第7章《平面直角坐标系》——【期末复习】七年级数学下册章节知识点梳理（人教版）

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知识点01：有序数对
（1）定义：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对．记作：（a，b）．
注意：（1）两数中间有“，”两边有括号；（2）数对（a，b）与（b，a）不同．
（2）有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置．
知识点02：平面直角坐标系
（1）定义：满足一下条件的两条数轴叫做平面直角坐标系：①原点重合；②互相垂直；③习惯上取向右、向上为正方向，单位长度一般取相同．
（2）由点找坐标的方法
过点作x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数a就是点的横坐标；
过点作y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数b就是点的纵坐标．
有序数对（a，b）就是点的坐标．
（3）由坐标找点的方法
先找到表示横坐标与纵坐标的点，然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线，垂线的交点就是该坐标对应的点．
知识点03：点的坐标特征
知识点04：用坐标表示地理位置
用坐标表示地理位置的过程和方法
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴和y轴的正方向．参照点不同，地理位置的坐标也不同．
（2）根据具体问题确定单位长度．
（3）在坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称．
知识点05：用坐标表示平移
在平面直角坐标系中，
（1）将点（x，y）向右平移a个单位长度，对应点的横坐标加上a，而纵坐标不变，即坐标变为（x+a，y）
（2）将点（x，y）向左平移a个单位长度，对应点的横坐标减去a，而纵坐标不变，即坐标变为（x-a，y）．
（3）将点（x，y）向下平移a个单位长度，对应点的纵坐标减去a，而横坐标不变，即坐标变为（x，y-a）．
（4）将点（x，y）向上平移a个单位长度，对应点的纵坐标加上_a，而横坐标不变，即坐标变为（x，y+a）．
知识点06：图形上点的坐标变化与图形平移间的关系
（1）横坐标变化，纵坐标不变：
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位
（2）横坐标不变，纵坐标变化：
原图形上的点（x，y）向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向下平移b个单位
（3）横坐标、纵坐标都变化：
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向下平移b个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向下平移b个单位
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）在5×5方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是（ ）
A．向上移动1格B．向下移动1格
C．向上移动2格D．向下移动2格
【易错点拨】利用平移变换的性质判断即可．
【规范解答】解：将图①中的图形N向下平移2个单位得到如图②所示图形．
故选：D．
【题后反思】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
2．（2分）（2022春•新抚区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按“→”所示方向跳动，第一次从A（﹣1，0）跳到点P1（0，1），第二次跳到点P2（1，0），第三次跳到P3（2，﹣2），第四次跳到P4（3，0），第五次跳到P5（4，3），第六次跳到P6（5，0）．第七次跳到P7（6，﹣4），第八次跳到P8（7，0），第九次跳到P9（8，5），……，按这样的跳动规律，点P2022的坐标是（ ）
A．（2020，0）B．（2021，0）C．（2022，0）D．（2023，0）
【易错点拨】观察图象，结合动点P的横坐标和纵坐标可得规律即可．
【规范解答】解：观察图象，结合动点P第一次从A（﹣1，0）跳到点P1（0，1），第二次运动到点P2（1，0），第三次运动到P3（2，﹣2），第四次运动到P4（3，0），第五运动到P5（4，3），第六次运动到P6（5，0），第七次跳到P7（6，﹣4），第八次跳到P8（7，0），第九次跳到P9（8，5），…，
横坐标为：0，1，2，3，4，5，6，…，
纵坐标为：1，0，﹣2，0，3，0，﹣4，0，5，0，﹣6，…，
可知Pn的横坐标为n﹣1，当n为偶数时纵坐标为0，当n为奇数时，纵坐标为±，当为偶数时符号为负，当为奇数时符号为正，
∴P2022的横坐标为2021，纵坐标为0．
故选：B．
【题后反思】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
3．（2分）（2022春•凤庆县期末）已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，3），且|a﹣c|+＝0，将线段PQ向右平移a个单位长度．其扫过的面积为20，那么a+b+c的值为（ ）
A．12B．15C．16D．17
【易错点拨】利用非负数的性质得到a＝c，b＝7，P（a，7），故有PQ∥y轴，PQ＝7﹣3＝4，由于其扫过的图形是矩形可求得a，代入即可求得结论．
【规范解答】解：∵且|a﹣c|+＝0，
∴a＝c，b＝7，
∴P（a，7），PQ∥y轴，
∴PQ＝7﹣3＝4，
