2023年中考人教版数学一轮复习 第5章 四边形

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第五章　四边形第一节　多边形考 点   易错自纠易错点　易套错正多边形内角、外角的计算公式1.[2020湖北宜昌]游戏中有数学智慧.找起点游戏(如图是游戏的示意图)规定:从起点走五段相等直路之后回到起点,要求每走完一段直路后向右边偏行.成功的招数不止一招,可助我们成功的一招是              ( A )A.每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B.每段直路要短C.每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D.每段直路要长2.已知:一个多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多90°.求这个多边形的边数及内角和.解:由题意易知该多边形为正多边形.设该多边形的一内角度数是α,则与它相邻的外角的度数为180°-α,根据题意得,α=4(180°-α)+90°,解得α=162°,180°-162°=18°.∵任何多边形的外角和都是360°,∴该多边形的边数为360°÷18°=20,则这个多边形的内角和为(20-2)×180°=3 240°.真 题  考法速览考法1　多边形的内角与外角(10年2考)考法2　正多边形的识别(10年1考)考法3　正多边形的相关计算(10年3考)考法4　平面图形的镶嵌(10年2考)考法1多边形的内角与外角　　　　　 　　　　　　　　　　　　1.[2020河北,18]正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍,则n=　12　. 2.[河北,22]已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.　(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.解:(1)甲对,乙不对.若θ=360°,则(n-2)×180°=360°,解得n=4.若θ=630°,则(n-2)×180°=630°,解得n=.∵n为整数,∴θ不能取630°.(2)依题意,得(n-2)×180°+360°=(n+x-2)×180°,解得x=2.考法2正多边形的识别3.[河北,1]下列图形为正多边形的是 ( D )　A　　　　　B　　　　　C　 　　　　D考法3正多边形的相关计算4.[河北,15]如图,边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图),则= ( C )A.3 B.4 C.5 D.65.[河北,19]平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,如图,则∠3+∠1-∠2=　24　°. 考法4平面图形的镶嵌6.[河北,19]如图(1),作∠BPC的平分线的反向延长线PA,现要分别以∠APB,∠APC,∠BPC为内角作正多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后可成为一个图案.      图(1)                             图(2)例如,若以∠BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时∠BPC=90°,而=45°是360°(多边形外角和)的,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后可得到一个符合要求的图案,如图(2)所示.图(2)中图案的外轮廓周长是　14　;在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是　21　.  7.[河北,18]用4个全等的正八边形进行拼接,使相邻的两个正八边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正方形(如图(1)).用n个全等的正六边形按这种方式拼接(如图(2)),若围成一圈后中间也形成一个正多边形,则n的值为　6　. 　 图(1)　　　　图(2)    　　　第二节　平行四边形考 点  易错自纠易错点1　将平行四边形面积公式与三角形面积公式混淆而出错　　　　　　　　　　　　　　　　　1.如图,在△ABC中,AB=4,S△ABC=4,将△ABC沿直线AB向右平移2个单位长度得到△A'B'C',连接CC',则四边形ACC'A'的面积为　4　. 易错点2　误用“一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形”进行判定2.在四边形ABCD中,已知AD∥BC,则添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( C )A.AB∥DC B.AD=BCC.AB=DC D.∠B+∠C=180°易错点3　题干未给出图形而忽略分类讨论3.在平行四边形ABCD中,∠A=30°,AD=4,BD=4,则平行四边形ABCD的面积为　8或16　. 方 法   命题角度1　与平行四边形性质有关的计算　　　　 　　　　　　　　　　　　提分特训1.