2022-2023学年新疆乌鲁木齐市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 14B. 12C. 8D. 13
2. 若 x+1− −1−x=(x+y)2，则y−x的值为( )
A. −1B. 1C. 2D. 3
3. 下列三条线段不能组成直角三角形的是( )
A. a=5，b=12，c=13B. a=6，b=8，c=10
C. a= 5，b= 3，c= 2D. a：b：c=2：3：4
4. 在△ABC中，∠A，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. a2=(c−b)(c+b)B. a=1，b=2，c=3
C. ∠A=∠CD. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
5. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=135，S3=49，则S2=( )
A. 184
B. 86
C. 119
D. 81
6. 下列说法中，正确的有( )
①都含有70°的两个直角三角形一定全等；
②都含有100°的两个等腰三角形一定全等；
③底边相等的两个等腰三角形一定全等；
④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等；
⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
7. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有( )
①当∠ABC=90°时，它是矩形；
②当AC⊥BD时，它是菱形；
③当AB=BC时，它是矩形；
④当AC=BD时，它是正方形．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，只需添加一个条件，即可证明菱形ABCD是正方形，这个条件可以是( )
A. ∠ABC=90°
B. AB=BC
C. AC⊥BD
D. AB=CD
9. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点，且∠BCD=120°，AB=12BC，连接OE.给出下列4个结论：①△ABE是等边三角形；②∠EAC=30°；③OE=14BC；④若AB=3，则S△AEO=9 34，上述结论正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
10. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 (a−b)2− (a+1)2− (b−1)2的结果是______ ．
11. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，且DF边交AC边于点G，则△FCG的面积为______．
12. Rt△ABC中，三边分别是a，b，c，斜边c=3，则a2+b2+c2的值为 ．
13. 如图，在数轴上点A表示的实数是______ ．
14. 如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”，那么BC：AC：AB=______．
15. 如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′.当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 ；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
16. 计算： 18− 32+ 2( 2+1)．
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知三角形的三边长分别是3 x3、x 3x、3x4 13x，求三角形的周长(要求结果要化简)；并选取一个自己喜欢的数据代入使得周长的结果为整数．
18. (本小题8.0分)
如图：在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．
(1)若设BE=a，CF=b，满足 a−12+|b−5|= m−2+ 2−m，求BE及CF的长．
(2)求证：BE2+CF2=EF2．
(3)在(1)的条件下，求△DEF的面积．
19. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，CD⊥AB于点D．
求：(1)CD的长；
(2)BD的长．
20. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，AB=4 2，∠ABC=45°，D是BC边上一点，且AD=AC，若BD−DC=1.求DC的长．
21. (本小题8.0分)
已知，如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF.求证：四边形DEBF是平行四边形．
22. (本小题8.0分)
如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ=CP，连接BQ，AP.求证：BQ⊥AP．
23. (本小题8.0分)
在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG//AF交CF于点G，连接BE．
(1)如图1，求证：∠BGC=2∠AEB；
(2)当(45°<α<90°)时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、 14是最简二次根式，符合题意；
B、 12= 4×3=2 3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 8= 4×2=2 2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 13= 33，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2.【答案】C
【解析】解：由题意可知：x+1≥0−1−x≥0，
∴x=−1，
∴(x+y)2=0，
∴x+y=0，
∴y=1，
∴y−x=1−(−1)=2，
故选：C．
根据二次根式有意义的条件可求出x与y的值，然后代入原式即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确求出x与y的值，本题属于基础题型．
3.【答案】D
【解析】解：A、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、62+82=102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、( 3)2+( 2)2=( 5)2，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、32+22≠42，故不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