∴将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的图形是边长为a和4的矩形，
∴4a＝20，
∴a＝5，
∴c＝5，
∴a+b+c＝5+7+5＝17，
故选：D．
【题后反思】本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ∥y轴，进而求得PQ是解题的关键．
4．（2分）（2022春•绵阳期末）如图，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，且OA＝2OB＝2，将线段AB平移得线段DC，C（m+n，），D（m，）则点（m，n）位于（ ）
A．直线BC下方区域B．第四象限内
C．三角形ABC内部D．三角形ABD内部
【易错点拨】构建方程组求出m，n的值，两条图象法判断即可．
【规范解答】解：由题意，，
∴，
∴C（3，），D（2，），
观察图象可知，点P（m，n）在△ABC内部，
故选：C．
【题后反思】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
5．（2分）（2022春•纳溪区期末）在平面直角坐标系中，将点A（m，n+2）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A'位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（ ）
A．m＜0，n＞0B．m＜3，n＞﹣4C．m＜0，n＜﹣2D．m＜﹣3，n＜﹣4
【易错点拨】根据第二象限点的特征，根据不等式组解决问题即可．
【规范解答】解：平移后的坐标为（m﹣3，n+4），
由题意，，
解得，
故选：B．
【题后反思】本题考查坐标与图形变化﹣平移，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2分）（2022春•宣化区期末）在平面直角坐标系中，将线段AB平移至A'B'．若点A（1，﹣2）的对应点A'的坐标为（﹣2，3），则线段AB平移的方式可以为（ ）
A．向左平移3个单位，向上平移5个单位
B．向左平移5个单位，向上平移3个单位
C．向右平移3个单位，向下平移5个单位
D．向右平移5个单位，向下平移3个单位
【易错点拨】利用平移变换的规律解决问题即可．
【规范解答】解：∵点A（1，﹣2）向左平移3个单位，向上平移5个单位得到点A'的坐标为（﹣2，3），
∴线段AB平移的方式是：向左平移3个单位，向上平移5个单位．
故选：A．
【题后反思】本题考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
7．（2分）（2022春•馆陶县期末）如图，正方形网格中，能由a平移得到的线段是（ ）
A．bB．cC．dD．e
【易错点拨】利用平移变换的性质判断即可．
【规范解答】解：如图，线段c是由线段a平移得到的，
故选：B．
【题后反思】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解平移的定义，属于中考常考题型．
8．（2分）（2022春•花都区期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点P1（1，1），第2次接着运动到点P2（2，0），第3次接着运动到点P3（3，﹣2），第4次接着运动到点P4（4，0），…，按这样的运动规律，点P2022的坐标是（ ）
A．（2021，0）B．（2021，1）C．（2022，0）D．（2022，﹣2）
【易错点拨】分析点P的运动规律，找到循环次数即可．
【规范解答】解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位，
2022＝4×505+2，
当第505循环结束时，点P位置在（2020，0），在此基础之上运动两次到（2022，0）．
故选：C．
【题后反思】本题考查了规律型：点的坐标，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．
9．（2分）（2022春•濮阳期末）如图，在平面直角坐标系中，OA1＝1，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点A2022的坐标为（ ）
A．（1009，1）B．（1010，1）C．（1011，0）D．（1011，﹣1）
【易错点拨】根据横坐标，纵坐标的变化规律，每8个点看作一次循环，再根据点A2022在第253个循环中的第6个点的位置，即可得出点A2022的坐标．
【规范解答】解：由图可得，第一个正方形中，A1（1，0），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），
各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0；
第二个正方形中，A5（3，0），A6（3，﹣1），A7（4，﹣1），A8（4，0），
各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，﹣1，﹣1，0；
根据纵坐标的变化规律可知，每8个点一次循环，
方法一：
∵2016÷8＝252，
∴点A2022在第253个循环中的第6个点的位置，故其纵坐标为﹣1，
又∵A6的横坐标为3，A14的横坐标为7，A22的横坐标为11，
…
∴A2022的横坐标为1011，
∴点A2022的坐标为（1011，﹣1），
方法二：
因为2n＝2022，
所以n＝1011，
即2022为第1011个偶数，
所以横坐标为1011．
故选：D．
【题后反思】本题主要考查了点的坐标变化规律问题以及正方形的性质的运用，解决问题的关键是判断点A2022在第253个循环中的第6个点的位置．
