a）2．【分析】（1）先算同底数的幂相乘除，幂的乘方与积的乘方，再合并同类项；（2）先展开，再合并同类项；（3）先算零指数幂，负整数指数幂和乘方运算，再算加减；（4）先用平方差公式，完全平方公式展开，再合并同类项．解：（1）原式＝x6﹣4x6+x6＝﹣2x6；（2）原式＝a2﹣2a﹣a+2﹣a2+5a＝2a+2；（3）原式＝1﹣9+2＝﹣6；（4）原式＝1﹣9a2+1+6a+9a2＝6a+2．【点评】本题考查实数混合运算和整式的混合运算，解题的关键是掌握实数，整式相关的运算法则．21．如图，直线AB∥CD，∠1＝70°，∠D＝110°，求∠B的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝　∠C　（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝70°，∠D＝110° （已知），∴∠1+∠D＝180°（等式的性质）．∴∠C+∠D＝180°（ 　等量代换　）．∴AC∥BD（ 　同旁内角互补，两直线平行　）．∴∠B＝∠1（ 　两直线平行，同位角相等　）．∴∠B＝70°．【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠C（两直线平行，内错角相等），又∵∠1＝70°，∠D＝110° （已知），∴∠1+∠D＝180°（等式的性质），∴∠C+∠D＝180°（等量代换），∴AC∥BD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠B＝∠1（两直线平行，同位角相等），∴∠B＝70°，故答案为：∠C；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．22．2022年北京冬奥会期间体育中心将举行短道速滑比赛，观看短道速滑比赛的门票分为两种：A种门票600元/张，B种门票120元/张．某旅行社为一个旅行团代购部分门票，若旅行社购买A，B两种门票共15张，总费用5160元，求旅行社为这个旅行团代购的A种门票和B种门票各多少张？（要求列方程组解答）【分析】设旅行社为这个旅行团代购A种门票x张，B种门票y张，利用总价＝单价×数量，结合“旅行社购买A，B两种门票共15张，总费用5160元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设旅行社为这个旅行团代购A种门票x张，B种门票y张，依题意得：，解得：．答：旅行社为这个旅行团代购A种门票7张，B种门票8张．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．23．【感知】如图①，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝130°，∠APC的度数为 　105°　．【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线ON上运动，∠DAP＝∠α，∠CBP＝∠β，（1）当点P在线段CD上运动时，试探究∠APB，∠α，∠β之间的数量关系．（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出∠APB，∠α，∠β之间的数量关系为 　当点P在D、N两点之间时，∠APB＝∠β﹣∠α；当点P在C、O两点之间时，∠APB＝∠α﹣∠β　． 【分析】【感知】过P作PQ∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝55°+50°＝105°．【探究】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠BPE，即可得出答案；（2）分两种情况：点P在A、M两点之间；点P在B、O两点之间；分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．【解答】【感知】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠APQ＝180°﹣∠PAB＝55°，∠CPQ＝180°﹣∠PCD＝50°，∴∠APC＝50°+55°＝105°；故答案为：105°；【探究】解：（1）∠APB＝∠α+∠β，理由如下：如图②，过P作PE∥AD交AB于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠BPE，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠α+∠β；（2）当点P在D、N两点之间时，∠APB＝∠β﹣∠α；理由：如图③，过P作PE∥AD交AB于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠BPE，∴∠APB＝∠BPE﹣∠APE＝∠β﹣∠α；当点P在C、O两点之间时，∠APB＝∠α﹣∠β．理由：如图④，过P作PE∥AD交AB于E点，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠BPE，∴∠APB＝∠APE﹣∠BPE＝∠α﹣∠β．故答案为：当点P在D、N两点之间时，∠APB＝∠β﹣∠α；当点P在C、O两点之间时，∠APB＝∠α﹣∠β．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．