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浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷
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这是一份浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1．2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．用反证法证明“∠1＞90°”，应先假设（ ）
A．∠1≠90° B．∠1＝90° C．∠1＜90° D．∠1≤90°
4．方程3x2﹣2x﹣6＝0，一次项系数为（ ）
A．﹣2 B．﹣2x C．﹣6 D．6
5．矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线平分一组对角 D．对角线相等
6．下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+7x+15＝0 D．x2﹣2x+1＝0
7．某基金2019年总投入10.8万元，到2021年总额预计达到14万元，设该基金的年平均涨幅为x，则可列方程为（ ）
A．10.8（1+x）＝14 B．10.8（1+2x）＝14
C．10.8（1+x）2＝14 D．10.8（1+x+x2）＝14
8．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件如下：①AE＝CF；②BF＝DE；③AE⊥BD，CF⊥BD；④∠1＝∠2；⑤∠3＝∠4．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是（ ）
A．8 B．12 C．8 D．16
10．在▱ABCD中，∠ABC＝30°，AB＝8，AC＝5，则▱ABCD的周长是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．如果一个n边形的内角和等于它的外角和，则n＝ ．
12．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，则a＝ ，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的方差为 ．
13．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么DE＝ ，AD＝ ，两个长方形的面积和＝ ．
14．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，则a的值为 ；
（2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为 ．
15．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点A的坐标为（﹣3，﹣5），点B的坐标为（10，m），点D的坐标为（n，6），则边CD＝ ．
16．如图，过▱ABCD内任意一点P作各边的平行线分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H．若S▱ABCD＝79，S▱AEPH＝13，则S△AFG＝ ．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
17．用合适的方法解下列方程．
（1）x2﹣5x＝0；
（2）x（x﹣1）﹣1＝0．
18．某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）
九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
通过数据分析，列表如：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
91.8
b
c
51.1
九年级（2）班
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
（3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生总人数是多少？
19．在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心在原点，点A，B的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣2，﹣1）．
（1）在如图直角坐标系中，画出这个平行四边形；
（2）写出点C、D的坐标，则C ，D ；
（3）▱ABCD的周长为 ，▱ABCD的面积为 ．
20．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求：①AC的长；②四边形BCFD的面积．
21．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
（1）若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝6，点P为BC上一个动点，连接PA，以PA，PC为邻边作▱PAQC，连接PQ交AC于点O，
（1）求当PB长为何值时，▱PAQC为矩形？
（2）求当PB长为何值时，▱PAQC菱形？
（3）在点P的运动过程中，线段PQ是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
23．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，∠B＝∠C，则四边形ABCD为“等邻角四边形”．
（1）定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形得是 ．
①平行四边形
②矩形
③菱形
④等腰梯形
（2）深入探究：
①已知四边形ABCD为“等邻角四边形”，且∠A＝120°，∠B＝100°，则∠D＝ °．
②如图②，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四边形．
（3）拓展应用：
如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生变化？请说明理由．
参考答案
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1．2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，C选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．
2．下列各式运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法法的法则对各项进行运算即可．
解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、（）＝2﹣1，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．用反证法证明“∠1＞90°”，应先假设（ ）
A．∠1≠90° B．∠1＝90° C．∠1＜90° D．∠1≤90°
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
解：用反证法证明“∠1＞90°”应先假设∠1≤90°，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
4．方程3x2﹣2x﹣6＝0，一次项系数为（ ）
A．﹣2 B．﹣2x C．﹣6 D．6
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
解：方程3x2﹣2x﹣6＝0，一次项系数为﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
5．矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线平分一组对角 D．对角线相等
