第5章《相交线与平行线》——【期末复习】七年级数学下册章节知识点梳理（人教版）

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知识点01：邻补角
（1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（2）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．
知识点02：对顶角
（1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．
知识点03：垂线与垂线段
（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．符号：如AB⊥CD．
（2）垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在夹角为90°．垂线是一条直线，不可度量长度．
（3）线段与线段、线段与射线、射线与射线、射线与直线垂直都是指它们所在的直线互相垂直，因此，垂足不一定在线段或射线上，也可能在它们的延长线（或反向延长线）上．
（4）垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（基本事实）．“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性，“过一点”中的这一点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外．
（5）垂线的画法
一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；
二移：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点；
三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
（6）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
（7）点到直线的距离的定义
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
知识点04：同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角
定义：两个角分别在两条被截线同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．
位置特征：在截线同侧，在两条被截线同一方，形如字母“F” ．
（2）内错角
定义：两个角都在两条被截线之间，并且分别在截线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．
位置特征：在截线两侧，在两条被截线之间，形如字母“Z” ．
（3）同旁内角
定义：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．
位置特征：在截线同侧，在两条被截线之间，形如字母“U”．
知识点05：平行线的定义和画法
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b，读作a平行于b．
（2）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线．
（3）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可．
（4）平行线的画法
一落：把三角尺一边落在已知直线上；
二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四画：沿三角尺过已知点的边画直线．
知识点06：平行线的基本事实及其推论
（1）平行线的基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
知识点07：平行线的判定
（1）判定方法1
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行.
（2）判定方法2
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行.
（3）判定方法3
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
知识点08：平行线的性质
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
符号语言为：如果a∥b，那么∠1=∠2，示意图如图：
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
符号语言为：如果a∥b，那么∠2=∠4，示意图如图：
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
符号语言为：如果a∥b，那么∠2+∠3=180°．示意图如图：
知识点09：命题
（1）定义：判断一件事情的语句，叫做命题，如：对顶角相等．
（2）组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，通常写成：“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
（3）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．
（4）假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题．
知识点10：定理与证明
（1）定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理也可以作为继续推理的依据．
（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
知识点11：平移的定义
（1）定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移．
（2）要素：一是平移的方向，二是平移的距离．
2．平移的性质
性质：平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同，即平移前后的两个图形的对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等；连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等．
【注意】（1）连接对应点的线段的长度就是平移的距离．
（2）从原图形上一点到其对应点的方向即为平移的方向．
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•宾阳县期末）如图，已知GH∥BC，∠1＝∠2，GF⊥AB，给出下列结论：
