2023年吉林省长春市榆树市教育联盟小区域联考三模数学试题

这是一份2023年吉林省长春市榆树市教育联盟小区域联考三模数学试题，共18页。试卷主要包含了写出比小的正整数 　 　，分解因式等内容，欢迎下载使用。
榆树市教育联盟2023.6三模小区域联考数学试题
一．选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）如图是一个三棱柱，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）﹣（﹣2023）＝（　　）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a＝a2 B．（a2）5＝a10 C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
4．（3分）为推动农业丰收增产，2022年长春市实施“黑土粮仓”科技会战，新建高标准农田1190000亩．数字1190000用科学记数法表示为（　　）
A．1.19×107 B．11.9×106 C． 1.19×106 D．119×104
5．（3分）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．80°
5题 6题
6．（3分）如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度AC为1400米，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则B、C之间的距离为（　　）
A．米 B．1400tanα米 C．1400sinα米 D．1400cosα米
7．（3分）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（　　）
A．a B．b C．a+b D．a﹣b
7题 8题
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，点A、C的对应点分别为D、E，连结CE，当A、C、E在同一直线上时，下列结论正确的是（　　）
A．∠ECB＝∠D B．CB＝DB C．AC+CE＝DB D．DE∥BC
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
9．（3分）写出比小的正整数 　 　．
10．（3分）分解因式：a2﹣49＝　 　．
11．（3分）今年二月末吉林省政府免费发放第二轮冰雪消费券，王先生领了一张“逐冰戏雪券”，该券可以使票价打七折．若他凭此券在吉林市万科松花湖滑雪场购买了一张票价为a元的套票，则王先生实际花费　 元．
12．（3分）小张同学准备用矩形纸片做一个圆锥形帽子．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝30cm，取CD的中点O，以O为圆心，30cm长为半径作弧，分别交AD于点E，BC于点F，得到扇形纸片EOF（阴影部分），发现点E、F分别是边AD、BC的中点，则此扇形纸片围成圆锥形帽子的底面圆的周长为 　 　cm（结果含π）．
12题 13题 14题
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，中线AD、BE相交于点O．若AC＝4，CB＝3，则OB的长为 　 　．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，点A、B为线段CD的三等分点，且A、B在反比例函数，k＞0）的图象上，若△AOC的面积为12，则k的值为 　 　．

三．解答题（共78分）
15．（6分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣1．
16．（6分）一艘轮船顺水航行80千米所用的时间与逆水航行60千米所用的时间相同，若轮船在静水中的速度为21千米/小时，求水流的速度．
17．（6分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法，求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．

18．（6分）图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，点A，B，C均在格点上，⊙O是△ABC的外接圆，只用无刻度的直尺，按下列要求作图．

（1）在图1中作∠BMC，使∠BMC＝∠BAC，且格点M在⊙O上．
（2）在图2中作∠BNC，使∠BNC+∠BAC＝180°，且格点N在⊙O上．
（3）在图3中作∠PBC，使∠PBC+∠BAC＝90°，且格点P在⊙O上．
19．（6分）为弘扬中华传统文化，某校组织七、八年级全体学生参加了诗词大赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．
a．抽取七年级20名学生的成绩如下：
65 87 59 96 79 67 89 97 77 100
83 69 89 94 56 97 69 78 81 88
b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图，如图1；
（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图，如图2；
d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、优秀率、方差如下表：
年级
平均数
中位数
优秀率
方差
七年级
81
m
25%
169.1
八年级
82
82
n
154.6
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　．
（2）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图．
（3）若本次八年级共有300人参赛，则八年级此次测试成绩不及格的学生约有 　 　人．
（4）你认为学生测试成绩较好的是 　 　年级（填“七”或“八”）．理由是 　 　（说出两点即可）．

20．（6分）如图，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB．求证：△ADF≌△CBE．

21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点B的坐标为（2，m），点A在y轴的正半轴上，将△ABO沿y轴向下平移得到△DEF，点B的对应点E恰好在反比例函数的图象上．
（1）求m的值；
（2）求△ABO平移的距离．

22．（6分）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形．
（1）你添加的条件是 　 　（填序号）；
（2）添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形．

23．（6分）在质量不变的情况下，某物体的密度ρ（kg/m3）与体积V（m3）成反比例，其函数图象如图所示，解答下列问题：
（1）试确定ρ与V之间的函数表达式；
（2）当V＝10m3时，求物体的密度．

