2022-2023学年湖北省荆州市高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省荆州市高一（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知sin(α−π2)+2cs(α+5π)=2cs(α+π2)−sin(π−α)，则tanα=( )
A. 13B. 1C. −13D. −1
2. 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC的中点，若AB=a，AD=b，则BE=( )
A. −12a+bB. −12a−bC. 12a+bD. 12a−b
3. 计算sin40°( 3−tan10°)=( )
A. 1B. 2C. 3D. −3
4. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，下列说法不正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)=3sin(2x−π3)
C. f(x)关于直线x=kπ2+5π12(k∈Z)对称
D. 将f(x)的图像向左平移5π12个单位长度后得到的图象关于原点对称
5. 已知平面向量a，b满足|a|=|b|=2，(a+2b)⋅(a−b)=−2，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
6. 已知θ∈(3π4,π)，且csθ−sinθ=− 72，则2cs2θ−1cs(π4+θ)等于( )
A. − 22B. −12C. 12D. 22
7. 在三角形△ABC中，若点P满足AP=13AB+23AC，AQ=34AB+14AC，则△APQ与△ABC的面积之比为( )
A. 1：3B. 5：12C. 3：4D. 9：16
8. 若△ABC的三个内角A，B，C满足csA=sinB=2tanC2，则sinA+csA+2tanA的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若A=π6，a=5，则△ABC外接圆半径为10
C. 若a=2bcsC，则△ABC为等腰三角形
D. 若b=1，c=2，A=2π3，则S△ABC= 32
10. 下列选项中，正确的有( )
A. 设a，b都是非零向量，则“a=12b”是“a|a|=b|b|”成立的充分不必要条件
B. 若角α的终边过点P(3,−m)且sinα=−2 13，则m=±2
C. 在△ABC中，AcsB
D. 若sin(π3−α)=13，则cs(π6+α)=−13
11. 下列各式中，值为12的有( )
A. sin5π12sinπ12B. sin173°cs23°+sin83°cs67°
C. tan22.5°1−tan222.5∘D. 1(1+tan22∘)(1+tan23∘)
12. 已知函数f(x)=tan(ωx−π6) (ω>0)，则下列说法正确的是( )
A. 若f(x)的最小正周期是2π，则ω=12
B. 当ω=1时，f(x)的对称中心的坐标为(kπ+π6 , 0)(k∈Z)
C. 当ω=2时，f(−π12)D. 若f(x)在区间(π3 , π)上单调递增，则0<ω≤23
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a=(3,1),b=(1,−1),c=a+kb，若a⊥c，则k= ______ ．
14. 已知α，β都为锐角，sinα=35,cs(α+β)=513，则csβ的值为______ ．
15. 函数f(x)=cs2x+sinx的值域是______ ．
16. “一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧QRT是一个以O点为圆心、QT为直径的半圆，QT=60 3米.圆弧QST的圆心为P点，PQ=60米，圆弧QRT与圆弧QST所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为______ 平方米．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知角α终边上一点P(−2,1)．
(1)求sinα和csα的值；
(2)求cs(π−α)+cs(π2+α)sin(2π+α)的值．
18. (本小题12.0分)
如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点(E,F两点不重合)．
(1)用AB，AC表示AD；
(2)若AE=λAB，AF=μAC，求1λ+2μ的值．
19. (本小题12.0分)
已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csBb+csCc=sinA 3sinC．
(1)求b的值；
(2)若csB+ 3sinB=2，求△ABC面积的最大值．
20. (本小题12.0分)
(1)求4cs40°− 3tan50°的值；