由勾股定理的逆定理，分别验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可解答．
本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4.【答案】A
【解析】解：A.∵a2=(c−b)(c+b)，
∴a2=c2−b2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
B.∵12+22=1+4=5，32=9，
∴12+22≠32，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵∠A=∠C，
∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴最大角∠C=53+4+5×180°=75°<90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
求出a2+b2=c2，根据勾股定理即可判断选项A；根据勾股定理的逆定理即可判断选项B；根据直角三角形的判定即可判断选项C；求出最大角∠C的度数，即可判断选项D．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
5.【答案】B
【解析】解：由题意可知：S1=AB2，S2=BC2，S3=CD2，S4=AD2，
连接BD，在直角△ABD和△BCD中，
BD2=AD2+AB2=CD2+BC2，
即S1+S4=S3+S2，
因此S2=135−49=86，
故选：B．
利用勾股定理的几何意义解答．
本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
6.【答案】C
【解析】解：①都含有70°的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以①错误；
②都含有100°的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以②错误；
③底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应角相等，所以③错误；
④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等，因为根据SSS或AAS或SAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以④正确；
⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等，因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据SAS或AAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以⑤正确；
所以正确的有④⑤这2个．
故选：C．
根据全等三角形的判定定理求解判断即可得解．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：①若∠ABC=90°，则▱ABCD是矩形，选项说法正确；
②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法正确；
③若AB=BC，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；
④若AC=BD，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；
故选：B．
根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．
此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
故选：A．
根据有一个角是直角的菱形是正方形，即可解答．
本题考查了正方形的判定，菱形的性质，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：①∵▱ABCD中，点E是BC的中点，且∠BCD=120°，AB=12BC，
∴BE=AB=12BC，∠ABC=180°−120°−60°，
∴△ABE是等边三角形，故①正确；
②∵△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=CE，∠AEB=60°，
∴∠EAC=12∠AEB=12×60°=30°，故②正确；
③∵O是AC的中点，E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=12AB，
又∵AB=12BC，
∴OE=14BC，故③正确；
④∵AE=CE，O是AC的中点，
∴OE⊥AC，
又∵AB=AE=3，∠EAO=30°，
∴OE=12AE=32，AO= AE2−OE2=32 3，
∴△AOE的面积=12AO×OE=12×32 3×32=98 3，故④错误；
综上所述，结论正确的有3个．
故选：C．
利用平行四边形的性质可得∠ABC=60°，进而证明△ABE是等边三角形，然后推出AB=AE=BE=12BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一，以及三角形中位线定理进行推理即可得出结论．
此题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及等边三角形的判定与性质．证得△ABE是等边三角形是解决问题的关键．
10.【答案】2
【解析】解：∵a<−1<0<1∴a−b<0，a+1<0，b−1>0，
∴原式=|a−b|−|a+1|−|b−1|
=−(a−b)+(a+1)−(b−1)
=−a+b+a+1−b+1
=2．
故答案为：2．
根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．
11.【答案】2125
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵点O是BC边的中点，
∴OC=OB=12BC=2，
∵把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，
∴CO=FO=BO=OE=2，∠DFE=∠ACB，∠ABC=∠DEF，AC=DF，
∴CO=OE，
∴∠ACB=∠OEC，
∴∠DFE=∠CEF，
∴FG=EG，
∵∠DFE+∠D=∠FEG+∠GED=90°，∠COF=∠BOE，
∴∠D=∠DEG，△COF≌△BOE(SAS)，
∴EG=DG，BE=CF，∠FCO=∠OBE，
∴EG=12DE=52，
∵CO=BO=OE=12BC，
∴∠BEC=90°，
∴BE=AB⋅BCAC=125，
∴CE=165，CF=125，
∴CG=CE−EG=165−52=710，
∵∠BEC=90°，
∴∠OBE+∠BCE=90°，
∴∠FCO+∠ACB=90°，即∠FCG=90°．
∴S△FCG=12⋅FC⋅CG=12×125×710=2125．
故答案为：2125．