①∠B＝∠AGH；②HE⊥AB；③∠D＝∠F；④HE平分∠AHG．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【易错点拨】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
【规范解答】解：∵GH∥BC，
∴∠1＝∠HGF，∠B＝∠AGH，故①正确；
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠HGF，
∴DE∥GF，
∴∠D＝∠DMF，
根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故③错误；
∵DE∥GF，
∴∠F＝∠AHE，
∵∠D＝∠1＝∠2，
∴∠2不一定等于∠AHE，故④错误；
∵GF⊥AB，GF∥HE，
∴HE⊥AB，故②正确；
即正确的个数是2，
故选：B．
【题后反思】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然．
2．（2分）（2022春•东平县期末）下列命题的逆命题不正确的是（ ）
A．直角三角形的两锐角互余
B．相等的两个角就一定是对顶角
C．若a2＝b2，则a＝b
D．全等三角形的三个对应角相等
【易错点拨】首先写出命题的逆命题，然后判断即可．
【规范解答】解：A、直角三角形的两锐角互余的逆命题是有两个角互余的的三角形是直角三角形，是真命题，本选项不符合题意；
B、相等的两个角就一定是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题，本选项不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝b的逆命题：若a＝b，则a2＝b2，是真命题，本选项不符合题意；
D、全等三角形的三个对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形，是假命题，本选项符合题意．
故选：D．
【题后反思】本题考查命题与定理，逆命题等知识，解题的关键是正确写出命题的逆命题，灵活运用所学知识解决问题．
3．（2分）（2022春•钢城区期末）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，则∠CBD＝（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【易错点拨】利用平行线的性质和给出的已知数据即可求出∠CBD的度数．
【规范解答】解：∵∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
【题后反思】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
4．（2分）（2022春•琼海期末）如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（ ）
①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【易错点拨】①证明AB∥CD，可做判断；
②根据平行线的判定和性质可做判断；
③根据AF∥ED得内错角相等和同位角相等，再由角平分线的定义得∠ADE＝∠CDE，从而可做判断．
【规范解答】解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
故①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF＝180°，
∴AF∥DE，
故②正确；
③∵AF∥ED，
∴∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠DAF＝∠F，
故③正确；
故选：A．
【题后反思】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
5．（2分）（2022春•宁武县期末）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝110°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠2＝110°B．∠3＝70°C．∠4＝70°D．∠5＝70°
【易错点拨】利用平行线的性质，可以分别求出∠2，∠3，∠4，∠5的度数，由此可以判断哪个选项是错误的．
【规范解答】解：∵AB∥CD，∠1＝110°，
∴∠5＝∠3＝110°，∠1+∠2＝180°
∴∠4＝∠2＝70°，
即只有选项C答案正确．
故选：C．
【题后反思】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意对顶角相等以及邻补角互补的灵活运用．
6．（2分）（2022春•齐河县期末）如图，给出下列条件①∠CAD＝∠ACB；②∠CAB＝∠ACD；③AD∥BE且∠D＝∠B；其中能推出AB∥DC的条件个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【易错点拨】利用内错角相等两直线平行，等量代换，同旁内角互补，两直线平行即可得到结果．
【规范解答】解：①∠CAD＝∠ACB，可判定AD∥BC，不能判定AB∥DC；
②∠CAB＝∠ACD，可判定AB∥CD；
③AD∥BE可得∠D+∠BCD＝180°，再由∠D＝∠B，可得∠B+∠BCD＝180°，可判定AB∥CD．
所以能推出AB∥DC的条件个数是2个，
故选：C．
【题后反思】此题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
7．（2分）（2022春•潢川县期末）如图，AB，CD被CF所截，AB∥CD，若∠1＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．70°B．100°C．110°D．130°
【易错点拨】根据邻补角的定义可得∠BEF的度数，进而由两直线平行线，同位角相等求得∠C的度数．
【规范解答】解：∵∠1＝70°，∠BEF+∠1＝180°
∴∠BEF＝180°﹣∠1＝110°；
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠BEF＝110°．
故选：C．
【题后反思】此题主要考查的是平行线的性质和邻补角互补．能够正确运用平行线的性质：两直线平行线，同位角相等是解题的关键．
8．（2分）（2022春•重庆期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【易错点拨】根据平行线的判定和性质，平行公理进行判断即可．
【规范解答】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行．
故选：A．
【题后反思】考查了平行线的判定和性质，平行公理，解决本题的关键是掌握平行线的判定和性质．