【分析】由矩形、菱形都平行四边形，可知矩形、菱形都具有“对角线互相平分”的性质，可判断A正确；由菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，可判断B不符合题意；由菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角，可判断C不符合题意；由矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
解：∵矩形、菱形都平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，
∴矩形的对角线互相平分、菱形的对角线互相平分，
∴矩形、菱形都具有“对角线互相平分”的性质，
故A正确；
∵菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，
∴对角线互相垂直不是矩形、菱形都具有的性质，
故B不符合题意；
∵菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角，
∴对角线平分一组对角不是矩形、菱形都具有的性质，
故C不符合题意；
∵矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，
∴对角线相等不是矩形、菱形都具有的性质，
故D不符合题意，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质等知识，正确理解并且熟练运用平行四边形、矩形、菱形的性质定理是解题的关键．
6．下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+7x+15＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根判断即可．
解：A、Δ＝12﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、Δ＝72﹣4×1×15＝﹣11＜0，则该方程无实数根，故本选项符合题意；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
7．某基金2019年总投入10.8万元，到2021年总额预计达到14万元，设该基金的年平均涨幅为x，则可列方程为（ ）
A．10.8（1+x）＝14 B．10.8（1+2x）＝14
C．10.8（1+x）2＝14 D．10.8（1+x+x2）＝14
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果年平均涨幅为x，根据“2019年总投入10.8万元，到2021年总额预计达到14万元”即可得出方程．
解：设年平均涨幅为x，则2020的总投入为：10.8（1+x）万元，2021的总投入为：10.8（1+x）2万元，
那么可得方程：10.8（1+x）2＝14．
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于60即可．
8．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件如下：①AE＝CF；②BF＝DE；③AE⊥BD，CF⊥BD；④∠1＝∠2；⑤∠3＝∠4．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
添加AE＝CF，不能证明△ABE≌△CDF，
∴不能证明AE∥CF，
故不能证明四边形AECF是平行四边形，故①不符合题意；
添加BF＝DE，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
即BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故②符合题意；
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE∥CF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故③符合题意；
∵∠1＝∠2，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠3＝∠4，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故④符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CFD，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故⑤符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是（ ）
A．8 B．12 C．8 D．16
【分析】连接BF，作点A关于CD的对称点G，连接BG，FG，根据轴对称的性质可得AF＝FG，AD＝DG，根据矩形的性质可得AF＝FG，AD＝DG，进一步可知四边形BEFC是矩形，根据矩形的性质可得CE＝BF，AF+CE的最小值等于AF+BF的最小值，即BG的长度，进一步求BG的长，即可确定AF+CE的最小值．
解：连接BF，作点A关于CD的对称点G，连接BG，FG，如图所示：
则AF＝FG，AD＝DG，
在矩形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠BAD＝90°，
∵EF∥BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴四边形BEFC是矩形，
∴CE＝BF，
∴AF+CE的最小值等于AF+BF的最小值，即BG的长度，
∵AB＝8，AD＝4，
∴AG＝8，
根据勾股定理，得BG＝＝＝，
∴AF+CE的最小值为，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，涉及轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
10．在▱ABCD中，∠ABC＝30°，AB＝8，AC＝5，则▱ABCD的周长是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【分析】根据题意可知：存在两种情况，然后分别画出相应的图形，根据勾股定理，即可求得BC的长，从而可以计算出▱ABCD的周长．
解：第一种情况：作AE⊥BC，交BC于点E，如图1所示，
∵∠ABC＝30°，AB＝8，AC＝5，
∴AE＝4，
∴BE＝＝＝4，EC＝＝＝3，
∴BC＝BE+CE＝4+3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4+3，
∴▱ABCD的周长是：AB+BC+CD+AD＝8+4+3+8+4+3＝22+8；
第二种情况：作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，如图2所示，
∵∠ABC＝30°，AB＝8，AC＝5，
∴AE＝4，
∴BE＝＝＝4，EC＝＝＝3，
∴BC＝BE﹣CE＝4﹣3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4﹣3，
∴▱ABCD的周长是：AB+BC+CD+AD＝8+4﹣3+8+4﹣3＝10+8；
由上可得，▱ABCD的周长是22+8或10+8，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．如果一个n边形的内角和等于它的外角和，则n＝ 4 ．
【分析】根据多边形的内角和的计算方法以及多边形的外角和是360°列方程求解即可．
解：由题意得，
（n﹣2）×180°＝360°，
解得n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算方法以及外角和是360°是正确解答的关键．
12．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，则a＝ 8 ，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的方差为 ．
【分析】首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后根据方差公式即可求出结果．
解：∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，
∴，
解得a＝8，b＝4，
则新数据3，8，8，5，8，6，4，
∴方差为×[（3﹣6）2+3×（8﹣6）2+（5﹣6）2+（6﹣6）2+（4﹣6）2]＝．
故答案为：8，．
