数学（三）-2023年中考考前20天终极冲刺攻略

这是一份数学（三）-2023年中考考前20天终极冲刺攻略，共153页。试卷主要包含了对顶角，已知，方向角等内容，欢迎下载使用。



目 录 contents
（二）


图形的初步认识……………………………………………………………04


三角形与尺规作图………………………………………………………23


图形的相似…………………………………………………………………62


锐角三角函数………………………………………………………………96


图形的对称轴、平移与旋转…………………………………………121























中考倒计时
10天

图形的初步认识

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以选择题或填空题的形式考查，题目较为简单，属于低档题．
2．从考查内容来看，涉及本知识点的主要有：直线或线段的性质；平行线的性质与判定；利用平行线的性质解决有关的角的计算问题．
3．从考查热点来看，涉及本知识点的主要有：平行线的性质与判定；线段的中点与线段的性质相关的计算。

1、直线、射线、线段
1）直线的性质：（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
2）线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．
3）线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．
4）两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．
5）垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
6）点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．
2、角的相关概念
1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
2）角平分线
（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
3）度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°．
4）余角和补角
1） 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．
3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
5）方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．
3、相交线
1）三线八角
（1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．

∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．
（2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：

做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
2）垂直
（1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．
（2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．
3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．
4．对顶角
（1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．
5、平行线
1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
2）平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行．（2）内错角相等，两直线平行．（3）同旁内角互补，两直线平行．
（4）平行于同一直线的两直线互相平行．（5）垂直于同一直线的两直线互相平行．
3）平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．
4）平行线间的距离
（1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
（2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．

1．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（　　）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【分析】根据互余两角之和为90°计算即可．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠A的余角为：90°﹣40°＝50°，
故选：A．
2．（2022•陕西）若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为（　　）
A．42° B．52° C．132° D．142°
【分析】两角相加为180°，则两角互补．
【解答】解：180°﹣48°＝132°．
故选：C．
3．（2022•柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
【分析】应用两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．
故选：B．
4．（2022•北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（　　）

A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】根据对顶角的性质解答即可．
【解答】解：根据对顶角相等的性质，可得：∠1＝30°，
故选：A．
5．（2022•东营）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（　　）

A．40° B．50° C．60° D．65°
【分析】先由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠1+∠3+∠4＝180°，求出∠3的度数，再由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠2＝∠3＝50°．
【解答】解：如图：

∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°．
故选：B．
6．（2022•威海）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（　　）


A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【分析】根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可．
【解答】解：根据直线的性质补全图2并作出法线OK，如下图所示：

根据图形可以看出OB是反射光线，
故选：B．
7．（2022•玉林）已知：α＝60°，则α的余角是 　30　°．
【分析】根据如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角即可得出答案．
【解答】解：90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
8．（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A＝　120　°．
【分析】根据补角的定义即可得出答案．
【解答】解：∵∠A的补角为60°，
∴∠A＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120．
9．（2022•桂林）如图，直线l1，l2相交于点O，∠1＝70°，则∠2＝　70　°．

【分析】根据对顶角的性质解答即可．
【解答】解：∵∠1和∠2是一对顶角，
∴∠2＝∠1＝70°．
故答案为：70．
10．（2022•济宁）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是 　53°28'　．

【分析】由平行线性质即可解答．
【解答】解：如图：

∵l1∥l2，l2∥l3，
∴l1∥l3，
∴∠1＝∠3＝126°32'，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣126°32'＝53°28'；
故答案为：53°28'．
11．（2022•桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝　4　cm．

【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．
【解答】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，
故答案为：4．
12．（2022•宜昌）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是 　85°　．

【分析】过点C作CF∥AD，根据平行线的性质，求得∠ACF与∠BCF，再由角的和差可得答案．
【解答】解：过点C作CF∥AD，如图，

∵AD∥BE，
∴AD∥CF∥BE，
∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝∠DAC+∠EBC，
由C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，得
∠DAC＝50°，∠CBE＝35°．
∴∠ACB＝50°+35°＝85°，
故答案为：85°．
13．（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．

【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD；
（2）根据角平分线的定义求出∠DAE，根据平行线的性质求出∠AEB，得到∠AEB＝∠BCD，根据平行线的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝100°；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝50°，
∵∠BCD＝50°，
∴∠AEB＝∠BCD，
∴AE∥DC．

1．（2023•青海模拟）下列各图中，∠1与∠2是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023•文山州一模）已知∠A＝72°25′，则∠A的补角度数为（　　）
A．108°25′ B．17°35′ C．108°35′ D．107°35′
3．（2023•丰台区一模）下列度数的角，只借助一副三角尺不能拼出的是（　　）
A．15° B．75° C．105° D．115°
4．（2023•海安市一模）若点C是线段AB的中点，且BC＝3cm，则AB的长是（　　）
A．1.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
5．（2023•周口一模）如图，AO⊥BO，垂足为点O，直线CD经过点O．若∠1＝120°，则∠3的度数为（　　）

A．120° B．60° C．40° D．30°
6．（2023•仙居县一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　）

A．130° B．140° C．150° D．160°
7．（2023•永吉县一模）我们将一根细木条固定在墙上时，至少需要两根钉子．其数学道理是 　 　．
8．（2023•贺州一模）比较大小：40.15° 　 　40°15′（用＞、＝、＜填空）．
9．（2023•贾汪区一模）如图，点O是直线AB上一点，已知OD平分∠BOC，若∠AOD＝110°，则∠1的度数是 　 　°．

10．（2023•京口区模拟）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为　 　．

11．（2023•两江新区一模）如图，AB∥CD，∠A+∠E＝70°，则∠C为 　 　度．

12．（2023•青县校级模拟）如图，B处在A处的南偏西45°方向上，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东60°方向，求∠ACB的度数．









1．如图，∠1＝50°，则∠2的大小是（　　）

A．50° B．60° C．130° D．150°
2．已知∠α＝62°，则∠α的余角为（　　）
A．28° B．38° C．118° D．138°
3．如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若∠2＝50°，则∠1的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
4．一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）

A．72° B．70° C．65° D．60°
5．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为点O．若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　）

A．28° B．38° C．52° D．42°
6．已知∠A＝10°，则∠A的余角等于 　 　°．
7．如图，直线a与b相交，∠1+∠2＝240°，∠3＝　 　．

8．如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为 　 　．

9．如图，CA⊥BE于点A，AD⊥BF于点D，则图中与α互补的角是 　 　．

10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2＝28°，求∠1的度数．






11．【学习新如】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．
（1）【初步应用】如图2，有两块平面镜AB，BC，入射光线DO1经过两次反射，得到反射光线O2E，若∠B＝90°，证明：DO1∥O2E；
（2）【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F，已知∠1＝36°，∠B＝120°，若要使EO1∥O3F，则∠C为多少度？













名校预测
1．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【解答】解：只有选项C中的∠1与∠2是同位角．
故选：C．
2．【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°计算即可．
【解答】解：∵互补两角和为180°，
∴∠A的补角为180°﹣∠A＝180°﹣72°25′＝107°35′．
故选：D．
3．【分析】一副三角尺有以下几个角度：90°，60°，45°，30°；只要其中的两个角相加或者相减后能得出的角都可以用一副三角尺拼出．
【解答】解：A、15°＝45°﹣30°它可以用一副三角尺拼出；
B、75°＝45°+30°，它可以用一副三角尺拼出；
C、105°＝45°+60°，它可以用一副三角尺拼出；
D、115°，无法用一副三角尺拼出．
故选：D．
4．【分析】根据中点的定义进行计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的中点，且BC＝3cm，
∴AB＝2BC＝6cm，
故选：D．

5．【分析】根据邻补角的性质解决此题．
【解答】解：由图可知，∠1+3＝180°．
∵∠1＝120°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝60°．
故选：B．
6．【分析】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠（2分）成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5，

∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°，
∵∠4+∠5＝∠2＝50°，
∴∠5＝50°﹣∠4＝20°，
∴∠3＝180°﹣∠5＝160°，
故选：D．
7．【分析】由于两点确定一条直线，所以在墙上固定一根细木条至少需要两根钉子．
【解答】解：我们将一根细木条固定在墙上时，至少需要两根钉子．其数学道理是两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
8．【分析】根据度分秒的换算解决此题．
【解答】解：∵40.15°＝40°9′，
∴40.15°＜40°15′．
故答案为：＜．
9．【分析】先求出∠BOD＝70°，再根据角平分线的定义求出∠BOC，进而可求出∠1的度数．
【解答】解：∵∠AOD＝110°，
∴∠BOD＝180°﹣110°＝70°．
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOD＝140°，
∴∠1＝180°﹣140°＝40°．
故答案为：40．
10．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，
∴∠4＝180°﹣50°＝130°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠4＝130°．
故答案为：130°．

11．【分析】先根据三角形外角性质，得到∠BFE的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠C的度数．
【解答】解：∵∠BFE是△AEF的外角，
∴∠BFE＝∠E+∠A＝70°，
又∵AB∥CD，
∴∠C＝∠BFE＝70°，
故答案为：70．
12．【分析】先根据题意得出∠BAC的度数，由AE∥DB可得出∠DBA的度数，进而可得出∠ABC的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠ACB的度数．
【解答】解：根据题意，得∠BAE＝45°，∠CAE＝30°，∠DBC＝60°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE
＝45°+30°
＝75°．
∵AE∥DB，
∴∠DBA＝∠BAE＝45°，
∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA
＝60°﹣45°
＝15°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC
＝180°﹣15°﹣75°
＝90°．


专家押题
1．【分析】根据补角的性质即可得出答案．
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°．
故选：C．
2．【分析】根据互余的两角之和为90°，即可得出答案．
【解答】解：∠α的余角＝90°﹣62°＝28°．
故选：A．
3．【分析】由对顶角的性质得到∠3＝∠2＝50°，根据平行线的性质得到∠1＝∠3＝50°．
【解答】解：如图，
∵∠3和∠2是对顶角，
∴∠3＝∠2＝50°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝50°．
故选：B．