(2)已知2tanθ=−3tan(θ+π4)，求cs(2θ−π4)的值．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=sinx⋅csx−( 3−1)cs2x−12cs2x−12．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长原来的两倍，纵坐标保持不变，得到函数g(x)的图象，若方程g(x)+ 3+m2=0在x∈[0,π]上有两个不相等的实数解x1，x2，求实数m的取值范围，并求x1+x2的值．
22. (本小题12.0分)
已知平面四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，AC= 3，BC=1．
(1)若∠ACB=5π6，求四边形ABCD的面积；
(2)若记∠ACB=θ(0<θ<π)，CD=f(θ)．
①求f(θ)的解析式；
②求CD的最小值及此时角θ的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由sin(α−π2)+2cs(α+5π)=2cs(α+π2)−sin(π−α)，
根据诱导公式得−csα−2csα=−2sinα−sinα，即−3csα=−3sinα，即csα=sinα，
所以tanα=1．
故选：B．
根据诱导公式及同角三角函数关系式进行化简求值．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：BE=BC+CE=BC+12CD=BC+12BA=AD−12AB=b−12a，
故选：A．
根据向量的基本定理结合向量的加法和减法法则进行求解即可．
本题主要考查向量的基本定理的应用，涉及向量加减法的运算法则，平行四边形法则，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：sin40°( 3−tan10°)
=sin40°( 3−sin10°cs10∘)
=sin40°×2( 32cs10°−12sin10°)cs10°
=sin40°×2cs(30°+10°)cs10∘
=sin40°×2cs40°cs10∘
=sin80°cs10∘
=cs10°cs10∘
=1．
故选：A．
利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解．
本题考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由图可知A=3，T4=π6−(−π12)=3π12，即T=π，故选项A正确；
由2πω=π，可得ω=2，所以f(x)=3sin(2x+φ)，
因为f(−π12)=3sin[2×(−π12)+φ]=3sin(−π6+φ)=−3，所以sin(−π6+φ)=−1，
所以−π6+φ=2kπ−π2，得φ=2kπ−π3，k∈Z，
因为|φ|<π2，所以φ=−π3，f(x)=3sin(2x−π3)，故选项B正确；
由2x−π3=kπ+π2,k∈Z，可得x=kπ2+5π12(k∈Z)，
所以函数f(x)关于x=kπ2+5π12(k∈Z)对称，故选项C正确；
将f(x)的图象向左平移5π12个单位长度后得到y=3sin[2(x+5π12)−π3]=3sin(2x+π2)=3cs2x，
所以f(x)为偶函数，图象不关于原点对称．
故选：D．
根据图象求出A，ω和φ的值，然后利用三角函数的图象和性质即可求解．
本题主要考查三角函数的图像和性质，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的性质进行判断是解决本题的关键，是中档题．
5.【答案】B
【解析】解：设a与b的夹角为θ，由题意可得a2+a⋅b−2b2=−2，
即4+2×2×csθ−2×4=−2，解得csθ=12．
再结合θ∈[0,π]，∴θ=π3，
故选：B．
设a与b的夹角为θ，由题意可得4+2×2×csθ−2×4=−2，解得csθ的值，再结合θ∈[0,π]，求得θ的值．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：由于θ∈(3π4,π)，所以csθ−sinθ=− 72，
故1−sin2θ=74，整理得sin2θ=−34，
故2cs2θ−1cs(π4+θ)=cs2θ−sin2θ 22(csθ−sinθ)= 2(csθ+sinθ)，
故sinθ+csθ=−|sinθ+csθ|=− 1+sin2θ=− 1−34=−12，
故2cs2θ−1cs(π4+θ)=− 22．
故选：A．
直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
7.【答案】B
【解析】
解：点P满足AP=13AB+23AC，
由13+23=1，则点P，B，C三点共线，且点P为BC的三等分点，靠近点C，
由34+14=1，则点Q，B，C三点共线，且点Q为BC的四等分点，靠近点B，
又S三角形APQ：S三角形ABC=|PQ|：|BC|=5：12，
所以△APQ与△ABC的面积之比为：5：12
故选：B．
由点P满足AP=13AB+23AC，AQ=34AB+14AC，及三点共线的充要条件可得：点P，B，C三点共线，且点P为BC的三等分点，靠近点C，点Q为BC的四等分点，靠近点B，由等高的三角形面积之比等于底边之比可得解．
本题考查了平面向量基本定理及三点共线的充要条件、三角形面积公式，属中档题
8.【答案】B
【解析】解：由题意△ABC的三个内角A，B，C满足csA=sinB=2tanC2，