24．（12分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+2m2（m是常数）．
（1）当m＝1时，求二次函数y＝﹣x2+2mx+2m2图象的顶点坐标．
（2）设二次函数y＝﹣x2+2mx+2m2的图象为G（x≤2m）．
①当m＝2时，求图象G与x轴交点坐标．
②若图象G的最高点到x轴的距离为a，到直线y＝﹣2的距离为b，且b＝3a，求m的值．
③过点A（1﹣m，1）作关于y轴的对称点B，连接AB，线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AD，以AB、AD为邻边作矩形ABCD．若图象G落在矩形ABCD内部图象的对应函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，AC＝3．点P从点A出发沿A→C→B方向向终点B运动，在AC、CB边的速度分别为每秒3个单位、4个单位，同时点Q从点C出发沿C→B→A方向向终点A运动，在CB、BA边的速度分别为每秒4个单位、5个单位．当P、A、Q不共线时，以PQ、PA为边作平行四边形APQD．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）cosB＝　 　．
（2）求PC的长度（用含t的代数式表示）．
（3）当平行四边形APQD被线段AB分成两部分的面积比为1：5时，求t的值．
（4）作四边形APQD的对角线PD，当PD与△ABC某边平行时，直接写出t的值．







数学参考答案
一．选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1． D．2． B．3． B．4． C．5． B．6． A．7． C．8． D．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
9． 1． 10．（a+7）（a﹣7）． 11． 0.7a． 12． 20π． 13． ． 14． 8．
三、解答题（共78分）
15．
解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝＝﹣﹣2．
16．
解：设水流的速度为x千米/小时，
根据题意，得，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是所列方程的根．
答：水流的速度为3千米/小时．
17．
解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：列表如下：（6分）

A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
因为一共有16种可能出现的结果，其中小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的有7种，
所以小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率是．
18．
解：（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）如图所示：

19．
解：（1）将七年级20名学生的成绩按由小到大排列如下：
56，59，65，67，69，69，77，78，79，81，83，87，88，89，89，94，96，97，97，100．
排在第10、11位的是：81，83，
∴m＝＝82，
八年级优秀率n＝＝30%，
故答案为：82，30%；
（2）七年级20名学生成绩在60≤x＜70的人数为：20﹣2﹣3﹣6﹣5＝4（人），
补全后的频数分布直方图如下：

（3）八年级此次测试成绩不及格的学生约有：300×（100%﹣30%﹣20%﹣45%）＝15（人），
故答案为：15；
（4）从平均数看：八年级平均数＞七年级平均数，说明八年级平均成绩较高；
从优秀率看：八年级优秀率＞七年级优秀率，说明八年级优秀率较高；
从方差看：八年级方差＜七年级方差，说明八年级成绩波动较小．
故答案为：八，
八年级平均成绩较高；
八年级优秀率较高；
八年级成绩波动较小．（说出两点即可）
20．
证明：∵AE＝CF，
∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE．
又∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C．
∵在△ADF与△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS）．
21．
解：（1）过B点作BH⊥AO于H，
∵△ABO是等腰直角三角形，B（2，m），
∴OH＝BH＝2，
∴m＝2，
（2）由平移可得B点横坐标和E点横坐标相同，设E（2，n），
∵E在反比例函数的图象上，
∴n＝＝﹣3，
∴E（2，﹣3），
∴△ABO平移的距离为5．

22．
（1）解：添加的条件是∠1＝∠2或∠3＝∠4，
故答案为：①或③；
（2）证明：添加①，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD，
∴▱ABCD为菱形；
添加③，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AD＝CD，
∴▱ABCD为菱形．
23．
解：（1）设ρ与V的函数关系式为（V＞0），
把A（3，2）代入得，
所以k＝6，
所以ρ与V的函数关系式为（V＞0）；
（2）当V＝10m3时，物体的密度
所以物体的密度为0.6kg/m3．
24．
解：（1）当m＝1时，y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，3）．
（2）①当m＝2时，y＝﹣x2+4x+8，
令y＝0，得﹣x2+4x+8＝0，
解得：x1＝2﹣2，x2＝2+2，
∵x≤2m＝4，
∴x＝2﹣2，
∴图象G与x轴交点坐标为（2﹣2，0）．
②∵y＝﹣x2+2mx+2m2＝﹣（x﹣m）2+3m2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，3m2），
若2m＜m，即m＜0时，
当x≤2m时，y随x的增大而增大，
∴图象G的最高点为（2m，2m2），
∴a＝2m2，b＝2m2+2，
∵b＝3a，
∴2m2+2＝6m2，
解得：m1＝﹣，m2＝（舍去），
∴m＝﹣；
若2m≥m，即m≥0时，
当x≤2m时，图象G的最高点为（m，3m2），
∴a＝3m2，b＝3m2+2，
∵b＝3a，
∴3m2+2＝9m2，
解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），
∴m＝；
综上所述，
∴m的值为﹣或．
③当m≤0时，如图1，A（1﹣m，1），B（m﹣1，1），C（m﹣1，2m﹣1），D（1﹣m，2m﹣1），

