2022-2023学年天津市经开一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年天津市经开一中高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为( )
A. x220−y24=1B. x24−y212=1C. x216−y248=1D. x264−y216=1
2. 已知( x−1x)n展开式的二项式系数和为64，则该展开式中常数项为( )
A. 15B. 20C. −15D. −20
3. 等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a3=4，a2a6=64，则S5=( )
A. 32B. 31C. 64D. 63
4. 函数y=(3−x2)ex的单调递增区间是( )
A. (−∞,0)B. (0,+∞)
C. (−∞,−3)和(1,+∞)D. (−3,1)
5. 已知离散型随机变量X服从二项分布X～B(n,p)，且E(X)=4，D(X)=2，则n=( )
A. 16B. 8C. 4D. 2
6. 已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过2次测试恰好将2个次品全部找出的概率( )
A. 115B. 215C. 415D. 1415
7. 甲、乙、丙三人报考A，B，C三所大学，每人限报一所，设事件A为“三人报考的大学均不相同“，事件B为“甲报考的大学与其他两人均不相同”，则概率P(A|B)=( )
A. 29B. 49C. 14D. 12
8. 有10台不同的电视机，其中甲型3台，乙型3台，丙型4台．现从中任意取出3台，若其中至少含有两种不同的型号，则不同的取法共有( )
A. 96种B. 108种C. 114种D. 118种
9. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有( )
A. 72种B. 54种C. 36种D. 27种
10. 函数f(x)=lnx+12x2−ax(x>0)在区间[12,3]上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是( )
A. (52,3]B. [52,103)C. (52,103]D. [2,103]
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 已知随机变量X的分布列为
则E(3X+2)= ______ ．
12. 已知随机变量X服从正态分布N(6,σ2)(σ>0)，若P(x>3)=0.8，则P(313. 若，则______．
14. 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.该射手任取一支枪射击，中靶的概率是______．
15. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，直线x=a2与椭圆C交于M，N两点，若AM⋅AN=0，则椭圆C的离心率为 ．
16. 已知数列{an}中，a1=1，an>0，前n项和为Sn.若an= Sn+ Sn−1(n∈N*,n≥2)，则数列{1anan+1}的前15项和为______．
三、解答题（本大题共4小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为35，每位选手每次编程都互不影响．
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．
18. (本小题10.0分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=7，S6=48，数列{bn}满足2bn+1=bn+2，b1=3．
(1)证明：数列{bn−2}是等比数列，并求数列{an}与数列{bn}通项公式；
(2)若cn=an(bn−2)，求数列{cn}的前n项和Tn．
19. (本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 55，短半轴的长为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左焦点为F，上顶点为A，与直线FA平行的直线l与椭圆C相切，切点为M，且切点M在第二象限．
(ⅰ)求直线l的方程；
(ⅱ)求三角形AFM的面积．
20. (本小题12.0分)
已知f(x)=xlnx，g(x)=x3+ax2−x+2．
(1)若a=1，求函数y=g(x)的图象在x=0处的切线方程；
(2)讨论函数y=f(x)在(0,m)(m>0)上的单调性；
(3)对一切实数x∈(0,+∞)，不等式2f(x)≤g′(x)+2恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1，
因为双曲线的焦距为8，则2c=8，所以c=4，
又双曲线的离心率为ca=2，所以a=2，则b2=c2−a2=16−4=12，
所以双曲线的标准方程为x24−y212=1，
故选：B．
先设出双曲线的标准方程，然后根据双曲线的焦距和离心率以及a，b，c的关系式即可求解．
本题考查了双曲线的方程和几何性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
根据二项式系数和公式即可求出n的值，再求出二项式的展开式的通项公式，令x的指数为0，由此即可求解．
【解答】
解：由题意可得2n=64，解得n=6，
所以二项式( x−1x)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r( x)6−r(−1x)r=C6r(−1)rx3−3r2，r=0，1，...，6，
令3−3r2=0，解得r=2，所以展开式的常数项为C62⋅(−1)2=15，
故选A．

3.【答案】B
【解析】解法一：设首项为a1，公比为q，因为an>0，所以q>0，
由条件得a1⋅q2=4a1q⋅a1q5=64，解得a1=1q=2，
所以S5=31，
故选：B．
解法二：设首项为a1，公比为q，由a2a6=a42=64，又a3=4，
∴q=2，
又因为，所以a1=1，所以S5=31，
故选：B．
解法一：设首项为a1，公比为q，因为an>0，所以q>0，由条件得a1⋅q2=4a1q⋅a1q5=64，解出即可得出．