【点评】此题考查了方差，掌握方差公式是解题的关键．
13．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么DE＝ ，AD＝ ，两个长方形的面积和＝ ．
【分析】依据正方形的面积公式可求DE及AD，再用大正方形ABCD的面积减去两个小正方形的面积即得两个长方形的面积和．
解：由正方形的面积＝边长×边长，
∴面积为5的正方形的边长为，面积为2的正方形的边长为．
∴DE＝，AD＝DE+AE＝DE+BG＝．
∴两个长方形的面积的和＝S正方形ABCD﹣面积为5的正方形﹣面积为2的正方形＝﹣5﹣2＝5+2﹣﹣5﹣2＝．
故答案为：，，．
【点评】本题考查了正方形的面积公式的逆运用及二次根式的加减，需要熟练掌握运算技巧解题．
14．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，则a的值为 ﹣14 ；
（2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为 4，2，1 ．
【分析】（1）将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0即可求a；
（2）由于根的存在性可得Δ＝64﹣36（a﹣3）≥0，再结合二次项系数a≠3，可求a的范围进而解答．
解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0，
可得a﹣3+8+9＝0，
∴a＝﹣14；
故答案为：﹣14；
（2）∵（a﹣3）x2﹣8x+9＝0是一元二次方程，
∴a≠3，
∵方程有实数根，
∴Δ＝64﹣36（a﹣3）≥0，
∴a≤，
∴a≤且a≠3，
∵a是正整数，
∴a＝4，2，1．
故答案为：4，2，1．
【点评】本题考查一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式求法，注意二次项系数的取值情况是解题的关键．
15．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点A的坐标为（﹣3，﹣5），点B的坐标为（10，m），点D的坐标为（n，6），则边CD＝ ．
【分析】根据轴对称的性质得到C（3，5），点D的坐标为（﹣10，6），根据勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴点A与点C，点B与点D关于原点对称，
∴C（3，5），
∵点B的坐标为（10，m），点D的坐标为（n，6），
∴n＝﹣10，
∴点D的坐标为（﹣10，6），
∴CD＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，两点间的距离公式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
16．如图，过▱ABCD内任意一点P作各边的平行线分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H．若S▱ABCD＝79，S▱AEPH＝13，则S△AFG＝ 33 ．
【分析】根据题意和图形，可以得到S△AFG＝S▱ABCD﹣（S△ABF+S△FCG+S△AGD），然后变形整理即可得到答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，EG∥AD，HF∥AB，
∴四边形ABFH，四边形FCGP，四边形AEGD都是平行四边形，
∴S△AFG＝S▱ABCD﹣（S△ABF+S△FCG+S△AGD）
＝S▱ABCD﹣（S▱ABFH+S▱FCGP+S▱AEGD）
∴2S△AFG＝2S▱ABCD﹣（S▱ABFH+S▱FCGP+S▱AEGD）
＝2S▱ABCD﹣S▱ABFH﹣S▱FCGP﹣S▱AEGD
＝S▱ABCD﹣S▱AEPH，
∵S▱ABCD＝79，S▱AEPH＝13，
∴S△AFG＝×（79﹣13）＝33．
故答案为：33．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是表示出△AFG的面积，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
17．用合适的方法解下列方程．
（1）x2﹣5x＝0；
（2）x（x﹣1）﹣1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用公式法即可求解．
解：（1）x2﹣5x＝0，
∴x（x﹣5）＝0，
∴x1＝0，x2＝5；
（2）x（x﹣1）﹣1＝0，
∴x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，x＝﹣1，
x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是会根据方程的形式确定适当方法解方程．
18．某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）
九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
通过数据分析，列表如：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
91.8
b
c
51.1
九年级（2）班
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝ 40 ，b＝ 94 ，c＝ 96 ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
（3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生总人数是多少？
【分析】（1）根据九年级（2）班C组的百分数求a，根据众数和中位数的定义求b和c即可；
（2）根据方差的意义解答即可；
（3）利用样本估计总体即可．
解：（1）∵九年级（2）班C组占的百分比为×100%＝30%，
∴a%＝100%﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴a＝40，
∵（1）班10名学生测试成绩中，第5和6位置的数都是92和96，
∴b＝＝94，
∵（1）班10名学生测试成绩中，96出现的次数最多，
∴众数c＝96；
故答案为：40，94，96；
（2）这次比赛中，九年级（2）班成绩更平衡，更稳定，理由：
∵九年级（2）班的方差50.4小于九年级（1）班的方差52，
∴九年级（2）班成绩更平衡，更稳定；
（3）120×＝78（人），
答：估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的九年级（2）班学生人数是78人．
【点评】本题考查了平均数，中位数，方差及众数的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，众数是出现次数最多的数据．
19．在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心在原点，点A，B的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣2，﹣1）．
（1）在如图直角坐标系中，画出这个平行四边形；
（2）写出点C、D的坐标，则C （1，﹣3） ，D （2，1） ；
（3）▱ABCD的周长为 2+2 ，▱ABCD的面积为 14 ．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据C，D的位置写出坐标即可．
（3）利用勾股定理求出AB，CB即可解决问题．
解：（1）如图，平行四边形ABCD即为所求．
（2）C（1，﹣3）D（2，1）．
故答案为：（1，﹣3），（2，1）
（3）AB＝CD＝，BC＝AD＝，
∴平行四边形ABCD的周长为2+2．
平行四边形ABCD的面积为＝4×6﹣
＝24﹣2﹣3﹣2﹣3
＝14．
故答案为：2+2，14．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求：①AC的长；②四边形BCFD的面积．
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）①根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