4．【分析】如图，由∠1＝45°+∠3，∠2＝30°+∠4，∠3＝∠4，可得∠1﹣45°＝∠2﹣30°，计算求解即可．
【解答】解：如图，

∵∠1＝45°+∠3，∠2＝30°+∠4，∠3＝∠4，
∴∠1﹣45°＝∠2﹣30°，
即80°﹣45°＝∠2﹣30°，
解得：∠2＝65°，
故选：C．
5．【分析】根据垂直的定义可得∠COE＝90°，根据平角的定义求解即可．
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠1+∠COE+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣52°＝38°．
故选：B．
6．【分析】根据余角的定义即可求出∠A的余角．
【解答】解：∠A的余角＝90°﹣∠A＝90°﹣10°＝80°；
故答案为：80．
7．【分析】根据对顶角相等可得∠1的度数，再利用邻补角互补可得答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝240°，
∴∠1＝∠2＝120°，
∵∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：60°．
8．【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠3+∠2＝180°，
∵∠1＝38°，∠2＝46°，
∴∠3＝96°
故答案为：96°．
9．【分析】根据垂直定义可得∠CAB＝∠ADC＝∠ADB＝90°，从而可得∠B+∠ACD＝90°，α+∠B＝90°，根据同角的余角相等可得α＝∠ACD，再根据平角定义可得结论．
【解答】解：∵CA⊥BE，AD⊥BF，
∴∠CAB＝∠ADB＝90°，
∴α+∠B＝90°，∠B+∠ACD＝90°，
∴α＝∠ACD，
∵α+∠EAD＝180°，
∴α与∠EAD互补，
∵∠ACD+∠ACF＝180°，∠ACD＝α，
∴α与∠ACF互补，
∴图中与α互补的角是∠EAD和∠ACF．
故答案为：∠EAD和∠ACF．
10．【分析】（1）由平行线的性质得∠A+∠ABC＝180°，再证∠C+∠ABC＝180°，即可得出结论；
（2）由角平分线定义得∠CBE＝∠2＝28°，再由平行线的性质得∠AEB＝∠CBE＝28°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∵BE平分∠ABC，∠2＝28°，
∴∠CBE＝∠2＝28°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE＝28°，
∴∠1＝180°﹣∠AEB＝180°﹣28°＝152°，
即∠1的度数为152°．
11．【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠2+∠3＝90°，进而得到∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，根据平角的定义求出∠DO1O2+∠O1O2E＝180°，即可判定DO1∥O2E；
（2）过点O2作O2M∥O1E，则O2M∥O1E，EO1∥O3F，根据平行线的性质及三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，∠B+∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1+∠DO1O2+∠2＝180°，∠3+∠O1O2E+∠4＝180°，
∴∠DO1O2+∠O1O2E＝180°，
∴DO1∥O2E；
（2）解：如图3，过点O2作O2M∥O1E，
∵∠1＝∠2＝36°，∠B＝120°，
∴∠3＝180°﹣36°﹣120°＝24°，
∴∠4＝∠3＝24°，
∵∠1＝∠2＝36°，∠1+∠EO1O2+∠2＝180°，
∴∠EO1O2＝108°，
同理，∠O1O2O3＝132°，
∵O2M∥O1E，
∴∠EO1O2+∠O1O2M＝180°，
∴∠O1O2M＝72°，
∴∠MO2O3＝∠EO1O2﹣∠O1O2M＝60°，
∵O2M∥O1E，EO1∥O3F，
∴O2M∥O3F，
∴∠MO2O3+∠O2O3F＝180°，
∴∠O2O3F＝120°，
∴∠5＝∠6＝×（180°﹣∠O2O3F）＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠4﹣∠5＝126°．


















中考倒计时
09天

三角形与尺规作图

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题考查,难度系数小,较简单,属于低档题
2．从考查内容来看,涉及本知识点的主要有：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法
3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有：三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法；角平分线的性质.

1、三角形的基础知识
1）三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．
2）三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．
3）三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
4）三角形中的重要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．
（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半．
2、全等三角形
1）三角形全等的判定定理：
（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2）全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．
3、等腰三角形
1）等腰三角形的性质
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
2）等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
4、等边三角形
1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
5、直角三角形与勾股定理
1）直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：（1）直角三角形两锐角互余；
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
2）勾股定理及逆定理
（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．


1．（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵3+3＝6，
∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5＜10，
∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+6＞9，
∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D、∵4+5＝9，
∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2022•德州）在△ABC中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断AB与AC大小关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用基本作图可直接对由A选项和B选项得到AC＞AB，根据基本作图和线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，由C选项得到AC＞AB，由D选项得到BC＞AB．
【解答】解：A．由作图痕迹，在AC上截取线段等于AB，则AC＞AB，所以A选项不符合题意；
B．由作图痕迹，在AB上延长线上截取线段等于AC，则AC＞AB，所以B选项不符合题意；
C．由作图痕迹，作BC的垂直平分线把AC分成两线段，则AC＞AB，所以C选项不符合题意；
D．由作图痕迹，作AC的垂直平分线，则BC＞AB，所以D选项符合题意．
故选：D．
3．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依据．
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故选：B．
4．（2022•常州）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝2，则BC的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵DE＝2，
∴BC＝4，
故选：B．
5．（2022•资阳）如图所示，在△ABC中，按下列步骤作图：
第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE，使AD＝AE；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于DE的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线AF交BC于点M；
第四步：过点M作MN⊥AB于点N．
下列结论一定成立的是（　　）

A．CM＝MN B．AC＝AN C．∠CAM＝∠BAM D．∠CMA＝∠NMA
【分析】根据题意可知，AM平分∠CAB，即可得出正确答案．
【解答】解：由题意可知，AM平分∠CAB，
∵∠C不一定等于90°，∴CM≥MN，因此A选项不符合题意；
∵∠C不一定等于90°，∴AC不一定等于AN，因此B选项不符合题意；
∵AM平分∠CAB，∴∠CAM＝∠BAM，因此C选项符合题意；
∵∠C不一定等于90°，∴∠CMA不一定等于∠NMA，因此D选项不符合题意．
故选：C．
6．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　）

A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；
B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；
C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
7．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（　　）

A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】利用等腰三角形的性质得出∠ADC＝90°，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E为AC的中点，
∴DE＝AC＝5，
故选：C．
8．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．证明△IDT≌△IDE（AAS），推出DE＝DT，IT＝IE，证明Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），推出BE＝CT，设BE＝CT＝x，根据DE＝DT，可得10﹣x＝x﹣4，求出x即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．

∵I是△ABD的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，
∵AB＝AC，AI＝AI，
∴△BAI≌△CAI（SAS），
∴IB＝IC，
∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，
∴△IDT≌△IDE（AAS），
∴DE＝DT，IT＝IE，
∵∠BEI＝∠CTI＝90°，
∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），
∴BE＝CT，
设BE＝CT＝x，
∵DE＝DT，
∴10﹣x＝x﹣4，
∴x＝7，
∴BE＝7．
故选：B．
9．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为 　9　．

【分析】由AD是△ABC的中线，得BD＝CD，又△ACD的周长为8，AC＝3，可得BD+AD＝5，而AB＝4，即得AB+BD+AD＝9．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△ACD的周长为8，
∴AC+CD+AD＝8，
∵AC＝3，
∴BD+AD＝5，
∵AB＝4，
∴AB+BD+AD＝9．
故答案为：9．
10．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝　3　．

【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵BC＝6，
∴CD＝3，
故答案为：3．
11．（2022•通辽）如图，依据尺规作图的痕迹，求∠α的度数 　60　°．


【分析】先根据矩形的性质得出AB∥DC，故可得出∠ABD的度数，由角平分线的定义求出∠EBF的度数，再由EF是线段BD的垂直平分线得出∠BEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠BFE的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠ABD＝∠CDB＝60°．
由作法可知，BF是∠ABD的平分线，
∴∠EBF＝∠ABD＝30°．
由作法可知，EF是线段BD的垂直平分线，
∴∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠α＝60°．
故答案为：60．

12．（2022•无锡）已知△ABC中，∠B＝45o，∠C＝60o，AB＝，则AC＝　2　．
【分析】：过A作AH⊥BC于H，由∠B＝45°，得BH＝AH＝＝，而∠C＝60°，知CH＝AC，由勾股定理有（AC）2+（）2＝AC2，即可解得答案．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，如图：

∵∠B＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴BH＝AH＝＝＝，
∵∠C＝60°，
∴∠CAH＝30°，
∴CH＝AC，
在Rt△ACH中，CH2+AH2＝AC2，
∴（AC）2+（）2＝AC2，
解得AC＝2（负值舍去），
故答案为：2．
13．（2022•荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE＝AE＝1，则CD＝　　．

【分析】如图，连接BE，根据作图可知MN为AB的垂直平分线，从而得到AE＝BE＝3，然后利用勾股定理求出BC，AB，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．
【解答】解：如图，连接BE，
∵CE＝AE＝1，
∴AE＝3，AC＝4，
而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE＝3，
在Rt△ECB中，BC＝＝2，
∴AB＝＝2，
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∴CD＝AB＝．
故答案为：．

14．（2022•陕西）如图，点E，F在△ABC的边AC上，且EF＝BC，DE∥BC，∠DFE＝∠B．求证：DE＝AC．

【分析】由DE∥BC，得∠DEF＝∠C，即可证明△DEF≌△ACB（ASA），从而DE＝AC．
【解答】证明：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠C，
在△DEF和△ACB中，
，
∴△DEF≌△ACB（ASA），
∴DE＝AC．
15．（2022•淄博）如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠DCB，
在△EBC与△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴BD＝CE．
16．（2022•资阳）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．
（1）求证：△ABC≌△ECD；
（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．

【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；
（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．
【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，
∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
（2）解：∵∠A＝90°，
∴∠CED＝∠A＝90°，
∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，
设BE＝x，
∵EC＝AB＝3，BD＝2，
∴CD＝BC＝3+x，
∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，
∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，
整理得x2+3x﹣10＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），
∴BE＝2，BC＝3+2＝5，
∴DE＝＝＝4，
∴S△BCD＝BC•DE＝×5×4＝10，
∴△BCD的面积为10．
17．（2022•赤峰）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．
（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．

【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，则DC＝DA，然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．
【解答】解：（1）如图，DH为所作；

（2）∵DH垂直平分BC，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB，
∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，
∴∠A＝∠DCA，
∴DC＝DA，
∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．
18．（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．


【分析】方法一：由平行线的性质得：∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，从而可求解；
方法二：由平行线的性质得：∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，从而可求解．
【解答】证明：方法一：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；
方法二：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠A＝180°．
19．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．


【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，∠ABC＝∠DAB＝45°，∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，可得结论；
（2）通过证明△ADB'∽△CDE'，可得∠DAB'＝∠DCE'，由余角的性质可得结论；
（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得AB'＝AD，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，延长CE交AB于H，

∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，
∵DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，
∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致，
理由如下：如图2，延长CE'交AB'于H，

由旋转可得：CD＝DE'，B'D＝AD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠CDE'＝∠ADB'，
又∵＝1，
∴△ADB'∽△CDE'，
∴∠DAB'＝∠DCE'，
∵∠DCE'+∠DGC＝90°，
∴∠DAB'+∠AGH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴CE'⊥AB'；
（3）如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，

∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴∠BDB'＝30°，B'D＝BD＝AD，
∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，
∵DH⊥AB'，
∴AD＝2DH，AH＝DH＝B'H，
∴AB'＝AD，
由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，
∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，
∵AD⊥BC，CD＝，
∴DG＝1，CG＝2DG＝2，
∴CG＝FG＝2，
∵∠DAB'＝30°，CE'⊥AB'，
∴AG＝2GF＝4，
∴AD＝AG+DG＝4+1＝5，
∴AB'＝AD＝5．

1．（2023•白碱滩区一模）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，且AB＝6，则BC＝（　　）

A．3 B．4 C．6 D．不确定
2．（2023•天府新区模拟）如图，已知AB＝DE，AD＝CF，添加下列条件，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AC＝DF B．∠A＝∠FDE C．∠ACB＝∠DFE D．∠B＝∠E
3．（2023•巴中模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法依据图中的作图痕迹作出射线AE，AE交BC于点D，AC＝8，AD＝10，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023•城关区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC＝（　　）

A．36° B．54° C．72° D．108°
5．（2023•武侯区模拟）如图，在△ABC中，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交边AB于点D．若AD＝BC，∠A＝35°，则∠ACB的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
6．（2023•建昌县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为边AC，AB的中点，连接BD，CE相交于点F，若EF＝5，则AB的长为（　　）

A．15 B．20 C．30 D．25
7．（2023•成都模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠A角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝2，BC＝6，则BE＝（　　）

A．2 B． C． D．6
8．（2023•衢州模拟）如图，已知∠B＝∠D，请再添上一个条件 　 　，使△ABC≌△ADC（写出一个即可）．

9．（2023•顺义区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E．若AC＝2，BC＝3，则△ABD的周长是 　 　．

10．（2023•城固县模拟）如图，若∠A＝27°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠AFD的度数为 　 　．

