人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数当堂达标检测题

4.3.1 对数的概念

一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知，且，则下列不等式关系中正确的是(    )

A.   B.   C.   D.  

3.    设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题有多项符合题目要求）

4.    若，则，之间的关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    下列结论中，正确的是(    )

A.  B.
C. 若，则 D. 若，则

7.    任何一个正整数可以表示成，，此时，．

下列结论正确的是(    )

A. 是位数
B. 是位数
C. 是位数
D. 一个位正整数的次方根仍是一个正整数，这个次方根为

8.   已知，均为正实数，若，，则可能是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共7小题，共35.0分）

9.   方程的解集为          ．
10. 已知，，则          ，          ．
11. 若，则          ．
12. 已知，，则           ．
13. 已知是奇函数，且当时，若，则          ．
14. 若，则          ．
15. 设，满足，则的最小值为          ．

四、解答题（本大题共1小题，共12.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分

已知，且，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查对数方程的求解，属于基础题．
把对数式化为指数式即可．

【解答】

解：，则，

故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数式和指数式的互化，考查了指数函数的单调性和计算能力．
设，可得，，作差、利用指数函数的单调性即可得出．

【解答】

解：，设，
则，，．
，，
同理可得：，，
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数运算及函数的单调性，属于拔高题．
由已知可得，然后结合函数的单调性及集合的包含关系求解即可．

【解答】

解：由，可得，

得，在上单调递减，

所以，

又对于任意的，都有满足方程，

所以，且，

解得．

故选B．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数幂的化简及对数的运算性质，属于较易题．
由已知条件，化简即可得结果．

【解答】

解：  ，则，．
故选AC．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数的性质以及对数方程的求解，属于中档题．
对两边取以为底的对数，根据对数的运算性质，计算化简，即可得答案．

【解答】

解：对两边取以为底的对数，
得，
即，
整理得，
解得或，
所以或．
故选BC．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数的运算，属于基础题．
分别计算各个选项即可判断．

【解答】

解：，A错误
，B正确；
若，则，C错误
若，则，D正确．
故选BD．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了对数的运算法则，考查理解能力和阅读能力，属于拔高题．
是位数，故可判断，对于，分别设，，利用定义求出位数即可．

【解答】

解：，，
则是位数，故A正确，不正确；
设，则，
，
是位数，故C正确；
只需要说明是否为一个位数正整数，
设，则，
则，
故为一个位数正整数，故D正确．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查换元法，考查对数函数的性质及对数与对数的运算．
令，则可化为，解得或，分，，两种情况讨论即可得到答案．

【解答】

解：令，
则可化为，
解得或，
当时，得，
又，可得，，
；
当，可得，
又，可得，，
，
故选AD．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
根据对数的换底公式及对数的运算性质可将原方程变成 ，从而可解出的值，进一步得到的值，即可得出原方程的解集．

【解答】

解：，
将原方程可整理为，
解得或，
或，即或，
原方程的解集为
故答案为：

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题重点考查对数和对数运算，属于基础题．
将对数式化指数式即可求，先求出，再利用对数的运算性质即可求．

【解答】

解：由题意，得
，
故答案为；．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数与对数运算，，属于基础题．
根据条件得到，代入即可求出答案．

【解答】

解：若，则，
则，
故答案为．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．
化指数式为对数式求得，代入后由对数的运算性质求得的值．

【解答】

解：由，得，
再由，
得．
故答案为：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数奇偶性的应用．

设，则，根据已知和函数的奇偶性求得时的函数解析式，即可求解答案．

【解答】

解：设，则，
当时，，，
是奇函数，，
，
又，则，则．
故答案为．

14.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查指数和指数幂运算及对数和对数运算，属于拔高题．
根据题意得到即，从而得到即可．

【解答】

解：因为，
所以，两边取对数，有，则，即，
故，则，即或，
解得：或，
故答案为或．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查基本不等式求最值以及对数运算，考查学生计算能力．
设，首先利用指数对数互化得到，利用对数运算得，利用基本不等式求出最小值．

【解答】

解：设，因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为： ．

16.【答案】解：令，，则，
则，解之得．
所以． 

【解析】本题考查对数的运算，属于基础题．
令，由求出即可解题了．