2022-2023学年福建省泉州市现代中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省泉州市现代中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合M={−1,0,1}，N={x|x=a2,a∈M}，则集合M∩N( )
A. {0}B. {1}C. {0,1}D. {−1,0,1}
2. 已知函数f(x)=x3ex，则f′(1)=( )
A. eB. 3eC. 4eD. e+3
3. (1− x)4(1+ x)4的展开式中x的系数是( )
A. −4B. −3C. 3D. 4
4. 已知f(x)是R上的奇函数，x>0时，f(x)=lnx−x+1，则函数y=f(x)的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为．( )
A. 720B. 520C. 600D. 264
6. 盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是( )
A. 27B. 728C. 37D. 1956
7. 已知函数f(x)=13x3−ax2+3x−5在区间[1,2]上单调递增，则a的取值范围是( )
A. (−∞, 3]B. (−∞,2)C. (−∞,74]D. (−∞,2 3]
8. 设a=3n+Cn13n−1+Cn23n−2+⋯+Cnn−13，则当n=2023时，a除以15所得余数为( )
A. 4B. 3C. 7D. 8
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. (3x−1 x)6的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 所有项系数和为64B. 常数项为第4项C. 整式共有3项D. x3项的系数−81
10. 甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是( )
A. 事件B与事件C是互斥事件B. 事件A与事件C是独立事件
C. P(C)=1330D. P(C|A)=12
11. 已知函数f(x)=ex−e22x2，函数g(x)=f′(x)，则下列说法正确的是( )
A. g(x)的最小值为−e2B. g(x)有2个零点
C. f(x)有且只有1个极值D. f(x)有3个零点
12. 已知F1，F2是椭圆C1：x2a12+y2a22=1(a1>b1>0)与双曲线C2：x2a22−y2a22=1(a2>0,b2>0)的公共焦点，e1，e2分别是C1与C2的离心率，且P是C1与C2的一个公共点，满足PF1⋅PF2=0，则下列结论中正确的是( )
A. a12+b12=a22−b22B. 1e12+1e22=2
C. 1e1+ 3e2的最大值为2 2D. 3e1+1e2的最大值为2 2
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. i是虚数单位，则|4+2i1−i|的值为 ．
14. 《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有______ 种.
15. 如图，已知A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦距F，若BF⊥AC且CF=2FA，则该双曲线的离心率等于 ．
16. 已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x10时，f′(x)=1x−1=1−xx，
所以函数f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减．
所以排除选项A，C，
因为函数是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除D．
故选：B．
先求出函数当x>0时的单调区间，再结合函数的奇偶性确定答案．
本题考查函数图象，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了排列、组合知识的应用问题，利用加法原理，正确分类是关键，属于中档题．
根据题意分甲、乙其中一人参加和甲乙两人都参加两种情况，再由加法原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2种情况讨论，
若甲乙其中一人参加，则有C21⋅C43⋅A44=192种情况；
若甲乙两人都参加，有C22⋅C42⋅A22⋅A32=72种情况；
则不同的发言顺序种数192+72=264种．
故选D．

6.【答案】A
【解析】解：记为A1：从盒中任取1球为红球，记A2：从盒中任取1球为黑球，记A3：从盒中任取1球为白球，
则A1，A2，A3彼此互斥，
设第二次抽出的是红球记为事件B，
则P(A1)=27，P(A2)=37，P(A3)=27，P(B|A1)=38，P(B|A2)=14，P(B|A3)=14，P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=27×38+37×14+27×14=27．
故选：A．
根据条件概率的计算公式即可求解．
本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
先求出导函数，欲使函数f(x)在区间[1,2]上单调递增可转化成f′(x)≥0在区间[1,2]上恒成立，再借助参数分离法求出参数a的范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题的转化，属于基础题．
【解答】
解：f′(x)=x2−2ax+3，
∵f(x)在区间[1,2]上单调递增，
∴f′(x)=x2−2ax+3≥0在区间[1,2]上恒成立，
即a≤x2+32x在[1,2]恒成立，
而y=x2+32x≥2 x2⋅32x= 3，
当且仅当x= 3时“=”成立， 3∈[1,2]，
故a≤ 3，
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：∵a=3n+Cn13n−1+Cn23n−2+⋯+Cnn−13=(3+1)n−Cnn30=4n−1，
当n=2023时，a=42023−1=4×161011−1=4×[(15+1)1011−1]+3，
