北师大版七年级数学下册学案（含解析）：第二章相交线与平行线3平行线的性质

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3 平行线的性质
第1课时平行线的性质
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平行线的性质
（）性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简称为：两直线平行，__________相等．如图所示，用符号表示为：因为，所以．

（）性质：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简称为：两直线平行，__________相等．如图所示，用符号表示为：因为，所以．
（）性质：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称为：两直线平行，__________互补．如图所示，用符号表示为：因为，所以．
【答案】（）同位角（）内错角（）同旁内角
【解析】

当堂达标 活学巧练 巩固基础
考点一：“同位角”的性质
1．如图，平分，点在上，，若，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

2．（2016∙育才中学期中）如图，直线，，，那么的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

3．（一题多辨）
（）（2015∙凉山州）如图①，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当 时，等于（ ）．

A． B． C． D．
（）如图②，将三角尺的直角顶点放在直线上，，，，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】（）A（）C
【解析】

4．（2015∙郴州）如图，已知，，则__________．

【答案】
【解析】

考点二：“内错角”的性质
5．如图，小明在操场上从点出发，先沿南偏东方向走到点，再沿南偏东方向走到点，这时的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

考点三：“同旁内角”的性质
6．（一题多解）（2016∙青岛39中期末）如图，一个含有角的直角三角尺的两个顶点放在一个长方形的对边上，如果，那么的度数是__________度．

【答案】
【解析】

7．（2016∙市南区期末）车库的电动门栏杆如图所示，垂直于地面于点，平行于地面，则__________度．

【答案】
【解析】

8．如图，，，，求的度数．

【答案】见解析
【解析】解：因为，
所以．
因为，所以．
因为，所以，
所以．

强化训练 综合演练 强化能力
时间：30分钟 满分：65分得分：__________
1．（分）（2015∙黔东南州）如图所示，直线，与直线，相交，已知，，则（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

2．（分）（2016∙陕西）如图，，平分交于点，若，则（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

3．（分）（2016∙深圳）如图，已知，直角三角尺的直角顶点在直线上，若，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

4．（分）（2015∙黄冈）如图，，，，，则等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

5．（分）（一题多解）如图，已知，，，则等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

6．（分）（2016∙云南）如图，直线，直线与直线以，分别相交于，两点，若，则__________．

【答案】
【解析】

7．（分）（一题多辨）
（）（2015∙胶南市王合中学质检）如图①所示，，，，则等于（ ）．（方法链接：构违法）

A． B． C． D．
（）如图②，，那么__________．

【答案】（）B（）
【解析】

8．（分）（2016∙江西模拟）如图，在三角形中，，平分，交于点，，交于点，求的度数．

【答案】见解析
【解析】解：因为在三角形中，，
所以，
因为平分，所以，
因为，所以．

9．（分）（拓展提升题）如图，已知，分别猜想出下列三个图形中，，的关系，并说明理由．

【答案】见解析
【解析】解：（）．
理由如下：如图①，过点作．
因为，所以，
所以，．
因为，
所以．
（）．
理由如下：如图②，
因为，所以．
因为，，
所以，
所以．
（）．
理由如下：如图③，
因为，所以．
因为，，
所以，
所以．

第2课时 平行线性质与判定的综合应用
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平行线的判定与性质的比较
平行线的判定
平行线的性质
同位角角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
同旁内角互补，两直线平行
两直线平移地，同旁内角互补
由角的“数量关系”决定线的“位置关系”
由线的“位置关系”决定角的“数量关系”
当堂达标 活学巧练 巩固基础
考点：平行线性质与判定的综合应用
1．（2016∙临夏州）如图，，，，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

2．（2016∙宁波）如图所示，在三角形中，，，，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

3．（2016∙黔西南州）如图，，，若，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

4．（2016∙天水）如图，直线，是的平分线，，则的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

5．（2016∙滨州）如图，，直线与，分别交于点，，过点的直线与 交于点，则下列结论错误的是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】

