人教A版2019高中数学必修第二册 课时跟踪检测（四十四） 事件的相互独立性（学考标准）

课时跟踪检测（四十四）  事件的相互独立性

A级——学考合格性考试达标练

1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　)

A．互斥事件　　　　　 B．相互独立事件

C．对立事件  D．不相互独立事件

解析：选D　根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．故选D.

2．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)

A．事件A与B互斥  B．事件A与B对立

C．事件A与B相互独立  D．事件A与B既互斥又独立

解析：选C　因为P()＝，所以P(A)＝，又P(B)＝，P(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥．故选C.

3.如图，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性为(　　)

A．0.054  B．0.994

C．0.496  D．0.06

解析：选B　记三个开关都正常工作分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7.

三个开关同时出现故障的事件为∩∩，则此系统正常工作的概率为P＝1－P(  )＝1－P()P()P()＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.故选B.

4．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是(　　)

A．0.80  B．0.75

C．0.60  D．0.48

解析：选B　设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.故选B.

5．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为(　　)

A．0.25  B．0.30

C．0.31  D．0.35

解析：选C　设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用设备的概率P1＝P(BCD∪ACD∪ABD∪ABC)＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，

4人使用设备的概率P2＝P(ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，

故所求概率P＝P1＋P2＝0.25＋0.06＝0.31.故选C.

6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．

解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.

答案：0.26

7．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．

解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，. 在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为××＝.

答案：

8．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．

解析：至少有一个准时响的概率为1－(1－0.90)·(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98.

答案：0.98

9．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.求：

(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；

(2)至少有一个气象台预报准确的概率．

解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.

显然事件A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.

(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率

P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.

(2)至少有一个气象台预报准确的概率为

P＝1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝.

10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．

方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．

求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；

(2)该应聘者用方案二考试通过的概率．

解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9.

(1)应聘者用方案一考试通过的概率为

P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC)

＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75.

(2)应聘者用方案二考试通过的概率为

P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)

＝×0.5×0.6＋×0.6×0.9＋×0.5×0.9＝0.43.

B级——面向全国卷高考高分练

1．有一道数学难题，学生A解出的概率为，学生B解出的概率为，学生C解出的概率为.若A，B，C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为(　　)

A．1  B．

C.  D.

解析：选C　一道数学难题，恰有一人解出，包括：

①A解出，B，C解不出，概率为××＝；

②B解出，A，C解不出，概率为××＝；

③C解出，A，B解不出，概率为××＝.

所以恰有1人解出的概率为＋＋＝.故选C.

2．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选B　因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，所以他们不去北京旅游的概率分别为，，，故至少有1人去北京旅游的概率为1－××＝.故选B.

3．甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选B　由题意知，甲在前两个十字路口没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率为××＝.故选B.

4.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选C　记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P()P()[1－P(AB)]＝××＝.所以灯亮的概率为1－＝.故选C.

5．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．

解析：由题意知P＝1－(1－0.3)×(1－0.5)＝0.65.

答案：0.65

6．某地区为女农民工免费提供家政和医院陪护工培训，每人可选择参加一项、两项培训或不参加培训，已知参加过家政培训的有60%，参加过医院陪护工培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且每个人的选择相互之间没有影响．任选1名女农民工，则她参加过培训的概率是________．

解析：设事件A表示“女农民工参加家政培训”，

事件B表示“女农民工参加医院陪护工培训”，

则P(A)＝0.6，P(B)＝0.75，

任选1名女农民工，她两项培训都没参加的概率为

P( )＝P()P()＝(1－0.6)×(1－0.75)＝0.1，

则她参加过培训的概率是1－P( )＝1－0.1＝0.9.

答案：0.9

7．某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求：

(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？

(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？

解：分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.

(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用  表示，所求的概率为P(  )＝P()P()P()

＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]

＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，

即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.

(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(BC)∪(AC)∪(AB)表示．

由于事件BC，AC和AB两两互斥，

根据概率的加法公式和事件独立性定义，所求的概率为P(BC)＋P(AC)＋P(AB)

＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()

＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]

＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，

即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.

C级——拓展探索性题目应用练

某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．

(1)求学生小张选修甲的概率；

(2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率．

解：(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，

则解得

所以学生小张选修甲的概率为0.4.

(2)若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0，当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选．

所以P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，

即事件A的概率为0.24.