10．（2分）（2022春•重庆期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，﹣1），点A第一次向左跳动至A1（﹣1，0），第二次向右跳动至A2（2，0），第三次向左跳动至A3（﹣2，1），第四次向右跳动至A4（3，1）…依照此规律跳动下去，点A第9次跳动至A9的坐标（ ）
A．（﹣5，4）B．（﹣5，3）C．（6，4）D．（6，3）
【易错点拨】通过坐标可以发现A1、A3、A5、A7都位于y轴左侧，找出A1、A3、A5、A7坐标变化规律即可找出A9的坐标．
【规范解答】解：通过坐标可以发现A1、A3、A5、A7都位于y轴左侧，
由题干发现：第一次跳动A1（﹣1，0）即（﹣，），
第三次跳动A3（﹣2，1）即（﹣，），
第五次跳动A5（﹣3，2）即（﹣，），
……
第九次跳动A9（﹣，）即（﹣5，4），
故选：A．
【题后反思】本题考查规律型：坐标的变化，根据已知点的坐标找到相应变化规律是解题关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022春•寻乌县期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是 （2021，1） ．
【易错点拨】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【规范解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为×2π×1＝π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
∴点P每秒走个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），
…，
∵2021÷4＝505余1，
∴P的坐标是（2021，1），
故答案为：（2021，1）．
【题后反思】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
12．（2分）（2022春•南开区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，2），A2（2，0），A（3，﹣2），A4（4，0）…根据这个规律，探究可得点A2022的坐标是 （2022，0） ．
【易错点拨】由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、……、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，继而求得答案．
【规范解答】解：观察图形可知，
点的横坐标依次是1、2、3、4、……、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，
2022÷4＝505……2，
所以点A2022坐标是（2022，0）．
故答案为：（2022，0）．
【题后反思】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形得出规律．
13．（2分）（2022春•商城县期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得点A1，A2，A3…，An，…若点A1的坐标为（3，1），则点A2019的坐标为 （﹣3，1） ．
【易错点拨】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2019除以4，根据商和余数的情况确定点A2019的坐标即可．
【规范解答】解：∵A1的坐标为（3，1），
∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴点A2019的坐标与A3的坐标相同，为（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
【题后反思】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
14．（2分）（2021春•东莞市期末）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD的边长为8，与y轴交于点M（0，5），顶点C（6，﹣3），将一条长为2020个单位长度且没有弹性的细绳一端固定在点M处，从点M出发将细绳紧绕在正方形ABCD的边上，则细绳的另一端到达的位置点N的坐标为 （﹣2，3）或（4，5） ．
【易错点拨】根据题意求出各点的坐标和正方形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【规范解答】解：∵正方形ABCD的边长为8，
∴CD＝DA＝BC＝AB＝8，
∵M（0，5），C（6，﹣3），
∴A（﹣2，5），B（6，5），D（﹣2，﹣3），
∴AM＝2，BM＝6，
∴绕正方形ABCD一周的细线长度为8×4＝32，
∵2020÷32＝63…4，
∴细线另一端在绕正方形第64圈的第4个单位长度的位置，
即在AB边或在AD边上，
∴点N的坐标为（﹣2，3）或（4，5）．
故答案为：（﹣2，3）或（4，5）．
【题后反思】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标和正方形ABCD一周的长度，从而确定2020个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
15．（2分）（2020春•钦州期末）在直角坐标系中，下面各点按顺序依次排列：（1，0），（0，1），（1，1），（﹣2，0），（0，﹣2），（﹣2，﹣2），（3，0），（0，3），（3，3），（﹣4，0），（0，﹣4），（﹣4，﹣4）…，按此规律，这列点中第1000个点的坐标是 （﹣334，0） ．
【易错点拨】（1）观察各点规律发现：第1、4、7、10个点在x轴上，偶数是负号，奇数是正号，坐标分别（1，0），（﹣2，0），（3，0），（﹣4，0），…，第2、5、8个点在y轴上，偶数是负号，奇数是正号，坐标分别（0，1），（0，﹣2），（0，3），…，第3、6、9个点在一三象限，坐标分别（1，1），（﹣2，﹣2），（3，3），…，依此规律可求出第1000个点的坐标．