[2020湖南益阳]如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,若AC=6,BD=8,则AB的长可能是 ( D )A.10  B.8 C.7  D.6 2.[2020海南]如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=15,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,过点B作BG⊥AE于点G,若BG=8,则△CEF的周长为              ( A )A.16 B.17C.24 D.25 命题角度2　平行四边形的判定　　　　　　 　　　　　　　　　　　　提分特训3.[2020湖南衡阳]如图, 在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( C )A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BCC.AB∥DC,AD=BC  D.OA=OC,OB=OD 4.[辽宁沈阳]如图,在四边形ABCD中,点E和点F是对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE,且DF∥BE,过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)若tan∠CAB=,∠CBG=45°,BC=4,则▱ABCD的面积是　24　. (1)证明:∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.∵DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC.又∵DF=BE,∴△ADF≌△CBE,∴AD=CB,∠DAF=∠BCE,∴AD∥CB,∴四边形ABCD是平行四边形.(2)24解法提示:∵CG⊥AB,∴∠G=90°.∵∠CBG=45°,∴△BCG是等腰直角三角形.∵BC=4 ,∴BG=CG=4.∵tan∠CAB== ,∴AG=10,∴AB=10-4=6,∴▱ABCD的面积为6×4=24.真 题  考法速览考法1　平行四边形的性质(10年1考)考法2　平行四边形的判定(10年2考)考法1平行四边形的性质　　　　 　　　　　　　　　　　　1.[河北,13]如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处.若∠1=∠2=44°,则∠B为 ( C )A.66°        B.104°C.114° D.124°考法2平行四边形的判定2.[2020河北,10]如图,将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°,嘉淇发现,旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形,并推理如下:小明为保证嘉淇的推理更严谨,想在方框中“∵CB=AD,”和“∴四边形……”之间作补充.下列正确的是( B )A.嘉淇推理严谨,不必补充　 B.应补充:且AB=CD,C.应补充:且AB∥CD, 　 D.应补充:且OA=OC,3.[河北,22]嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.(1)在方框中填空,以补全已知和求证;(2)按嘉淇的想法写出证明;(3)用文字叙述所证命题的逆命题为　平行四边形的两组对边分别相等　.  (1)CD　平行(2)证明:如图,连接BD.在△ABD和△CDB中,∴△ABD≌△CDB,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴AB∥CD,AD∥CB,∴四边形ABCD是平行四边形.(3)平行四边形的两组对边分别相等　　　第三节　矩形、菱形、正方形考 点  易错自纠易错点1　不熟悉特殊四边形的判定定理而致错1.请判断下列说法的正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.(1)四条边都相等的四边形是正方形. ( ✕ )(2)对角线相等且互相平分的四边形是正方形.( ✕ )(3)对角线互相垂直的平行四边形是正方形. ( ✕ )(4)两条对角线分别平分一组对角的平行四边形是正方形. ( ✕ )2.下列说法中正确的有 (   C )①对角线互相平分的四边形是平行四边形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;④对角线相等的平行四边形是矩形.　　　　　　 　　　　　　　　　　　　A.1个 B.2个 C.3个 D.4个易错点2　利用对角线求菱形面积时套错公式3.如图,菱形ABCD的边长为5 cm,对角线BD与AC交于点O,若BD=6 cm,则菱形ABCD的面积为 ( D )A.48 cm2 B.40 cm2 C.30 cm2 D.24 cm2方 法  课时一　矩形的性质与判定命题角度1　矩形的性质提分特训1.[2020广东广州]如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为( C )A. B. C. D.2.