11．（2023•温江区模拟）如图，在△ABC中，通过尺规作图，得到直线DE和射线AF，仔细观察作图痕迹，若∠B＝43°，∠C＝50°，则∠EAF＝　 　°．

12．（2023•思明区校级模拟）如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：BD＝DC．






13．（2023•三原县二模）如图，点D在△ABC的边AB上，且∠ACD＝∠A．请利用尺规在BC上求作一点E，使得DE∥AC．（保留作图痕迹，不写作法）






14．（2023•碑林区校级四模）如图，在△ABC中，点D在AC上，延长DB至点E，使得DE＝AB，连接AE，若∠DAE＝∠ABD，AE＝AC．求证：AD＝BC．






15．（2023•北京一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为边BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CE，交直线CE于点F．
（1）依题意补全图形；用等式表示线段CE与BF的数量关系，并证明；
（2）点G为AB中点，连接FG，用等式表示线段AE，BF，FG之间的数量关系，并证明．





16．（2023•新昌县模拟）在△ABC中，BA＝BC，在射线BC上取点D，E，且BD＜BE，作△ADE，使DA＝DE．

（1）如图，当点D在线段BC上时，且∠BAD＝30°．
①若∠B＝40°，求∠EAC的度数；
②若∠B≠40°，求∠EAC的度数；
（2）当点D在BC延长线上时，猜想∠BAD与∠EAC的数量关系并说明理由．






1．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事．

A．① B．② C．③ D．①③
2．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　　）
A．32° B．36° C．40° D．128°
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝40°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的大小为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（　　）

A．3 B． C． D．
7．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件 　 　，使△ABF≌△DCE．

8．如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的大小为 　 　．

9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，DE，若DE＝，AE＝，则点A到BC的距离是 　 　．

10．如图．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4．按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BM长为半径画弧，交线段CB于点D；（3）以点D为圆心，MN长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点E；（4）过点E画射线CE，与AB相交于点F．当AF＝3时，BC的长是 　 　．

11．如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为 　 　．

12．一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 　 　．
13．如图，已知△ABC，AB＞AC．请在边AB上求作一点P，使点P到点B、C的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）





14．如图，∠A＝∠BCD，CA＝CD，点E在BC上，且DE∥AB，求证：AB＝EC．





15．如图，∠CAD是△ABC的外角．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；
（2）若AE∥BC，求证：AB＝AC．







16．在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE．

（1）如图1，当α＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当tanα＝时，
①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；
②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE+EH的最小值；若不存在，请说明理由．







名校预测
1．【分析】作∠B的平分线交AC于点E，过E点作EF⊥AB于点F，通过作角平分线，垂线，构造全等三角形，等腰三角形，再通过三角形全等的性质得到对应边相等，等腰三角形性质，底边上的高，中线是同一条线段求出线段相等，得出结果．
【解答】解：作∠B的平分线交AC于点E，过E点作EF⊥AB于点F，∠ABE＝∠EBC，

∵Rt△ABC中，∠A＝30°，且AB＝6，
∴∠ABC＝60°，∠ABE＝∠EBC＝30°＝∠A，
∴BE＝AE，△EBA为等腰三角形，
∴BF＝AF，
∵△BFE≌△BCE（角角边），
∴BC＝BF＝AF，
∴BC＝AB＝3，
故选：A．
2．【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【解答】解：∵AD＝CF，
∴AD+CD＝CF+CD，
即AC＝DF，
又AB＝DE，
添加AC＝DF，不能判定△ABC≌△DEF，
故A不符合题意；
添加∠A＝∠FDE，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故B符合题意；
添加∠ACB＝∠DFE，不能判定△ABC≌△DEF，
故C不符合题意；
添加∠B＝∠E，不能判定△ABC≌△DEF，
故D不符合题意；
故选：B．
3．【分析】先确定当DP⊥AB时，DP的值最小，再根据作图得AD平分∠BAC，最后根据勾股定理求解．
【解答】解：当DP⊥AB时，DP的值最小，
过D作DP′⊥AB于P′，

由作图得：AD平分∠BAC，
∴CD＝DP′，
∵∠C＝90°，AC＝8，AD＝10，
∴CD＝6，
∴DP′＝6，
故选：D．
4．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以得到∠ABC和∠ACB的度数，再根据BD平分∠ABC，即可得到∠ABD的度数，然后根据∠BDC＝∠A+∠ABD，即可得到∠BDC的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．
故选：C．
5．【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD＝AD，然后根据AD＝BC，∠A＝35°，即可求出∠ACB的度数．
【解答】解：如图，连接CD，

根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，
∴CD＝AD，
∵AD＝BC，
∴CD＝BC，
∴∠ACD＝∠A＝35°，
∴∠BDC＝∠CBD＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝75°．
故选：D．
6．【分析】首先根据三角形的重心的性质得CF＝2EF＝10，所以CE＝15，再根据直角三角形斜边上的中线得AB＝2CE＝30．
【解答】解：∵D，E分别为边AC，AB的中点，
∴F是△ABC的重心，
∴CF＝2EF＝10，
∴CE＝15，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝2CE＝30．
故选：C．
7．【分析】根据角平分线的性质得出DC＝DE，根据已知条件得出BD＝4，在Rt△BDE中，勾股定理即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC角平分线，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵CD＝2，BC＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4，DE＝2，
在Rt△BDE中，，
故选：C．
8．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的条件是∠BCA＝∠DCA，
理由是：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS），
故答案为：∠BCA＝∠DCA（答案不唯一）．
9．【分析】由AC的垂直平分线DE分别交BC、AC于点D、E，易得△ABD的周长＝AB+BC．
【解答】解：∵AC垂直平分线DE分别交BC，CA于点D、E，
∴AD＝DC，
∴AD+BD＝DC+BD＝BC＝3，
∵AB＝AC＝2，
∴△ABD周长＝AB+BD+AD＝AB+BC＝2+3＝5．
故答案为：5．

10．【分析】根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AEB＝∠A+∠C＝65°，∠DFE＝∠B+∠AEC，进而可得答案．
【解答】解：∵∠A＝27°，∠C＝38°，
∴∠AEB＝∠A+∠C＝65°，
∵∠B＝45°，
∴∠DFE＝65°+45°＝110°，
∴∠AFD＝180°﹣∠DFE＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
11．【分析】由题意可知，DE为线段AB的垂直平分线，AF为∠EAC的平分线，则AE＝BE，∠EAF＝，即可得∠B＝∠BAE＝43°，∠BAC＝180°﹣50°﹣43°＝87°，根据∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE求出∠EAC，由∠EAF＝可得答案．
【解答】解：由题意可知，DE为线段AB的垂直平分线，AF为∠EAC的平分线，
∴AE＝BE，∠EAF＝，
∴∠B＝∠BAE＝43°，
∵∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣43°＝87°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝44°，
∴∠EAF＝＝22°．
故答案为：22．
12．【分析】由AD是角平分线，再结合已知条件利用“SAS”即可证明两个三角形全等．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝DC．
13．【分析】作∠BDC的平分线与BC的交点即为所求．
【解答】解：如图所示：点E即为所求．

14．【分析】先根据已知条件和三角形外角的性质证明∠E＝∠BAC，进而可用SAS证明△ABC≌△EDA，从而可证明AD＝BC．
【解答】证明：∵∠DAE＝∠ABD，∠DAE＝∠BAE+∠BAC，∠ABD＝∠BAE+∠E，
∴∠E＝∠BAC，
在△ABC和△EDA中，
，
∴△ABC≌△EDA（SAS），
∴AD＝BC．
15．【分析】（1）根据题意补全图形，则∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，所以∠CAE＝∠BCF＝90°﹣∠ACF，而AC＝CB，即可证明△AEC≌△CFB，得CE＝BF；
（2）连接CG、EG，由等腰直角三角形的性质得∠CAB＝∠CBA＝45°，因为点G为AB中点，所以CG＝BG＝AB，∠BCG＝∠ACG＝∠ACB＝45°，CG⊥AB，因为AD∥BF，所以∠GCE＝45°﹣∠BCF＝45°﹣∠CAE＝∠BAD＝∠GBF，即可证明△GCE≌△GBF，得AE＝CF，EG＝FG，∠CGE＝∠BGF，可推导出∠EGF＝∠CGB＝90°，则EF＝FG，所以AE＝CF＝CE+EF＝BF+FG．
【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CE，交直线CE于点F，
CE＝BF，
证明：∵CE⊥AD于点E，BF⊥CE交直线CE于点F，
∴∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAE＝∠BCF＝90°﹣∠ACF，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴CE＝BF．
（2）AE＝BF+FG，
证明：连接CG、EG，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵点G为AB中点，
∴CG＝BG＝AG＝AB，∠BCG＝∠ACG＝∠ACB＝45°，CG⊥AB，
∵AD∥BF，
∴∠BAD＝∠GBF，
∴∠GCE＝45°﹣∠BCF＝45°﹣∠CAE＝∠BAD＝∠GBF，
在△GCE和△GBF中，
，
∴△GCE≌△GBF（SAS），
∴AE＝CF，EG＝FG，∠CGE＝∠BGF，
∴∠EGF＝∠BGE+∠BGF＝∠BGE+∠CGE＝∠CGB＝90°，
∴EF＝＝＝FG，
∴CF＝CE+EF＝BF+FG，
∴AE＝BF+FG．

16．【分析】（1）利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可求解；
（2）设∠B＝a，∠BAD＝β，则∠ADE＝α+β，利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可证得∠BAD＝2∠EAC．
【解答】解：（1）①∵∠BAD＝30°，∠B＝40°，
∴∠ADE＝70°，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝55°，
∵∠B＝40°，BA＝BC，
∴∠BCA＝70°，
∴∠EAC＝∠BCA﹣∠DEA＝15°，
②∠B≠40°时，设∠B＝a，
∵∠BAD＝30°，
∴∠ADE＝30°+α，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝＝，
∵∠B＝a，BA＝BC，
∴∠BCA＝，
∴∠EAC＝∠BCA﹣∠DEA＝＝15°；
（2）∠BAD＝2∠EAC，
理由如下：作图如图2，设∠B＝a，∠BAD＝β，
∴∠ADE＝α+β，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝，
∵∠B＝a，BA＝BC，
∴∠BCA＝，
∴∠EAC＝∠BCA﹣∠DEA＝＝，
∴∠BAD＝2∠EAC．

专家押题

1．【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．
【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：C．
2．【分析】由三角形的内角和定理可得：∠A+∠B+∠C＝180°，再结合所给的条件，可得5∠C＝160°，从而可求解．
【解答】解：∵∠A＝20°，∠B＝4∠C，
∴在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
20°+4∠C+∠C＝180°，
5∠C＝160°，
∠C＝32°．
故选：A．
3．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB+EC＝4+2＝6，
故选：C．
4．【分析】已知a，b是实数满足a≠＝1，b≠﹣1
根据线段垂直平分线的性质得出∠DAC＝∠C＝40°，进而求出∠BAD的度数．
【解答】解：由作图可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝40°．
∵∠BAC＝70°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°﹣40°＝30°．
故选：A．
5．【分析】利用三角形的内角和定理可得∠B＝60°，由直角三角形斜边的中线性质定理可得CE＝BE＝2,利用等边三角形的性质可得结果．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°,
∵E是AB的中点,AB＝4，
∴CE＝BE＝,
∴△BCE为等边三角形，
∵CD⊥AB,
∴DE＝BD＝,
故选：A．
6．【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE＝DC，再利用勾股定理计算出AC＝8，然后利用面积法得到•DE×10+•CD×6＝×6×8，最后解方程即可．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE＝DC，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，
∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，
∴•DE×10+•CD×6＝×6×8，
即5CD+3CD＝24，
∴CD＝3．
故选：A．

