精品解析：吉林省长春博硕学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份精品解析：吉林省长春博硕学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知集合，则正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将集合化简，再根据，即可得到结论．
【详解】
集合，
故选：．
【点睛】本题重点考查元素与集合，集合与集合之间的关系，化简集合，搞清元素与集合，集合与集合之间的关系的符号表示是关键．
2. 2021年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了1月-5月以来5G手机的实际销量，如下表所示：
若y与x线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 由题中数据可知，变量x和y正相关，且相关系数一定小于1
B. 由题中数据可知，6月份该商场5G手机的实际销量为2（千只）
C. 若不考虑本题中的数据，回归直线可能不过中的任一个点
D. 若不考虑本题中的数据，，则回归直线过点
【答案】B
【解析】
【分析】对于A，样本点不全在上，所以相关系数一定小于1；对于B，将代入得到的是6月份该商场5G手机的销量预测值；对于CD，回归直线可能不过样本点中的任何一个点，且回归直线一定过样本中心，据此判断CD.
【详解】对于A，样本点不全在上，所以相关系数一定小于1，所以A正确；
对于B，将代入得，所以6月份该商场5G手机的销量预测值为2（千只），所以B错误；
对于C，回归直线可能不过样本点中的任何一个点，所以C正确；
对于D，回归直线一定过样本中心，所以D正确；
故选：B.
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项分布的期望公式可得出的表达式，再利用期望的性质可求得的值.
【详解】因为随机变量，则，
则，解得.
故选：B.
4. 某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下表：
已知关于的线性回归方程为，则当广告支出费用为万元时，残差为（ ）万元
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将代入回归直线方程，可得出销售额的预测值，然后利用残差的定义可求得结果.
【详解】当时，销售额的预测值为，残差为万元.
故选：A.
5. 已知二项式展开式的二项式系数和为，则展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用展开式二项式系数和求出的值，然后写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】二项式展开式的二项式系数和为，可得，
所以，二项式展开式的通项为，
令，可得，则展开式中常数项为.
故选：D.
6. 用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）
A. 72种B. 36种C. 12种D. 60种
【答案】A
【解析】
【详解】如下表
故选A．
7. 根据教育部的规定，从2021年9月1日以来，全国各地的中小学都开展了课后延时服务．各个学校都及时安排老师参加课后延时服务工作，学校要求张老师在每个星期的周一至周五要有三天参加课后延时服务．若张老师周五一定参加课后延时服务，则他周四也参加课后延时服务的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设事件A为张老师“周五参加课后延时服务”，事件B为张老师“周四参加课后延时服务”，利用古典概型求出，和的值，再根据条件概率公式，即可求出结果.
【详解】设事件A为张老师“周五参加课后延时服务”，事件B为张老师“周四参加课后延时服务”，则，，故．
故选:A．
8. 已知，，若存在，使得，则的最小值（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则，构造函数，求导判断函数单调区间，即可求得最小值.
【详解】解：设，则，，所以，
设，则，
令，得；令，得，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取最小值为.
故选：B.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. 是的充分不必要条件
B. ，
C. 能被1000整除
D. 有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中一次性摸出5个红球，则摸到红球的个数服从超几何分布
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，分别求解和再判断即可；对B，举反例判断即可；对C，利用二项式定理展开判断即可；对D，根据超几何分布的概念判断即可.
【详解】对A，则，，，，解得.
则，故是的充分不必要条件，故A正确；
对B，当时不成立，故B错误；
对C，
.
又能被1000整除，能被1000整除，故能被1000整除，故C正确；
对D，一次性摸出5个红球则只能在10个红球里摸出5个红球，红球个数为确定数，不满足超几何分布，故D错误；
故选：BD
10. A、B、C、D、E、F六个人并排站在一起，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A、B相邻，有120种排法
B. 若A、B相邻，有240种排法
C. 若A、B不相邻，有480种排法
D. 若A、B不相邻，有960种排法
【答案】BC
【解析】
【分析】求得A，相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，不相邻时的排法总数判断选项CD.
【详解】A，，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻，
则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，，自由排列即可，
则方法总数为（种）.则选项B判断正确；选项A判断错误；
A，，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻，
则先让，，，自由排列，再让A，去插空即可，
则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误.