9．（2分）（2022春•许昌期末）将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD＝90°，∠BDC＝30°，若∠1＝78°，则∠2的度数为（ ）
A．19°B．18°C．17°D．16°
【易错点拨】先根据邻补角的定义求出∠DBE的度数，再根据平行线的性质得出∠BDF＝∠DBE，最后根据∠BDC＝30°求出∠2即可求出答案．
【规范解答】解：∵∠CBD＝90°，∠1＝78°，
∴∠DBE＝180°﹣∠CBD﹣∠1＝180°﹣90°﹣78°＝12°，
∵直尺的两边平行，即EA∥GH，
∴∠BDF＝∠DBE＝12°，
∵∠BDC＝30°，
∴∠2＝∠BDC﹣∠BDF＝30°﹣12°＝18°，
故选：B．
【题后反思】本题主要考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质定理进行推理是解此题的关键．
10．（2分）（2021秋•开福区校级期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH＝37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【易错点拨】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK＝∠CKG，等量代换得到∠AGK＝∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA＝∠DGH＝37°，故③正确；设∠AGM＝∠1，∠MGK＝∠2，得到∠AGK＝∠1+∠2根据角平分线的定义即可得到结论．
【规范解答】解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK＝∠CKG，
∵∠CKG＝∠CGK，
∴∠AGK＝∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝16°，
∵∠FGA＝∠DGH，
∴90°﹣2∠FGA＝16°，
∴∠FGA＝∠DGH＝37°，故③正确；
设∠AGM＝∠1，∠MGK＝∠2，
∴∠AGK＝∠1+∠2，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK＝∠AGK＝∠1+∠2，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM＝∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK，
∴37°+∠1＝∠2+∠1+∠2，
∴∠2＝18.5°，
∴∠MGK＝18.5°，故④错误，
故选：B．
【题后反思】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
11．（2分）（2022秋•礼泉县期末）如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为 36 °．
【易错点拨】根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质和角平分线的性质，即可求得∠F的度数．
【规范解答】解：延长FB交CD于点G，如图：
∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，
∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，
∵AB∥CD，
∴∠FBA＝∠3，
∵BF∥DE，∠F与∠ABE互补，
∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°，
设∠F＝x°，则∠1＝∠2＝x°，∠3＝2x°，∠ABE＝4x°，
∴x+4x＝180，
解得，x＝36，
即∠F的度数为36°．
故答案为：36．
【题后反思】本题考查平行线的性质、补角的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（2分）（2022春•赣州期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE（不超过一周），当CE∥AB时，∠BCD等于 150或30 度．
【易错点拨】分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【规范解答】解：分两种情况：
①如图1所示，AB∥CE．
∵AB∥CE，∠A＝30°，
∴∠ACE＝∠A＝30°，
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠BCD＝360°﹣∠ACE﹣∠ACB﹣∠ECD＝150°；
②如图2所示，AB∥CE．
∵AB∥CE，∠B＝60°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∵∠ECD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCE＝30°．
综上所述，当CE∥AB时，∠BCD等于150或30度．
故答案为：150或30．
【题后反思】本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
13．（2分）（2022春•孝南区期末）如图1，∠DEF＝24°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿直线GF折叠成图3，则图3中∠CFE＝ 108° ．
【易错点拨】由长方形的性质可知AD∥BC，由此可得出∠BFE＝∠DEF＝24°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【规范解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝24°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝156°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝132°，
图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝108°．
故答案为：108°．
【题后反思】本题考查了平行线的性质，翻折变换以及长方形的性质，根据翻折变换找出相等的边角关系是解题的关键．
14．（2分）（2021秋•船山区期末）如图，已知，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD．有下列结论：①AD∥BC；②∠ECD＝∠DAC；③∠CEF＝∠CFE；④∠ACE＝∠ABC．其中正确的结论有 ①②④ （填序号）．
【易错点拨】根据条件∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC可以判断四边形ABCD是平行四边形，于是可判断结论①②③④正确，即可得出答案．
