理科数学-2023年高考考前最后一卷（全国乙卷）（全解全析及评分标准）

2023年高考考前最后一卷（全国乙卷）

理科数学·全解全析及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】由，得，即，所以由，得或，所以或，所以，故选C．

2．C 【解析】方法一：，，故选C．

方法二：设复数，则.由复数相等的条件，得，解得，所以，故选C．

4．D 【解析】由题可得，，因为将函数图象上的所有点向左平移个单位长度（纵坐标不变）后得到函数的图象，所以，即.又，所以当时，取得最小值.故选D.

5．C 【解析】因为题中散点图中的所有点有明显的从左下角到右上角沿直线分布的趋势，所以冰川消融百分比与温度上升的度数存在正相关关系，所以①正确；易知线性回归直线一定经过点，又，，所以②正确；的方差，所以③错误．故选C．

6．D 【解析】因为直线过定点，所以作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，解方程组得即.由目标函数，可设，由题意，知的最大值为10，作出直线，并平移，当直线经过点时，取得最大值，即取得最大值，所以，解得．故选D．

7．B 【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，.因为是偶函数，所以，所以，即，所以

，所以函数是周期函数，且4是它的一个周期.又因为当时，，所以.又，，则

．故选B．

8．C 【解析】由题意，得，因为是正项等比数列，所以.又，所以，所以公比，所以，故，所以

，所以数列为其中的整数项为即所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，所以．故选C．

9．A 【解析】如图，取的中点，上的一点，且，连接是的中点，是上的点，且，，，.连接，同理,得，四边形是平行四边形，易证

平面 平面，

∴平面平面，即为平面截直四棱柱所得的截面图形.

计算得在中，，∴,∴的面积为．故选A．

10．B 【解析】，，.，，设，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，即，综上，，故选B．

11．A 【解析】在中，由题意及正弦定理，得，所以.又因为

所以

.

因为为锐角三角形，所以，即，解得，所以，所以．故选A．

如图，过点分别向准线：作垂线，垂足分别为.

由圆与准线相切于点，可得.由题意，知与抛物线的准线垂直，且，

则，即.

由，得，所以所以直线的斜率为，所以直线.设，

联立，消去得，所以，

所以的中点的横坐标为，即点E到y轴的距离为，故选D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．2 【解析】由题意，知，设向量，的夹角为，在方向上的投影是，，且解得或（舍去），．故填2.

14． 【解析】由题意，知，则，则，当时，函数取得极小值，，即． 易得函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得极小值，则．故填．

15． 【解析】设O为坐标原点，结合题意及，知

设,则,双曲线的半焦距为,离心率为，

由，得，

即，解得.①

由渐近线的斜率，知，则，

在中，.②

将①代入②，得，将代入①，得解得，故填.

16． 【解析】由题意，知当平面平面时，四棱锥的体积最大，如图，取的中点，易得为底面梯形外接圆的圆心，为等边三角形．取的外心，过分别作平面，平面的垂线，交点为，则点即为四棱锥外接球的球心.连接，交于点，连接，设四棱锥的外接球半径为，，则．

连接则

设外接圆的半径为,则，即

故四棱锥外接球的球心到平面的距离=．故填.

说明：

1.第13题写成也给分；

2.第14题写成也给分；

3.第15题写成也给分；

4.第16题写成也给分.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

【解析】（1）由题意，得当时，，（1分）

所以，（2分）

即．（3分）

因为，所以，即．（4分）

又因为，所以，（5分）

所以数列是以1为首项，4为公比的等比数列．（6分）

（2）由（1）知数列的通项公式为，（7分）

因为，（8分）

所以，

所以①，（9分）

②，（10分）

由，得，（11分）

所以．（12分）

说明：

第一问：

1.2分段不写，有3分段，2分段分不扣；

2.5分段验证必须有，即必须有，否则扣1分；

3.若6分段写为“故数列是等比数列”，不扣分.

第二问：

1.求出得1分；

2.求出得1分（中间步骤可省略）；

3.写出得1分；

4.最后有得3分，若答案不对，可以按照步骤给分.

【解析】（1）如图，取的中点，连接.

因为三棱柱的所有棱长都为2，所以，（1分）

.

又,且，所以平面.（2分）

又平面，所以.（3分）

在直角三角形中,,所以．

在中，,，所以，

所以．（4分）

又,平面所以平面（5分）

又平面ABC,所以平面平面．（6分）

（2）以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，（7分）

可得，

所以（8分）

设平面的法向量为，则即

令，得，则是平面的一个法向量.（9分）

易知平面的一个法向量为，（10分）

设二面角的平面角为，

由图知，为锐角，

所以，（11分）

所以二面角的余弦值为．（12分）

说明：

第一问：

1.写出得1分；

2.写出平面得1分，没有写“且”不扣分；

3.5分段中，没有写“,平面”不扣分；

4.6分段中，没有写“平面ABC”不扣分.

第二问：

1.7分段建立如图所示的空间直角坐标系”给1分,没有写“以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向”不扣分；

2.8分段只要写出2个点坐标给1分；

3.9分段只要正确求出平面的一个法向量给1分；

4.10分段只要正确求出平面的一个法向量给1分；

5.11分段若计算结果错误，有“”，给1分.