根据勾股定理得到AC=5，得到OC=OB=12BC=2，根据旋转的性质得到CO=FO=2，∠DFE=∠ACB，∠ABC=∠DEF，AC=DF，求得CO=OE，求得EG=12DF=52，根据勾股定理得出CG的长，易得△COF≌△BOE(SAS)，由此可得FC的长，易证∠FCG=90°，根据三角形的面积可得结论．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12.【答案】18
【解析】
【分析】
先由勾股定理求得a2+b2=c2=9，然后求得a2+b2+c2的值．
本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容．
【解答】
解：∵△ABC为直角三角形，斜边c=3，
∴a2+b2=c2=32=9，
∴a2+b2+c2=9+9=18．
故答案为：18．
13.【答案】−1+ 5
【解析】解：∵半径 12+22= 5，
∴点A表示的数为−1+ 5，
故答案为：−1+ 5．
根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案．
本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点A在数轴的正半轴上．
14.【答案】 3：2： 7
【解析】解：根据题意作图如下：

∵BD=AC=2CD，
∴∠CBD=90°，
设CD=x，则AC=2x，BC= 3x，
∴AB= BC2+AC2= 7x，
∴BC：AC：AB= 3：2： 7，
故答案为： 3：2： 7．
根据题意做出图形，设CD为x，根据“匀称三角形”的定义求出三角形的各边长即可得出结论．
本题主要考查勾股定理，三角形中线，特殊角三角函数等知识，正确理解“匀称三角形”的定义是解题的关键．
15.【答案】120°
75°

【解析】
【分析】
本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于填空题中的压轴题．
如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′.利用全等三角形的性质证明∠BEP′=90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEP′是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】
解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．
∵△BPP′是等边三角形，
∴∠ABE=∠PBP′=60°，BP=BP′，BA=BE，
∴∠ABP=∠EBP′，
在△ABP和△EBP′中，
BA=BE∠ABP=∠EBP′BP=BP′,
∴△ABP≌△EBP′(SAS)，
∴∠BAP=∠BEP′=90°，
∴点P′在射线EP′上运动，
如图1中，设EP′交BC于点O，
当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C=180°−60°=120°，
当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO=∠OCP′=30°，
∴EO=12OB，OP′=12OC，
∴EP′=EO+OP′=12OB+12OC=12BC，
∵BC=2AB，
∴EP′=AB=EB，
∴∠EBP′=∠EP′B=45°，
∴∠BP′C=45°+90°=135°，
∴∠PP′C=∠BP′C−∠BP′P=135°−60°=75°．
故答案为：120°，75°．
16.【答案】解：原式=3 2−4 2+2+ 2
=2．
【解析】学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看作是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
本题考查了二次根式的混合运算，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17.【答案】解：三角形的周长为：
3 x3+x 3x+3x4 13x
= 3x+ 3x+14 3x
=94 3x，
当x=48时，周长为27(答案不唯一)．
【解析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．选择合适的数值代入，只要使它的周长为整数即可．
本题考查了二次根式的应用，对于第二问答案不唯一，但要注意必须符合题意．
18.【答案】(1)解：由题意得m−2≥02−m≥0，
解得m=2，
则 a−12+|b−5|=0，
所以a−12=0，b−5=0，
a=12，b=5，
即BE=12，CF=5；
(2)证明：延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP，
在△BED和△CPD中，
ED=PD∠EDB=∠PDCBD=CD，
∴△BED≌△CPD(SAS)，
∴BE=CP，∠B=∠DCP，
在△EDF和△PDF中，
DE=DP∠EDF=∠PDE=90°DF=DF，
∴△EDF≌△PDF(SAS)，
∴EF=FP，
∵∠B=∠DCP，∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，
在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF2+CP2=PF2，
∵BE=CP，PF=EF，
∴BE2+CF2=EF2；
(3)解：连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，
∴∠BAD=∠FCD=45°，AD=BD=CD，AD⊥BC，
∵ED⊥FD，
∴∠EDA+∠ADF=90°，∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中，
∠EAD=∠FCDAD=DC∠ADE=∠CDF，
∴△AED≌△CFD(ASA)，
∴AE=CF=5，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，
∴AB=AE+EB=5+12=17，
∴AF=AC−FC=AB−CF=17−5=12，
在Rt△EAF中，根据勾股定理得：EF= AE2+AF2=13，
设DE=DF=x，
根据勾股定理得：x2+x2=132，
解得：x=13 22，即DE=DF=13 22，
则S△DEF=12DE⋅DF=12×13 22×13 22=1694．
【解析】(1)先根据二次根式的非负性求出m=2，再由非负数的性质求出a、b的值，进而得到BE及CF的长；
(2)延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP，利用SAS得到三角形BED与三角形CPD全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=CP，再利用SAS得到△EDF和△PDF全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=FP，利用等角的余角相等得到∠FCP为直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证；