【规范解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，且∠ABC＝∠ADC，
∴AB∥CD且∠ACB＝∠CAD，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴结论①正确；
∵∠ACE+∠ECD＝∠ADC+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠ADC，
而∠ADC＝∠ABC，
∴∠ACE＝∠ADC＝∠ABC，
∴结论④正确；
∵∠ECD+∠ADC＝∠DAC+∠ADC＝90°，
∴∠ECD＝∠DAC，
∴结论②正确；
∵∠CEF+∠CBF＝90°，∠AFB+∠ABF＝90°，
且∠ABF＝∠CBF，∠AFB＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠AFB＝∠CFE，
由于无法证明∠ABF＝∠CBF结论③错误．
故答案为：①②④．
【题后反思】本题考查的是平行线的判定和性质，直角三角形中角的相互转化，会运用角的互余关系进行角的转化是解决本题的关键．
15．（2分）（2022春•顺城区期末）如图，直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为直线AB与CD之间的一点，连接ME，NE，且∠MEN＝100°，∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为 50°或130° ．
【易错点拨】分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，可得EG∥FH∥AB，根据AB∥CD，可得EG∥FH∥AB∥CD，情况一根据平行线的性质可得∠MFN＝∠MFH+∠NFH＝∠AMF+∠CNF＝50°；情况二根据平行线的性质可得∠MFN＝∠MFH+∠NFH＝∠AMF+∠CNF＝130°．进而得到结论．
【规范解答】解：分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，
∴EG∥FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥FH∥AB∥CD，
①如图1，
∵EG∥AB∥CD，
∴∠AME＝∠MEG，∠CNE＝∠NEG，
∴∠AME+∠CNE＝∠MEG+∠NEG＝∠MEN＝100°，
∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，
∴∠AMF＝AME，∠CNF＝CNE，
∴∠AMF+∠CNF＝（∠AME+∠CNE）＝50°，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠MFH＝∠AMF，∠NFH＝∠CNF，
∴∠MFN＝∠MFH+∠NFH＝∠AMF+∠CNF＝50°，
②如图2，
∵EG∥AB∥CD，
∴∠BME＝∠MEG，∠DNE＝∠NEG，
∴∠BME+∠DNE＝∠MEG+∠NEG＝∠MEN＝100°，
∴∠AME+∠CNE＝360°﹣（∠BME+∠DNE）＝260°
∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，
∴∠AMF＝AME，∠CNF＝CNE，
∴∠AMF+∠CNF＝（∠AME+∠CNE）＝130°，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠MFH＝∠AMF，∠NFH＝∠CNF，
∴∠MFN＝∠MFH+∠NFH＝∠AMF+∠CNF＝130°．
综上所述：∠MFN的度数为50°或130°．
故答案为：50°或130°．
【题后反思】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
16．（2分）（2021春•泰山区期末）如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝115°，第二次拐的角∠B＝145°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是 150° ．
【易错点拨】过点B作BD∥AM，则BD∥CN，由BD∥AM，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠ABD的度数，结合∠ABC＝∠ABD+∠CBD可求出∠CBD的度数，由BD∥CN，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠C度数．
【规范解答】解：过点B作BD∥AM，则BD∥CN，如图所示．
∵BD∥AM，∠A＝115°，
∴∠ABD＝∠A＝115°．
又∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠ABC＝145°，
∴∠CBD＝145°﹣115°＝30°．
∵BD∥CN，
∴∠C＝180°﹣∠CBD＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°．
【题后反思】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”是解题的关键．
17．（2分）（2021春•盐湖区期末）如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠1＝68°，则∠2的度数是 22° ．
【易错点拨】依据平行线的性质，即可得到∠DAB+∠ABE＝180°，再根据∠1＝68°，∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，即可得到∠2的度数．
【规范解答】解：如图所示：
∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
即∠1+∠BAC+∠ABC+∠2＝180°，
∵∠1＝68°，∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，
∴∠2＝180°﹣68°﹣60°﹣30°＝22°．
故答案为：22°．
【题后反思】本题考查的是平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补进行计算是解答此题的关键．
18．（2分）（2021春•北碚区期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝ （x+y） 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝ （）n﹣1（x+y） 度．
【易错点拨】本题的关键是作过P1的辅助线MN∥AB，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想解决本题．