6．（2016∙连云港）如图，直线，平分，若，则__________．

【答案】
【解析】

7．（2016∙绥化）如图，，若，，则__________．

【答案】
【解析】

8．（2016∙达州）如图，，交于点，于点，若__________．

【答案】
【解析】

9．（2016∙金华）如图，已知，．若，，则的度数是__________．

【答案】
【解析】

10．（2016∙市南区期末）把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．

如图，已知，．
试说明：．
解：因为（已知），
所以（ ）．
所以（ ）．
又因为（已知），
所以__________．（等量代换）．
所以（ ）．
所以（ ）．
【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】

强化训练 综合演练 强化能力
1．（分）（2016∙市北区期中）如图，已知，，则下列结论不成立的是（ ）．

A． B． C．D．
【答案】A
【解析】

2．（分）（2016∙六盘水）图中，，均是平行线，被直线所截得到的角，其中相等的两个角有（ ）对．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

3．（分）（2016∙盐城）如图，已知，，，四条直线，，，，则等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

4．（分）（一题多辨）
（）（2016∙聊城）如图①，，，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．

（）（2016∙衡阳）如图②，直线，，，则等于（ ）．
A． B． C． D．

【答案】（）C（）C
【解析】

5．（分）（一题多辨）
（）（2015∙宜昌）如图①，，，垂足为，，则 的大小为（ ）．
A． B． C． D．

（）（2016∙贵阳）如图②，直线，点在直线上，，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．

【答案】（）C（）B
【解析】

6．（分）（2015∙滨州）如图，直线，，分别是，的平分线，那 与之间的大小关系一定为（ ）．

A．互余 B．相等 C．互补 D．不等
【答案】A
【解析】

7．（分）（2016∙凉山州）如图，，直线分别交，于，两点，的平分线交于点，若，则等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

8．（分）（2015∙泰安）如图，，，平分，则的度数等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

9．（分）（一题多解）（2015∙泰州）如图，直线，，，则__________．

【答案】
【解析】

10．（分）（2015∙绵阳）如图，，，交的平分线于点， ，则__________．

【答案】
【解析】

11．（分）（拓展提升题）将一副三角尺拼成如图所示的图形，过点作平分，交于点．

（）试说明：．
（）求的度数．
【答案】见解析
【解析】解：（）因为平分，
所以．
因为，所以．
因为，所以，
所以（内错角相等，两直线平行）．
（）因为，，
所以．

平行线性质的应用
一、平行线与三角形
1．（2016∙东营）如图，直线，，，则等于（ ）．
A． B． C． D．

【答案】C
【解析】

2．（2016∙毕节）如图，直线，，，则的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

3．（2016∙临沂）如图，直线，，，则的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

4．（2016∙黔东南州）如图，直线，若，，则等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

二、平行线与角平分线
5．（2016∙新疆）如图，，平分，，则等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

6．（2016∙三明）如图，已知，平分，，则为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

7．（2016∙大连）如图，直线，平分，与相交于点，，则 的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

8．（2016∙西宁）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

三、平行线与垂线
9．（一题多辨）
（）（2016∙梅州）如图①，于点，，，则等于（ ）．
A． B． C． D．

（）（2016∙咸宁）如图②，直线，于点，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．

【答案】（）C（）C
【解析】

10．如图，直线，点在直线上，且，，那么的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

11．（2016∙威海）如图，，，垂足为，若，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

四、平行线与辅助线
12．（一题多辨）
（）（2016∙朝阳）如图①，已知，，，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
（）（2016∙十堰）如图②，，于点，若，则（ ）．

A． B． C． D．
（）（2015∙遵义）如图，直线，若，，则（ ）．

A． B． C． D．
【答案】（）D（）B（）A
【解析】

13．（2016∙枣庄）如图，的一边为平面镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上一点反射，反射光线恰好与平行，则的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

14．（2016∙湖州）如图①是我们常用的折叠式小刀，图②中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图②所示的与，则与的度数和是__________度．

