2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高二（下）期中数学试卷（含解析）

展开

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高二（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|x>0}，B={x|−1A. {x|x<2}B. {x|0C. {x|12. 过点A(2,3)且与直线l：2x−4y+7=0平行的直线方程是( )
A. x−2y+4=0B. 2x+y−7=0C. 2x−y−1=0D. x+2y−8=0
3. 在等差数列{an}中，若，则sin(a4+a6)=( )
A. 12B. 1C. 0D. 32
4. 若平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0)，|b|=1，则|a+2b|等于( )
A. 3B. 2 3C. 4D. 12
5. 已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列条件可以推出α⊥β的是( )
A. m⊥l，m⊂β，l⊥αB. m⊥l，α∩β=l，m⊂α
C. l⊥α，m//l，m//βD. ，m⊥α，l⊥β
6. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x，则f(x)在R上的表达式是( )
A. y=x(x−2)B. y=|x|(x−1)C. y=|x|(x−2)D. y=x(|x|−2)
7. 设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，则有Sk，S2k−Sk，成等差数列.类比上述性质，若公比不为1的等比数列{bn}的前n项积为Tn，则有( )
A. Tk，T2k+Tk，T3k+T2k，…，(k∈N*)成等比数列
B. Tk，，，…，(k∈N*)成等比数列
C. Tk，，，…，(k∈N*)成等比数列
D. Tk，T2k−Tk，T3k−T2k，…，(k∈N*)成等比数列
8. 已知函数，对∀x1，x2∈[12,2]，当x1>x2时，恒有f(x1)x2>f(x2)x1，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,e]B. (−∞,e22]C. [e,+∞)D. [e22,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数f(x)=xa的图象经过点(13,3)，则( )
A. f(x)的图象经过点(3,9)B. f(x)的图象关于y轴对称
C. f(x)在(0,+∞)上单调递减D. f(x)在(0,+∞)内的值域为(0,+∞)
10. 在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，乙盒中有3个小球，标号分别为5，6，7.现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件A=“取到标号为2的小球”，事件B=取到标号为6的小球”，事件C=“两个小球标号都是奇数”，事件D=“两个小球标号之和大于9”，则( )
A. 事件A与事件B相互独立B. 事件C与事件D互斥
C. P(C)=13D.
11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，⋯，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列{an}，则( )
A. a4=9B. an+1−an=n+1
C. a10=54D. i=1n1ai=2nn+1
12. 已知函数f(x)=x(x−3)2，若f(a)=f(b)=f(c)，其中a>b>c，则( )
A. 12
C. a+b+c=6D. abc的取值范围为(0,4)
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知i为虚数单位，复数z=2−i，则|z|= ______ ．
14. 若直线l：x−2y+m=0与圆C：x2+y2−2y−4=0相切，则实数m= ．
15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB=2sinA，3c=4a+b，则csB= ______ ．
16. 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆C上一点，且直线PF1与x轴垂直，直线PF2的斜率为−34，则椭圆C的离心率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
为了加强对数学文化的学习，某校高二年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(满分100分)，并对整个高二年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩(单位：分)，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假设每名学生的成绩均不低于50分)．
(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数；
(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取2人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在[80,100]的学生恰有2人被抽到的概率．
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+ 3cs2x．
(1)求函数f(x)的最小正周期及其单调递增区间；
(2)当x∈[−π6,π6]时，a−f(x)≤0恒成立，求a的最大值．
19. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，且AB=1，CD=2，BC=2 2，PA=1，AB⊥BC，N为PD的中点．
(1)求证：AN//平面PBC；
(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
20. (本小题12.0分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6=2，S5=5，数列{bn}满足，n∈N*．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：13≤Tn<34．
21. (本小题12.0分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 3，且过( 3,2)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线y=kx+m与双曲线C交于PQ两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为−23，证明：直线PQ恒过定点，并求出该定点的坐标．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x2+ax+lnx，a∈R．
(1)若a=1，求函数在(1,2)处的切线方程；
(2)若存在实数x1，x2，使，且，求f(x1)−f(x2)的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
根据交集的定义直接写出A∩B即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
【解答】
解：∵A={x|x>0}，B={x|−1∴A∩B={x|0故选：B．