【规范解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB，
∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．
∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．
（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，
∴＝．
．
以此类推：，，...，．
故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）．
【题后反思】主要考查平行线的性质及角平分线的定义，利用归纳推理的思想解决．
三．解答题（共10小题，满分64分）
19．（6分）（2022春•船营区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F．
（1）如图1，求证：
（ⅰ）∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°；
（ⅱ）∠ABF+∠CDF＝∠BFD．
（2）如图2，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则∠M与∠E之间的关系为 ∠E+6∠M＝360° ；
（3）当∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF且∠E＝m°时，直接写出∠M的度数（用含m、n的式子表示）．
【易错点拨】（1）（ⅰ）根据平行线的性质可得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°；
（ⅱ）根据平行线的性质可得：∠ABF+∠CDF＝∠BFD；
（2）设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，根据（1）和四边形内角和得等式可得结论；
（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论．
【规范解答】（1）证明：（ⅰ）如图1，过点E作EN∥AB，
∵EN∥AB，
∴∠ABE+∠BEN＝180°，
∵AB∥CD，AB∥NE，
∴NE∥CD，
∴∠CDE+∠NED＝180°，
∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°；
（ⅱ）如图1，过点F作FG∥AB，
∵FG∥AB，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵AB∥CD，FG∥AB，
∴FG∥CD，
∴∠CDF＝∠GFD，
∴∠ABF+∠CDF＝∠BFG+∠GFD＝∠BFD；
（2）解：结论：∠E+6∠M＝360°，理由是：
设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴6x+6y+∠E＝360°，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，
∴∠M＝x+y，
∴∠E+6∠M＝360°；
故答案为：∠E+6∠M＝360°；
（3）解：设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，
由（1）可得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝360°，
∴x+y＝，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，
∴∠M＝．
【题后反思】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
20．（6分）（2022春•黔西南州期末）如图，AD∥BC，AH⊥BG于点H，点C在射线BC上，点E在线段AB上，∠DCE＝90°，且DC∥AB，CF⊥BG于点C，交直线AD于点F．
（1）图中与∠D相等的角有 5 个；
（2）若∠ECF＝25°，求∠BCD的度数；
（3）在（2）的条件下，点C（点C不与点B，H重合）从点B出发，沿射线BG的方向移动，其他条件不变，求∠BAF的度数．
【易错点拨】（1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与∠D相等的角；
（2）根据∠ECF＝25°，∠DCE＝90°，可得∠FCD＝65°，再根据∠BCF＝90°，即可得到∠BCD＝65°+90°＝155°；
（3）分两种情况讨论：当点C在线段BH上；点C在BH延长线上，根据平行线的性质，即可得到∠BAF的度数为60°或120°．
【规范解答】解：（1）如图：
与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B，∠CMH，∠AME，共有5个，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCG，
∵∠FCG＝90°，∠DCE＝90°，
∴∠ECF＝∠DCG，
∴∠D＝∠ECF，
∵AH⊥BG，CF⊥BG，
∴AH∥CF，
∴∠ECF＝∠CMH＝∠AME，
∵AB∥DC，
∴∠DCG＝∠B，
∴∠B＝∠D，
∴与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B，∠CMH，∠AME；
故答案为：5；
（2）∵∠ECF＝25°，∠DCE＝90°，
∴∠FCD＝65°，
又∵∠BCF＝90°，
∴∠BCD＝65°+90°＝155°；
（3）如图，当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上，
∠ECF＝∠DCG＝∠B＝25°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝25°；
如图，当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上，
∵∠B＝25°，AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣25°＝155°．
综上所述，∠BAF的度数为25°或155°．
【题后反思】本题主要考查了平行线的性质的运用、垂线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
21．（6分）（2022春•内江期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如，在图①，有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线FE与发射光线GH的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，若α＝135°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝θ（90°＜θ＜180°），入射光线FE与镜面AB的夹角∠1＝β（0°＜β＜90°），已知入射光线FE分别从镜面AB、BC、CD反射，反射光线HK与入射光线FE平行，求出θ与β的关系式．