【答案】
【解析】

五、平行线与三角尺
15．（2016∙日照）小红把一把直尺与一块三角尺如图放置，测得．则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

16．（2016∙遵义）如图，在平行线，之间放置一块直角三角尺，三角尺的顶点，分别在直线，上，则的值为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

17．（2016∙内江）将一副直角三角尺如图放置，使含角的三角尺的直角边和含角的三角尺的一条直角边在同一条直线上，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

18．（2016∙营口）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点，，与交于点，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

19．（2016∙天门）如图，将一块含有角的直角三角尺的两个顶点放在两条平行的直线，上，如果，那么的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

20．（2016∙菏泽）如图，将一副三角尺和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角尺的一直角边重合，含角的直角三角尺的斜边与纸条一边重合，含角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是__________．

【答案】
【解析】

4 用尺规作角
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作一个角等于已知角如图①，已知，求作，使．
作法：（）如图②，作射线；

（）以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点；
（）以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；
（）以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点；
（）过点作射线，则就是所求作的角，

当堂达标 活学巧练 巩固基础
考点一：尺规作图
1．下列作图属于尺规作图的是（ ）．
A．画线段
B．用量角器画出的平分线
C．用三角尺作过点垂直于直线的直线
D．已知，用没有刻度的直尺和圆规作，使
【答案】D
【解析】

2．下列尺规作图的语句正确的是（ ）．
A．延长射线到点
B．延长直线到点
C．延长线段到点，使
D．延长线段到点，使
【答案】C
【解析】

3．如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（ ）．

A．以点为圆心，长为半径的弧
B．以点为圆心，长为半径的弧
C．以点为圆心，长为半径的弧
D．以点为圆心，饫为半径的弧
【答案】D
【解析】

考点二：作一个角等于已知角
4．如图所示，已知，以为边作，使，那么下列说法正确的是（ ）．（数学思想链接：分类讨论思想）

A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【解析】

5．如图所示，已知，分别以射线，为始边，在的外部作，，则与的位置关系是__________．

【答案】垂直
【解析】

6．（2016∙市北区期中）已知，求作，使．

【答案】略
【解析】

7．如图，，为两个港口，甲船从港口沿方向航行，乙船从港口出发，乙船应沿什么方向航行才能使其航线与甲船的航线平行？
请用尺规作出乙船的航线．

【答案】见解析
【解析】解：如图：，并反向延长，
则乙船应沿着射线或射线的反向延长线航行能使其航线与甲船的航线平行．


强化训练 综合演练 强化能力
1．（分）下列作图语句中，正确的是（ ）．
A．作线段，使
B．延长线段到，使
C．作，使
D．以点为圆心作弧
【答案】C
【解析】

2．（分）（2015∙宁德）如图，用尺规作图：“过点作”，其作图依据是（ ）．

A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【解析】

3．（分）已知，，利用尺规作．

【答案】见解析
【解析】提示：（）作；
（）以为顶点，射线为边在外部作；
（）以为顶点，射线为边在内部作，则为所求作的角．

4．（分）如图，已知及，边上的点，，请用尺规作图，分别过点，作，的平行线，不写作法，保留作图痕迹．

【答案】见解析
【解析】解：如图所示．


5．（分）如图，在一个三角形支架上要加一根横杆，使，请你利用尺规作出的位置（不写作法，保留作图痕迹），并说明你的依据．

【答案】见解析
【解析】如图，作．依据：因为与是内错角，
且，所以（内错角相等，两直线平行）．


6．（分）如图，在小龙的一张地图上有，，三个城市，但地图上的城市，但知道，，请你用尺规作图法帮他在图中确定城市的具体位置．（用尺规作图，保留痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】解：如图所示．


7．（分）（拓展提升题）如图，已知，．以为顶点，为一边作，并用移动三角尺的方法验证与是否平行．（数学思想链接：分类讨论思想）

【答案】见解析
【解析】解：与不一定平行．如图所示，当时，
所作的图形不唯一，共有两解，如图中的，
所以与不一定平行．