2022-2023学年四川省宜宾市高县中学高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省宜宾市高县中学高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 命题“∃x<0，使x2−3x+1≥0”的否定是( )
A. ∃x<0，使x2−3x+1<0B. ∃x≥0，使x2−3x+1<0
C. ∀x<0，使x2−3x+1<0D. ∀x≥0，使x2−3x+1<0
2. 已知λ∈R，向量a=(3,λ) , b=(λ−1 , 2)，则“λ=3”是“a/​/b”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件
3. 已知多项式f(x)=2x7+x6+x4+x2+1，当x=2时的函数值时用秦九韶算法计算V2的值是( )
A. 1B. 5C. 10D. 12
4. 已知命题p：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题q：空间中三个平面α，β，γ，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ.则下列命题为真命题的是( )
A. p∧qB. p∧¬qC. p∨¬qD. ¬p∧q
5. 一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件A=“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件A互斥而不互为对立的是( )
A. 都是黑球B. 恰好有1个黑球C. 恰好有1个红球D. 至少有2个红球
6. 若函数f(x)=3x+sin2x，则( )
A. f′(x)=3xln3+2cs2xB. f′(x)=3x+2cs2x
C. f′(x)=3xln3+cs2xD. f′(x)=3xln3−2cs2x
7. “天津之眼”摩天轮是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功用，是天津地标建筑之一，摩天轮的整体高度为120m，如图，摩天轮底座中心为A(即为圆的最低点，且与地面的距离忽略不计)，过点A且距离A处120m有一标志点B，A、B之间距离A处90m有一遮挡物CD，高为30m，将旋转轮看成圆，把游客看成圆上的点，若游客乘坐座舱旋转一周，则能看到标志点B的概率为( )
A. 14B. 13C. π8D. π6
8. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中N≡n(bmdm)表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如11≡2(bmd3)表示11除以3后的余数是2.执行该程序框图，则输出的N等于( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
9. 函数y=xcsx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数f(x)=12x2−alnx+x在[1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. a≤0B. 0≤a≤1C. a≤2D. a<2
11. 已知抛物线y2=16x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于M，N两点，则|NF|9−4|MF|的最小值为( )
A. 23B. −23C. −13D. 13
12. 已知函数f(x)=x⋅e−x，g(x)=12x2−lnx+a，若∃x1，x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A. (12−1e,2e2−ln2+2)B. [12−1e,2e2−ln2+2]
C. (2e2+ln2−2,1e−12)D. [2e2+ln2−2,1e−12]
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 命题“若x，y都是实数，则x2+y2≥0”的否命题是______．
14. 若函数f(x)=x3−(a2+3)x2+2ax+3在x=2处取得极小值，则实数a的取值范围是______ ．
15. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元，销售额y(单位：万元)与莲藕种植量x(单位：万千克)满足y=−16x3+ax2+x(a为常数)，若种植3万千克，销售利润是232万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕______ 万千克．
16. 已知函数f(x)为定义在(0,+∞)上的连续可导函数，且f(x)>xf′(x)，则不等式x2f(1x)−f(x)<0的解集是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知函数f(x)=3x3−9x+5．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间；
(Ⅱ)求函数f(x)在[−3,3]上的最大值和最小值．
18. (本小题12.0分)
已知f(x)=x2−aex．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)≤x−1对x∈[1,+∞)恒成立，求a的取值范围．
19. (本小题12.0分)
某实验中学的暑期数学调研学习小组为调查本校学生暑假玩手机的情况，随机调查了100位同学8月份玩手机的时间(单位：小时)，并将这100个数据按玩手机的时间进行整理，得到如表：