【规范解答】解：（1）观察各点规律发现：
第1、4、7、10个点在x轴上，偶数是负号，奇数是正号，
坐标分别（1，0），（﹣2，0），（3，0），（﹣4，0），…，
第2、5、8个点在y轴上，偶数是负号，奇数是正号，
坐标分别（0，1），（0，﹣2），（0，3），…，
第3、6、9个点在一三象限，
坐标分别（1，1），（﹣2，﹣2），（3，3），…，
∵1000÷3＝333余1，
∴第1000个点在x轴负半轴上，坐标为（﹣334，0）．
故答案为：（﹣334，0）．
【题后反思】此题主要考查了点的变化规律，此题的考点在于对坐平面直角坐标系的熟练运用能力，学生也可从其它方面入手寻找规律．
16．（2分）（2022春•郧阳区期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫作点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，这样依次得到点A1，A2，A3，A4…，若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为 ﹣1＜a＜1，0＜b＜2 ．
【易错点拨】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用n除以4，根据商和余数的情况可确定点An的坐标；写出点A1（a，b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．
【规范解答】解：∵A1的坐标为（4，5），
∴A2（﹣4，5），A3（﹣4，﹣3），A4（4，﹣3），A5（4，5），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵点A1的坐标为（a，b），
∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，
∴，，
解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．
故答案为：﹣1＜a＜1，0＜b＜2．
【题后反思】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
17．（2分）（2021春•汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每个正方形（实线）四条边上的整点的个数，假如按如图规律继续画正方形（实线），请你猜测由里向外第15个正方形（实线）的四条边上的整点共有 60 个．
【易错点拨】运用从特殊到一般的推理归纳的思想，利用正方形为中心对称图形，分析其一条边上的整点个数，进而推断整个正方形的四条边上的整点．
【规范解答】解：①第1个正方形，对于其中1条边，除去该边的一个端点，这条边有1个整点．根据正方形是中心对称图形，则四条边共有4个整点．
②第2个正方形，对于其中1条边，除去该边的一个端点，这条边有2个整点．根据正方形是中心对称图形，则四条边共有4个整点．
③第3个正方形，对于其中1条边，除去该边的一个端点，这条边共有3个整点．根据正方形是中心对称图形，则四条边共有12个整点．
④第4个正方形，对于其中1条边，除去该边的一个端点，这条边共有4个整点．根据正方形是中心对称图形，则四条边共有16个整点．
⑤第5个正方形，对于其中1条边，除去该边的一个端点，这条边共有5个整点．根据正方形是中心对称图形，则四条边共有20个整点．
..．
以此类推，第15个正方形，四条边上的整点共有60个．
故答案为：60．
【题后反思】本题主要考查推理能力，运用特殊到一般的推理归纳的思想．
18．（2分）（2020春•临颍县期末）如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为 （3，0）或（9，0） ．
【易错点拨】设P点坐标为（x，0），则根据三角形面积公式得到•4•|6﹣x|＝6，然后去绝对值求出x的值，再写出P点坐标．
【规范解答】解：如图，设P点坐标为（x，0），
根据题意得•4•|6﹣x|＝6，
解得x＝3或9，
所以P点坐标为（3，0）或（9，0）．
故答案为：（3，0）或（9，0）．
【题后反思】本题考查了坐标与图形性质：能根据点的坐标表示它到两坐标轴的距离．也考查了三角形的面积公式．
19．（2分）（2021春•富拉尔基区期末）在平面直角坐标系中，点A与原点重合，将点A向右平移1个单位长度得到点A1，将A1向上平移2个单位长度得到点A2，将A2向左平移3个单位长度得到A3，将A3向下平移4个单位长度得到A4，将A4向右平移5个单位长度得到A5…按此方法进行下去，则A2021点坐标为 （1011，﹣1010） ．
【易错点拨】求出A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，探究规律可得A2021（1011，﹣1010）．
【规范解答】解：由题意A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，
可以看出，3＝，5＝，7＝，各个点的纵坐标等于横坐标的相反数+1，
故＝1011，
∴A2021（1011，﹣1010），
故答案为：（1011，﹣1010）．
【题后反思】本题考查坐标与图形变化平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
20．（2分）（2021春•江岸区期末）如图第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 （0，3）或（﹣4，0） ．
【易错点拨】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上．