②根据我ASA证得△ADE≌△CFE，然后利用四边形BCFD的面积＝三角形ABC的面积解答即可．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC．
∵CF∥AB，
∴四边形BCFD是平行四边形；
（2）解：①∵AB＝BC，E为AC的中点，
∴BE⊥AC．
∵AB＝2DB＝4，BE＝3，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝2．
②∵CF∥AB，
∴∠ADE＝∠CFE，
∠EAD＝∠ECF（ASA），
∵四边形BCFD是平行四边形，
∴BD＝CF＝AD，
∴△ADE≌△CFE，
四边形BCFD的面积＝三角形ABC的面积
＝AC×BE
＝
＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
（1）若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
【分析】（1）①设每千克茶叶降价x元，则每千克的销售利润为（400﹣x﹣240）元，平均每周可售出（200+×40）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×每周的销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
②由要尽可能让利于顾客，可得出每千克茶叶应降价80元，再利用折扣＝×10，即可求出结论；
（2）该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，假设该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元，设每千克茶叶降价y元，则每千克的销售利润为（400﹣y﹣240）元，平均每周可售出（200+×40）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×每周的销售量，可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣5900＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
解：（1）①设每千克茶叶降价x元，则每千克的销售利润为（400﹣x﹣240）元，平均每周可售出（200+×40）千克，
根据题意得：（400﹣x﹣240）（200+×40）＝41600，
整理得：x2﹣110x+2400＝0，
解得：x1＝30，x2＝80．
答：每千克茶叶应降价30元或80元；
②∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克茶叶应降价80元．
又∵×10＝8，
∴该店应按原售价的8折出售；
（2）该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：
假设该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元，
设每千克茶叶降价y元，则每千克的销售利润为（400﹣y﹣240）元，平均每周可售出（200+×40）千克，
根据题意得：（400﹣y﹣240）（200+×40）＝50000，
整理得：y2﹣110y+4500＝0，
∵Δ＝（﹣110）2﹣4×1×4500＝﹣5900＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算以及根的判别式，解题的关键是：（1）①找准等量关系，正确列出一元二次方程；②根据各数量之间的关系，列式计算；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝6，点P为BC上一个动点，连接PA，以PA，PC为邻边作▱PAQC，连接PQ交AC于点O，
（1）求当PB长为何值时，▱PAQC为矩形？
（2）求当PB长为何值时，▱PAQC菱形？
（3）在点P的运动过程中，线段PQ是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）当∠APC＝90°时，平行四边形APCQ是矩形，解直角三角形求出BP即可；
（2）当PB＝PC时，PA＝PB＝PC，此时平行四边形APCQ是菱形；
（3）设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′．
解：（1）当∠APC＝90°时，平行四边形APCQ是矩形，
∵∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵∠APB＝90°，AB＝6，
∴PB＝AB•cos60°＝6×＝3；
（2）当PB＝PC时，PA＝PB＝PC，此时平行四边形APCQ是菱形，
∵∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，AB＝6，
∴BC＝2AB＝12，
∴PB＝PC＝BC＝6；
（3）如图，设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝12，AC＝AB＝6，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA＝OC＝3，
∵OP′⊥BC，∠ACB＝30°，
∴OP'＝OC＝，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OP′＝3．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，没联系的判定，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，∠B＝∠C，则四边形ABCD为“等邻角四边形”．
（1）定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形得是 ②④ ．
①平行四边形
②矩形
③菱形
④等腰梯形
（2）深入探究：
①已知四边形ABCD为“等邻角四边形”，且∠A＝120°，∠B＝100°，则∠D＝ 70 °．
②如图②，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四边形．
（3）拓展应用：
如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生变化？请说明理由．
【分析】（1）根据“等邻角四边形”的定义判断即可；
（2）①分三种情形，分别求解即可；
②由ED∥BC得∠EDB＝∠DBC，根据对角线BD平分∠ABC，得∠ABD＝∠DBC，故∠ABD＝∠EDB，即证得四边形ABDE为等邻角四边形；
（3）过C作CH⊥AB于H，过P作PG⊥CH于G，由PM⊥AB，CH⊥AB，PG⊥CH，得四边形PMHG是矩形，得PM＝HG，可证明△PGC≌△CNP，得CG＝PN，即有PM+PN＝HG+CG＝CH，从而说明在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于C到AB的距离，不会变化．
【解答】（1）解：根据“等邻角四边形”的定义可知矩形，等腰梯形是“等邻角四边形”．
故答案为：②④；
（2）①解：∵∠A＝120°，∠B＝100°，
根据“等邻角四边形”定义可知：当∠C＝∠D，
∴∠D＝（360°﹣120°﹣100°）÷2＝70°，
当∠A＝∠D＝120°时，∠D＝120°，
当∠B＝∠C＝100°时，∠D＝360°﹣200﹣120°＝40°
故答案为：70或120或40；
②证明：∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴四边形ABDE为等邻角四边形；
（3）解：在点P的运动过程中，PM+PN的值不会发生变化，理由如下：
过C作CH⊥AB于H，过P作PG⊥CH于G，如图：
∵PM⊥AB，CH⊥AB，PG⊥CH，
∴∠PMH＝∠MHG＝∠HGP＝90°，
∴四边形PMHG是矩形，
∴PM＝HG，MH∥PG，即AB∥PG，
∴∠B＝∠GPC，
∵∠B＝∠NCP，
∴∠GPC＝∠NCP，
∵PN⊥CD，
∴∠PGC＝∠CNP＝90°，
在△PGC和△CNP中，
，
∴△PGC≌△CNP（AAS），
∴CG＝PN，
∴PM+PN＝HG+CG＝CH，
即在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于C到AB的距离，是定值．