将8月份玩手机时间为75小时及以上者视为“手机自我管理不到位”，75小时以下者视为“手机自我管理到位”．
(1)请根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”；
(2)根据(1)中的条件，在抽查的“手机自我管理不到位”的人中按性别分层抽样抽取5名，这5名“手机自我管理不到位”的人中恰有1位男生和1位女生喜欢体育运动，现在从这5名“手机自我管理不到位”的人中随机抽取3人，求这3个人中男女生均有，并且3个人中有人喜欢体育运动的概率．
K2独立性检验临界值表：
20. (本小题12.0分)
如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD/​/AB，AB=4，AD=CD=2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D−ABC，如图2所示．
(Ⅰ)求证：BC⊥平面ACD；
(Ⅱ)求几何体D−ABC的体积．
21. (本小题12.0分)
已知长轴长为2 2的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(−1,0)．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=4 23，求直线l的方程．
22. (本小题12.0分)
设常数a≥0，函数f(x)=x−ln2x+2alnx−1(x∈(0,+∞))．
(Ⅰ)令g(x)=xf′(x)(x>0)时，求g(x)的最小值，并比较g(x)的最小值与零的大小；
(Ⅱ)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；
(Ⅲ)求证：当x>1时，恒有x>ln2x−2alnx+1．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x<0，使x2−3x+1≥0”的否定是：∀x<0，使x2−3x+1<0．
故选：C．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
2.【答案】B
【解析】解：由a//b⇒λ(λ−1)−6=0，解得λ=3或−2．
∴“λ=3”是“a/​/b”的充分不必要条件．
故选；B．
利用向量共线定理即可得出．
本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：f(x)=2x7+x6+x4+x2+1=((((((2x+1)x)x+1)x)x+1)x)x+1，
当x=2时的函数值时用秦九韶算法计算：v0=2，v1=2×2+1=5，V2=5×2=10．
故选：C．
f(x)=2x7+x6+x4+x2+1=((((((2x+1)x)x+1)x)x+1)x)x+1，进而得出．
本题考查了秦九韶算法求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：空间中两条直线没有公共点，这两条直线可能异面，而不平行，∴命题p是假命题；
如图，α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，α∩γ=m，β∩γ=n，在γ内任取一点O，作OA⊥m，OB⊥n，则OA⊥α，OB⊥β，

又l⊂α，l⊂β，∴l⊥OA，l⊥OB，∴l⊥γ，命题q是真命题，
∴￢q为假命题，￢p为真命题，
∴￢p∧q为真命题．
故选：D．
容易判断命题p是假命题；可画出图形，可根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理由α⊥γ，β⊥γ且α∩β=l得出l⊥γ，从而判断命题q是真命题，然后得出￢p是真命题，从而可得出正确的选项．
本题考查了异面直线的定义，面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的定义，复合命题的真假判断，考查了推理能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义，是基础题．
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可．
【解答】
解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的袋内任取3个球，
在A中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A错误，
在B中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B正确，
在C中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故C错误，
在D中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故D错误．
故选：B．

6.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=3x+sin2x，
∴f′(x)=3xln3+2cs2x，
故选：A．
直接利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式求解．
本题考查了导数的运算法则，考查了基本初等函数的导数公式，考查了简单的复合函数的导数，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：如下图所示，设圆心为O，延长BD交圆O于E、F两点，取线段EF的中点G，
连接OE、OF、OG，
以点A为坐标原点，AB、AO所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系xAy，

因为BC⊥CD，BC=120−90=30=CD，