2.【答案】A
【解析】解：设过点A(2,3)且与直线l：2x−4y+7=0平行的直线方程是2x−4y+C=0(C≠7)，
将点A的坐标代入直线的方程2x−4y+C=0得2×2−4×3+C=0，解得C=8，
故所求直线方程为2x−4y+8=0，即x−2y+4=0．
故选：A．
设所求直线方程为2x−4y+C=0，将点A的坐标代入所求直线方程，求出C的值，即可得解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，在等差数列{an}中，若，则有a5=π6，
则．
故选：D．
根据题意，由等差数列的性质可得a5=π6，进而可得，计算可得答案．
本题考查等差数列的性质以及应用，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0)，|b|=1，
所以|a|=2，a⋅b=|a|⋅|b|csθ=2×1×cs60°=1，
所以|a+2b|= (a+2b)2= a2+4a⋅b+4b2= 4+4×1+4=2 3．
故选：B．
先求向量的数量积，然后利用向量的模的求解方法求解即可．
本题主要考查向量数量积运算，向量模的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，m⊥l，m⊂β，l⊥α，则α与β相交或平行，不符合题意；
对于B，m⊥l，α∩β=l，m⊂α，则α与β有可能相交但不垂直，不符合题意；
对于C，l⊥α，m//l，则m⊥α，又由m//β，必有α⊥β，符合题意；
对于D，m//l，m⊥α，l⊥β，则α//β，不符合题意．
故选：C．
根据题意，由平面与平面垂直的判定定理，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查平面与平面垂直的判断，涉及直线与平面的位置关系，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：设x≤0，则−x≥0，∵当x≥0时，f(x)=x2−2x，
∴f(−x)=(−x)2−2(−x)=x2+2x=−f(x)，∴f(x)=−x2−2x．
即当x≤0时，f(x)=−x2−2x．
综上可得，f(x)=x(|x|−2)，
故选：D．
根据题意求得当x≤0时，f(x)的解析式，综合可得f(x)在R上的表达式．
本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，可类比为公比不为1的等比数列{bn}的前n项的积Tk，
然后从运算的角度考虑，应该是等差数列前n项的和满足：
Sk,S2k−Sk,S3k−S2k,⋯,(k∈N*)成等差数列，
类比为：等比数列前n项的积Tn满足：
Tk,T2kTk,T3kT2k,⋯,(k∈N*)成等比数列．
故选：B．
利用类比推理的方法，结合等差类比等比、和类比积、差类比商等，进行判断即可．
本题考查类比推理的基本思想，以及等差、等比数列的性质等，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：对∀x1，x2∈[12,2]，当x1>x2时，恒有f(x1)x2>f(x2)x1，即x1f(x1)>x2f(x2)恒成立．
令，x∈[12,2]，则，x∈[12,2]，
则ex−ax≥0在x∈[12,2]上恒成立，可得a≤exx在[12,2]上恒成立，
令h(x)=exx，则h′(x)=xex−exx2=ex(x−1)x2．
当x∈(12,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1,2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
∴h(x)min=h(1)=e．
∴实数a的取值范围为(−∞,e]．
故选：A．
构造函数g(x)=xf(x)，问题转化为g′(x)≥0在[12,2]上恒成立，即a≤exx在[12,2]上恒成立，令h(x)=exx，利用导数求最值，即可求得实数a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：∵函数f(x)=xa的图象经过点(13,3)，∴(13)α=3，∴α=−1，
∴f(x)=x−1=1x，
显然，当x=3时，f(x)=13，故A错误；
显然，f(x)不是偶函数，故它的图象不关于y轴对称，故B错误．
在(0,+∞)上，f(x)=1x 是减函数，故C正确；
在(0,+∞)内，f(x)=1x∈(0,+∞)，故D正确，
故选：CD．
由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出函数的解析式，可得结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：从甲盒、乙盒中分别随机抽取一个小球的样本空间为：
{1,5}，{1,6}，{1,7}，{2,5}，{2,6}，{2,7}，{3,5}，{3,6}，{3,7}，{4,5}，{4,6}，{4,7}，共12种，
事件A包含的基本事件有：{2,5}，{2,6}，{2,7}，P(A)=312=14，
事件B包含的基本事件有：{1,6}，{2,6}，{3,6}，{4,6}，P(B)=412=13，
事件AB包含的基本事件有：{2,6}，P(AB)=112，
∴P(AB)=P(A)P(B)，事件A与事件B相互独立，故A正确；
事件C和事件D都有{3,7}，∴事件C和事件D不是互斥事件，故B错误；
事件C包含的基本事件有：{1,5}，{1,7}，{3,5}，{3,7}，，故C正确；
事件D包含的基本事件有：{3,7}，{4,6}，{4,7}，，
，
，故D正确．
故选：ACD．
列举出样本空间，根据题意和古典概型求出对应事件的概率即可．