故选：BC
11. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A. 第二天去甲餐厅的概率为0.54
B. 第二天去乙餐厅的概率为0.44
C. 第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D. 第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可.
【详解】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，
:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅，
所以，，，
因，
所以，
所以有,
因此选项A正确, ，因此选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，所以选项D不正确，
故选：AC
12. 中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n是行数，r是列数，）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（ ）
A. 每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致
B. 第10行从左边数第三个数为
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，分析“莱布尼茨三角形”与“杨辉三角”每一行数的特性即可判断；
对于B，利用“莱布尼茨三角形”数的特性计算判断；对于C，D，进行组合计算判断作答.
【详解】对于A，“杨辉三角”每行数左右对称，由1开始逐渐变大，而“莱布尼茨三角形” 每行数左右对称，从第3行开始，由行数的倒数开始逐渐变小，A不正确；
对于B，“莱布尼茨三角形”的一个数是它脚下两数的和，则第9行的第二个数为，第10行的第二个数为，
于是得第10行的第三个数为，B正确；
对于C，，，C正确；
对于D，
，D正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在某次高三联考中，学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的学生有人.则本次考试数学成绩大于分的大约有___________人.
（参考数据：，）
【答案】
【解析】
【分析】利用原则求出，乘以可得结果.
【详解】由题意可得，，则，
所以，，
因此，本次考试数学成绩大于分大约有人.
故答案为：.
14. 已知正数、满足，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】将写成，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为正数、满足，则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
15. 某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和为4次的称为“神投小组”，获得二次“神投小组”的队员可以结束训练．已知甲、乙两名队员每次投进篮球的概率分别为，若，在游戏中，甲乙两名队员想结束训练，理论上他们小组要进行________轮游戏才行．
【答案】32
【解析】
【分析】根据给定条件，求出甲乙两人获得“神投小组”的概率表达式，并求出其最大值，再利用二项分布期望公式计算作答.
【详解】依题意，甲乙组队获得“神投小组”的概率，
而，则有，当且仅当时取“=”，
因此，，因甲乙在一轮游戏中有获得“神投小组”和没有获得“神投小组”两个结果，
则甲乙在n轮游戏中获得“神投小组”次数满足，，
甲乙两名队员想结束训练，他们必获得2次“神投小组”称号，即，解得，
所以甲乙两名队员想结束训练，理论上他们小组要进行32轮游戏才行．
故答案为：32
16. 已知函数，若存在，，使得，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数分析函数在上的单调性与极值，设，数形结合可知，且，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】当时，，则，
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，的极小值为，作出函数的图象如下图所示：
因为存在，，使得，
设，则，且，所以，，
所以，，当且仅当时，等号成立.
故的最小值是.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，集合.
（1）若，求，；
（2）若是的必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）代入若再求解交集并集即可；
（2）根据必要条件满足的集合包含关系，列出区间端点满足的不等式求解即可.
【小问1详解】
若则，，故，
【小问2详解】
，若是的必要条件，则或为空集.
当时，解得；
当为空集时，即.
综上有
18. 甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得2分；如果甲输而乙赢，则甲得－2分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢教练的概率为0.5，乙赢教练的概率为0.4．求：
（1）在一轮比赛中，甲得分X的分布列；
（2）在两轮比赛中，甲得分Y的分布列及均值．
【答案】（1）分布列见解析；
（2）分布列见解析，0.4.
【解析】
【分析】（1）确定的可能值并求出对应的概率，即可写出分布列.
（2）首先确定的可能值并求出对应的概率，写出分布列，再利用分布列求均值.
【小问1详解】
由题设，的可能取值为－2，0，2，
，
，
．
的概率分布为
【小问2详解】由题设，的可能取值－4，－2，0，2，4，
，
，
，
，
．
的概率分布为
所以.
19. 爱心蔬菜超市为确定某种蔬菜的日进货量，需了解日销量（单位：）随上市天数的变化规律.工作人员记录了该蔬菜上市10天来的日销量与上市天数的对应数据，并对数据做了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值：
表中.
（1）根据散点图判断与哪一个更适合作为日销量关于上市天数的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）？
（2）根据（1）中的判断结果及表中数据，求日销量关于上市天数的回归方程，并预报上市第12天的日销量.
附：①，.
②对于一组数据，，…，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】（1）更适合；（2），预报值为.
【解析】
【分析】（1）根据散点图，结合函数图象，即可容易判断；
（2）根据参考数据，先建立关于的线性回归方程，再将其转化为与之间的函数关系即可.
【详解】（1）由散点图可以判断更适合作为日销量关于上市天数的回归方程.
（2）令，先建立关于的线性回归方程.
则，
，
，
所以.
故关于的回归方程为，
即日销量关于上市天数的回归方程为.
当时，
，
所以，上市第12天的日销量的预报值为.