【点评】本题是四边形综合题，考查多边形综合应用，涉及新定义、多边形内角和、三角形全等的判定及性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1．2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．用反证法证明“∠1＞90°”，应先假设（ ）
A．∠1≠90° B．∠1＝90° C．∠1＜90° D．∠1≤90°
4．方程3x2﹣2x﹣6＝0，一次项系数为（ ）
A．﹣2 B．﹣2x C．﹣6 D．6
5．矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线平分一组对角 D．对角线相等
6．下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+7x+15＝0 D．x2﹣2x+1＝0
7．某基金2019年总投入10.8万元，到2021年总额预计达到14万元，设该基金的年平均涨幅为x，则可列方程为（ ）
A．10.8（1+x）＝14 B．10.8（1+2x）＝14
C．10.8（1+x）2＝14 D．10.8（1+x+x2）＝14
8．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件如下：①AE＝CF；②BF＝DE；③AE⊥BD，CF⊥BD；④∠1＝∠2；⑤∠3＝∠4．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是（ ）
A．8 B．12 C．8 D．16
10．在▱ABCD中，∠ABC＝30°，AB＝8，AC＝5，则▱ABCD的周长是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．如果一个n边形的内角和等于它的外角和，则n＝ ．
12．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，则a＝ ，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的方差为 ．
13．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么DE＝ ，AD＝ ，两个长方形的面积和＝ ．
14．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，则a的值为 ；
（2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为 ．
15．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点A的坐标为（﹣3，﹣5），点B的坐标为（10，m），点D的坐标为（n，6），则边CD＝ ．
16．如图，过▱ABCD内任意一点P作各边的平行线分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H．若S▱ABCD＝79，S▱AEPH＝13，则S△AFG＝ ．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
17．用合适的方法解下列方程．
（1）x2﹣5x＝0；
（2）x（x﹣1）﹣1＝0．
18．某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）
九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
通过数据分析，列表如：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
91.8
b
c
51.1
九年级（2）班
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
（3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生总人数是多少？
19．在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心在原点，点A，B的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣2，﹣1）．
（1）在如图直角坐标系中，画出这个平行四边形；
（2）写出点C、D的坐标，则C ，D ；
（3）▱ABCD的周长为 ，▱ABCD的面积为 ．
20．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求：①AC的长；②四边形BCFD的面积．
21．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
（1）若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝6，点P为BC上一个动点，连接PA，以PA，PC为邻边作▱PAQC，连接PQ交AC于点O，
（1）求当PB长为何值时，▱PAQC为矩形？
（2）求当PB长为何值时，▱PAQC菱形？
（3）在点P的运动过程中，线段PQ是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
23．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，∠B＝∠C，则四边形ABCD为“等邻角四边形”．
（1）定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形得是 ．
①平行四边形
②矩形
③菱形
④等腰梯形
（2）深入探究：
①已知四边形ABCD为“等邻角四边形”，且∠A＝120°，∠B＝100°，则∠D＝ °．
②如图②，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四边形．
（3）拓展应用：
如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生变化？请说明理由．
参考答案
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1．2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，C选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．
2．下列各式运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法法的法则对各项进行运算即可．
解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、（）＝2﹣1，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．用反证法证明“∠1＞90°”，应先假设（ ）
A．∠1≠90° B．∠1＝90° C．∠1＜90° D．∠1≤90°
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
解：用反证法证明“∠1＞90°”应先假设∠1≤90°，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
4．方程3x2﹣2x﹣6＝0，一次项系数为（ ）
A．﹣2 B．﹣2x C．﹣6 D．6
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
解：方程3x2﹣2x﹣6＝0，一次项系数为﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
5．矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线平分一组对角 D．对角线相等
【分析】由矩形、菱形都平行四边形，可知矩形、菱形都具有“对角线互相平分”的性质，可判断A正确；由菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，可判断B不符合题意；由菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角，可判断C不符合题意；由矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