则csA=sinB>0，
∴A∈(0,π2)，
故sin(π2−A)=sinB，
则B=π2−A或B=π−(π2−A)，
若B=π2−A，则A+B=π2，
∴C=π2，
则csA=sinB=2tanC2=2tanπ4=2，不合题意，
若B=π−(π2−A)，
则B=π2+A，
∴C=π−A−B=π2−2A，
所以2tanC2=2tan(π4−A)=2(1−tanA)1+tanA，
则csA=sinB=2(1−tanA)1+tanA，
则csA=2(1−tanA)1+tanA，
∴csA(1+tanA)=2(1−tanA)，即csA+sinA=2−2tanA，
∴sinA+csA+2tanA=2．
故选：B．
根据csA=sinB=2tanC2利用诱导公式推得B=π2−A或B=π−(π2−A)，说明B=π2−A时不合题意，则由B=π−(π2−A)可得C=π2−2A，化简2tanC2可得csA=sinB=2(1−tanA)1+tanA，整理变形即可求得答案．
本题主要考查两角和与差的三角函数，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：因为A>B，所以a>b，由正弦定理asinA=bsinB=2R，可得2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，A正确；
由正弦定理asinA=2R可知2R=10，所以△ABC外接圆半径为5，B不正确；
因为a=2bcsC，所以sinA=2sinBcsC，即sin(B+C)=2sinBcsC，
整理可得sinBcsC−csBsinC=0，即sin(B−C)=0，
因为B，C为三角形的内角，所以B=C，即△ABC为等腰三角形，C正确；
因为b=1，c=2，A=2π3，
所以S△ABC=12bcsinA=12×1×2× 32= 32，D正确．
故选：ACD．
利用三角形性质和正弦定理可知A正确，利用正弦定理可知B，C的正误，利用三角形面积公式可知D正确．
本题主要考查了三角形大边对大角，正弦定理，和差角公式及三角形面积公式的应用，属于中档题．
10.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的线性运算、三角函数的定义、诱导公式、正弦定理以及三角函数性质的应用，属于中档题．
A.根据单位向量长度相等，其方向的任意性判断；B.根据三角函数的定义判断；C.利用正弦定理判断；D.利用正余弦的诱导公式来判断．
【解答】
解：选项A：只要a，b都是非零向量，且a=12b，则a，b方向相同，
则a|a|与b|b|都等于跟a，b同方向上的单位向量，故a|a|=b|b|，故充分性成立；
若a|a|=b|b|，则a=|a||b|b，因为|a||b|为大于0的实数，不一定为12，
所以必要性不成立，
故“a=12b”是“a|a|=b|b|”成立的充分不必要条件，A选项正确；
选项B：若角α的终边过点P(3,−m)且sinα=−2 13，
则−m m2+9=−2 13，解得m=2，B选项错误；
选项C：因为在△ABC中，A由正弦定理可知a因为y=csx在(0,π)上单调递减，而A，B为△ABC的内角，A，B∈(0,π)，
故AcsB；故AcsB，选项C正确；
选项D：若sin(π3−α)=13，则cs(π6+α)=sin[π2−(π6+α)]=sin(π3−α)=13，D错误．
故选：AC．

11.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A，sin5π12sinπ12=sinπ12csπ12=12sinπ6=14，即选项A不符合题意；
对于选项B，sin173°cs23°+sin83°cs67°=sin7°cs23°+cs7°sin23°=sin(7°+23°)=sin30°=12，即选项B符合题意；
对于选项C，tan22．5°1−tan222.5∘=12tan45°=12，即选项C符合题意；
对于选项D，由tan(22°+23°)=tan22°+tan23°1−tan22∘tan23∘=1，即(1+tan22°)(1+tan23°)=2，即1(1+tan22∘)(1+tan23∘)=12，即选项D符合题意，
故选：BCD．
由两角和与差的三角函数，结合二倍角公式求解即可．
本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了二倍角公式，属基础题．
12.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查正切型函数的性质，主要考查学生的运算能力和转化能力及思维能力，属于中档题．
直接利用函数的关系式和正切函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】
解：已知函数f(x)=tan(ωx−π6) (ω>0)，
对于A：由于函数的最小正周期T=πω=2π，所以ω=12，故A正确；
对于B：当ω=1时f(x)=tan(x−π6)，
令x−π6=kπ2(k∈Z)，可得x=kπ2+π6(k∈Z)为对称中心的横坐标，
故对称中心为(kπ2+π6,0)(k∈Z)，故B错误；
对于C：当ω=2时，f(−π12)=tan(−π3)=−tanπ3，
f(2π5)=tan(4π5−π6)=tan19π30=−tan11π30，故f(−π12)>f(2π5)，故C错误；