解法二：设首项为a1，公比为q，由a2a6=a42=64，又a3=4，可得q=2，再利用通项公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：求导函数得：y′=(−x2−2x+3)ex
令y′=(−x2−2x+3)ex>0，可得x2+2x−3<0
∴−3∴函数y=(3−x2)ex的单调递增区间是(−3,1)
故选D．
求导函数，令其大于0，解不等式，即可得到函数的单调递增区间．
本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，解题的关键是求导函数，令其大于0．
5.【答案】B
【解析】解：因为离散型随机变量X服从二项分布X～B(n,p)，且E(X)=4，D(X)=2，
则E(X)=np=4D(X)=np(1−p)=2，解得n=8p=12．
故选：B．
利用二项分布的期望和方差公式可得出关于n、p的方程组，即可解得n的值．
本题主要考查二项分布的期望和方差公式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：2个次品编号为1，2，4个合格品编号为a，b，c，d，不考虑前后顺序时两次测试的可能情形是：12，1a，1b，1c，1d，2a，2b，2c，2d，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15种，考虑前后顺序时两次测试的可能情形有30种，其中12，21这两种情形表示经过2次测试恰好将2个次品全部找出，
因此概率为P=230=115．
故选：A．
把6个产品编号，用列举法写出两次测试的所有可能，计数后由概率公式计算可得．
本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：每人报考大学有3种选择，故总的报考方法共有33=27种，
三人所报考的大学均不相同的报考方法有A33=6种，
甲报考的大学与其他两人均不相同的报考方法有C31C21C21=12种，
∴P(A|B)=P(AB)P(B)=6271227=12．
故选：D．
直接利用条件概率求解．
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，从10台不同的电视机中任意取出3台，有C103=120种取法，
其中只有甲型的取法有C33=1种，只有乙型的取法有C33=1种，只有丙型的取法有C43=4种，
则其中至少含有两种不同的型号的取法有120−1−1−4=114种，
故选：C．
根据题意，用间接法分析：先计算“从10台不同的电视机中任意取出3台”的取法，排除其中只有1种型号的取法，即可得答案．
本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有A33=6种情况，
此时有3×6=18种名次排列情况；
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有A32=6种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有A33=6种情况，
此时有6×6=36种名次排列情况；
则一共有36+18=54种不同的名次排列情况，
故选：B．
10.【答案】C
【解析】解：f′(x)=1x+x−a，依题意，y=f′(x)在区间[12,3]上有且仅有一个变号零点，
令f′(x)=0，则a=x+1x，令g(x)=x+1x,x∈(0,+∞)，
由双勾函数的性质可知，函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴g(x)min=g(1)=2，
又g(12)=g(2)=52,g(3)=103，
结合g(x)=x+1x在(0,+∞)上的图象可得，52故选：C．
依题意，y=f′(x)在区间[12,3]上有且仅有一个变号零点，令g(x)=x+1x,x∈(0,+∞)，由双勾函数的图象及性质即可求得实数a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】10.4
【解析】解：，
．
故答案为：10.4．
先根据期望的公式求出E(X)，再根据期望的性质即可计算E(3X+2)．
本题考查离散型随机变量的期望的求解，期望的性质的应用，属基础题．
12.【答案】0.6
【解析】解：因为X～N(6,σ2)，所以P(x≤6)=0.5，
又P(x>3)=0.8，所以P(3所以P(3故答案为：0.6．
由题意知，P(x≤6)=0.5，再根据正态分布曲线的对称性，由P(3本题考查正态分布曲线的性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
13.【答案】−1
【解析】解：令x+1=1，则x=0，所以，
故答案为：−1．
令x+1=1，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】0.7
【解析】解：设A表示枪已校正，B表示射击中靶，则P(A)=35，P(A−)=25，P(B/A)=0.9，P(B/A−)=0.4，
则P(B)=35×0.9+25×0.4=0.7．
故答案为：0.7．
设A表示枪已校正，B表示射击中靶，则P(A)=35，P(A−)=25，P(B/A)=0.9，P(B/A−)=0.4，然后根据全概率公式可解决此题．
本题考查全概率应用，考查数学运算能力，属于基础题．
15.【答案】 63
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，属于中档题．
求出右顶点坐标，然后推出M的纵坐标，利用已知条件列出方程，求解椭圆的离心率即可．
【解答】
解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，直线x=a2与椭圆C交于M，N两点，若AM⋅AN=0，则AM⊥AN，
可知A(a,0)，不妨设M在第一象限，所以M的纵坐标为：b 1−(12a)2a2= 32b，
可得： 32b=12a，即3b2=a2，可得3a2−3c2=a2，2a2=3c2，
所以e=ca= c2a2= 63．
故答案为 63．

16.【答案】1531