解：∵矩形、菱形都平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，
∴矩形的对角线互相平分、菱形的对角线互相平分，
∴矩形、菱形都具有“对角线互相平分”的性质，
故A正确；
∵菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，
∴对角线互相垂直不是矩形、菱形都具有的性质，
故B不符合题意；
∵菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角，
∴对角线平分一组对角不是矩形、菱形都具有的性质，
故C不符合题意；
∵矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，
∴对角线相等不是矩形、菱形都具有的性质，
故D不符合题意，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质等知识，正确理解并且熟练运用平行四边形、矩形、菱形的性质定理是解题的关键．
6．下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+7x+15＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根判断即可．
解：A、Δ＝12﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、Δ＝72﹣4×1×15＝﹣11＜0，则该方程无实数根，故本选项符合题意；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
7．某基金2019年总投入10.8万元，到2021年总额预计达到14万元，设该基金的年平均涨幅为x，则可列方程为（ ）
A．10.8（1+x）＝14 B．10.8（1+2x）＝14
C．10.8（1+x）2＝14 D．10.8（1+x+x2）＝14
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果年平均涨幅为x，根据“2019年总投入10.8万元，到2021年总额预计达到14万元”即可得出方程．
解：设年平均涨幅为x，则2020的总投入为：10.8（1+x）万元，2021的总投入为：10.8（1+x）2万元，
那么可得方程：10.8（1+x）2＝14．
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于60即可．
8．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件如下：①AE＝CF；②BF＝DE；③AE⊥BD，CF⊥BD；④∠1＝∠2；⑤∠3＝∠4．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
添加AE＝CF，不能证明△ABE≌△CDF，
∴不能证明AE∥CF，
故不能证明四边形AECF是平行四边形，故①不符合题意；
添加BF＝DE，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
即BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故②符合题意；
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE∥CF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故③符合题意；
∵∠1＝∠2，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠3＝∠4，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故④符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CFD，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故⑤符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是（ ）
A．8 B．12 C．8 D．16
【分析】连接BF，作点A关于CD的对称点G，连接BG，FG，根据轴对称的性质可得AF＝FG，AD＝DG，根据矩形的性质可得AF＝FG，AD＝DG，进一步可知四边形BEFC是矩形，根据矩形的性质可得CE＝BF，AF+CE的最小值等于AF+BF的最小值，即BG的长度，进一步求BG的长，即可确定AF+CE的最小值．
解：连接BF，作点A关于CD的对称点G，连接BG，FG，如图所示：
则AF＝FG，AD＝DG，
在矩形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠BAD＝90°，
∵EF∥BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴四边形BEFC是矩形，
∴CE＝BF，
∴AF+CE的最小值等于AF+BF的最小值，即BG的长度，
∵AB＝8，AD＝4，
∴AG＝8，
根据勾股定理，得BG＝＝＝，
∴AF+CE的最小值为，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，涉及轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
10．在▱ABCD中，∠ABC＝30°，AB＝8，AC＝5，则▱ABCD的周长是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【分析】根据题意可知：存在两种情况，然后分别画出相应的图形，根据勾股定理，即可求得BC的长，从而可以计算出▱ABCD的周长．
解：第一种情况：作AE⊥BC，交BC于点E，如图1所示，
∵∠ABC＝30°，AB＝8，AC＝5，
∴AE＝4，
∴BE＝＝＝4，EC＝＝＝3，
∴BC＝BE+CE＝4+3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4+3，
∴▱ABCD的周长是：AB+BC+CD+AD＝8+4+3+8+4+3＝22+8；
第二种情况：作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，如图2所示，
∵∠ABC＝30°，AB＝8，AC＝5，
∴AE＝4，
∴BE＝＝＝4，EC＝＝＝3，
∴BC＝BE﹣CE＝4﹣3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4﹣3，
∴▱ABCD的周长是：AB+BC+CD+AD＝8+4﹣3+8+4﹣3＝10+8；
由上可得，▱ABCD的周长是22+8或10+8，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．如果一个n边形的内角和等于它的外角和，则n＝ 4 ．
【分析】根据多边形的内角和的计算方法以及多边形的外角和是360°列方程求解即可．
解：由题意得，
（n﹣2）×180°＝360°，
解得n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算方法以及外角和是360°是正确解答的关键．
12．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，则a＝ 8 ，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的方差为 ．
【分析】首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后根据方差公式即可求出结果．
解：∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，
∴，
解得a＝8，b＝4，
则新数据3，8，8，5，8，6，4，
∴方差为×[（3﹣6）2+3×（8﹣6）2+（5﹣6）2+（6﹣6）2+（4﹣6）2]＝．
故答案为：8，．
【点评】此题考查了方差，掌握方差公式是解题的关键．
13．如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么DE＝ ，AD＝ ，两个长方形的面积和＝ ．