【易错点拨】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
（2）根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得θ＝90°+β．
【规范解答】解：（1）EF∥GH，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，
∠3+∠4+∠EGH＝180°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）θ＝90°+β．理由如下：
∵∠BEG＝∠1＝β，α＝135°，
∴∠CGH＝∠BGE＝180°﹣135°﹣β＝45°﹣β，
∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2β，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（45°﹣β）＝90°+2β，
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
则∠GHK＝90°，
则∠GHC＝45°，
∵∠BCD＝θ，∠BCD+∠CGH+∠GHC＝180°，
∴θ+45°﹣β+45°＝180°，
∴θ＝90°+β．
【题后反思】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质，三角形内角和定理．
22．（6分）（2022春•新抚区期末）（1）问题：如图1，若AB∥CD，∠AEP＝20°，∠PFC＝61°．求∠EPF的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）联想拓展：如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线EG和∠PFC的平分线FG交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数，直接写出结果．
【易错点拨】（1）过点P作PM∥AB，根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，进而可得∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即可求解；
（3）过点G作AB的平行线，利用平行线的性质解答．
【规范解答】解：（1）如图，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，PM∥AB，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠1＝∠AEP＝20°，∠2＝∠PFC＝61°，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝20°+61°＝81°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠FPE，理由如下：
如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠EPF，
∴∠FPN＝∠PEA+∠EPF，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH，
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝∠PEA，∠HGF＝∠CFG＝∠PFC，
由（2）可知，∠PFC＝∠EPF+∠PEA，
∵∠EPF＝α，
∴∠HGF＝（∠EPF+∠PEA）＝（α+∠PEA），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠PEA）﹣∠PEA＝α．
【题后反思】本题主要考查平行线的性质与判定，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．
23．（6分）（2022春•宣化区期末）已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP，CP．
（1）探究发现：（填空）
如图1，过P作PQ∥AB，
∴∠A+∠1＝ 180 °．
∵AB∥CD（已知），
∴PQ∥CD．
∴∠C+∠2＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∴∠A+∠C+∠APC＝ 360 °．
（2）解决问题：
如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠ECD，AF交CD于点Q，试判断∠P与∠F存在怎样的数量关系，并说明理由．
【易错点拨】（1）过P作PQ∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，进而得到结论：∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）先根据AF平分∠BAP，CF平分∠DCE，得出∠BAF＝∠BAP，∠DCF＝∠DCE，再根据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠F＝（∠BAP+∠DCP﹣180°），再根据∠BAP+∠DCP＝360°﹣∠P，即可得出∠F＝（360°﹣∠P﹣180°）＝90°﹣∠P．
【规范解答】解：（1）探究发现：
如图1，过P作PQ∥AB，
∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD（已知），
∴PQ∥CD．
∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠A+∠C+∠APC＝360°；
故答案为：180；两直线平行，同旁内角互补；360；
（2）2∠F+∠P＝180°，理由如下：
∵AF平分∠BAP，CF平分∠DCE，
∴∠BAF＝∠BAP，∠DCF＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DQF，
∵∠DQF是△CFQ的外角，
∴∠F＝∠DQF﹣∠DCF
＝∠BAF﹣∠DCF
＝∠BAP﹣∠DCE
＝（∠BAP﹣∠DCE）
＝[∠BAP﹣（180°﹣∠DCP）]
＝（∠BAP+∠DCP﹣180°），
由（1）可得，∠P+∠BAP+∠DCP＝360°，
∴∠BAP+∠DCP＝360°﹣∠P，
∴∠F＝（360°﹣∠P﹣180°）＝90°﹣∠P，
即2∠F+∠P＝180°．