[甘肃兰州A卷]如图,在矩形ABCD中,∠BAC=60°,以点A为圆心、任意长为半径作弧分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心、大于MN的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点E,若BE=1,则矩形ABCD的面积等于　3　. 命题角度2　矩形的判定　　　　　　 　　　　　　　　　　　　提分特训3.如图,在▱ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是              ( A )A.OM=AC B.MB=MOC.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND4.[2020四川遂宁]如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是线段BC,AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.(1)求证:△BDE≌△FAE;(2)求证:四边形ADCF为矩形.证明:(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.∵点E是AD的中点,∴AE=DE.又∠AEF=∠DEB,∴△BDE≌△FAE.(2)∵△BDE≌△FAE,∴AF=BD.∵点D是BC的中点,AB=AC,∴BD=CD,AD⊥BC,∴AF=CD.又AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.又∠ADC=90°,∴四边形ADCF为矩形.课时二　菱形的判定与性质命题角度3　菱形的性质　　　 　　　　　　　　　　　　提分特训5.[2020黑龙江哈尔滨]如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在线段BO上,连接AE,若CD=2BE,∠DAE=∠DEA,EO=1,则线段AE的长为　2　. 6.[2020张家口桥东区一模]如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线BD平移得到△A'B'D'(点A,B,D的对应点分别为点A',B',D'),连接A'C,A'D,B'C.(1)四边形A'B'CD的形状一定是　平行四边形　; (2)A'C+B'C的最小值为 　. 命题角度4　菱形的判定　　　　　 　　　　　　　　　　　　提分特训7.如图,AC为矩形ABCD的对角线,点E,F分别在边BC,AD上,将△ABE沿直线AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将△CDF沿直线CF折叠,使点D落在AC上的点N处,易证四边形AECF是平行四边形.当∠BAE的度数为( A )时,四边形AECF是菱形.A.30° B.40° C.45° D.50°8.[2020江苏连云港]如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点M,N,连接BM,DN.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.(1)证明:∵AD∥BC,∴∠CBD=∠ADB,∠BNO=∠DMO.∵直线MN是线段BD的垂直平分线,∴OB=OD.∴△BON≌△DOM,∴OM=ON,∴四边形BNDM为菱形.(2)解:∵四边形BNDM为菱形,BD=24,MN=10,∴OB=BD=12,OM=MN=5.在Rt△BOM中,BM===13,∴菱形BNDM的周长为4BM=4×13=52.课时三　正方形的性质和判定命题角度5　正方形的性质提分特训9.[2020甘肃天水]如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为　(-1,5)　. 10.[2020山东滨州]如图,点P是正方形ABCD内一点,且点P到点A,B,C的距离分别为2,,4,则正方形ABCD的面积为　14+4　. 命题角度6　正方形的判定提分特训11.如图,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,∠OBC=∠OCB.(1)求证:平行四边形ABCD是矩形;(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∴OA=OC=OB=OD,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.(2)AB=AD(答案不唯一).12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C作直线MN∥AB,点D为AB的中点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为点F,连接CD,BE.(1)求证:CE=AD.(2)当△ABC满足什么条件时,四边形CDBE是正方形?请说明你的理由.(1)证明:∵DE⊥BC,∠ACB=90°,∴AC∥DE.又MN∥AB,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD.(2)当△ABC是等腰直角三角形时,四边形CDBE是正方形.理由:由四边形CDBE是正方形,可得CD⊥BD.又点D为AB的中点,∴直线CD是AB的垂直平分线,∴CA=CB.又∠ACB=90°,∴△ABC是等腰直角三角形.