【分析】依据正方形的面积公式可求DE及AD，再用大正方形ABCD的面积减去两个小正方形的面积即得两个长方形的面积和．
解：由正方形的面积＝边长×边长，
∴面积为5的正方形的边长为，面积为2的正方形的边长为．
∴DE＝，AD＝DE+AE＝DE+BG＝．
∴两个长方形的面积的和＝S正方形ABCD﹣面积为5的正方形﹣面积为2的正方形＝﹣5﹣2＝5+2﹣﹣5﹣2＝．
故答案为：，，．
【点评】本题考查了正方形的面积公式的逆运用及二次根式的加减，需要熟练掌握运算技巧解题．
14．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，则a的值为 ﹣14 ；
（2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为 4，2，1 ．
【分析】（1）将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0即可求a；
（2）由于根的存在性可得Δ＝64﹣36（a﹣3）≥0，再结合二次项系数a≠3，可求a的范围进而解答．
解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0，
可得a﹣3+8+9＝0，
∴a＝﹣14；
故答案为：﹣14；
（2）∵（a﹣3）x2﹣8x+9＝0是一元二次方程，
∴a≠3，
∵方程有实数根，
∴Δ＝64﹣36（a﹣3）≥0，
∴a≤，
∴a≤且a≠3，
∵a是正整数，
∴a＝4，2，1．
故答案为：4，2，1．
【点评】本题考查一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式求法，注意二次项系数的取值情况是解题的关键．
15．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点A的坐标为（﹣3，﹣5），点B的坐标为（10，m），点D的坐标为（n，6），则边CD＝ ．
【分析】根据轴对称的性质得到C（3，5），点D的坐标为（﹣10，6），根据勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴点A与点C，点B与点D关于原点对称，
∴C（3，5），
∵点B的坐标为（10，m），点D的坐标为（n，6），
∴n＝﹣10，
∴点D的坐标为（﹣10，6），
∴CD＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，两点间的距离公式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
16．如图，过▱ABCD内任意一点P作各边的平行线分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H．若S▱ABCD＝79，S▱AEPH＝13，则S△AFG＝ 33 ．
【分析】根据题意和图形，可以得到S△AFG＝S▱ABCD﹣（S△ABF+S△FCG+S△AGD），然后变形整理即可得到答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，EG∥AD，HF∥AB，
∴四边形ABFH，四边形FCGP，四边形AEGD都是平行四边形，
∴S△AFG＝S▱ABCD﹣（S△ABF+S△FCG+S△AGD）
＝S▱ABCD﹣（S▱ABFH+S▱FCGP+S▱AEGD）
∴2S△AFG＝2S▱ABCD﹣（S▱ABFH+S▱FCGP+S▱AEGD）
＝2S▱ABCD﹣S▱ABFH﹣S▱FCGP﹣S▱AEGD
＝S▱ABCD﹣S▱AEPH，
∵S▱ABCD＝79，S▱AEPH＝13，
∴S△AFG＝×（79﹣13）＝33．
故答案为：33．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是表示出△AFG的面积，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
17．用合适的方法解下列方程．
（1）x2﹣5x＝0；
（2）x（x﹣1）﹣1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用公式法即可求解．
解：（1）x2﹣5x＝0，
∴x（x﹣5）＝0，
∴x1＝0，x2＝5；
（2）x（x﹣1）﹣1＝0，
∴x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，x＝﹣1，
x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是会根据方程的形式确定适当方法解方程．
18．某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）
九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
通过数据分析，列表如：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
91.8
b
c
51.1
九年级（2）班
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝ 40 ，b＝ 94 ，c＝ 96 ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
（3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生总人数是多少？
【分析】（1）根据九年级（2）班C组的百分数求a，根据众数和中位数的定义求b和c即可；
（2）根据方差的意义解答即可；
（3）利用样本估计总体即可．
解：（1）∵九年级（2）班C组占的百分比为×100%＝30%，
∴a%＝100%﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴a＝40，
∵（1）班10名学生测试成绩中，第5和6位置的数都是92和96，
∴b＝＝94，
∵（1）班10名学生测试成绩中，96出现的次数最多，
∴众数c＝96；
故答案为：40，94，96；
（2）这次比赛中，九年级（2）班成绩更平衡，更稳定，理由：
∵九年级（2）班的方差50.4小于九年级（1）班的方差52，
∴九年级（2）班成绩更平衡，更稳定；
（3）120×＝78（人），
答：估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的九年级（2）班学生人数是78人．
【点评】本题考查了平均数，中位数，方差及众数的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，众数是出现次数最多的数据．
19．在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心在原点，点A，B的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣2，﹣1）．
（1）在如图直角坐标系中，画出这个平行四边形；
（2）写出点C、D的坐标，则C （1，﹣3） ，D （2，1） ；
（3）▱ABCD的周长为 2+2 ，▱ABCD的面积为 14 ．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据C，D的位置写出坐标即可．
（3）利用勾股定理求出AB，CB即可解决问题．
解：（1）如图，平行四边形ABCD即为所求．
（2）C（1，﹣3）D（2，1）．
故答案为：（1，﹣3），（2，1）
（3）AB＝CD＝，BC＝AD＝，
∴平行四边形ABCD的周长为2+2．
平行四边形ABCD的面积为＝4×6﹣
＝24﹣2﹣3﹣2﹣3
＝14．
故答案为：2+2，14．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求：①AC的长；②四边形BCFD的面积．
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）①根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
②根据我ASA证得△ADE≌△CFE，然后利用四边形BCFD的面积＝三角形ABC的面积解答即可．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC．
∵CF∥AB，
∴四边形BCFD是平行四边形；
（2）解：①∵AB＝BC，E为AC的中点，
