5．3　简单的轴对称图形

第1课时　等腰三角形的性质

1．理解并掌握等腰三角形的性质；(重点)

2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　

一、情境导入

探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得到的△ABC有什么特点？

二、合作探究

探究点：等腰三角形的性质

【类型一】 利用“等边对等角”求角度

等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)

A．65°或50°  B．80°或40°

C．65°或80°  D．50°或80°

解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.

方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

【类型二】 利用方程思想求等腰三角形的角度

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．

解析：设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．

解：设∠A＝x.∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC.∵∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∠ADB＋∠BDC＝180°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°.

方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形内角和可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明

如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，试说明：EC∥DF.

解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据角平分线定义得到∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，那么∠DBC＝∠ECB，再由∠DBC＝∠F，等量代换得到∠ECB＝∠F，于是根据平行线的判定得出EC∥DF.

解：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.

方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题

【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明

如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.

(1)若AD＝AE，如图①，试说明：BD＝CE；

(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，试说明：AF⊥BC.

解析：(1)过A作AG⊥BC于G.根据等腰三角形的性质得出BG＝CG，DG＝EG即可得出BD＝CE；(2)先求出BF＝CF，再根据等腰三角形的性质求解．

解：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；

(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.

方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

三、板书设计

1．等腰三角形的性质：

等腰三角形是轴对称图形；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴；等腰三角形的两个底角相等．

2．运用等腰三角性质解题的一般思想方法：

方程思想、整体思想和转化思想．

    本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高