【题后反思】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作辅助线，构造内错角以及同位角，依据三角形外角性质进行计算求解．
24．（6分）（2022春•代县期末）如图1，AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点．
（1）若AE⊥AB，∠C＝65，求出∠E的度数．
（2）如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B＝∠AEB，求∠BEF的度数：
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作∠BFG＝∠BFE，交EC的延长线于点G，延长EF交CD于点H，过点F作FI∥BE交CD于点I，当FH平分∠IFG时，请直接写出∠CHF的度数．
【易错点拨】（1）首先延长BA，则易得AB∥CD，然后由两直线平行，同位角相等，即可证得：∠E+∠C＝90°；
（2）延长BF，交CE与G，则易得∠EGB＝90°，然后由三角形内角和定理得出2∠AEF+2∠AEB＝90°，即可得出∠BEF＝45°；
（3）根据平行线的性质得出∠HIF＝∠BFI＝∠B，根据三角形外角的性质得出∠CHF＝∠IFG+∠HIF，然后根据已知条件和三角形内角和定理即可求得∠CHF＝∠BFE+∠B＝（180°﹣∠BEF﹣∠B）+∠B＝（180°﹣45°﹣∠B）+∠B＝67.5°．
【规范解答】解：（1）延长BA，交CE与F，如图1：
∵AB∥CD，∠C＝65，
∴∠EFA＝∠C＝65，
∴∠EAB＝∠EFA+∠E＝65°+∠E，
∵AE⊥AB，
∴∠E+65°＝∠EAB＝90°，
∴∠E＝25°；
（2）延长BF，交CE与G，如图2：
∵AB∥CD，CE⊥CD，
∴∠EGB＝90°，
∴∠GEB+∠B＝90°，
∵∠GEF＝∠AEF，∠AEB＝∠B，
∴2∠AEF+2∠AEB＝90°，
∴∠AEF+∠AEB＝45°，
即∠BEF＝45°；
（3）∵∠CHF＝∠IFH+∠HIF，∠IFH＝∠IFG，
∴∠CHF＝∠IFG+∠HIF，
∵AB∥CD，FI∥BE，
∴∠HIF＝∠BFI＝∠B，
∴∠IFG＝∠BFG﹣∠B，
∴∠CHF＝∠IFG+∠HIF＝（∠BFG﹣∠B）+∠B＝∠BFG+∠B，
∵∠BFG＝∠BFE，
∴∠CHF＝∠BFE+∠B＝（180°﹣∠BEF﹣∠B）+∠B＝（180°﹣45°﹣∠B）+∠B＝67.5°．
【题后反思】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
25．（6分）（2022春•宁洱县期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N．
（1）请你直接写出：∠CAF＝ 30 °，∠EMC＝ 60 °．
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【易错点拨】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数；
（2）过C作CH∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）过B作BK∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
【规范解答】解：（1）由题意可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；
故答案为：30，60；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由如下：
如图（2），过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC＝∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由如下：
如图2，过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD＝∠KBM，
∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
【题后反思】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质进行推算．
26．（6分）（2022春•仓山区校级期末）如图，AB∥CD，E是AB与CD之间的一点，F是AB上的任意一点，且∠A+2∠ACE＝180°．
（1）求证：CE平分∠ACD；
（2）过点C作直线GH⊥CE于C．
①如备用图1，若EF∥AC，过点F作∠AFE的平分线交GH于点I，求证：FI⊥GH；
②如备用图2，过点C，F分别作∠DCG，∠BFE的平分线相交于点K，设∠CKF＝α，求∠CEF的值．（用含α的式子表示）
【易错点拨】（1）根据平行线的性质可得∠A+∠ACD＝180°，再结合已知可得∠ACD＝2∠ACE，即可解答；
（2）①设AC与FI相交于点O，根据平行线的性质可得∠A+∠AFE＝180°，再利用（1）的结论可得∠ACD＝∠AFE，从而利用角平分线的定义可得∠EFI＝∠ACE，然后利用平行线的性质可得∠AOF＝∠IFE，从而可得∠AOF＝∠ACE，进而可证FI∥CE，最后利用平行线的性质即可解答；
②延长FE交CD于点M，根据三角形的外角可得∠3＝∠4+α，再利用角平分线和平行的性质可得∠1＝∠3，从而利用三角形的外角可得∠CME＝2∠3＝2∠4+2α，根据垂直定义和角平分线的定义可得∠5＝90°﹣2∠4，最后根据三角形的外角可得∠CEF＝∠5+∠CME，进行计算即可解答．
【规范解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∵∠A+2∠ACE＝180°，
∴∠ACD＝2∠ACE，
∴CE平分∠ACD；
（2）①证明：如图：设AC与FI相交于点O，
∵EF∥AC，
∴∠A+∠AFE＝180°，
∵∠A+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝∠AFE，
∵FI平分∠AFE，
∴∠EFI＝∠AFE，
∵∠ACE＝∠ACD，
∴∠EFI＝∠ACE，
∵AC∥EF，
∴∠AOF＝∠IFE，
∴∠AOF＝∠ACE，
∴FI∥CE，
∵GH⊥CE，
∴FI⊥GH；
②解：如图：延长FE交CD于点M，
∵∠3是△CNK的一个外角，
∴∠3＝∠4+∠K＝∠4+α，
∵FK平分∠BFE，
∴∠2＝∠1，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠CME是△FMN的一个外角，
∴∠CME＝∠1+∠3，
∴∠CME＝2∠3＝2（∠4+α）＝2∠4+2α，
∵EC⊥HG，
∴∠ECG＝90°，
∵CK平分∠DCG，
∴∠DCG＝2∠4，
∴∠5＝∠ECG﹣∠DCG＝90°﹣2∠4，
∵∠CEF是△CME的一个外角，
∴∠CEF＝∠5+∠CME
＝90°﹣2∠4+2∠4+2α
＝90°+2α，