∵图象G落在矩形ABCD内部图象的对应函数值y随x的增大而增大，
∴直线x＝2m在边BC的右侧，点（m﹣1，3m2﹣1）在点B的下方，
∴，
∴不等式组的解集为﹣＜m≤0；
当0＜m＜1时，如图2、图3，A（1﹣m，1），B（m﹣1，1），C（m﹣1，2m﹣1），D（1﹣m，2m﹣1），

∵图象G落在矩形ABCD内部图象的对应函数值y随x的增大而增大，
∴或（无解），
解得：≤m＜；
当m＞1时，如图4，A（1﹣m，1），B（m﹣1，1），C（m﹣1，2m﹣1），D（1﹣m，2m﹣1），

∵图象G落在矩形ABCD内部图象的对应函数值y随x的增大而增大，
∴﹣（1﹣m﹣m）2+3m2＜2m﹣1，
解得：m＞2，
综上所述，m的取值范围为﹣＜m≤0或≤m＜或m＞2．
25．
解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，AC＝3．
∴AB＝＝＝5，
∴cosB＝＝；
故答案为：；
（2）当点P在AC边上时，即0≤t≤1，
此时AP＝3t，则PC＝AC﹣AP＝3﹣3t，
当点P在BC边上时，即1＜t≤2，
此时CP＝4（t﹣1）＝4t﹣4，
综上，0≤t≤1时，PC＝3﹣3t，1＜t≤2时，CP＝4t﹣4；
（3）当点P在AC边上，点Q在BC边上，即0≤t≤1时，
如图，DQ交AB于点F，

由题意可得：AP＝3t，CQ＝4t，
∴CP＝3﹣3t，BQ＝4﹣4t，
∵四边形APQD为平行四边形，
∴AP＝DQ＝3t，AC∥QD，
∴∠FQB＝∠C＝90°，四边形APQF为梯形，
∵tanB＝＝，即，
∴FQ＝3﹣3t，DF＝6t﹣3，
若，
则＝＝＝，
解得：t＝；
若＝，
则＝，
解得：t＝3（舍去）；
当点P在BC边上，点Q在AB边上，即1＜t≤2时，如图，

此时AB平分平行四边形APQD，不合题意；
综上，当平行四边形APQD被线段AB分成两部分的面积比为1：5时，t＝；
（4）①当PD∥AB时，且点P在AC边上，点Q在BC边上（0≤t≤1），
如图，延长DE交BC于点E，

则∠B＝∠PEC，tanB＝tan∠PEC＝，
此时，AP＝DQ＝3t，CP＝3﹣3t，CQ＝4t，
∴QE＝＝＝4t，
∴CE＝CQ+QE＝4t+4t＝8t，
∴tan∠PEC＝＝＝，
解得：t＝；
②当PD∥BC时，且点P在AC边上，点Q在BC边上（0≤t≤1），如图，

则四边PCQD为矩形，
∴PD＝CQ＝4t，
∵AP＝3t，
∴点D在直线AB上，
∵PD∥BQ，PQ∥AB，
∴四边形PQBD为平行四边形，
∴PD＝BD，即4t＝4﹣4t，
解得：t＝；
③PD∥AC时，且点P在BC边上，点Q在AB边上（1＜t≤2），
如图，DP交AB于点O，

此时，BP＝8﹣4t，BQ＝5（t﹣1）＝5t﹣5，
∴AQ＝AB﹣BQ＝5﹣（5t﹣5）＝10﹣5t，
∵四边形APQD为平行四边形，
∴AO＝OQ＝AQ＝5﹣，
∴OB＝OQ+BQ＝5﹣+5t﹣5＝，
∴cosB＝＝＝，
解得：t＝．
综上，当PD与△ABC某边平行时，t的值为或或．