则△BCD为等腰直角三角形，所以，∠CBD=π4，则直线BD的倾斜角为3π4，
易知点B(120,0)、O(0,60)，直线BD的方程为y=−(x−120)，
即x+y−120=0，|OG|=|60−120| 2=30 2，
所以sin∠OFG=|OG||OF|=30 260= 22，则∠OFG=π4，
所以∠EOF=π−2∠OFG=π2，
因此游客乘坐座舱旋转一周，则能看到标志点B的概率为P=π22π=14．
故选：A．
设圆心为O，延长BD交圆O于E、F两点，取线段EF的中点G，连接OE、OF、OG，以点A为坐标原点，AB、AO所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xAy，求出∠EOF，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率．
本题主要考查了直线的一般方程，考查了几何概型的概率公式，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：第一次，N=7，7除以3的余数是1，不满足条件．，N=8，8除以3的余数是2满足条件．，
8除以5的余数是3满足条件．
输出N=8，
故选：B．
根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可．
本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查函数图象的识别，掌握函数的奇偶性与函数值的特点是关键，属于中档题．
先判断函数的奇偶性，再利用f(π)的符号确定选项．
【解答】
解：y=f(x)=xcsx+sinx，
则f(−x)=−xcsx−sinx=−f(x)，
∴f(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，
当x=π时，y=f(π)=πcsπ+sinπ=−π<0，故排除B．
故选：A．

10.【答案】C
【解析】解：f(x)=12x2−alnx+x，可得f′(x)=x−ax+1=x2+x−ax，
若f(x)在[1,+∞)递增，
则x2+x−a≥0在x∈[1,+∞)恒成立，
即a≤x2+x在x∈[1,+∞)恒成立，
令g(x)=x2+x=(x+12)2−14，函数的对称轴为x=−12，当x≥1时，函数是增函数，所以g(x)≥2，
故a≤2，
故选：C．
求出函数的导数，问题转化为a≤x2+x在x∈[1,+∞)恒成立，利用二次函数的性质，求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
11.【答案】D
【解析】解：抛物线y2=16x的焦点F，则F(4,0)，
当直线l的斜率不存在时，直线l为x=4，
由y2=16xx=4，可得M(4,8)，N(4,−8)，
∴|MF|=|NF|=8，
∴|NF|9−4|MF|=718；
当直线l的斜率存在时，设过点F作直线l的方程为y=k(x−4)，不妨设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由y2=16xy=k(x−4)，消y可得k2x−(16+8k2)x+16k2=0，
∴x1+x2=8+16k2，x1x2=16，
∴|MF|=x1+p2=x1+4，|NF|=x2+p2=x2+4，
∴1|MF|+1|NF|=x1+x2+84(x1+x2)+x1x2+16=16+16k232+64k2+16+16=14．
∴|NF|9−4|MF|=|NF|9+4|NF|−1≥2 |NF|9⋅4|NF|−1=13．
当且仅当|NF|=6时取“=”．
故的最小值为13．
故选：D．
当直线l的斜率不存在时，求出答案，当直线l的斜率存在时，根据韦达定理和抛物线的定义即可求出 1|MF|+1|NF|=14，代入|NF|9−4|MF|的，根据基本不等式即可求最小值．
本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的定义，基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，是中档题．
12.【答案】D
【解析】解：因为函数f(x)=x⋅e−x，
则f′(x)=e−x(1−x)<0，
故f(x)在区间[1,2]上是单调减函数，
∴f(x)∈[2e2,1e]，
又g(x)=12x2−lnx+a，
则g′(x)=x−1x=x2−1x>0，
故g(x)在区间[1,2]上是单调增函数，
所以g(x)∈[12+a,2−ln2+a]．
因为∃x1，x2∈[1,2]使得f(x1)=g(x2)，
∴{y|y=f(x)}∩{y|y=g(x)}≠⌀，
当{y|y=f(x)}∩{y|y=g(x)}=⌀时，可得2−ln2+a<2e2或1e<12+a，
∴a<2e2+ln2−2或a>1e−12，
故当{y|y=f(x)}∩{y|y=g(x)}≠⌀时，可得a∈[2e2+ln2−2,1e−12]．
故选：D．
利用导数求出函数f(x)与g(x)的单调性，得到f(x)与g(x)在[1,2]上的值域，从而将问题转化为{y|y=f(x)}∩{y|y=g(x)}≠⌀，求解{y|y=f(x)}∩{y|y=g(x)}=⌀时a满足的条件，取其补集即可得到答案．
本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数单调性、利用导数研究函数的最值问题，属于中档题．
13.【答案】若x，y不都是实数，则x²+y²<0
【解析】解：“x，y都是实数”的否定为“x，y不都是实数”，“x2+y2≥0”的否定为“x2+y2<0”．
故答案为：若x，y不都是实数，则x2+y2<0．
”若p，则q”的否命题为“若￢p，则￢q”，所以否命题为”若x，y不都是实数，则x2+y2<0”．
本题考查“若p，则q”形式的否命题，属于基础题．
14.【答案】(−∞,6)