7．【分析】求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
添加∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
故答案为：∠B＝∠C（答案不唯一）．
8．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以先计算出∠ADB的度数，然后再根据AD＝DC，∠ADB＝∠C+∠DAC，即可得到∠C的度数．
【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠BAD＝44°，
∴∠ADB＝＝68°，
∵AD＝DC，∠ADB＝∠C+∠DAC，
∴∠C＝∠DAC＝∠ADB＝34°，
故答案为：34°．
9．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理求出AC，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：设点A到BC的距离是h，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AE＝，
∴BC＝2AE＝15，
∵D，E分别是AB，BC的中点，DE＝，
∴AC＝2DE＝9，
由勾股定理得：AB＝＝＝12，
则×15×h＝×12×9，
解得：h＝，
故答案为：．
10．【分析】利用基本作图得到∠FCB＝∠B，则FC＝FB，再利用勾股定理计算出CF＝5，则AB＝8，然后利用勾股定理可计算出BC的长．
【解答】解：由作法得∠FCB＝∠B，
∴FC＝FB，
在Rt△ACF中，∵∠A＝90°，AC＝4，AF＝3，
∴CF＝＝5，
∴BF＝5，
∴AB＝AF+BF＝8，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝4．
故答案为4．
11．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的外角性质得到∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出DC，进而求出AB．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
由勾股定理得：DC＝＝＝2，
∴DB＝DC＝2，
∴AB＝AD+DB＝2+2，
故答案为：2+2．
12．【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．
【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，
4﹣1＜a＜4+1，即3＜a＜5，
又∵第三边的长是偶数，
∴a为4．
故答案为：4．
13．【分析】作线段BC的垂直平分线MN交AB于点P，点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求．

14．【分析】由平行线的性质得出∠DEC＝∠ABC，证明△ABC≌△CED（AAS），由全等三角形的性质得出结论AB＝EC．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝EC．
15．【分析】（1）利用尺规作出∠CAD的角平分线即可．
（2）欲证明AB＝AC，只要证明∠B＝∠C．
【解答】（1）解：如图，射线AE即为所求．


（2）证明：∵AE平分∠CAD，
∴∠EAD＝∠EAC，
∵AE∥BC，
∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠EAC，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
16．【分析】（1）首先证明△ACB，△CDE都是等边三角形，再根据SAS证明三角形全等即可．
（2）①结论：＝．利用相似三角形的性质解决问题即可．
②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．利用相似三角形的性质求出CJ＝，推出点E的运动轨迹是线段BE，利用面积法求出RT，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵α＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△CAD≌△CBE（SAS）．

（2）解：①结论：＝．
如图2中，过点C作CK⊥AB于K．
∵tan∠CAK＝＝，
∴可以假设CK＝3k，AK＝4k，则AC＝AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k，
∴BC＝＝k，
∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝＝．

②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．
∵AC＝5，
由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝，
∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE，
∴＝＝（全等三角形对应边上的高的比等于相似比），
∴CJ＝，
∴点E的运动轨迹是线段BE，
∵C，R关于BE对称，
∴CR＝2CJ＝，
∵BJ＝＝＝，
∵S△CBR＝•CR•BJ＝•CB•RT，
∴RT＝＝，
∵EC+EH＝ER+EH≥RT，
∴EC+EH≥，
∴EC+EH的最小值为．

中考倒计时
08天

图形的相似

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题形式考查,属于中档题,难度一般.少数以解答题的形式考查,此类题型属于中高档题,难度比较大
2．从考查内容来看,涉及本知识点的重点有：相似三角形的定义、性质与判定；平行线分线段成比例定理；相似多边形的性质
3．从考查热点来看,涉及本知识点的重点有：相似三角形的性质及判定；相似多边形的性质；位似的性质；平行线分线段成比例定理、相似三角形与生活实际问题的应用

一、比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的性质
性质
内容
性质1
=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性质2
如果=，那么．
性质3
如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
二、相似三角形的判定及性质
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
三、相似多边形
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
2．性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
四、位似图形
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4．画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．

1．（2022•兰州）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
【分析】利用相似三角形的性质可得，代入即可得出EF的长．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴，
∵＝，BC＝2，
∴，
∴EF＝4，
故选：A．
2．（2022•临沂）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴，
∴，
∴EC＝．
故选：C．
3．（2022•贵阳）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ACB的周长比是（　　）

A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比可以解答本题．
【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝＝，
故选：B．
4．（2022•山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（　　）

A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
【分析】利用黄金分割比的意义解答即可．
【解答】解：∵每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，
又黄金分割比为≈0.618，
∴其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割，
故选：D．
5．（2022•德州）如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m，则石坝的高度为（　　）

A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m
【分析】根据DC∥BF，可得＝，进而得出BF即可．
【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，
∵DC⊥AD，BF⊥AD，
∴DC∥BF，
∴△ACD∽△ABF，
∴＝，
∴＝，
解得：BF＝2.7．
故选：A．

6．（2022•十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（　　）

A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．
【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝3，
∵CD＝3cm，
∴AB＝9cm，
∵某零件的外径为10cm，
∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），
故选：B．
7．（2022•梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知＝，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是（　　）

A．4 B．6 C．16 D．18
【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．
【解答】解：∵以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，＝，
∴＝＝，
则四边形A′B′C′D′面积为：18．
故选：D．
8．（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件 　∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）　，使△ADE∽△ABC．

【分析】要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可．
【解答】解：∵∠A＝∠A，
∴当∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝时，△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）．
9．（2022•鞍山）如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，若AE：DE＝1：2，AB＝2.5，则CD的长为 　5　．

【分析】由平行线的性质求出∠B＝∠C，∠A＝∠D，其对应角相等得△EAB∽△EDC，再由相似三角形的性质求出线段CD即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，∠A＝∠D，
∴△EAB∽△EDC，
∴AB：CD＝AE：DE＝1：2，
又∵AB＝2.5，
∴CD＝5．
故答案为：5．
10．（2022•宜宾）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝　　．

【分析】由∠1＝∠2，∠A＝∠A，得出△AEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出EF的长度．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵BC＝4，AF＝2，CF＝3，
∴，
∴EF＝，
故答案为：．
11．（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD周长的比值是 　2　．

【分析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标变换规律得到相似比为2：1，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【解答】解：∵△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，
而点A（4，0），点C（2，0），
∴相似比为4：2＝2：1，
∴△OAB与△OCD周长的比值为2．
故答案为：2．
12．（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．

【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C的坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣4，﹣6）；

13．（2022•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．

【分析】根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC＝90°，即可得△ADE∽△ABC．
【解答】证明：∵BE＝BC，
∴∠C＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠AED，
∴∠C＝∠AED，
∵AD⊥BE，
∴∠D＝∠ABC＝90°，
∴△ADE∽△ABC．
14．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．
求证：（1）∠CAE＝∠BAF；
（2）CF•FQ＝AF•BQ．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，利用SAS证明△ACE≌△ABF，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）利用全等三角形的性质，结合题意证明△ACE∽AFQ，△CAF∽△BFQ，根据相似三角形的性质即可得解．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CF＝BE，
∴CF﹣EF＝BE﹣EF，
即CE＝BF，
在△ACE和△ABF中，
，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE＝∠BAF；
（2）∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，
∵AE2＝AQ•AB，AC＝AB，
∴＝，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC＝∠AQF，
∴∠AEF＝∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴∠BQF＝∠AFE，
∵∠B＝∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴＝，
即CF•FQ＝AF•BQ．
15．（2022•资阳）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．
（1）求证：△ABM∽△EBF；
（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；
（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

【分析】（1）利用两个角对应相等的三角形全等即可证明△ABM∽△EBF；
（2）过点E作EN⊥AD于点N，可得四边形AMEN为矩形，从而得到NE＝AM＝4，AN＝ME，再由勾股定理求出BM＝3，从而得到ME＝AN＝2，进而得到DN＝8，再由勾股定理，即可求解；
（3）延长FE交DC的延长线于点G．根据，可得，再证得△ABM∽△ECG，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，AM是BC边上的高，
∴∠AMB＝∠EFB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABM∽△EBF；
（2）解：过点E作EN⊥AD于点N，如图：

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
又∵AM是BC边上的高，
∴AM⊥AD，
∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，
∴四边形AMEN为矩形，
∴NE＝AM＝4，AN＝ME，
在Rt△ABM中，，
又∵E为BC的中点，
∴，
∴ME＝AN＝2，
∴DN＝8，
在Rt△DNE中，；
（3）解：延长FE交DC的延长线于点G，如图：

∵sinB＝＝，
∴，
∴EF＝x，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，∠EGC＝∠BFE＝90°，
又∵∠AMB＝∠EGC＝90°，
∴△ABM∽△ECG，
∴，
∴，
∴GC＝（10﹣x），
∴DG＝DC+GC＝5+（10﹣x），
∴y＝EF•DG＝×x•[5+（10﹣x）]＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，y有最大值为，
答：y＝﹣x2+x，当x＝时，y有最大值为．

1．（2023•东洲区模拟）观察下列图形，下列各组图形不是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023•西岗区模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AD＝6，DB＝8，，则EC的长是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．14
3．（2023•新邵县二模）如图，线段AE，BD相交于点C，如果AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，DE＝3，那么AB的长为（　　）

A． B．3 C．4 D．
4．（2023•松江区二模）如图，点G是△ABC的重心，四边形AEGD与△ABC面积的比值是（　　）

A． B． C． D．
5．（2023•深圳模拟）如图是物体AB在焦距为acm（即OE＝OF＝acm）的凸透镜下成倒立放大实像的光路示意图．从点A发出的平行于BD的光束折射后经过右焦点F，而经过光心O点的光束不改变方向，最后A点发出的光汇聚于点C，B点发出的光汇聚于点D，从而得到最清晰的实像．若物距OB＝bcm，则像距OD为（　　）cm．

A． B． C． D．
6．（2023•青羊区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若OA＝2，则点G的坐标为（　　）

A．（9，18） B．（6，12） C．（4，12） D．（6，18）
7．（2023•天府新区模拟）若实数a，b，c满足，且a+2b+3c＝40，则k＝　 　．
8．（2023•桐庐县一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，则＝　 　．
9．（2023•临安区一模）如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠B＝∠ACD，AD＝3，DB＝2，则CD：BC＝　 　．

10．（2023•东洲区模拟）在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长为1.6米，落在地面上的影长为3.6米，则树高为 　 　米．

11．（2023•长沙模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，点C为OF的中点，则△ABC与△DEF的周长比为 　 　．

12．（2023•碑林区校级四模）如图，A为直线m上一点，B，C为直线n上两点，直线m与直线n交于点O，连接AB，请用尺规作图的方法在直线m上找一点D，使得△AOB∽△COD．（保留作图痕迹，不写作法）





13．（2023•立山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．







14．（2023•定西一模）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：在BC边上求一点P，使得PA＝PC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：△ABC∽△PAC．







15．（2023•桐庐县一模）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC边上，∠BAD＝∠CAE，边DE与AC相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）如果AE∥BC，DA＝DC，连结CE．
求证：四边形ADCE是菱形．














1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（　　）

A．4 B．6 C．7 D．12
2．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（　　）

A．DE：BC＝1：2
B．△ADE与△ABC的面积比为1：3
C．△ADE与△ABC的周长比为1：2
D．DE∥BC
3．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为（　　）

A．4.36mm B．29.08mm C．43.62mm D．121.17mm
4．如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：
5．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）