真 题  考法速览考法1　矩形的性质与判定(10年8考)考法2　菱形的性质与判定(10年6考)考法3　正方形的性质与判定(必考)考法1矩形的性质与判定1.链接第七章第四节真题 第2题考法2菱形的性质与判定2.[河北,5]如图,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1= ( D )A.30°　　　　　B.25°C.20°       D.15°3.[河北,9]求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:AC⊥BD.以下是排乱的证明过程:①又BO=DO,②∴AO⊥BD,即AC⊥BD.③∵四边形ABCD是菱形,④∴AB=AD.证明步骤正确的顺序是 ( B )A.③→②→①→④　　　B.③→④→①→②C.①→②→④→③  D.①→④→③→②4.[河北,11]如图,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN= ( B )A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.65.[河北,14]如图,已知菱形ABCD的顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC=　5　.  6.[河北,23]如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)求∠ACE的度数;(3)求证:四边形ABFE是菱形.(1)证明:如图,由旋转可知,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=100°.∵AB=AC,∴AD=AE,∴△ABD≌△ACE.(2)如图,∵AC=AE,∠CAE=100°,∴∠2=∠3=40°. 即∠ACE=40°.(3)证明:如图,∵∠1=∠2=40°,∴AB∥CE.同理∠4=∠5,∴AE∥BD,∴四边形ABFE为平行四边形.∵AB=AD,AD=AE,∴AB=AE,∴四边形ABFE为菱形.考法3正方形的性质与判定7.[河北,6]关于▱ABCD的叙述,正确的是 ( C )A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形 8.[河北,23]如图,四边形ABCD是正方形,点E,K分别在边BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG.(1)求证:①DE=DG;②DE⊥DG.(2)尺规作图:以线段DE,DG为边作出正方形DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作法和证明).(3)连接(2)中的KF,猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想.(4)当=时,请直接写出的值.(1)证明:①∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠DCE=∠DAG=90°.又∵CE=AG,∴△DCE≌△DAG,∴∠EDC=∠GDA,DE=DG.②∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG.(2)如图(1)或图(2)所示.　　图(1)　　　　　　　　　图(2)(3)四边形CEFK为平行四边形.证明:∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG.∵BK=AG,∴KG=AB=CD.∴四边形CKGD为平行四边形,∴CK=DG=EF,CK∥DG.又∵DG∥EF,∴CK∥EF,∴四边形CEFK为平行四边形.(4)              =.参考答案第一节　多边形考点【易错自纠】1.A　由题意可知,要从起点走五段相等直路之后回到起点,应使自己走过的五段直路围成一个正五边形即可.正五边形的每个外角的度数为360°÷5=72°,可知每走完一段直路后向右偏72°方向行走可回到起点.故选A.2.略真题1.12　∵正六边形的一个内角的度数为180°-=180°-60°=120°,正n边形的一个外角的度数为,∴120°=×4,∴n=12.2.略3.D　各边都相等、各角都相等的多边形叫做正多边形.显然只有选项D中的图形符合题意.4.C　如图,设正六边形的中心为O.连接OA,OB.∵∠AOB=360°÷6=60°,OA=OB,∴△OAB是等边三角形,易知S正六边形=6 S△OAB. ∵图中空白处两个直角三角形可拼成一个边长为a的等边三角形,∴S空白=S△OAB,∴=====5.5.24　∵正三角形、正方形、正五边形、正六边形每个内角的度数分别为60°,90°,108°,120°,∴∠3=90°-60°=30°,∠2=108°-90°=18°,∠1=120°-108°=12°,∴∠3+∠1-∠2=30°+12°-18°=24°.6.14　21　题图(2)中的图案的外轮廓周长为(8-2)×2+(4-2)=14.设上方正多边形的边数为n,则∠BPC=,故下面两个正多边形的边数为===.当n=3,4,6,10时,为整数,故符合要求的图案有4种:当n=3时,=12,图案由一个正三角形和两个正十二边形组成,外轮廓周长为(12-2)×2+(3-2)=21;当n=4时,=8,图案由一个正四边形和两个正八边形组成,外轮廓周长为(8-2)×2+(4-2)=14;当n=6时,=6,图案由三个正六边形组成,外轮廓周长为(6-2)×2+(6-2)=12;当n=10时,=5,图案由一个正十边形和两个正五边形组成,外轮廓周长为(5-2)×2+(10-2)=14.