而(15+1)1011−1=C10110151011+C10111151010+⋯+C1011101015，
故此时a除以15所得余数为3．
故选：B．
a=4n−1，再将16变形为15+1，二项式展开即可得．
本题考查二项式定理，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：令x=1，由(3−1)6=26=64知，所有项系数和为64，故A正确；
二项展开式的通项公式为Tr+1=C6r(3x)6−r(−1)rx−r2=(−1)r36−rC6rx6−32r，令6−32r=0，解得r=4，故展开式第5项为常数项，故B错误；
当r=0，2，4时，6−32r∈N，展开式为整式，故C正确；
当6−32r=3时，r=2，T3=(−1)236−2C62x3=1215x3，故D错误．
故选：AC．
根据赋值法可求出所有项系数和判断A，由二项展开式的通项公式可判断BCD即可．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查对立事件、独立事件、古典概型、条件概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用对立事件判断A，利用独立事件判断B，利用古典概型判断C，利用条件概型判断D．
【解答】
解：对于A，事件B与事件C能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，事件A与事件C不是独立事件，故 B错误；
对于C，P(C)=C31C51×C31C61+C21C51×C21C61=1330，故C正确；
对于D，P(C|A)=P(AC)P(A)=930×53=12.故D正确．
故选：CD．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由f(x)=ex−e22x2，得g(x)=f′(x)=ex−e2x，g′(x)=eˣ−e2，
令g′(x)=0，得x=2，当x∈(−∞,2)时，g′(x)0，g(x)单调递增；
所以g(x)的最小值为g(2)=−e20，g(4)=e4−4e2=e2(e2−4)>0，
所以存在x1∈(0,2)，x2∈(2,4)，使得g(x1)=0，g(x2)=0，
所以g(x)有2个零点，选项B正确；
对于C，当x∈(−∞,x1)时，f′(x)=g(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(x1,x2)时，f′(x)=g(x)0，f(x)单调递增，
所以f(x)有2个极值，选项C错误；
对于D，因为f(−2)=1e2−2e2f(0)=1>0，f(x2)1，不成立，错误；
对选项D：设1e1= 2sinθ，1e2= 2csθ， 3e1+1e2= 6sinθ+ 2csθ，=2 2sin(θ+π6)，
若最大值为2 2，则θ+π6=π2+2kπ,k∈Z，θ=π3+2kπ,k∈Z，1e1= 62，即e1= 63，1e2= 22，e2= 2，成立，正确；
故选：BD．
根据共焦点得到a12−b12=a22+b22，A错误，计算|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1−a2，得到a12+a22=2c2，B正确，设1e1= 2sinθ，1e2= 2csθ，代入计算得到C错误，D正确，得到答案．
本题考查了椭圆和双曲线的离心率相关问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角换元求最值可以简化运算，是解题的关键．
13.【答案】 10
【解析】解：4+2i1−i=(4+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i，
则|4+2i1−i|=|1+3i|= 10．
故答案为： 10．
先计算4+2i1−i，再计算模长即可．
本题主要考查复数模长的计算，属于基础题．
14.【答案】126
【解析】解：分以下两种情况讨论：
①若甲只收集一种算法，则甲有3种选择，将其余4种算法分为3组，再分配给乙、丙、丁三人，
此时，不同的收集方案种数为3C42A33=108种；
②若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算3种算法中选择2种，其余3种算法分配给乙、丙、丁三人，
此时，不同的收集方案种数为C32A33=18种．
综上所述，不同的收集方案种数为108+18=126种．
故答案为：126．
对甲收集的方案种数进行分类讨论，结合分组分配原理以及分类加法计数原理可求得结果．
本题考查排列组合问题，属基础题．
15.【答案】 173
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的对称性的应用及勾股定理的应用，属于中档题．
取双曲线的左焦点F′，连接AF′，BF′，CF′，由双曲线的对称性可得四边形AFBF′为矩形，则|BF′|=|AF|，|AF′|=|BF|，设|AF|=m，由双曲线的性质及向量的关系可得|CF|，|CF′|的值，再由勾股定理可得m与a的关系，进而可得a，c的关系，求出双曲线的离心率．
【解答】
解：取双曲线的左焦点F′，连接AF′，BF′，CF′，
由双曲线的对称性可得四边形AFBF′为矩形，则|BF′|=|AF|，|AF′|=|BF|，
设|AF|=m，则|AF′|=2a+m，
因为CF=2FA，可得|CF|=2m，|CF′|=2a+2m，
在Rt△AFF′中，|AF|2+|AF′|2=|FF′|2，即m2+(2a+m)2=(2c)2①，
在Rt△AF′C中，|CF′|2=|AC|2+|AF′|2，即(2a+2m)2=(3m)2+(2a+m)2②，
由①②可得m=23a，689a2=4c2，
可得e=ca= 173，
故答案为： 173．

16.【答案】(0,1e)
【解析】解：对原函数求导f′(x)=2(axlna−ex)，分析可知：f(x)在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：f″(x)=2ax(lna)2−2e，
当a>1时，易知f″(x)在R上单调递增，此时若存在x0使得f″(x0)=0，
则f′(x)在(−∞,x0)单调递减，(x0,+∞)单调递增，
此时若函数f(x)在x=x1和x=x2分别取极小值点和极大值点，应满足x1>x2，不满足题意；
当0e(lna)2⇒lna1lna>lne(lna)2⇒1lnalna>1−ln(lna)2，
解得：0