【点睛】本题考查回归方程的求解，散点图，以及利用回归方程进行预测，属于中档题型，本题的关键是利用换元法将函数转化为关于的函数关系.
20. 贵妃芒，又名红金龙，是产于海南的一种芒果.该芒果按照等级可分为四类：等级､等级､等级和等级.某采购商打算订购一批该芒果销往省外，并从采购的这批芒果中随机抽取100箱，利用芒果的等级分类标准得到的数据如下表（将样本频率作为概率）：
（1）从这100箱芒果中有放回地随机抽取4箱，记这4箱中等级的箱数为，求概率以及的方差；
（2）利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考.方案一：不分等级出售，价格为30元/箱；方案二：分等级出售，芒果价格如下表， 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这100箱芒果中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，用X表示抽取的B等级的箱数，请写出X的分布列.
【答案】（1），；
（2）应该采用方案一 （3）分布列见解析
【解析】
【分析】（1）由题意满足二项分布，再根据二项分布的概率公式与方差公式求解即可；
（2）分别求解的分布列与数学期望，再比较大小判断即可；
（3）由题意X服从超几何分布，X的所有可能取值为0，1，2，3，再求解分布列即可.
【小问1详解】
依题意从这100箱中随机抽取1箱是等级的概率，所以，
所以，；
【小问2详解】
设方案二中芒果的价格为元/箱，其分布列为：
则.
因，
所以从采购商的角度考虑，应该采用方案一.
【小问3详解】
用分层抽样的方法从这100箱芒果中抽取10箱，其中B等级3箱，非B等级7箱，现从中抽取3箱，则X服从超几何分布，X的所有可能取值为0，1，2，3：
，，，.
故分布列：
21. 为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.

（1）求图1中的值；
（2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?
（3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数恰为1人的概率.
附：
【答案】（1）；
（2）有关 （3）
【解析】
【分析】（1）根据频率值和等于1可以求得的值；
（2）根据题意完成列联表，计算，即可得相关结论；
（3）根据超几何分布和条件概率的相关公式即可解决.
【小问1详解】
由题意可得，解得；
【小问2详解】
数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，
不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则
零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于；
【小问3详解】
由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，
不经常整理错题的有2人，
则（为经常整理数学错题且数学成绩优秀人数）可能取为0，1，2，
经常整理错题的3名学生中，
恰抽到人记为事件，则
参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件
则，，，
.
22. 已知函数的极小值为1．
（1）求实数a的值；
（2）设函数．
①证明：当时，，恒成立；
②若函数有两个零点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）1 （2）①证明见解析；②或
【解析】
【分析】（1）求导之后，讨论单调性，再根据题设条件列式即可求解（2）①法一：先判定的单调性，再结合（1）的结论放缩即可；法二：直接利用（1）的结论放缩即可②研究的单调性，极值的符号，再结合零点存在性定理的推论即可求解
【小问1详解】
的定义域为，．
当时，恒成立，在上单调递增，无极小值；
当时，令，；令，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的极小值为，即．
综上，．
【小问2详解】
①法一：，．
∵，
∴，即在上单调递减．
∴．
由（1）知，的最小值为，即（当且仅当时，等号成立）．
∴，即．
法二：由（1）知，的最小值为，
即（当且仅当时，等号成立）．
因为，所以
所以得证．
②．
当时，，在上单调递增，至多有一个零点．
当时，．
令，；令，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的最小值为．
设，．
令，；令，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以的最大值为．
当时，，只有一个零点；
当时，，又，．
所以有两个零点；
当时，，
由①知，当时，对，恒成立，又，
所以有两个零点；
综上：或
【点睛】用导数处理含参函数零点问题应从三方面入手，一是研究函数的单调性，二是极值（或最值）的符号，三是如果在区间端点处无定义或端点是无穷大趋向于端点时的变化趋势，此时通常要结合零点存在性定理来说明零点的个数
月份x
1月
2月
3月
4月
5月
销售量y（千只）
05
0.6
1.0
1.4
1.7
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
顶点
V
A
B
C
D
种数
4
3
2
C与A同色1
2
C与A不同色1
1
总计
X
－2
0
2
P
0.2
0.5
0.3
Y
－4
－2
0
2
4
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
55
155.5
15.1
82.5
4.84
94.9
24.2
等级
箱数
40
30
20
10
等级
价格/（元/箱）
38
32
26
16
38
32
26
16
P
0
1
2
3
P
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
不经常整理
合计
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
35
25
60
不经常整理
15
25
40
合计
50
50
100