本题考查互斥事件、相互独立事件、概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A，∵a3=6，∴a4=a3+4=10，故A错误；
对于B，∵an−an−1=n(n≥2)，∴an+1−an=n+1，故B正确；
对于C，∵a2−a1=2，a3−a2=3，...，an−an−1=n，且a1=1，
∴上述各式相加得，an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，
经检验：a1=1满足an=n(n+1)2，∴an=n(n+1)2，∴a10=55，故C错误；
对于D，由选项C可知1an=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，故D正确．
故选：BD．
根据题意，可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即an−an−1=n(n≥2)，即an=an−1+n(n≥2)，利用等差数列的性质能求出结果．
本题考查三角垛、等差数列的性质、简单的归纳推理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：因为f(x)=x(x−3)2，所以，
令f′(x)=0，解得x=1或x=3，
当f′(x)>0时，x>3或x<1，所以f(x)单调递增区间为(−∞,1)和(3,+∞)；
当f′(x)<0时，1f(a)=f(b)=f(c)=t，则0又f(x)−t=(x−a)(x−b)(x−c)，所以，
即，
对照系数得a+b+c=6，故选项C正确；
，故选项D正确；
因为3故选：BCD．
对f(x)求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再设f(a)=f(b)=f(c)=t，由图象可得知a，b，c的取值范围，从而可判断A；又根据f(x)−t=(x−a)(x−b)(x−c)，对照系数可得a+b+c的值，可得abc得取值范围，从而可判断C，D；结合A和C即可判断B．
本题考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题．
13.【答案】 5
【解析】解：复数z=2−i，
则|z|= 22+(−1)2= 5．
故答案为： 5．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
14.【答案】7或−3
【解析】解：由圆C：x2+y2−2y−4=0，得x2+(y−1)2=5，
∴圆心为(0,1)，半径为 5，
∵直线l：x−2y+m=0与圆C相切，
∴圆心(0,1)到直线x−2y+m=0的距离，
即|m−2|=5，
∴m=7或m=−3，
故答案为：7或−3．
由直线l：x−2y+m=0与圆x2+(y−1)2=5，相切，可得圆心(0,1)到直线x−2y+m=0的距离，可求．
本题主要考查了直线与圆的位置关系：相切关系的应用，解题的关键是利用圆心到直线的距离d=r，解答本题也可联立方程进行求解，属中档题．
15.【答案】14
【解析】解：由正弦定理边角关系得：，
又3c=4a+b，所以c=2a，
由余弦定理得．
故答案为：14．
根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
16.【答案】12
【解析】解：因为直线PF1与x轴垂直，将x=−c代入椭圆C的方程可得c2a2+y2b2=1，解得y=±b2a，
因为直线PF2的斜率为−34，易知点P(−c,b2a)，
因为点F2(c,0)，所以，
所以，即2c2+3ac−2a2=0，
等式2c2+3ac−2a2=0两边同时除以a2可得2e2+3e−2=0，
因为0故答案为：12．
求出点P的坐标，根据可得出关于a、c的齐次等式，可得出关于e的二次方程，根据e∈(0,1)可求得e的值．
本题主要考查椭圆的性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：，这50名学生的平均成绩为：55×0.1+65×0.3+75×0.3+85×0.2+95×0.1=74；
(2)后三组中的人数分别为15，10，5，
由分层抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为3，2，1，
所以成绩在[80,100]的学生恰有2人被抽到的概率为：．
【解析】(1)利用频率之和为1，列式求解x即可，利用平均数的计算公式求解即可；
(2)先利用分层抽样，求出后三组中所抽取的人数，然后由古典概型的概率公式求解即可．
本题考查了频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的应用，频率分布直方图中平均数的求解方法，掌握频率分布直方图中频率的求解方法，掌握频率、频数、样本容量之间的关系，考查了逻辑推理能力和计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)=sin2x+ 3cs2x=2sin(2x+π3)，
故函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，
由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2得kπ−5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],k∈Z；
，，
，
由a−f(x)≤0恒成立，得，即a≤0，
故a的最大值为0．
【解析】(1)根据三角形的恒等变换得到f(x)=2sin(2x+π3)，代入正弦函数的周期和单调区间公式即可求解；
(2)根据题意得到f(x)∈[0,2]，利用恒成立知识得到，即可求解．
本题考查了三角函数的恒等变换和恒成立问题，属于中档题．
19.【答案】证明：(1)取PC中点为M，连接NM，MB，如图所示，