对于D：由于kπ−π2<ωx−π6整理得kπω−π3ω因为函数在(π3,π)单调递增，故π≤kπω+2π3ωkπω−π3ω≤π3,
解得3ω−23⩽k⩽ω+13,k∈Z，
由ω+1⩾3ω−2,ω>0，解得0<ω⩽32，
所以ω+13∈(13,56],3ω−23∈(−23,56]，即k=0，
所以3ω−23⩽0⩽ω+13,ω>0，
所以0<ω≤23，故D正确；
故选：AD．

13.【答案】−5
【解析】解：由题意知，c=(3+k,1−k)，
因为a⊥c，
所以a⋅c=3(3+k)+(1−k)=0，解得k=−5．
故答案为：−5．
先求得c的坐标，再由a⋅c=0，即可得解．
本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的加法和数量积的坐标运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】5665
【解析】解：因为α，β都是锐角，
所以0<α+β<π，csα= 1−sin2α=45，sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=1213，
所以csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα=513×45+1213×35=5665．
故答案为：5665．
首先利用角的变换得csβ=cs[(α+β)−α]，再结合两角差的余弦公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
15.【答案】[−2,98]
【解析】解：f(x)=cs2x+sinx=−2sin2x+sinx+1=−2(sinx−14)2+98
又sinx∈[−1,1]
∴当sinx=14时，函数f(x)取到最大值为98
当sinx=−1时，函数f(x)取到最小值为−2
综上函数f(x)=cs2x+sinx的值域是[−2,98]
故答案为：[−2,98]
函数f(x)=cs2x+sinx变为关于sinx的二次函数，再由二次函数的性质求值域
本题考查正弦函数的定义域和值域，求解本题关键是将函数变为关于sinx的二次函数，由配方法将本方，根据正弦函数的有界性判断出函数的最值，从而得出函数的值域，本题是三角函数求值域的题型中一个很重要的题型，其规律是转化为关于三角函数二次函数，将问题变为二次函数在闭区间上的最值问题
16.【答案】150π+900 3
【解析】解：连接PO，可得PO⊥QT，
因为sin∠QPO= 32，
所以∠QPO=π3，∠QPT=2π3，
所以月牙泉的面积为S=12×π×(30 3)2−(π3×602−12×602× 32)=150π+900 3(平方米)．
故答案为：150π+900 3．
连接PO，可得PO⊥QT，由题意可得sin∠QPO= 32，可求∠QPO，∠QPT的值，进而由图利用扇形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了三角函数以及解三角形知识的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵角α终边上一点P(−2,1)，∴|OP|= 4+1= 5，
∴sinα=1 5= 55，csα=−2 5=−2 55．
(2)cs(π−α)+cs(π2+α)sin(2π+α)=−csα−sinαsinα=−ctα−1=−−21−1=2−1=1．
【解析】(1)由题意，利用任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式，计算求得结果．
(2)由题意，利用诱导公式、任意角的三角函数的定义，计算求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式、诱导公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)在△ABD中，由AD=AB+BD，
又BD=2DC，
所以BD=23BC，
所以AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=AB−23AB+23AC=13AB+23AC；
(2)因为AD=13AB+23AC，
又AE=λAB，AF=μAC，
所以AB=1λAE，AC=1μAF，
所以AD=13λAE+23μAF，
又D，E，F三点共线，且A在线外，
所以13λ+23μ=1，即1λ+2μ=3．
【解析】(1)根据已知条件，结合平面向量的线性运算，即可求解；
(2)根据(1)的结论，转化用AE，AF表示AD，根据D，E，F三点共线找出等量关系．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意及正、余弦定理得：a2+c2−b22abc+a2+b2−c22abc= 3a3c，
整理得2a22abc= 3a3c，所以b= 3．
(2)由题意得cs B+ 3sin B=2sin(B+π6)=2，
所以sin(B+π6)=1，
因为B∈(0,π)，所以B+π6=π2，所以B=π3．
由余弦定理得b2=a2+c2−2accs B，