【解析】（1）这100名学生测试成绩的平均数约为（2分）

.（4分）

（2）由（1），得，又，所以，（5分）

所以，（6分）

所以可估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数为1000×0.1587≈159.（8分）

（3）由题意可得，的所有可能取值为.（9分）

则，

，

，

，

，

．（10分）

所以的分布列为

（11分）

所以．（12分）

说明：

第一问：

1.2分数段中，若写成不扣分；

2.4分段必须有2分段步骤，若没有，第（1）题只给1分.

第二问：

1.5分段是正确求出；

2.6分段是正确求出，写成其他数据不给分；

3.8分段是正确求出人，写成其他数据不给分.

第三问：

1.9分段是正确写出的所有可能取值为；

2.10分段是6个概率正确求出3个值；

3.11分段是分布列正确；

4.12分段是正确，没有写到最简形式不扣分.

20．（12分）

【解析】（1）方法一：设椭圆的标准方程为，（1分）

将代入，得，（2分）

即，解得或（舍去），（3分）

所以椭圆的标准方程为.（4分）

方法二：椭圆的焦点坐标为，即椭圆的半焦距．（1分）

由椭圆的定义，知，解得．

（2分）

由，得，（3分）

所以椭圆的标准方程为．（4分）

（2）由题意，知直线的斜率存在，设，，则,（5分）

联立消去并整理，得，（6分）

则，

（7分）

由

（8分）

，（9分）

得，即．（10分）

此时易知恒成立，且，符合题意．（11分）

综上所述，点的坐标是．（12分）

说明：

第一问：

方法一

1.设椭圆方程给1分；点代入给1分；解对给1分（没有舍去不扣分）；

2.椭圆方程正确给1分（若没有舍去，此时会写出方程，即方程不正确，扣1分）.

方法二

1.各求对1个给1分；

2.椭圆方程求对给1分.

第二问：

1.5分段为正确设出直线的方程为；

2.6分段为正确化简出；

3.7分段为写出根与系数的关系，写一个不给分；

4.9分段为得出.

5.11分段为验证“当时，恒成立，且，符合题意”；

6.12分段为下结论.

21．（12分）

【解析】（1）因为，所以的定义域为，（1分）

，（2分）

令，

当，即时，方程无解，恒成立，则，所以在上单调递增；（3分）

当时，或.

当时，，则，所以在上单调递增；（4分）

当时，令，得，，

当，或时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．（5分）

综上所述：

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．（6分）

（2）函数的图象在函数的图象的下方等价于恒成立，

即，（7分）

当时，.（8分）

令，则（9分）

易知为增函数且，，

所以存在，使，即，，（10分）

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以

，（11分）

所以，所以函数的图象在函数的图象的下方．（12分）

说明：

第一问：

1.1分段是写出定义域，1分；

2.2分段为求导正确，1分；

3.3分段为写出当时，在上单调递增；

4.4分段为写出当时，在上单调递增；

5. 5分段为写出当时，在上的单调区间；

6.6分段为综述.

或另解：因为，所以的定义域为，（1分）

，（2分）

①当时，，则，所以在上单调递增；（3分）

②当时，，方程无解，恒成立，则，所以在上单调递增；（4分）

当时，令，得，，

当，或时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．（5分）

综上所述：

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．（6分）

第二问：

1.7分段为写出“恒成立”；

2.8分段为放缩，故写出“等价于恒成立”有2分；

3.9分段为求导；

4.10分段为求出隐零点，和有一个给分；

5.11分段为放缩；

6.12分段为总结.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）

【解析】（1）因为直线经过点，倾斜角为，

所以直线的参数方程为（t为参数）,（2分）

将（3分）

．（4分）

（2）将直线的参数方程代入到中，

得.（6分）

设两点对应的参数分别为，

则由根与系数的关系，得，，（8分）

．（10分）

说明：

第一问：

1.2分段为写出直线的参数方程，若没有写“t为参数”扣1分；

2.3分段为写出“”，少一个扣1分；

3.4分段为写出曲线C的直角坐标方程，写成也正确.

第二问：

1.6分段为写出方程；

2.8分段为写出根与系数的关系；

3.10分段中若计算错误，有可给1分.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）由题意，

得，（3分）

画出函数的图象，如图所示.

（4分）

（2）由（1）中所画图象，知，（5分）

所以．（6分）

因为

（7分）

所以

所以当且仅当时取等号，（8分）

所以

即，（9分）

当且仅当，即时取等号．（10分）

说明：

第一问：

1.3分段为化简，分3种情况讨论，正确1个给1分；

2.4分段为画图正确.

第二问：

1.5分段为求出最小值；

2.6分段为代入写出；

3.7分段为证出；

4.8分段为证出；

5.9分段为证明；

6.10分段为写出等号成立条件.

或另解：

由（1）中所画图象，知，（5分）

所以．（6分）

令

所以.

欲证，

即证，

即证，

即证，（7分）

即证.

因为

（8分）

所以

所以，当且仅当时取等号，

即，（9分）

当且仅当，即时取等号．（10分）