【解析】解：数列{an}中，a1=1，an>0，前n项和为Sn.若an= Sn+ Sn−1(n∈N*,n≥2)，则Sn−Sn−1= Sn+ Sn−1，
整理得 Sn− Sn−1=1，所以数列{ Sn}是以1为首项，1位公差的等差数列，
则 Sn=1+(n−1)=n，所以an=Sn−Sn−1=2n−1．
所以1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．
所以T15=12(1−13+13−15+…+129−131)=1531．
故答案为：1531．
首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
本题考察的知识点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
17.【答案】解：(1)记乙闯关成功为事件A，
所以P(A)=C32(35)2⋅25+(35)3=81125．
(2)由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C43C103=130，
P(X=1)=C61⋅C42C103=310，
P(X=2)=C62C41C103=12，
P(X=3)=C63C103=16，
故X的分布列为
所以E(X)=0×130+1×310+2×12+3×16=95，
甲闯关成功的概率为12+16=23，
因为81125<23，
所以甲比乙闯关成功的可能性大．
【解析】(1)可分析出“乙闯关”属于独立重复实验，直接求概率；
(2)直接求出甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，再求出甲闯关成功的概率，比较甲、乙闯关成功的概率，即可下结论．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望以及期望在决策中的应用，属于中档题．
18.【答案】证明：(1)数列{bn}满足2bn+1=bn+2，b1=3，
整理得：bn+1−2bn−2=12(bn−2)bn−2=12(常数)，又b1−2=1，
所以数列{bn−2}是以1为首项，12为公比的等比数列．
所以：bn−2=(12)n−1，
整理得bn=(12)n−1+2．
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
因为a3=7，S6=48，
所以a1+2d=7 6a1+6×52d=48 ，解得a1=3，d=2．
故an=3+2(n−1)=2n+1．
(2)由(1)得：cn=an(bn−2)=(2n+1)⋅(12)n−1，
所以Tn=3×120+5×12+…+(2n+1)⋅12n−1①，
12Tn=3×121+5×122+…+(2n+1)⋅12n②，
①−②得：12Tn=3+2[(12)1+(12)2+…+(12)n−1]−(2n+1)⋅(12)n，
=3+2×12×(1−12n−1)1−12−(2n+1)⋅12n，
整理得Tn=10−(2n+5)⋅12n−1．
【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
(1)直接利用关系式的变换和等比数列的定义的应用求出结果．
(2)利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．
19.【答案】解：(1)∵a2=b2+c2且b=2，
∴a2=4+c2
又ca= 55，以上二式联立，解得a= 5,c=1，
∴椭圆C的方程x25+y24=1；
(2)(ⅰ)由 (1)得，点F，A的坐标分别为(−1,0)，(0,2)，
则直线FA的斜率为0−2−1−0=2，
∵直线FA与直线l平行，
∴直线l的斜率为2，设直线l的方程为y=2x+m，
与x25+y24=1联立消去y，得，
∵直线l与椭圆C相切，
，解得m=±2 6，
因为与直线FA平行的直线l与椭圆C相切的切点M在第二象限，
所以m=2 6，
所以直线的方程为y=2x+2 6．
(ⅱ)由(ⅰ)可知，当m=2 6时，方程为，即，
解得，此时y= 63，即，
而直线FA的方程为y=2x+2，即2x−y+2=0，
所以点M到直线FA的距离，
又，
所以三角形AFM的面积．
【解析】(1)根据题意建立a，b，c的方程，求解即可；
(2)先求FA的斜率，根据平行可得切线斜率，设其方程，利用Δ=0即可求解切线方程，求出切点坐标，根据点线距离求得高，两点距离求得|FA|，从而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了椭圆性质在椭圆方程求解中的应用，还考查了直线与椭圆位置关系的应用，属于中档题．
20.【答案】(1)解：当a=1时，g(x)=x3+x2−x+2，则g′(x)=3x2+2x−1，所以，g(0)=2，g′(0)=−1，
此时，函数y=g(x)的图象在x=0处的切线方程为y−2=−x，即x+y−2=0．
(2)解：因为f(x)=xlnx，则f′(x)=lnx+1，令f′(x)=0可得x=1e．
①当0②当m>1e时，由f′(x)<0可得00可得1e此时函数f(x)的减区间为(0,1e)，增区间为(1e,m)．
综上所述，当0当m>1e时，函数f(x)的减区间为(0,1e)，增区间为(1e,m)．
(3)解：对一切实数x∈(0,+∞)，不等式2f(x)≤g′(x)+2恒成立，即2xlnx≤3x2+2ax+1，
可得，即，
令h(x)=2lnx−3x−1x，其中x>0，
则，
当00，此时函数h(x)单调递增，
当x>1时，h′(x)<0，此时函数h(x)单调递减，
所以，，则，解得a≥−2．
【解析】(1)当a=1时，求出g(0)、g′(0)的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；
(2)由f′(x)=0可得x=1e，分01e两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数f(x)的增区间和减区间；
(3)由参变量分离法可得，令h(x)=2lnx−3x−1x，其中x>0，利用导数求出函数h(x)的最大值，即可得出实数a的取值范围．
本题主要考查了导数的几何意义，还考查了导数与单调性关系的应用及由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
X
0
1
2
3
P
130
310
12
16