【规范解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0﹣（n﹣3）＝﹣n+3，
∴n﹣n+3＝3，
∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0﹣m＝﹣m，
∴m﹣4﹣m＝﹣4，
∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（﹣4，0）．
故答案为：（0，3）或（﹣4，0）．
【题后反思】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•商南县期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动
（1）求点B的坐标．
（2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标．
（3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．
【易错点拨】（1）利用非负数的性质可以求得a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；
（2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标；
（3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可．
【规范解答】解：（1）∵a、b满足+|b﹣6|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
解得a＝4，b＝6，
∴点B的坐标是（4，6）；
（2）∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动，
∴点P的路程：2×4＝8，
∵OA＝4，OC＝6，
∴当点P移动4秒时，在线段AB上，AP＝8﹣4＝4，
即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是（4，4）；
（3）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点P在OC上时，
点P移动的时间是：[2（4+6）﹣5]÷2＝7.5（秒），
第二种情况，当点P在BA上时．
点P移动的时间是：（5+4）÷2＝4.5（秒），
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是4.5秒或7.5秒．
【题后反思】本题考查矩形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
22．（6分）（2022春•路南区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【易错点拨】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；
（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；
（3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），所以，即|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答．
【规范解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3），
∴|﹣3|＝3，
∴点C到x轴的距离为3；
（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6，
∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18．
（3）设点P的坐标为（0，y），
∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），
∴6×|y﹣3|＝6，
∴|y﹣3|＝2，
∴y＝1或y＝5，
∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）．
【题后反思】本题考查了坐标与图形，解决本题的关键是利用数形结合的思想．
23．（8分）（2021春•自贡期末）综合与实践
问题背景：
（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD中点P1、P2，然后写出它们的坐标，则P1 （2，2） ，P2 （﹣1，﹣2） ．
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为 ．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x，y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标．
【易错点拨】（1）根据坐标的确定方法直接描点，：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标；
（2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律；
（3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题．
【规范解答】解：（1）如图：A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出它们如下：
线段AB和CD中点P1、P2的坐标分别为（2，2）、（﹣1，﹣2）
故答案为：（2，2）、（﹣1，﹣2）．
（2）若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为．
故答案为：．