A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
6．已知，则＝　 　．
7．如图，△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O为位似中心，若OA′＝A′A，则△A′B′C′与△ABC的面积比为 　 　．

8．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝　 　．

9．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．



10．如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？




11．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．








12．如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．









13．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF．

（1）求证：△ABF∽△CBE；
（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求∠PMN的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若BC＝，直接写出△PMN面积的最大值．

















名校预测
1．【分析】根据相似图形的定义判断即可．
【解答】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意；
C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
故选：B．
2．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝6，DB＝8，AE＝，
∴＝，
解得：EC＝6，
故选：A．
3．【分析】先判断△ACB与△DCE的关系，再利用相似三角形的性质得结论．
【解答】解：∵AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，
∴＝＝．
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ACB∽△DCE．
∴＝＝．
∴AB＝×3＝．
故选：D．

4．【分析】根据重心的定义得出D是AC的中点，E是AB的中点，DG：BD＝1：3，进而得出ED∥BC，得出△AED∽△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S△ADE＝S△ABC，进而根据S△DEG＝S△BDE＝S△ABC，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接DE，

∵点G是△ABC的重心，
∴D是AC的中点，E是AB的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△AED∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S△ADE＝S△ABC，
∵AE＝BE，
∴S△BDE＝S△ABC，
∵点G是△ABC的重心，
∴DG：BD＝1：3，
∴S△DEG＝S△BDE＝S△ABC，
∴S四边形AEGD＝S△AED+S△DGE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC，
∴四边形AEGD与△ABC面积的比值＝．
故选：B．
5．【分析】由题意可得AB∥OG∥CD，AB＝OG，易推出△ABO∽△CDO，△GFO∽△CDO，根据相似三角形的性质及AB＝OG得，设DF＝xcm，则OD＝（x+a）cm，列出关于x的分式方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得：AB∥OG∥CD，AB＝OG，
∴∠ABO＝∠GOF＝∠CDO，∠AOB＝∠COD，∠GFO＝∠CDF，
∴△ABO∽△CDO，△GFO∽△CDO，
∴，，
∵AB＝OG，
∴，
设DF＝xcm，则OD＝（x+a）cm，
∴，
解得：，
经检验为原分式方程的解，
∴，
故选：D．
6．【分析】根据位似变换的性质得到△OAD∽△OBG，且＝，根据相似三角形的性质求出BG即可得到答案．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴△OAD∽△OBG，
∵相似比为1：3，OA＝2，
∴＝，
∴OB＝6，
∴AB＝BC＝4，
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴△OBC∽△OEF，＝，
∴＝＝，
∴＝，
解得：BE＝12，
∴点G的坐标为（6，12）．
故选：B．

7．【分析】利用比例性质得到a＝2k，b＝3k，c＝4k，再把它们代入a+2b+3c＝40中得到2k+6k+12k＝40，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：∵，
∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+2b+3c＝40，
∴2k+6k+12k＝40，
解得k＝2．
故答案为：2．
8．【分析】作∠BAD＝∠B，AD交BC于点D，则∠BAD＝∠B＝36°，BD＝AD，根据三角形外角性质得出∠ADC＝72°，进而得到∠DAC＝∠ADC＝72°，于是AC＝CD，设AB＝AC＝1，AD＝x（x＞0），则CD＝1，BD＝x，BC＝1+x，易证△ABC∽△DBA，根据相似三角形的性质得，即，求出x即可求解．
【解答】解：如图，在AB右侧作∠BAD＝∠B，AD交BC于点D，

∴BD＝AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝36°，
∴∠BAD＝∠B＝36°，
∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝72°，∠ADC＝∠BAD+∠B＝72°，
∴∠DAC＝∠ADC＝72°，
∴AC＝CD，
设AB＝AC＝1，AD＝x（x＞0），
则CD＝1，BD＝x，BC＝1+x，
∵∠ABC＝∠DBA，∠ACB＝∠DAB，
∴△ABC∽△DBA，
∴，即，
∴x2+x﹣1＝0，
解得：x＝或，
∵x＞0，
∴x＝，
∴＝．
故答案为：．
9．【分析】根据∠B＝∠ACD，以及∠A＝∠A，得出△ADC∽△ACB，进而得出，进而表示出AC的长，求出CD：BC的值即可．
【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∵AD＝3，DB＝2，
∴AB＝5，
∴AC2＝3×5＝15，
∴AC＝（负值舍去），
∴CD：CB＝AD：AC＝3：＝：5．
故答案为：：5．
10．【分析】设从墙壁的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据竹竿的长度：竹竿影长＝树的高度：树的影长，列出比例式求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
【解答】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据题意，
得，
解得x＝4.5，
∴树高为4.5+1.6＝6.1（米），
故答案为：6.1．
11．【分析】由位似比可推出两个三角形的相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比即可选择．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF．
∵点C为OF的中点，
∴OC：OF＝1：2．
∴△ABC与△DEF的位似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．
故答案为：1：2．
12．【分析】以点C为顶点，作∠OCD＝∠ABO，交AO的延长线于点D，D点即为所求．
【解答】解：如图所示，点D即为所求；

∵∠AOB＝∠COD，∠ABO＝∠DCO，
∴△AOB∽△COD，
∴D点即为所求．
13．【分析】充分利用图中的垂直条件寻求角之间的关系．由∠BAD+∠ABC＝90°，∠C+∠ABC＝90°得∠BAF＝∠C；由∠ABO+∠AOB＝90°，∠AOB+∠COE＝90°得∠ABF＝∠COE．两对角对应相等判定三角形相似．
【解答】证明：∵OE⊥OB，∠BAC＝90°，
∴∠BOA+∠COE＝90°，
∵∠BOA+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠COE，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF+∠DAC＝90°，
∴∠BAF＝∠C．
∴△ABF～△COE．
14．【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交边BC即可；
（2）先证∠B＝∠C，∠C＝∠PAC，得∠PAC＝∠B，利用两角分别相等的两个三角形全等即可得证．
【解答】（1）解：如图．点P为所求作的点，

（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵PA＝PC，
∴∠C＝∠PAC，
∴∠PAC＝∠B．
又∵∠C＝∠C，
∴△PAC∽△ABC．
15．【分析】（1）由等角加同角相等可得∠BAC＝∠DAE，由△ABC和△ADE的顶角相等，且都是等腰三角形，以此即可证明△ABC∽△ADE；
（2）根据平行线的性质得∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，进而得到∠ADF＝∠CDF，由等腰三角形三线合一的性质可得AF＝CF，再通过AAS证明△AEF≌△CDF，得到AE＝CD，由对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCE为平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ADCE是菱形．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+CAD，即∠BAC＝∠DAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠ACB＝，∠ADE＝∠E＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠E，
∴△ABC∽△ADE；
（2）证明：如图，

∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，
由（1）可知，∠DCF＝∠ADF＝∠AEF，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵DA＝DC，
∴AF＝CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AE＝CD，
∵AE∥CD，AE＝CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵DA＝DC，
∴平行四边形ADCE为菱形．
专家押题
1．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AB：BC＝DE：EF，再求出答案即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴AB：BC＝DE：EF．
∵AB：BC＝2：3，EF＝9，
∴DE＝6．
故选：B．
2．【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．
【解答】解：∵＝＝，
∴AD：AB＝AE：AC＝1：3，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC＝1：3，故A错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．故D正确．
故选：D．
3．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．
【解答】解：由题意得：CB∥DF，
∴＝，
∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，
∴＝，
∴DF＝43.62（mm），
故选：C．
4．【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，进而得出△AOC∽△A1OC1，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，
∴△AOC∽△A1OC1，
∴＝＝，
∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，
故选：A．
5．【分析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．
【解答】解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
故选：A．
6．【分析】利用比例的性质设x＝2k，则y＝3k，z＝4k，将x，y，z的值代入后化简计算即可．
【解答】解：∵，
∴设x＝2k，则y＝3k，z＝4k，
∴＝．
故答案为：．
7．【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵OA′＝A′A，
∴＝，
∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴△A′B′C′与△ABC的面积比＝（）2＝，
故答案为：1：4．
8．【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
9．【分析】（1）延长AC到A1使A1C＝2AC，延长BC到B1使B1C＝2BC，则可得到△A1B1C，然后写出点A1的坐标；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可；
（3）先利用勾股定理计算出CB，然后根据弧长公式计算点B所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C为所作；

（3）CB＝＝，
所以点B所经过的路径长＝＝π．
10．【分析】根据平行线的判定得到DE∥BC，然后，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝9（m），
答：楼高BC是9m．
11．【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D，连接CD即可．
（2）作∠ADT＝∠ACB，射线DT交AC于点E，点E即为所求．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）如图，点E即为所求．

12．【分析】（1）利用题干中两组平行线找到两角对应相等即可求证△DFC∽△AED；
（2）利用题干条件，找到△DFC和△AED的相似比，即可求出的值．
【解答】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，
∴∠DFC＝∠AED，
又∵DE∥BC，
∴∠DCF＝∠ADE，
∴△DFC∽△AED；
（2）∵CD＝AC，
∴＝
由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，
故：＝（）2＝（）2＝．
13．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
（2）如图2中，延长PM交AF于T．证明四边形MNFT是平行四边形，推出∠TMN＝∠AFC＝45°，推出∠PMN＝135°，再证明AF＝EC，利用三角形的中位线定理可得结论．
（3）因为MN＝PM，∠PMN＝135°，PM＝EC，所以当EC的值最大时，PM的值最大，此时△PMN的面积最大，
【解答】（1）证明：如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，EF＝EB，∠BEF＝90°，
∴∠CBA＝∠EBF＝45°，AB＝BC，BF＝BE，
∴∠CBE＝∠ABF，＝＝，
∴△ABF∽△CBE．

（2）解：如图2中，延长PM交AF于T．

∵BE⊥CF，
∴∠CEB＝90°，
∵△ABF∽△CBE，
∴∠CEB＝∠AFB＝90°，＝＝，
∴AF＝EC，
∵∠EFB＝45°，
∴∠AFC＝45°，
∵AP＝PC，AM＝ME，
∴PT∥CF，PM＝EC，
∵AM＝ME，EN＝NF，
∴MN∥AF，MN＝AF，
∴四边形MNFT是平行四边形，MN＝PM，
∴∠TMN＝∠AFC＝45°，
∴∠PMN＝135°，
∴＝．
（3）解：∵MN＝PM，∠PMN＝135°，PM＝EC，
∴当EC的值最大时，PM的值最大，此时△PMN的面积最大，
∵当点E与B重合时，EC的值最大，EC的最大值为，
此时PM＝，MN＝PM＝1，
∴△PMN的面积的最大值为××1×＝．





















中考倒计时
07天

锐角三角函数

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题的形式考查,属于中低档题,较为简单,少数以解答题形式考查,属于中档题,难度一般
2．从考查内容来看,涉及本知识点的主要有：锐角三角函数；特殊角的三角函数值；解直角三角形的应用
3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有：锐角三角函数；解直角三角形的实际生活应用

1、锐角三角函数的定义

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
2、特殊角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°



3、解直角三角形
1）在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2）解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2； 2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A=1．
3）科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
4、解直角三角形的应用
1）．仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2）．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3)．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．

4）．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.
5）．解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．

1．（2022•天津）tan45°的值等于（　　）
A．2 B．1 C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
【解答】解：tan45°的值等于1，
故选：B．
2．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（　　）