(3)连接AD，由AB=AC，且D为BC的中点，利用三线合一得到AD垂直于BC，AD为角平分线，再由三角形ABC为等腰直角三角形，得到一对角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AD=CD，利用ASA得到三角形AED与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等得到AE=CF=5，DE=DF，由AE+EB求出AB的长，即为AC的长，再由AC−CF求出AF的长，在直角三角形AEF中，利用勾股定理求出EF的长，再根据三角形DEF为等腰直角三角形求出DE与DF的长，即可确定出三角形DEF的面积．
此题考查了非负数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，
由勾股定理可得，AB= AC2+BC2= 202+152=25，
∴AB的长是25，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴AC⋅BC=AB⋅CD，
∵AC=20，BC=15，AB=25，
∴20×15=25CD，
∴CD=12，
∴CD的长是12．
(2)∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，BC=15，CD=12，
由勾股定理可得，BD= BC2−CD2= 152−122=9，
∴BD的长为9．
【解析】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，掌握直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用是本题的关键．
(1)根据勾股定理AB= AC2+BC2，求出AB的长，根据三角形的面积公式，代入计算即可求出CD的长．
(2)在Rt△BCD中，直接根据勾股定理可求出BD的长．
20.【答案】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示．
∵AD=AC，AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，DE=CE．
∵∠ABC=45°，
∴∠BAE=45°，
∴AE=BE．
在Rt△ABE中，AB=4 2，
∴AE2+BE2=AB2，即BE2+BE2=(4 2)2，
∴BE=4，
∴BD+12DC=4．
又∵BD−DC=1，
∴DC+1+12DC=4，
∴DC=2．
【解析】过点A作AE⊥BC于点E，则∠AEB=90°，DE=CE，结合∠ABC=45°可得出∠BAE=45°，进而可得出AE=BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理可求出BE的长，即BD+12DC=4，结合BD−DC=1可求出DC的长．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长是解题的关键．
21.【答案】证明：如图，连接BD，与AC交于点O，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，
即OE=OF，
又OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【解析】连接BD，与AC交于点O，由平行四边形的对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，进而得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证．
此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是解本题的关键．
22.【答案】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵DQ=CP，
∴AD−DQ=CD−CP，
∴AQ=DP，
∴△ABQ≌△DAP(SAS)，
∴∠DAP=∠ABQ，
∵∠DAP+∠BAP=90°，
∴∠ABQ+∠BAP=90°，
∴BQ⊥AP．
【解析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形中的“十字架”模型是解题关键．
根据题意证明△ABQ≌△DAP即可．
23.【答案】解：(1)证明：∵边AD绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)得到线段AE，
∴AD=AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=AE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵BG//AF，
∴∠AEB=∠GBE，
∴∠ABE=∠AEB=∠GBE，
∴∠ABG=2∠AEB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，
∴∠BGC=∠ABG，
∴∠BGC=2∠AEB；
(2)补全图2如下：
线段AH，EF，DG之间的数量关系为：EF=AH+DG，理由如下：
在DC上取DN=AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ADN=∠BAH=90°，
在△ADN和△BAH中，
AD=BA∠ADN=∠BAHDN=AH
∴△ADN≌△BAH(SAS)，
∴∠DNA=∠AHB，∠DAN=∠ABH，
∵∠DNA+∠DAN=90°，
∴∠DAN+∠AHB=90°，
∴∠APH=90°，
∴∠BPM=∠BPA=90°，
由(1)知∠ABE=∠GBE，
在△ABP和△MBP中，
∠BPA=∠BPMBP=BP∠ABP=∠MBP,
∴△ABP≌△MBP(ASA)，
∴AB=MB，
在△ABH和△MBH中，
AB=MB∠ABH=∠MBHBH=BH,
∴△ABH≌△MBH(SAS)，
∴∠HAB=∠HMB=90°，
∴A、H、M、B共圆，
∴∠AHB=∠AMB=∠GMN，
∴∠DNA=∠GMN，
∴GN=GM，
∵CF//AB，BG//AF，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴BG=AF，
∵AE=AD=AB=MB，
∴EF=GM，
∴EF=GN，
∵GN=DG+DN，
∴EF=DG+AH．
【解析】(1)根据BG//AF，得到∠GBE=∠AEB，由AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，得到AD=AB=AE，∠ABE=∠AEB=∠GBE，由正方形性质得到CD//AB，得到∠BGC=2∠AEB；
(2)按照题意补全图形即可，在DC上取DN=AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，利用△ADN≌△BAH、△ABP≌△MBP、△ABH≌△MBH证明A、H、M、B共圆，从而可得∠DNA=∠GMN，GN=GM，再证明EF=GM，即可得到EF=AH+DG．
本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定，难度较大，解题的关键是构造辅助线，将AH+DG转化为GN．