（3）∵E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），
∴EF、FG、EG的中点分别为：（1，）、（2，）、（0，3）
∴①HG过EF中点（1，）时，＝1，＝
解得：x＝1，y＝﹣1，故H（1，﹣1）；
②EH过FG中点（2，）时，＝2，＝
解得：x＝5，y＝3，故H（5，3）；
③FH过EG的中点（0，3）时，＝0，＝3
解得：x＝﹣3，y＝5，故H（﹣3，5）．
∴点H的坐标为：（1，﹣1），（5，3），（﹣3，5）．
【题后反思】本题考查了坐标与图形性质．通过此题，要熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数．
24．（8分）（2018春•柘城县期末）在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0）、B（5，0）、C（3，3），D（2，4）．
（1）求：四边形ABCD的面积．
（2）如果把四边形ABCD先向左平移3个单位，再向下平移1个单位得四边形A′B′C′D'，求A'，B′，C'，D′点坐标．
【易错点拨】（1）过C、D向x轴作垂线，四边形ABCD的面积分割为过D、C两点的直角三角形和直角梯形，即可得到四边形ABCD的面积；
（2）依据四边形ABCD先向左平移3个单位，再向下平移1个单位得四边形A′B′C′D'，可得平移后，各顶点的横坐标减小3，纵坐标减小1．
【规范解答】解：（1）如图，过D作DE⊥x轴，垂足为E，过C作CF⊥x轴，垂足为F，
∴S四边形ABCD＝S△ADE+S四边形DEFC+S△CFB
∵S△ADE＝×1×4＝2，
S四边形DEFC＝（3+4）×1＝，
S△CFB＝×2×3＝3，
∴S四边形ABCD＝2++3＝；
（2）由题可得，四边形ABCD先向左平移3个单位，再向下平移1个单位得四边形A′B′C′D'，
∴平移后，各顶点的横坐标减小3，纵坐标减小1，
∵A（1，0）、B（5，0）、C（3，3），D（2，4），
∴A′（﹣2，﹣1），B′（2，﹣1），C′（0，2），D′（﹣1，3）．
【题后反思】本题主要考查了坐标与平移变换，解题时注意：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．解决问题的关键是把所求四边形的面积分为容易算面积的直角梯形和直角三角形．
25．（8分）（2022春•西城区校级期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P（x，y）平移到P'（x+t，y﹣t）称为将点P进行“t型平移”，点P'称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．
例如，将点P（x，y）平移到P'（x+1，y﹣1）称为将点P进行“1型平移”，将点P（x，y）平移到P'（x﹣1，y+1）称为将点P进行“﹣1型平移”．
已知点A（1，1）和点B（3，1）．
（1）将点A（1，1）进行“1型平移”后的对应点A'的坐标为 （2，0） ．
（2）①将线段AB进行“﹣1型平移”后得到线段A'B'，点P1（2，3），P2（1.5，2），P3（3，0）中，在线段A'B'上的点是 P2 ．
②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是 ﹣3≤t≤﹣1或t＝1 ．
（3）已知点C（6，0），D（8，﹣2），点M是线段CD上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为B'，当t的取值范围是 2≤t≤4 时，B'M的最小值保持不变．
【易错点拨】（1）根据“1型平移”的定义解决问题即可；
（2）①画出线段A'B'即可判断；
②根据定义求出t的最大值，最小值即可解答；
（3）如图2中，观察图象可知，当B′在线段B′B″上时，B'M的最小值保持不变，最小值为．
【规范解答】解：（1）将点A（1，1）进行“1型平移”后的对应点A'的坐标为（2，0），
故答案为（2，0）；
（2）①如图1中，观察图象可知，将线段AB进行“﹣1型平移”后得到线段A'B'，点P1（2，3），P2（1.5，2），P3（3，0）中，
在线段A′B′上的点是P2；
故答案为：P2；
②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是﹣3≤t≤﹣1或t＝1；
故答案为：﹣3≤t≤﹣1或t＝1；
（3）如图2中，观察图象可知，当B′在线段B′B″上时，B'M的最小值保持不变，最小值为，此时2≤t≤4．
故答案为：2≤t≤4．
【题后反思】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，“t型平移”的定义等知识，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型．
26．（8分）（2022春•海门市期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．
（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点 B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6） ；
（2）若点A的坐标是（﹣2，4）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；
（3）若点A的坐标是（3，﹣1）与点B（m，n）互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取值范围．
【易错点拨】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可；
（3）根据新定义和直角坐标系中第四象限x、y的取值范围确定m、n的取值范围即可．
【规范解答】解：（1）根据新定义可以得B2、B3与A点互为“对角点”；