A．3 B．3 C．3 D．6
【分析】利用三角函数求出AD＝6，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB的长．
【解答】解：∵2CD＝6，
∴CD＝3，
∵tanC＝2，
∴＝2，
∴AD＝6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB＝，
故选：D．
3．（2022•贵港）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】延长AC到D，连接BD，由网格可得AD2+BD2＝AB2，即得∠ADB＝90°，可求出答案．
【解答】解：延长AC到D，连接BD，如图：

∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴cos∠BAC＝＝＝，
故选：C．
4．（2022•长春）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝α，下列关系式正确的是（　　）

A．sinα＝ B．sinα＝ C．sinα＝ D．sinα＝
【分析】根据直角三角形的边角关系进行判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，由锐角三角函数的定义可知，
sinα＝sin∠ABC＝，
故选：D．
5．（2022•毕节市）如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC＝5m，坡面AB的坡度为1：，则AB的长度为（　　）

A．10m B．10m C．5m D．5m
【分析】由坡面AB的坡度为＝＝1：，可得AC＝5m，再根据勾股定理可得AB＝＝10m．
【解答】解：∵坡面AB的坡度为＝＝1：，
∴AC＝5m，
∴AB＝＝10m．
故选：A．
6．（2022•广东）sin30°＝　　．
【分析】熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案．
【解答】解：sin30°＝．
故答案为：．
7．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为 　　．
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinA＝．
故答案为：．

8．（2022•黄石）某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 　12.7　m．
（参考数据：≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）

【分析】设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．设DE＝xm，在Rt△BDE中，tan60°＝，解得BE＝x，则AE＝AB+BE＝（20+x）m，在Rt△ADE中，tan30°＝＝，解得x＝≈17.3，根据CD＝CE﹣DE可得出答案．
【解答】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．

则CE＝30m，AB＝20m，∠EAD＝30°，∠EBD＝60°，
设DE＝xm，
在Rt△BDE中，tan60°＝，
解得BE＝x，
则AE＝AB+BE＝（20+x）m，
在Rt△ADE中，tan30°＝＝，
解得x＝≈17.3，
经检验，x＝≈17.3是原方程的解，且符合题意，
∴CD＝CE﹣DE＝12.7m．
故答案为：12.7．
9．（2022•衡阳）回雁峰坐落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为 　10.2　m．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.732）

【分析】首先证明BF＝DF＝10，在Rt△BFG中，根据三角函数定义求出BG即可解决问题．
【解答】解：∵∠BFG＝60°，∠BDG＝30°，
∴∠DBF＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DBF＝∠BDF，
∴DF＝BF＝AE＝10，
Rt△BFG中，sin∠BFG＝，
∴＝，
∴BG＝5＝5×1.732≈8.66，
∴BC＝BG+CG＝8.66+1.5≈10.2（m）．
答：大雁雕塑BC的高度约为10.2m．
故答案为：10.2．
10．（2022•通辽）计算：•+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：•+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1
＝2+4×（﹣1）×﹣2
＝2+2（﹣1）﹣2
＝2+6﹣2﹣2
＝4．
11．（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，

由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
12．（2022•六盘水）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．
（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；
（2）下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）

【分析】（1）根据对称性得出AD＝2m，再根据锐角三角函数求出OD，即可求出答案；
（2）过点E作EH⊥AB于H，得出EH＝BF＝3m，再分别求出∠α＝65°和45°时，AH的值，即可求出答案．
【解答】解：（1）由对称知，CD＝2OD，AD＝AC＝2m，∠AOD＝90°，
在Rt△AOD中，∠OAD＝α＝65°，
∴sinα＝，
∴OD＝AD•sinα＝2×sin65°≈2×0.90＝1.80m，
∴CD＝2OD＝3.6m，
答：遮阳宽度CD约为3.6米；
（2）如图，

过点E作EH⊥AB于H，
∴∠BHE＝90°，
∵AB⊥BF，EF⊥BF，
∴∠ABF＝∠EFB＝90°，
∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，
∴EH＝BF＝3m，
在Rt△AHE中，tana＝，
∴AH＝，
当∠α＝65°时，AH＝≈≈1.40m，
当∠α＝45°时，AH＝＝3，
∴当∠α从65°减少到45°时，点E下降的高度约为3﹣1.40＝1.6m．

1．（2023•和平区二模）2cos30° 的值等于（　　）
A．1 B． C． D．
2．（2023•西岗区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值是（　　）

A． B． C． D．
3．（2023•文山州一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝8，，那么tanB的值为（　　）

A． B． C． D．
4．（2023•南岗区校级二模）一辆汽车沿倾斜角α的斜坡前进500米，则它上升的高度是（　　）
A．500•sinα米 B．米 C．500•cosα米 D．米
5．（2023•淳安县一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023•靖江市模拟）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（　　）

A． B． C． D．
7．（2023•靖江市模拟）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，，则∠A的度数为 　 　．
8．（2023•崂山区一模）如图，在△ABC中，∠C＝60°，，点D是AC上一点，连接BD，若tanA＝，tan∠ABD＝，则CD＝　 　．

9．（2023•普陀区二模）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m，如果在坡比为的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为 　 　米．

10．（2023•西湖区模拟）如图，CD⊥AD于点D，若，，则tan∠ABC＝　 　．

11．（2023•普陀区二模）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，．
（1）求边AC的长；
（2）以点B为圆心的圆B与边AC相切时，求⊙B的半径长．







12．（2023•平江县模拟）“洞庭天下水，岳阳天下楼”．小刚为实地测量岳阳楼主楼的高度，站在它正前方的B处，测得楼D处此时仰角为45°，接着小刚笔直往后退25米至C处，测得楼顶O处此时仰角为24°．已知小刚目高1.42米，OD长3米，求岳阳楼主楼的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）








13．（2023•西岗区模拟）如图，已知A地在B地南偏东60°方向，距B地60km，A地在C地南偏西45度方向，C地在B地的正东方向．B、C两地原先只能途经A地来往，现有关部门计划在B、C两之间之间修一条笔直的公路来连接两地．

（1）求公路BC的长度是多少km？（结果保留整数）
（2）修建公路BC后，B、C两地路程可以缩短多少千米？（结果保留整数）
（参考数据：，．41）






1．tan30°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．2
2．在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（　　）
A． B． C．60 D．80
3．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　）

A． B． C． D．
4．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）

A．sinB＝ B．sinC＝
C．tanB＝ D．sin2B+sin2C＝1
5．计算：sin30°＝　 　．
6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是 　 　．

7．如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是 　 　m．

8．如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 　 　nmile（≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．

9．避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）







10．如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为100m，从A处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°．
（1）风筝离地面多少m？
（2）A、C相距多少m？
（结果保留小数点后一位，参考数据：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）













名校预测
1．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：2cos30°＝2×＝．
故选：D．
2．【分析】先利用勾股定理计算出AB的长，然后根据余弦的定义求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴cosA＝＝．
故选：D．
3．【分析】根据相似三角形的判定和性质可以求得CD的长，然后即可求得tanB的值．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∵AD＝8，，
∴＝，
解得BD＝4，
∴tanB＝＝＝，
故选：D．
4．【分析】根据坡角的定义和正弦的定义求解．
【解答】解：根据题意得sinα＝，
解得h＝500•sinα，
即它上升的高度为500•sinα米．
故选：A．
5．【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，
∴sinA＝＝，
故选：C．
6．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后即可求得OB和AB的值，从而可以求得sin∠BAC的值．
【解答】解：连接AC延长到D，连接BE交CD于点O，
由图可知：BE⊥CD，AB＝＝，OB＝BE＝＝，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故选：D．

7．【分析】根据60°的正切值是解答即可．
【解答】解：∵tanA＝，tan60°＝，
∴∠A＝60°，
故答案为：60°．
8．【分析】过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AB于点F，由含30°角的直角三角形的性质得CE＝，则BE＝3，再由锐角三角函数定义得AE＝2BE＝6，AF＝2DF＝2a，BF＝3DF＝3a，则AB＝5a，AD＝a，然后在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，求出a＝，则AD＝x＝3，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AB于点F，

则∠BEC＝∠BEA＝∠DFA＝∠DFB＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣∠C＝30°，
∴CE＝BC＝×2＝，
∴BE＝＝＝3，
∵tanA＝＝，
∴AE＝2BE＝2×3＝6，
∴AC＝CE+AE＝+6，
设DF＝a，
∵tanA＝＝，tan∠ABD＝＝，
∴AF＝2DF＝2a，BF＝3DF＝3a，
∴AB＝AF+BF＝5a，AD＝＝＝a，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE2+AE2＝AB2，
即32+62＝（5a）2，
解得：a＝（负值已舍去），
∴AD＝x＝3，
∴CD＝AC﹣AD＝+6﹣3＝3+，
故答案为：3+．
9．【分析】根据坡度为0.75求得竖直高度，再根据勾股定理求出相邻两树间的坡面距离即可．
【解答】解：水平距离为4m，坡比为，
∴竖直高度＝4×＝3（米），
∴由勾股定理得：＝5（米）．
故答案为：5．
10．【分析】由题意可得：，可求得，，则可求解．
【解答】解：∵CD⊥AD，，
∴，
∴，AD＝，
∵，
∴，
∴，
∴tan∠ABC＝＝．
故答案为：．
11．【分析】（1）过A作AE⊥BC于点E，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
【解答】解：（1）作A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，
∴AE＝3，BE＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC＝＝；

（2）设切点为D，连接BD，则BD⊥AC．
∵S△ABC＝•BC•AE＝•AC•DB，
∴BD＝＝．
∴⊙B的半径为．

12．【分析】根据题意可得：∠DEF＝90°，AE＝BG＝CF＝1.42米，GF＝BC＝25米，EF＝AC，设DE＝x米，则OE＝（x+3）米，然后在Rt△DEG中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，从而求出EF的长，再在Rt△OEF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算可求出DE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：

由题意得：∠DEF＝90°，AE＝BG＝CF＝1.42米，GF＝BC＝25米，EF＝AC，
设DE＝x米，
∵OD＝3米，
∴OE＝OD+DE＝（x+3）米，
在Rt△DEG中，∠DGE＝45°，
∴EG＝＝x（米），
∴EF＝EG+FG＝（x+25）米，
在Rt△OEF中，∠OFE＝24°，
∴tan24°＝＝≈0.45，
解得：x＝15，
经检验：x＝15是原方程的根，
∴DE＝15米，
∴OA＝OD+DE+AE＝3+15+1.42≈19.4（米），
∴岳阳楼主楼的高度约为19.4米．
13．【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，得到∠ADB＝∠ADC＝90°，解直角三角形即可得到结论；
（2）在Rt△ADC中，AC＝AD＝30，于是得到结论．
【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于D，
则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABD＝30°，AB＝60km，
∴AD＝AB＝30（km），BD＝AB＝30（km），
∵∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝30（km），
∴BC＝BD+CD＝30+30≈82（km），
答：公路BC的长度约为82km；
（2）在Rt△ADC中，AC＝AD＝30，
∴修建公路BC后，B、C两地路程可以缩短60+30﹣82≈20（千米）．

专家押题
1．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：tan30°＝．
故选：A．
2．【分析】利用三角函数定义计算出BC的长，然后再利用勾股定理计算出AB长即可．
【解答】解：∵AC＝100，sinA＝，
∴BC＝60，
∴AB＝＝80，
故选：D．

3．【分析】如图作PA⊥x轴于A，利用勾股定理求出OP，根据正弦定义计算即可．
【解答】解：作PA⊥x轴于A，如右图．
∵P（3，4），
∴OA＝3，AP＝4，
∴OP＝＝5，
∴sinα＝．
故选：D．