因为M，N分别是PC，PD的中点，所以NM//12DC且NM=12DC，
又因为AB//12DC且AB=12DC，
所以NM//AB，NM=AB，所以四边形NMBA为平行四边形，
所以AN//BM，又因为AN⊄平面PBC，BM⊂平面PBC，
所以AN//平面PBC；
解：(2)取DC中点为E，以A为空间直角坐标系原点，AE为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，D(2 2,−1,0)，C(2 2,1,0)，
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，
因为BP=(0,−1,1)，BC=(2 2,0,0)，
所以BP⋅m=−y+z=0BC⋅m=2 2x=0，令y=1，解得x=0z=1，
即m=(0,1,1)，
又因为，
所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为|cs【解析】(1)根据线面平行的判定即可证明线面平行．
(2)取DC中点为E，以A为空间直角坐标系原点，AE为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量和PD的坐标，利用向量法即可求得直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求直线与平面的夹角，属于中档题．
20.【答案】(1)解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则，
整理，得，
解得，
，n∈N*，
对于数列{bn}：当n=1时，，
当n≥2时，由，
可得，
两式相减，可得，
∵当n=1时，b1=4也满足上式，
∴bn=2n+1，n∈N*．
(2)证明：由(1)可得，

=1n(n+2)
，
则
=12⋅(1−13)+12⋅(12−14)+12⋅(13−15)+12⋅(14−16)+⋅⋅⋅+12⋅(1n−1−1n+1)+12⋅(1n−1n+2)
=12⋅(1−13+12−14+13−15+14−16+⋅⋅⋅+1n−1−1n+1+1n−1n+2)
=12⋅(1+12−1n+1−1n+2)
=34−2n+32(n+1)(n+2)，
，
--
=2n+32(n+1)(n+2)−2n+52(n+2)(n+3)
，
∴数列{Tn}是单调递增数列，
∵当n=1时，，
当n→∞时，，
，
故不等式13≤Tn<34对任意n∈N*恒成立．
【解析】(1)先设等差数列{an}的公差为d，再根据题干已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{an}的通项公式，对于数列{bn}：先将n=1代入题干表达式计算出b1的值，当n≥2时，由，可得，两式相减进一步推导即可计算出数列{bn}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{cn}的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和Tn的表达式，然后将前n项和Tn的表达式构造成一个数列，运用作差法分析出数列{Tn}的单调性，再结合数列极限的知识与不等式的性质即可证明题干中不等式成立．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了方程思想，整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，构造法，数列极限，不等式的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意可得，
解得a2=1，b2=2，
所以双曲线C的方程为x2−y22=1．
(2)证明：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立，得(k2−2)x2+2kmx+m2+2=0，
Δ=8(m2−k2+2)>0，
，x1x2=m2+2k2−2，
所以

，
所以m=2k，
所以直线PQ的方程为y=k(x+2)，恒过定点(−2,0)．
【解析】(1)根据题意可得，解得a2，b2，即可得出答案．
(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立直线PQ与双曲线的方程，结合韦达定理得x1+x2，x1x2，再化简，得m=2k，即可得出答案．
本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
22.【答案】解：(1)若a=1，则，
，
所以f(x)在(1,2)处的切线斜率为f′(1)=4，
又f(1)=2，
所以函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y−2=4(x−1)，即y=4x−2．
(2)因为f(x)=x2+ax+lnx，
所以，
因为存在实数x1，x2，使，且，
所以存在实数x1，x2，使2x1+a+1x1+2x2+a+1x2=0，且，
即，
，
设，
记h(t)=−t2+12t+lnt，
，
所以h(t)在(1,3)上单调递减，
所以，即，
所以f(x1)−f(x2)取值范围是．
【解析】(1)若a=1，则，求导得f′(x)，由导数的几何意义可得f(x)在(1,2)处的切线斜率为f′(1)=4，又f(1)=2，由点斜式，即可得出答案．
(2)根据题意可得，由存在实数x1，x2，使，且，进而可得，，计算，设，记h(t)=−t2+12t+lnt，求出h(t)的值域，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．

2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高二（下）期中数学试卷（含解析）

更专业

更丰富

更便捷

真低价

欢迎来到教习网