【解析】解：f′(x)=3x2−(a+6)x+2a=(x−2)(3x−a)，
当a3=2，即a=6，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，不成立，
当a3>2时，即a>6，此时x<2或x>a3时，f′(x)>0，
当2所以函数的单调递增区间是(−∞,2)和(a3,+∞)，单调递减区间是(2,a3)，
所以x=2是极大值点，不满足条件，
当a3<2时，即a<6，此时x2时，f′(x)>0，
当a3所以函数的单调递增区间是(−∞,a3)和(2,+∞)，单调递减区间是(a3,2)，
所以x=2是极小值点，满足条件，
综上可知：a<6，即实数a的取值范围是(−∞,6)．
故答案为：(−∞,6)．
首先求函数的导数，再讨论零点的大小关系，即可判断极小值点，并求得实数a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】8
【解析】解：设当莲藕种植量为x万千克时，销售利润为g(x)万元，
则g(x)=−16x3+ax2+x−2−x=−16x3+ax2−2(0∵g(3)=−16×33+a×32−2=232，
∴a=2，即g(x)=−16x3+2x2−2，则g′(x)=−12x2+4x=−12x(x−8)，
当x∈(0,8)时，g′(x)>0，当x∈(8,10)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(0,8)上单调递增，在(8,10)上单调递减，
故当x=8时，g(x)取得最大值，
故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克．
故答案为：8．
由已知求参数a，再利用导数研究函数的单调性，进而确定销售利润最大时每年需种植莲藕量．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数的实际运用，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】(0,1)
【解析】解：令F(x)=f(x)x，(x>0)，
则F′(x)=xf′(x)−f(x)x2，
∵f(x)>xf′(x)，∴F′(x)<0，
∴F(x)为定义域上的减函数，
由不等式x2f(1x)−f(x)<0，
得：f(1x)1x∴1x>x，∴0故答案为：(0,1)．
令辅助函数F(x)=f(x)x，求其导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出F(x)的单调性，利用单调性判断出，由不等式的关系，利用不等式的性质得到结论．
本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究函数单调性，函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减．此题为中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=3x3−9x+5的导数为f′(x)=9x2−9，
令9x2−9<0⇒−1(Ⅱ)当x变化时，y′与y的变化情况如下：
∴f(−1)=11，而f(1)=−1，f(−3)=5，f(3)=59，
∴ymin=f(1)=−1.ymax=f(3)=59．
【解析】(Ⅰ)求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求函数f(x)的单调递减区间；
(Ⅱ)根据函数的导数判断函数的单调性求解函数的极值以及端点值，即可求函数f(x)在[−3,3]上的最大值与最小值．
本题主要考查函数的单调性和最值的求解，导数的应用是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x2−1ex，f(0)=−1，f′(x)=2x−(x2−1)ex，
∴k=f′(0)=1，
所以切线方程为：y+1=1×(x−0)，即x−y−1=0．
(2)f(x)≤x−1恒成立，即a≥x2−(x−1)ex在x∈[1,+∞)上恒成立，
设g(x)=x2−(x−1)ex，g′(x)=x(2−ex)，
令g′(x)=0，得x1=0，x2=ln2，
在[1,+∞)上，g′(x)<0，
所以函数g(x)=x2−(x−1)ex在[1,+∞)上单调递减，
所以g(x)max=g(1)=1，
∴a≥g(x)max，即a的取值范围为[1,+∞)．
【解析】(1)利用导数的几何意义以及直线方程的点斜式即可求解．
(2)分离参数a，转化成不等式恒成立问题，利用导数求最值即可．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)列联表如下：
K2的观测值k=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(52×12−8×28)260×40×80×20≈4.167<6.635，
所以没有99%的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”．
(2)设这5名“手机自我管理不到位”的人中，2名男生记为A0，A1，3名女生记为B0，B1，B2，其中喜欢运动的为A0，B0，
则从这5名“手机自我管理不到位”的人中随机抽取3人的所有结果组成的基本事件为：
A0A1B0，A0A1B1，A0A1B2，A0B0B1，A0B0B2，A0B1B2，A1B0B1，A1B0B2，A1B1B2，B0B1B2，
以上共计10个基本事件，且这些基本事件的出现是等可能的，
其中这3个人中男女生均有，并且3个人中有人喜欢体育运动的基本事件为：
A0A1B0，A0A1B1，A0A1B2，A0B0B1，A0B0B2，A0B1B2，A1B0B1，A1B0B2，共计8个事件，
故所求事件的概率P=810=45．