∴∠CEF的值为90°+2α．
【题后反思】本题考查了平行线的判定与性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
27．（8分）（2022秋•沈阳期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是 20 °，当DP⊥OE时，x＝ 70 ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【易错点拨】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO的度数及x的值；②根据∠ODE、∠FDE的度数，可得x的值；
（2）分两种情况进行讨论：DP在DE左侧，DP在DE右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．
【规范解答】解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，
∴∠BOE＝20°，
∵DE∥OB，
∴∠DEO＝∠BOE＝20°；
∵∠DOE＝∠DEO＝20°，
∴DO＝DE，∠ODE＝140°，
当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°，
即x＝70，
故答案为：20，70；
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，
∴∠EDF＝80°，
又∵∠ODE＝140°，
∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，
∴x＝60；
（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分两种情况：
①如图2，若DP在DE左侧，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF＝90°﹣x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠EFD＝20°+x°，
当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），
解得x＝68；
②如图3，若DP在DE右侧，
∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，
∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），
解得x＝104；
综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．
【题后反思】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．
28．（8分）（2022春•婺城区期末）如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．
（1）如图1，若PE⊥QE，∠EQN＝64°，则∠MPE＝ 26 °，∠PFQ＝ 135 °．
（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M′N恰好平行于△F′PH′的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
【易错点拨】（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠MPE＝2α，则∠FPE＝∠BPE＝α，根据AB∥CD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和推论表示出∠EQC，进而表示出∠EQH，然后结合△EQH和△PFH内角和得出关系式，进一步得出结果；
（2）类比（1）的方法过程，得出结果；
（3）分为△PF′H′的三边分别与NM′平行，分别画出图形求解即可．
【规范解答】解：（1）如图1，
延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠BPE＝2α，则∠FPE＝∠BPE＝α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠BPE＝2α，
∵PE⊥QE，
∴∠QEH＝QEG＝90°，
∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝90°+2α，
∴∠EQH＝∠EQC＝45°+α，
∵∠EQN＝64°，
∴∠EGQ＝26°，
∴∠BPE＝26°．
在△EQH和△PFH中，
∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，
∴∠HEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，
即：90°+45°+α＝α+∠PFH，
∴∠PFH＝135°，
故答案为：26；135；
（2）如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠BPE＝2α，则∠FPE＝∠BPE＝α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠BPE＝2α，
∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ，
∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α，
∴∠HQE＝∠EQC＝90°+α﹣∠PEQ，
在△EQH和△PFH中，
∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，
∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，
即：∠PEQ+90°+α﹣∠PEQ＝α+∠PFQ
∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°；
（3）根据题意，需要分三种情况：
如图3（1），当M′N∥PH′时，
110﹣5t＝30+10t，
∴t＝，
如图3（2），当NM′∥F′H′时，
90﹣（180﹣10t﹣30）＝110﹣5t，
∴t＝，
如图3（3），当NM′∥PF′时，
110﹣5t＝10t﹣15，
∴t＝，
如图3（4），当M′N∥PH′时，
360﹣30﹣10t+110﹣5t＝180，
∴t＝，
如图3（5），当NM′∥F′H′时，
10t﹣180﹣15﹣45＝110﹣5t，
∴t＝（舍），
如图3（6），当NM′∥PF′时，
30+8t﹣180＝110﹣5t，
∴t＝，
综上所述：t＝或或或或．
【题后反思】本题考查了平行线判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程