故答案为：B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；
（2）①当点B在x轴上时，
设B（t，0），由题意得t﹣（﹣2）＝0﹣4，
解得t＝﹣6，
∴B（﹣6，0）．
②当点B在y轴上时，
设B（0，b），
由题意得0﹣（﹣2）＝b﹣4，
解得b＝6，
∴B（0，6）．
综上所述：A的“对角点”点B的坐标为（﹣6，0）或（0，6）．
（3）由题意得m﹣3＝n﹣（﹣1），
∴m＝n+4．
∵点B在第四象限，
∴，
∴，
解得﹣4＜n＜0，
此时0＜n+4＜4，
∴0＜m＜4．
由定义可知：m≠3，n≠﹣1，
∴0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．
故答案为：0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．
【题后反思】本题考查了直角坐标系中点的坐标的新定义，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式，找到规律，解决问题．
27．（8分）（2022春•东城区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点A（x，y），定义点A的“离心值”p（A）：
P（A）＝
例如对于点A（﹣6，3），因为|﹣6|＞|3|，所以p（A）＝|﹣6|＝6
（1）已知B（0，5），C（﹣3，3），D（﹣，﹣1），将p（B）、p（C）、p（D）按从小到大的顺序排列（用“＜”连接） p（D）＜p（C）＜p（B） ．
（2）如图1，点P（﹣1，3），E（﹣1，﹣3），线段PE上的点M（x，y），
①若p（M）＝1.5，写出M的坐标．
②在图中画出满足p（M）＝1的点M组成的图形．
（3）如图2，直线l过点（0，﹣3）和（3，0），将直线l向上平移m（m＞0）个单位得到直线l'，若l'上恰好有两个点的离心值为1，直接写出m的取值范围．
【易错点拨】（1）根据“离心值”的定义求解即可；
（2）①由题意得，点M的横坐标x＝﹣1，纵坐标在﹣3和3之间，再根据“离心值”的定义即可确定M的坐标；
②根据“离心值”的定义求出M的坐标，根据yM的取值正确画图即可；
（3）先求直线l的解析式为：y＝x﹣3，确定离心值为1的点构成正方形ABCD，又l'上恰好有两个点的离心值为1，确定边界点A和C的直线上有一个离心值为1的点，由此即可得到答案．
【规范解答】解：（1）∵B（0，5），|5|＞|0|，
∴p（B）＝5，
∵C（﹣3，3），且|﹣3|＝|3|，
∴p（C）＝3，
∵D（﹣，﹣1），且|﹣|＞|﹣1|，
∴p（D）＝，
∴p（D）＜p（C）＜p（B）；
故答案为：p（D）＜p（C）＜p（B）；
（2）①∵点P（﹣1，3），E（﹣1，﹣3），线段PE上的点M（x，y），
∴x＝﹣1，﹣3≤y≤3，
∵p（M）＝1.5，
∴M的坐标为（﹣1，1.5）或（﹣1，﹣1.5）；
②根据离心值的定义可知，对于线段PE上的点M（x．y），它的横坐标xM，纵坐标有yM满足|xM|＝1，|yM|≤3，
∵p（M）＝1，
∴|xM|≥|yM|，
∴﹣1≤yM≤1，
∴点M组成的图形即为线段HF，如图1，其中H（﹣1，1）、F（﹣1，﹣1）；
（3）∵直线l过点（0，﹣3）和（3，0），
∴设直线l的解析式为：y＝kx﹣3，
把（3，0）代入得：3k﹣3＝0，
∴k＝1，
∴直线l的解析式为：y＝x﹣3，
设点E（x，y），满足p（E）＝1，
∴当|xM|＝1时，0≤|yM|≤1，当|yM|＝1时，0≤|xM|≤1，
∴离心值为1的点E组成的图形即为线段AB，线段BC，线段CD，线段AD，其中点A（﹣1，1），点B（﹣1，﹣1），点C（1，﹣1），点D（1，1），
过点C且与l平行的直线为：y＝x﹣2，此时F（0，﹣2），m＝1，
过点A用与l平行的直线为：y＝x+2，此时M（0，2），m＝5，
∵l'上恰好有两个点的离心值为1，
∴1＜m＜5．
【题后反思】本题考查了坐标与图形，认真阅读，了解并熟练运用“离心值”的定义是解题关键．
28．（8分）（2022秋•余姚市校级期末）已知点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，点Q（x，y）位于第二象限且是由点P向上平移一定单位长度得到的．
（1）若点P的纵坐标为﹣3，试求出a的值；
（2）在（1）题的条件下，试求出符合条件的一个点Q的坐标；
（3）若点P的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及线段PQ长度的取值范围．
【易错点拨】（1）点P的纵坐标为﹣3，即1﹣a＝﹣3；解可得a的值；
（2）根据题意：由a＝4得：2a﹣12＝﹣4；进而根据又点Q（x，y）位于第二象限，所以y＞0；取符合条件的值，可得Q的坐标；
（3）根据点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，且横、纵坐标都是整数，可得；
解而求其整数解可得a的值以及线段PQ长度的取值范围．
【规范解答】解：
（1）1﹣a＝﹣3，a＝4．
（2）由a＝4得：2a﹣12＝2×4﹣12＝﹣4，又点Q（x，y）位于第二象限，所以y＞0；
取y＝1，得点Q的坐标为（﹣4，1）．
（3）因为点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，
所以，
解得：1＜a＜6．
因为点P的横、纵坐标都是整数，所以a＝2或3或4或5；
当a＝2时，1﹣a＝﹣1，所以PQ＞1；
当a＝3时，1﹣a＝﹣2，所以PQ＞2；
当a＝4时，1﹣a＝﹣3，所以PQ＞3；
当a＝5时，1﹣a＝﹣4，所以PQ＞4．
综上，PQ＞1．
解法二：PQ＝y﹣（1﹣a）＝y+a﹣1≥y+1，
∵y＞0，
∴PQ＞1．
【题后反思】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减