4．【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝，AC＝，BC＝，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴sinB＝，sinC＝，tanB＝，sin2B+sin2C＝，
故选：A．
5．【分析】根据sin30°＝直接解答即可．
【解答】解：sin30°＝．
6．【分析】根据在直角三角形中sinB＝，代值计算即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，
∴sinB＝＝．
故答案为：．
7．【分析】过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，先解Rt△ACD，求出CD的长，则AH＝CD，再解Rt△ABH，求出BH的长，然后根据BC＝AD﹣BH即可得到这栋楼的高度．
【解答】解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，

在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝150m，
∴CD＝AD•tan30°＝150×＝50（m），
∴AH＝CD＝50m．
在Rt△ABH中，
∵∠BAH＝30°，AH＝50m，
∴BH＝AH•tan30°＝50×＝50（m），
∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m），
答：这栋楼的高度为100m．
故答案为：100．
8．【分析】过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，根据三角形的外角性质得到∠BAC＝∠ABC，根据等腰三角形的判定定理得到AC＝BC，根据正弦的定义求出AE即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得，∠BAE＝60°，∠CAE＝30°，
∴∠ABC＝30°，∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12nmile，
在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，
∴AE＝AC•sin∠ACE＝6≈10.4（nmile），
故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，
故答案为10.4．

9．【分析】解直角三角形求出BC，BD，根据CD＝BD﹣BC求解即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，
∴1.60≈，
∴BD≈32（米），
在Rt△CAB中，∵tan∠CAB＝，
∴1.33≈，
∴BC≈26.6（米），
∴CD＝BD﹣BC≈5.4（米）．
答：避雷针DC的长度约为5.4米．
10．【分析】（1）过B作BD⊥AC于D，由含30°角的直角三角形的性质即可求解；
（2）由锐角三角函数定义求出CD、AD的长，即可求解．
【解答】解：（1）过B作BD⊥AC于D，如图所示：
则∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝50（m），
即风筝离地面50m；
（2）由（1）得：BD＝50m，
在Rt△BCD中，∠BCD＝50°，
∵tan∠BCD＝＝tan50°≈1.1918，
∴CD≈＝≈41.95（m），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∵tan∠BAD＝＝tan30°≈0.5774，
∴AD≈≈86.60（m），
∴AC＝AD+CD≈41.95+86.60≈128.6（m），
即A、C相距约128.6m．


































中考倒计时
06天

图形的轴对称、平移与旋转

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题的形式考查，题目简单，属于低档题。
2．从考查内容来看,涉及本知识点的重点有平移的性质与旋转的性质；轴对称的性质；中心对称与中心对称图形的概念；轴对称与轴对称图形的概念。
3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有平移、旋转、轴对称的性质；轴对称与轴对称图形；中心对称与中心对称图形；用轴对称、平移、旋转的性质作图。

一、轴对称图形与轴对称

轴对称图形
轴对称
图形


定义
如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴
如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴

性
质
对应线段相等
AB=AC
AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
对应角相等
∠B=∠C
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
对应点所连的线段被对称轴垂直平分
区别
(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条
(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴

关系
(1)沿对称轴对折，两部分重合；
(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称
(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；
(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．
2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．
3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤
1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．
4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤
1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；
2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．
二、图形的平移
1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．
2．三大要素： 一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．
3．性质： 1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等．
4．作图步骤： 1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
三、图形的旋转
1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
3．性质：
1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3）旋转前后的图形全等．
4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．
四、中心对称图形与中心对称

中心对称图形
中心对称
图
形


定
义
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称
性
质
对应点
点A与点C，点B与点D
点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′
对应线段
AB=CD，
AD=BC
AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
对应角
∠A=∠C
∠B=∠D
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
区
别
中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
中心对称是指两个图形的关系
联
系
把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称
把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形
常见的中心对称图形:平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．
注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”.

1．（2022•徐州）下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（2022•巴中）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义去逐一判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，
B、不是轴对称图形，不符合题意，
C、不是轴对称图形，不符合题意，
D、是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
3．（2022•广西）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移，平移不改变图形的形状大小．
【解答】解：根据平移的性质可知：能由如图经过平移得到的是D，
故选：D．
4．（2022•怀化）如图，△ABC沿BC方向平移得到△DEF，已知BC＝5，EC＝2，则平移的距离是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离．
【解答】解：点B平移后对应点是点E．
∴线段BE就是平移距离，
∵已知BC＝5，EC＝2，
∴BE＝BC﹣EC＝5﹣2＝3．
故选：C．
5．（2022•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，对角线AC与BD交于点O，点E是AD的中点，连接OE，△ABD的周长为12cm，则下列结论错误的是（　　）

A．OE∥AB
B．四边形ABCD是中心对称图形
C．△EOD的周长等于3cm
D．若∠ABC＝90°，则四边形ABCD是轴对称图形
【分析】根据平行四边形的性质及三角形中位线定理判断各个选项即可．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵对角线AC与BD交于点O，点E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AB，
∴A选项结论正确，不符合题意；
∵四边形ABCD是中心对称图形，
∴B选项结论正确，不符合题意；
∵△ABD的周长为12cm，
∴△EOD的周长等于6cm，
∴C选项结论错误，符合题意；
若∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形，是轴对称图形，
∴D选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
6．（2022•德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，MC的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图，连接AE交BD于M点，
∵A、C关于BD对称，
∴AE就是ME+MC的最小值，
∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，
∵AB＝，
∴AE＝＝2，
∴ME+MC的最小值是2．
故选：C．

7．（2022•阜新）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，则点D到BC的距离是 　2　．

【分析】由旋转的性质可得AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，可证△ABD是等边三角形，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，连接BD，过点D作DH⊥BC于H，

∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，
∴AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，∠ABD＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∵DH⊥BC，
∴DH＝BD＝2，
∴点D到BC的距离是2，
故答案为：2．
8．（2022•淄博）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 　（1，3）　．

【分析】根据点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），可得点A向右平移5个单位，向上平移1个单位至A1，进而可以解决问题．
【解答】解：∵点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），
∴点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是（1，3）．
故答案为：（1，3）．
9．（2022•徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝　　．

【分析】由折叠性质可得CF＝BC＝5，BE＝EF，由矩形性质有CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF＝4，进而得出AF＝1，最后在直角三角形AEF中，建立勾股定理方程求解即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，
由翻折变换的性质可知，FC＝BC＝5，EF＝BE，
在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF＝＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝1，
设AE＝x，则BE＝EF＝3﹣x，
在Rt△AEF中，由勾股定理，得EF2＝AE2+AF2，
即（3﹣x）2＝x2+12，
解得x＝，即AE＝，
故答案为：．
10．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 　4　．

【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2（）＝2（PF+PB）＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．
【解答】解：如图，

在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝，
∴PA+2PB＝2（）＝2（PF+PB）＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB•sin45°＝4×＝2，
∴（PA+2PB）最小＝2BF＝4，
故答案为：4．
11．（2022•吉林）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．
（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．

【分析】（1）作点B关于直线AC的对称点D，四边形ABCD为筝形．
（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，四边形ABCE为平行四边形．
【解答】解：（1）作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合题意．

（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，连接ABCE，AE∥BC且AE＝BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，符合题意．

12．（2022•锦州）如图，在△ABC中，，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．

【分析】（1）连接AF，可得AF⊥BC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可得证；
（2）证明△DNF∽△DME，根据（1）的结论即可得；
（3）连接AF，过点C作CH⊥AB于H，证明△AGD∽△AHC，可得，勾股定理求得GE，AG，根据，∠EMG＝∠ADG，可得，进而求得MG，根据MD＝MG+GD求得MD，根据（2）的结论，即可求解．
【解答】（1）证明：如图1，连接AF，

∵，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，
∴，AF⊥BC，
∴，
∴；
（2）解：，
理由如下：
连接AF，如图2，

∵，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，
∴，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴∠DEF＝∠C，
∵，
∴∠DFC＝∠C，
∴∠DFC＝∠DEF，
∴180°﹣∠DFC＝180°﹣∠DEF，
∴∠DFN＝∠DEM，
∵将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，
∴∠EDF＝∠PDQ，
∵∠FDN+∠NDE＝∠EDM+∠NDE，
∴∠FDN＝∠EDM，
∴△DNF∽△DME，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接AF，过点C作CH⊥AB于H，

Rt△AFC中，，
∴，
∵，
∴，
∵DP⊥AB，
∴△AGD∽△AHC，
∴，
∴，
Rt△GED中，，
Rt△AGD中，，
∴，
∵EF∥AD，
∴∠EMG＝∠ADG，
∴，
∴，
∴，
∵△DNF∽△DME，
∴，
∴．

1．（2023•房山区一模）下列图形中，直线l为该图形的对称轴的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023•西乡塘区校级一模）如图所示的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023•长乐区模拟）如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023•东丽区一模）如图，∠A＝90°，E为BC上一点，点A和E关于BD对称，点B和C关于DE对称，则∠C的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．45°
5．（2023•唐山一模）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（　　）

A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
6．（2023•芜湖模拟）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AD＝CD，现把四边形经过某种操作，可以得到与它面积相等的等腰直角三角形，这个操作可以是（　　）

A．沿BD剪开，并将△BAD绕点D逆时针旋转90°
B．沿BD剪开，并将△BAD绕点D顺时针旋转90°
C．沿AC剪开，并将△BAD绕点C逆时针旋转90°
D．沿AC剪开，并将△BAD绕点C顺时针旋转90°
7．（2023•菏泽一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于 　 　．

8．（2023•内黄县二模）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，将三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF，已知EF＝8，BE＝3，CG＝3．则图中阴影部分的面积 　 　．

9．（2023•临朐县一模）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B'上，连接DB′．已知∠C＝130°，∠BAE＝50°，则∠AB′D的度数为 　 　．

10．（2023•瑞安市模拟）如图，5×5网格是由边长为1个单位的小菱形组成，每个菱形较小的角都是60°．已知格点P，请按以下要求画格点图形（顶点都在格点上）．
（1）在图1中画一个△PAB，使∠APB＝120°，PA＝2，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．
（2）在图2中画一个Rt△PCD，使∠CPD＝90°，且该三角形的面积为．





11．（2023•香洲区校级一模）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF．
（1）求证：△PDE≌△CDF；
（2）若CD＝4cm，sin∠DFE＝，求BC的长．






12．（2023•延庆区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F．将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接AG．
（1）如图1，当CE是∠ACB的角平分线时，
①求证：AE＝AF；
②直接写出∠CAG＝　 　°．
（2）依题意补全图2，用等式表示线段AF，AC，AG之间的数量关系，并证明．







1．下列各选项中，两个三角形成轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．菱形
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AB＝10，∠B＝60°，将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF，若∠BFE＝45°，则BF的长为（　　）

A．5 B．3 C．5 D．
5．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（　　）

A． B． C．或 D．或
6．如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为　 　．

7．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为 　 　cm2．

8．如图，腰长为2+2的等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与△ABC的某一条腰垂直时，BD的长为 　 　．

9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，tanB＝，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△A1BC1，当点C1在线段CA延长线上时△ABC1的面积为　 　．

10．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；
（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．