【解析】(1)根据题中已知数据统计出表格中的数据，题中有卡方独立性检验的计算公式，根据2×2列联表的数据计算出卡方数值，与K2独立性检验临界值表进行比较得出结论．
(2)列出满足要求的所有可能的基本事件，找出满足要求的事件，根据概率计算公式得出结果．
本题主要考查独立性检验，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)
【解法一】：在图1中，由题意知，AC=BC=2 2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC
取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，
且平面ADC∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，从而OD⊥平面ABC，
∴OD⊥BC
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD
【解法二】：在图1中，由题意，得AC=BC=2 2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC⊂面ABC，∴BC⊥平面ACD
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC为三棱锥B−ACD的高，且BC=2 2，S△ACD=12×2×2=2，
所以三棱锥B−ACD的体积为：VB−ACD=13Sh=13×2×2 2=4 23，
由等积性知几何体D−ABC的体积为：4 23．
【解析】(Ⅰ)解法一：由题中数量关系和勾股定理，得出AC⊥BC，再证BC垂直与平面ACD中的一条直线即可，△ADC是等腰Rt△，底边上的中线OD垂直底边，由面面垂直的性质得OD⊥平面ABC，所以OD⊥BC，从而证得BC⊥平面ACD；
解法二：证得AC⊥BC后，由面面垂直，得线面垂直，即证．
(Ⅱ)，由高和底面积，求得三棱锥B−ACD的体积即是几何体D−ABC的体积．
本题通过平面图形折叠后得立体图形，考查空间中的垂直关系，重点是“线线垂直，线面垂直，面面垂直”的转化；等积法求体积，也是常用的数学方法．
21.【答案】解：(Ⅰ)由题意，c=1，2a=2 2，a= 2，
∴b2=a2−c2=1．
∴椭圆C的方程为x22+y2=1；
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m，点A(x1,y1)，B(x2,y2).
立方程组x22+y2=1y=x+m，化简得3x2+4mx+2m2−2=0．
由已知得，Δ=16m2−12(2m2−2)=−8m2+24>0，
即− 3且x1+x2=−4m3，x1x2=2m2−23，
∴|AB|= 1+k2|x1−x2|= 2⋅ (x1+x2)2−4x1x2
= 2⋅ −8m2+249=4 23．
解得m=±1，符合题意．
∴直线l的方程为y=x+1或y=x−1．
【解析】(Ⅰ)由已知可得a与c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式列式求解m值，则答案可求．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=x−ln2x+2alnx−1，
∴g(x)=xf′(x)=x(1−2xlnx−2ax)=x−2lnx−2a，(x>0,a≥0)，
∴g′(x)=1−2x=x−2x，x>0，
∴当x∈(0,2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(2,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
∴g(x)的最小值为g(2)=2(1−ln2)+2a，
∵ln2<1，∴1−ln2>0，又a≥0，
∴g(2)=2(1−ln2)+2a>0；
(Ⅱ)证明：∵f(x)=x−ln2x+2alnx−1，x>0，
∴f′(x)=1−2lnxx−2ax=x−2lnx−2ax，x>0，
由(Ⅰ)知g(x)=x−2lnx−2a≥g(2)>0，又x>0，
∴f′(x)>0，
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数；
(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知f(x)在(1,+∞)上单调递增，
∴f(x)=x−ln2x+2alnx−1>f(1)=0，
∴x>ln2x−2alnx+1，
故当x>1时，恒有x>ln2x−2alnx+1．
【解析】(Ⅰ)先化简g(x)，再根据导数的符号即可得原函数的单调性，从而得g(x)的最小值，再根据对数的运算及a的范围，即可比较g(x)的最小值与零的大小；
(Ⅱ)先求导，再根据(Ⅰ)的结论及定义域，可得导函数的符号，从而可得原函数的单调性；
(Ⅲ)根据(Ⅱ)知f(x)在(1,+∞)上单调递增，从而可得f(x)=x−ln2x+2alnx−1>f(1)=0，从而得证．
本题考查利用导数求函数的最值，利用导数证明函数的单调性，利用函数的函数值的范围证明不等式，属中档题．
玩手机时间
[0,15)
[15,30)
[30,45)
[45,60)
[60,75)
[75,90)
[90,+∞)
人数
1
12
28
24
15
13
7
手机自我管理到位
手机自我管理不到位
合计
男生
女生
12
40
合计
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
x
[−3,−1)
−1
(−1,1)
1
( 1,3]
y′
+
0
−
0
+
y
↗
极大值
↘
极小值
↗
手机自我管理到位
手机自我管理不到位
合计
男生
52
8
60
女生
28
12
40
合计
80
20
100