综上,会标的外轮廓周长是21.7.6　正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°,每个内角的度数为720°÷6=120°.如图,∠1=360°-120°×2=120°,即中间的正多边形每个内角的度数为120°,所以n=6. 第二节　平行四边形考点【易错自纠】1.4　设△ABC中AB边上的高为h,则S△ABC=AB·h,即4=×4h,解得h=2.∵AC =A'C',AC∥A'C',∴四边形ACC'A'是平行四边形,∴S▱ACC'A'=AA'·h=2×2=4.2.C　根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”,可知添加A中条件可判定四边形ABCD是平行四边形;根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”,可知添加B中条件可判定四边形ABCD是平行四边形.若AD∥BC,AB=DC,则该四边形可能是平行四边形,也可能是等腰梯形,故添加C中条件不能判定四边形ABCD是平行四边形.由∠B+∠C=180°,可得AB∥CD,故添加D中条件可判定四边形ABCD是平行四边形.故选C.3.8或16　过点D作DE⊥AB于点E,分两种情况讨论.①当点E在AB的延长线上时,如图(1),在Rt△ADE中,∠A=30°,AD=4,∴DE=AD=2,AE=AD=6.根据勾股定理可得BE===2,∴AB=6-2=4,∴S▱ABCD=AB·DE=4×2=8.②当点E在线段AB上时,如图(2),同理可得DE=2,AE=6,BE=2,∴AB=6+2=8,∴S▱ABCD=AB·DE=8×2=16.图(1)　　     　　图(2)方法例1　26°　在▱ABCD中,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC,∴∠ACD=∠CAB,∠BCD=180°-∠D=78°.∵AD=AE=BE,∴AE=BE=BC,∴∠BCA=∠BEC,∠EBA=∠CAB,∴∠BCA=∠BEC=2∠CAB,∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=3∠CAB=78°,∴∠CAB=26°.例2　略提分特训1.D　∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=AC=3,OB=BD=4,∴4-3<AB<4+3,即1<AB<7,∴AB的长可能为6.2.A　根据平行四边形的性质可知CD=AB=10,BC=AD=15,AB∥DC,∴∠AEB=∠DAE.∵AF平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠AEB=∠BAE,∴BE=AB=10,∴CE=BC-BE=15-10=5.∵BG⊥AE,BG=8,∴GE=6,点G是AE的中点,∴AE=12,∴△ABE的周长为10+10+12=32.∵DF∥AB,∴△ABE∽△FCE,∴===,∴△CEF的周长为32×=16.3.C　选项A符合平行四边形的定义,可以判定四边形ABCD是平行四边形;选项B中,四边形两组对边分别相等,可以判定四边形ABCD是平行四边形;选项C中,四边形的一组对边平行,另一组对边相等,不能判定四边形ABCD是平行四边形;选项D中,四边形对角线互相平分,可以判定四边形ABCD是平行四边形.故选C.4.略真题 C　由折叠的性质,得∠ACB'=∠2=44°,∠B=∠B',∠BAC=∠B'AC.又∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC=∠B'AC=∠1=22°,∴∠B=∠B'=180°-∠ACB'-∠B'AC=180°-44°-22°=114°.2.B　根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,可知应补充“且AB=CD,”.3.略第三节　矩形、菱形、正方形考点【易错自纠】1.✕　✕　✕　✕　四条边都相等的四边形是菱形,故(1)错误.对角线相等且互相平分的四边形是矩形,故(2)错误.对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故(3)错误.两条对角线分别平分一组对角的平行四边形是菱形,故(4)错误.2.C　对角线互相平分的四边形是平行四边形,故①正确;对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故②错误;对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,故③正确;对角线相等的平行四边形是矩形,故④正确.故选C.3.D　∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OD=OB=BD=3 cm.又AD=5 cm,∴OA=4 cm,∴AC=8 cm,∴S菱形ABCD=AC·BD=×8×6=24(cm2).方法例1　A　在矩形ABCD中,∠ABC=90°.∵∠ACB=30°,BC=8,∴∠BAC=60°,AB=BC·tan 30°=.