11．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．





12．如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．









名校预测
1．【分析】在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合，以此逐项判断即可．
【解答】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
【解答】解：根据平移的概念，观察图形可知图案C通过平移后可以得到．
故选：C．
3．【分析】根据中心对称图形的定义可直接选出答案．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、C、D是中心对称图形，故B、C、D选项不符合题意．
故选：A．
4．【分析】根据轴对称的性质，可得∠ABD＝∠DBE，∠DBE＝∠C，在△ABC中，根据三角形的内角和定理可求∠C的度数．
【解答】解：∵点A和E关于BD对称，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵点B和C关于DE对称，
∴∠DBE＝∠C，
∴∠ABD＝∠DBE＝∠C，
在△ABC中，∠A+∠ABD+∠DBE+∠C＝180°，
∵∠A＝90°，
∴90°+3∠C＝180°，
∴∠C＝30°．
故选：B．
5．【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．
【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选：D．
6．【分析】由旋转的性质可得BD＝DH，∠BAD＝∠DCH，通过证明点B，点C，点H三点共线，可得△BDH是等腰直角三角形．
【解答】解：如图，沿BD剪开，并将△BAD绕点D逆时针旋转90°，得到△HCD，

∴△BAD≌△HCD，∠BDH＝90°，
∴BD＝DH，∠BAD＝∠DCH，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD+∠DCH＝180°，
∴点B，点C，点H三点共线，
∴△BDH是等腰直角三角形，
故选：A．
7．【分析】过A作AQ⊥A'C于Q，得出△B'BC是等边三角形，进而得出AQ＝AC•sin60°，即可求解．
【解答】解：若点B'恰好落在AB边上，如图，过A作AQ⊥A'C于Q，

由∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴，∠B＝60°，
由旋转的性质可知，BC＝B′C，∠A'CB'＝90°，∠B＝∠A'B'C＝60°，
∴△B'BC是等边三角形，
∴∠BCB'＝60°，
∴∠ACB'＝30°，
∴∠A'CA＝60°，
∴AQ＝AC•sin60°＝2＝3，
∴A到A'C的距离为3，
故答案为：3．
8．【分析】先根据平移的性质得到△ABC≌△DEF，BC＝EF＝8，则BG＝5，再证明S阴影部分＝S梯形BEFG.然后根据梯形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF，
∴△ABC≌△DEF，BC＝EF＝8，
∴BG＝BC﹣CG＝8﹣3＝5，
∵S阴影部分+S△DBG＝S△DBG+S梯形BEFG，
∴S阴影部分＝S梯形BEFG＝（5+8）×3＝，
故答案为：．
9．【分析】由菱形的性质得到∠BAD＝∠C＝130°，AB＝AD，由折叠的性质可得AB＝AB′，∠BAE＝∠B′AE＝50°，进而得到AB′＝AD，∠BAB′＝100°，则∠DAB′＝30°，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∠C＝130°，
∴∠BAD＝∠C＝130°，AB＝AD，
根据折叠的性质可得，AB＝AB′，∠BAE＝∠B′AE＝50°，
∴AB′＝AD，∠BAB′＝∠BAE+∠B′AE＝100°，
∴∠AB′D＝∠ADB′，∠DAB′＝∠BAD﹣∠BAB′＝30°，
∴∠AB′D＝∠ADB′＝（180°﹣∠DAB′）＝75°．
故答案为：75°．
10．【分析】（1）根据题意，结合菱形的性质，取格点A，B，连接PA．PB，AB即可；根据平移的性质作图即可．
（2）由菱形的性质可知，上下两个相邻的小菱形的对角线的夹角为60°+30°＝90°，且对角线的长分别为1和，结合三角形的面积可确定C，D两点的位置，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，△PAB即为所求.
平移后得到的P'A'B'如图1所示．
（2）如图2，Rt△PCD即为所求．

11．【分析】（1）根据ASA证明两个三角形全等即可；
（2）如图，过点E作EH⊥BC于H，由勾股定理计算FH＝3，设CF＝x，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2，列方程可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，
由折叠得：AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝90°，
∴PD＝CD，
∵∠PDF＝∠ADC，
∴∠PDE＝∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
，
∴△PDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：如图，过点E作EH⊥BC于H，
∴∠EHF＝90°，EH＝CD＝4，
在Rt△EGF中，∵sin∠DFE＝，
∴根据折叠得sin∠DFE＝sin∠EFH＝，
∴＝，
∴EF＝5，
FH＝＝3，
设CF＝x，
由（1）知：PE＝AE＝BH＝x，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
由折叠得：∠BFE＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝x+3，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2，
∴x2+42＝（x+3）2，
∴x＝，
∴BC＝2x+3＝+3＝（cm）．

12．【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得∠ACB＝∠B＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，再由三角形的外角性质得∠AFE＝∠AEF，即可得出结论；
②过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，证△ACM是等腰直角三角形，得∠M＝45°，CA＝CM，再证△MCF≌△ACG（SAS），即可得出结论；
（2）过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，证△ACM是等腰直角三角形，得∠M＝45°，CA＝CM，AM＝AC，再证△MCF≌△ACG（SAS），得MF＝AG，即可解决问题．
【解答】（1）①证明：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠B＝∠CAD，
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵∠AFE＝∠CAD+∠ACE，∠AEF＝∠B+∠BCE，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF．
②解：如图1，过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，

则∠ACM＝90°，
∵∠CAD＝45°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∴CA＝CM，∠M＝45°，
∵∠ACM＝90°，
∴∠ACF+∠MCF＝90°，
由旋转的性质得：∠FCG＝90°，CF＝CG，
∴∠ACF+∠ACG＝90°．
∴∠MCF＝∠ACG，
∴△MCF≌△ACG（SAS），
∴∠CAG＝∠M＝45°，
故答案为：45；
（2）解：依题意补全图2，AC＝AF+AG，证明如下：
过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，

则∠ACM＝90°，
∵∠CAD＝45°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∴∠M＝45°，CA＝CM，AM＝AC，
∵∠ACM＝90°，
∴∠ACF+∠MCF＝90°，
由旋转的性质得：∠FCG＝90°，CF＝CG，
∴∠ACF+∠ACG＝90°．
∴∠MCF＝∠ACG，
∴△MCF≌△ACG（SAS），
∴MF＝AG，
∵AM＝AF+MF，
∴AM＝AF+AG，
∴AC＝AF+AG．
专家押题
1．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；进行解答即可．
【解答】解：各选项中，两个三角形成轴对称的是选项A．
故选：A．
2．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，在Rt△BB'C'中，由勾股定理可求BB'的长，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，
∴BC'＝4，
∴B'B＝＝＝4，
∴sin∠BB′C′＝＝＝，
故选：C．
4．【分析】由折叠知：BF＝GF，∠BFE＝∠GFE，得∠BFG＝90°，过点A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，求出AH的长度，再证四边形AHFG是矩形，从而得出AH＝GF，即可解决问题．
【解答】解：由折叠知：BF＝GF，∠BFE＝∠GFE，
∵∠BFE＝45°，
∴∠BFG＝90°，
过点A作AH⊥BC于H，

在Rt△ABH中，AH＝sin60°×AB＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠GAH＝∠AHB＝90°，
∴∠GAH＝∠AHB＝∠BFG＝90°，
∴四边形AHFG是矩形，
∴FG＝AH＝5，
∴BF＝GF＝5．
故选：C．
5．【分析】分类画出图形，设BE＝x，由折叠的性质表示出相关线段，再用勾股定理列方程即可解得BE的长．
【解答】解：①当MB'＝MN时，如图：

Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'＝AB＝1，
∴AM＝＝2，
∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，
∴四边形ABNM是矩形，
∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，
设BE＝x，则B'E＝x，EN＝2﹣x，
Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，
∴（2﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴BE的长为；
②当NB'＝MN时，如图：

∵NB'＝MN＝1，
∴MB'＝2，
设BE＝y，
同①可得y＝，
∴BE的长为，
综上所述，BE的长为或．
故选：D．
6．【分析】利用平移的性质解决问题即可．
【解答】解：由平移的性质可知，BE＝CF，
∵BF＝8，EC＝2，
∴BE+CF＝8﹣2＝6，
∴BE＝CF＝3，
∴平移的距离为3，
故答案为：3．
7．【分析】由于∠AOB为120°，由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，所以图中阴影部分的面积之和等于三个叶片的面积和的三分之一．
【解答】解：∵三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，
而∠AOB为120°，
∴图中阴影部分的面积之和＝（4+4+4）＝4（cm2）．
故答案为4．
8．【分析】分两种情况：当CE⊥AB 时；当CE⊥AC时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质即可求解．
【解答】解：当CE⊥AB 时，如图，

设垂足为M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，
由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，
∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BCM＝22.5°，
∴∠BCM＝∠DCM，
在△BCM和△DCM中，
，
∴△BCM≌△DCM（ASA），
∴BM＝DM，
由折叠得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，
∴△MDE是等腰直角三角形，
∴DM＝EM，
设DM＝x，则BM＝x，DE＝x，
∴AD＝x．
∵AB＝2+2，
∴2x+x＝2+2，解得：x＝，
∴BD＝2x＝2；
当CE⊥AC时，如图，

∴∠ACE＝90°，
由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°，
∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，
∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，
∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即点D、E都在直线AB上，且△ADC、△DEC、△ACE都是等腰直角三角形，
∵AB＝AC＝2+2，
∴AD＝AC＝2+，
BD＝AB﹣AD＝（2+2）﹣（2+）＝，
综上，BD的长为或2．
故答案为：或2．
9．【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，过点A作AF⊥BC于F，由锐角三角函数可求AF＝3，BF＝4，由等腰三角形的性质可得BC＝8，由面积法可求BE的长，由勾股定理可求CE的长，由旋转的性质可得BC＝BC'＝8，可求AC'的长，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥CC'于点E，过点A作AF⊥BC于F，

∵tan∠ABC＝＝，
∴设AF＝3x，BF＝4x，
∵AF2+BF2＝AB2＝25，
∴x＝1，
∴AF＝3，BF＝4，
∵AB＝AC＝5，AF⊥BC，
∴BC＝2BF＝8，
∵S△ABC＝×BC×AF＝×AC×BE，
∴BE＝＝，
∴CE＝＝＝，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转，
∴BC＝BC'＝8，且BE⊥CC'，
∴CC'＝2EC＝，
∴△ABC1的面积＝×AC'×BE＝×（﹣5）×＝，
故答案为：．
10．【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可；
（2）先把DE绕E点逆时针旋转90°得到EQ，则△DEQ为等腰直角三角形，然后取DQ的中点F，则△DEF满足条件，最后利用勾股定理计算PF．
【解答】解：（1）如图，△MNP为所作；
（2）如图，△DEF为所作；
FP＝＝．

11．【分析】（1）由折叠性质可知∠AEF＝∠CEF，由AD∥BC可得∠AFE＝∠CEF，所以∠AEF＝∠AFE，由等角对等边即可得证；
（2）由折叠性质并结合（1）中结论可设CE＝AE＝AF＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理AB2+BE2＝AE2建立方程，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，则FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝3．
【解答】（1）证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，
由矩形性质可得AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE．
∴AE＝AF，
故△AEF为等腰三角形．
（2）解：由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE，
则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，
∵∠B＝90°，
在Rt△ABE中，有AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5．
由（1）结论可得AF＝AE＝5，
故FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝8﹣5＝3．

12．【分析】（1）通过SAS证明△ABD≌△CAE，可得BD＝CE；
（2）作AM⊥BF，AN⊥CE，由全等知AG＝AH，从而得到AF平分∠BFE，证出∠AFM＝∠AFN＝60°，从而证出结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
（2）解：结论正确，理由如下：
如图2，过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，

∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AGB＝∠CGF，
∴∠BFC＝∠BAC＝60°，
∴∠BFE＝120°，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，
∴×AM×BD＝×CE×AN，
∴AM＝AN，
在Rt△AFM和Rt△AFN中，
，
∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），
∴∠AFM＝∠AFN，
∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°．