∴BE⊥AC．
∵AB＝2DB＝4，BE＝3，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝2．
②∵CF∥AB，
∴∠ADE＝∠CFE，
∠EAD＝∠ECF（ASA），
∵四边形BCFD是平行四边形，
∴BD＝CF＝AD，
∴△ADE≌△CFE，
四边形BCFD的面积＝三角形ABC的面积
＝AC×BE
＝
＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
（1）若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
【分析】（1）①设每千克茶叶降价x元，则每千克的销售利润为（400﹣x﹣240）元，平均每周可售出（200+×40）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×每周的销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
②由要尽可能让利于顾客，可得出每千克茶叶应降价80元，再利用折扣＝×10，即可求出结论；
（2）该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，假设该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元，设每千克茶叶降价y元，则每千克的销售利润为（400﹣y﹣240）元，平均每周可售出（200+×40）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×每周的销售量，可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣5900＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
解：（1）①设每千克茶叶降价x元，则每千克的销售利润为（400﹣x﹣240）元，平均每周可售出（200+×40）千克，
根据题意得：（400﹣x﹣240）（200+×40）＝41600，
整理得：x2﹣110x+2400＝0，
解得：x1＝30，x2＝80．
答：每千克茶叶应降价30元或80元；
②∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克茶叶应降价80元．
又∵×10＝8，
∴该店应按原售价的8折出售；
（2）该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：
假设该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元，
设每千克茶叶降价y元，则每千克的销售利润为（400﹣y﹣240）元，平均每周可售出（200+×40）千克，
根据题意得：（400﹣y﹣240）（200+×40）＝50000，
整理得：y2﹣110y+4500＝0，
∵Δ＝（﹣110）2﹣4×1×4500＝﹣5900＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算以及根的判别式，解题的关键是：（1）①找准等量关系，正确列出一元二次方程；②根据各数量之间的关系，列式计算；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝6，点P为BC上一个动点，连接PA，以PA，PC为邻边作▱PAQC，连接PQ交AC于点O，
（1）求当PB长为何值时，▱PAQC为矩形？
（2）求当PB长为何值时，▱PAQC菱形？
（3）在点P的运动过程中，线段PQ是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）当∠APC＝90°时，平行四边形APCQ是矩形，解直角三角形求出BP即可；
（2）当PB＝PC时，PA＝PB＝PC，此时平行四边形APCQ是菱形；
（3）设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′．
解：（1）当∠APC＝90°时，平行四边形APCQ是矩形，
∵∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵∠APB＝90°，AB＝6，
∴PB＝AB•cos60°＝6×＝3；
（2）当PB＝PC时，PA＝PB＝PC，此时平行四边形APCQ是菱形，
∵∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，AB＝6，
∴BC＝2AB＝12，
∴PB＝PC＝BC＝6；
（3）如图，设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝12，AC＝AB＝6，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA＝OC＝3，
∵OP′⊥BC，∠ACB＝30°，
∴OP'＝OC＝，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OP′＝3．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，没联系的判定，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，∠B＝∠C，则四边形ABCD为“等邻角四边形”．
（1）定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形得是 ②④ ．
①平行四边形
②矩形
③菱形
④等腰梯形
（2）深入探究：
①已知四边形ABCD为“等邻角四边形”，且∠A＝120°，∠B＝100°，则∠D＝ 70 °．
②如图②，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四边形．
（3）拓展应用：
如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生变化？请说明理由．
【分析】（1）根据“等邻角四边形”的定义判断即可；
（2）①分三种情形，分别求解即可；
②由ED∥BC得∠EDB＝∠DBC，根据对角线BD平分∠ABC，得∠ABD＝∠DBC，故∠ABD＝∠EDB，即证得四边形ABDE为等邻角四边形；
（3）过C作CH⊥AB于H，过P作PG⊥CH于G，由PM⊥AB，CH⊥AB，PG⊥CH，得四边形PMHG是矩形，得PM＝HG，可证明△PGC≌△CNP，得CG＝PN，即有PM+PN＝HG+CG＝CH，从而说明在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于C到AB的距离，不会变化．
【解答】（1）解：根据“等邻角四边形”的定义可知矩形，等腰梯形是“等邻角四边形”．
故答案为：②④；
（2）①解：∵∠A＝120°，∠B＝100°，
根据“等邻角四边形”定义可知：当∠C＝∠D，
∴∠D＝（360°﹣120°﹣100°）÷2＝70°，
当∠A＝∠D＝120°时，∠D＝120°，
当∠B＝∠C＝100°时，∠D＝360°﹣200﹣120°＝40°
故答案为：70或120或40；
②证明：∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴四边形ABDE为等邻角四边形；
（3）解：在点P的运动过程中，PM+PN的值不会发生变化，理由如下：
过C作CH⊥AB于H，过P作PG⊥CH于G，如图：
∵PM⊥AB，CH⊥AB，PG⊥CH，
∴∠PMH＝∠MHG＝∠HGP＝90°，
∴四边形PMHG是矩形，
∴PM＝HG，MH∥PG，即AB∥PG，
∴∠B＝∠GPC，
∵∠B＝∠NCP，
∴∠GPC＝∠NCP，
∵PN⊥CD，
∴∠PGC＝∠CNP＝90°，
在△PGC和△CNP中，
，
∴△PGC≌△CNP（AAS），
∴CG＝PN，
∴PM+PN＝HG+CG＝CH，
即在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于C到AB的距离，是定值．
【点评】本题是四边形综合题，考查多边形综合应用，涉及新定义、多边形内角和、三角形全等的判定及性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
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