又OA=OB,∴△ABO为等边三角形.又∵AE平分∠BAO,∴∠BAE=∠BAO=30°,AE⊥BO,∴AE=AB·cos∠BAE=×=4.故选A.例2　略例3　D　过点E作EF⊥x轴于点F.∵四边形OABC为菱形,∠AOC=60°,∴∠AOE=∠AOC=30°,AC⊥OB,∴OE=OA·cos 30°=4×=2,∴OF=OE·cos 30°=2×=3,EF=OE·sin 30°=2×=,∴E(3,).故选D.例4　略　例5　略例6　A　∵点E,F分别是AD,BC的中点,点M,N分别是AC,BD的中点,∴EN,NF,FM,ME分别是△ABD,△BCD,△ABC,△ACD的中位线,∴EN∥AB∥FM,ME∥CD∥NF,∴四边形EMFN为平行四边形.当AB=CD时,EN=FM=ME=NF,∴平行四边形EMFN是菱形.6若AB⊥CD,则EN⊥ME,此时菱形EMFN是正方形.故选A.提分特训1.C　由矩形的性质得,∠BAD=90°,OA=OD,∴BD==10,∠EAO=∠ADB,∴sin∠ADB==.∵OE⊥AO,∴在Rt△AOE中,OE=AE·sin∠EAO.∵EF⊥BD,∴在Rt△EFD中,EF=DE·sin∠ADB.∴OE+EF=AE·sin∠EAO+DE·sin∠ADB=(AE+DE)sin∠ADB=AD·sin∠ADB=8×=.2.3　由作图可知,AP是∠BAC的平分线.∵∠BAC=60°,∴∠BAP=∠CAP=30°.在矩形ABCD中,∠ABC=90°.∵∠BAE=30°,BE=1,∴AB==,∴BC=AB·tan∠BAC=3,故矩形ABCD的面积为AB·BC=3.3.A　∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又∵BM=DN,∴OM=ON,∴四边形AMCN是平行四边形.若要使得▱AMCN是矩形,则需要一个内角是直角或对角线相等.由条件OM=AC可推理出AC=MN,故此条件符合题意.4.略5.2　设BE=x,则AD=CD=2BE=2x.∵∠DAE=∠DEA,∴ED=AD=2x,∴BD=BE+ED=3x,∴BO=DO=x,∴OE=BO-BE=x-x=x.又OE=1,∴x=1,∴x=2,∴DO=3,AD=4,∴AO===,∴AE===2.6.(1)平行四边形　(2)　(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD.由平移可知,AB∥A'B',∴CD∥A'B',∴四边形A'B'CD是平行四边形.(2)设A'C与BD交于点O,由四边形A'B'CD为平行四边形可得DO=B'O.如图,连接AO,延长DA到点E,使AE=AD,连接B'E,则AO是△B'ED的中位线,∴B'E=2AO.由菱形的轴对称性可得AO=OC,∴A'C=2OC=2AO,∴B'E=A'C.故当点C,B',E三点共线时,A'C+B'C的值最小,为CE的长.连接AC,易得AE=AC,∠EAC=120°,∴∠E=30°,∴∠ECB=∠E=30°,∴∠ECD=120°-∠ECB=90°.在Rt△ECD中,CE===,∴A'C+B'C的最小值为. A　 由折叠可知,∠BAE=∠CAE.∵四边形AECF是菱形,∴∠ACE=∠CAE,∴∠BAE=∠CAE=∠ACE.又∵∠B=90°, ∴∠BAE=30°.故选A.8.略9.(-1,5)　如图,过点E作EH⊥x轴于点H,过点F作FM⊥x轴于点M,过点E作EN⊥FM于点N,交y轴于点B,则四边形NMHE,BOHE是矩形,∴NM=EH,BE=OH.易证△FNE≌△OHE,∴FN=OH,NE=HE.∵点E的坐标为(2,3),∴OH=2,EH=3,∴BE=FN=2,NE=NM=3,∴BN=NE-BE=1,FM=FN+NM=5,∴点F的坐标为(-1,5).10.14+4　如图,将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM,连接PM,过点B作BH⊥PM于点H.∵BM=BP=,∠PBM=90°,∴PM=PB=2.∵PC=4,CM=PA=2,∴PC2=CM2+PM2,∴∠PMC=90°.又∵∠BPM=∠BMP=45°,∴∠APB=∠CMB=90°+45°=135°,∴∠APB+∠BPM=180°,∴A,P,M三点共线.∵BP=BM,BH⊥PM,∴PH=BH=HM=PM=1,∴AH=2+1,∴AB2=AH2+BH2=(2+1)2+12=14+4,∴正方形ABCD的面积为14+4.11.略　12.略真题1.略2.D　∵四边形ABCD为菱形,∴CD∥AB,∴∠DAB=180°-∠D=30°,∴∠1=∠DAB=15°.3.B　∵四边形ABCD是菱形(已知),∴AB=AD(菱形的四条边都相等).又BO=DO(菱形的对角线互相平分),∴AO⊥BD(三线合一),即AC⊥BD.故证明步骤正确的顺序是③→④→①→②.4.B　∵ME⊥AD,NF⊥AB,∴∠AFN=∠AEM=90°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠FAN=∠EAM,∴△FAN∽△EAM,∴=,即=,∴AN=4.5.5　AB=1-(-4)=5,根据“菱形四条边都相等”,可知BC=AB=5.6.略7.C　若AB⊥BC,则▱ABCD是矩形;若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形;若AC=BD,则▱ABCD为矩形;若AB=AD,则▱ABCD是菱形.故选C.8.略