所以3=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac，
即ac≤3，当且仅当a=c= 3时等号成立．
所以△ABC的面积S△ABC=12acsin B= 34ac≤3 34，
当且仅当a=c= 3时等号成立．
故△ABC面积的最大值为3 34．
【解析】(1)利用正弦定理以及余弦定理，化简已知条件的表达式，推出b即可．
(2)利用两角和与差的三角函数，结合余弦定理求出a、c，然后求解三角形的面积的最大值即可．
本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，是中档题．
20.【答案】解：(1)4cs 40°− 3tan 50°
=4cs40°cs50°− 3sin50°cs50°
=4cs40°sin40°− 3sin50°cs50°
=2sin80°− 3sin50°cs50°
=2sin(50°+30°)− 3sin50°cs50°
=2sin50°cs30°+2cs50°sin30°− 3sin50°cs50°
= 3sin50°+cs50°− 3sin50°cs50∘
=cs50°cs50∘
=1．
(2)2tan θ=−3tan (θ+π4)=−3⋅tanθ+11−tanθ，
解得tanθ=−12或tanθ=3，
所以cs(2θ−π4)= 22(cs2θ+sin2θ)
= 22×cs2θ−sin2θ+2sinθcsθsin2θ+cs2θ
= 22×1−tan2θ+2tanθtan2θ+1，
当tanθ=−12时，cs(2θ−π4)= 22×−1454=− 210；
当tanθ=3时，cs(2θ−π4)= 22×−210=− 210，
综上，cs(2θ−π4)=− 210．
【解析】(1)利用同角基本关系及二倍角及和差角公式进行化简即可求；
(2)先由已知结合两角和的正切公式可求tanθ，然后结合二倍角公式及同角基本关系可求．
本题综合考查了同角基的本关系及二倍角公式，和差角公式综合应用，属于中档试题．
21.【答案】解：(1)∵f(x)=sinx⋅csx− 3cs2x=12sin2x− 32(1+cs2x)=12sin2x− 32cs2x− 32=sin(2x−π3)− 32，
因此f(x)的最小正周期为T=2π2=π，
由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，
解得f(x)的单调递增区间为：[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．
(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长原来的两倍，纵坐标保持不变，
得到函数g(x)的图象，
故g(x)=sin(x−π3)− 32，则方程g(x)+ 3+m2=0，
可化简为sin(x−π3)− 32+ 3+m2=sin(x−π3)+m2=0，即sin(x−π3)=−m2．
当x∈[0,π]，x−π3∈[−π3,2π3]，
方程g(x)+ 3+m2=0在x∈[0,π]上要有两个不相等的实数解x1，x2，
即sin(x−π3)=−m2 在x∈[0,π]上要有两个不相等的实数解x1，x2，
∴ 32≤−m2<1，且12(x1−π3+x2−π3)=π2．
即−2【解析】(1)由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性，得出结论．
(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得实数m的取值范围，并求x1+x2的值．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．
22.【答案】解：(1)在△ABC中，AC= 3，BC=1，∠ACB=5π6，由余弦定理可得AB= AC2+BC2−2AC⋅BCcs∠ACB= 3+1−2× 3×1×(− 32)= 7，
由正弦定理可得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，即1sin∠BAC= 712，
所以sin∠BAC=12 7，所以cs∠BAC=3 32 7，
因为AB=AD，AB⊥AD，所以sin∠DAC=cs∠BAC=3 32 7，
所以S四边形ABCD=S△ABC+SACD=12AC⋅BC⋅sin∠ACB+12AD⋅AC⋅sin∠DAC=12× 3×1×12+12× 7× 3×3 32 7=9+ 34，
所以四边形ABCD的面积为9+ 34；
(2)在△ABC中，由余弦定理可得AB= AC2+BC2−2AC⋅BCcs∠ACB= 3+1−2 3csθ= 4−2 3csθ，
由正弦定理可得可得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，即1sin∠BAC= 4−2 3csθsinθ，
所以sin∠BAC=sinθ 4−2 3csθ，
因为AB=AD，AB⊥AD，所以cs∠DAC=sin∠BAC，
在△ACD中，由余弦定理可得：CD=f(θ)= AD2+AC2−2AD⋅ACcs∠DAC= 4−2 3csθ+3−2 4−2 3csθ⋅ 3⋅sinθ 4−2 3csθ= 7−2 3(csθ+sinθ)= 7−2 6sin(θ+π4)，
即①求f(θ)的解析式为f(θ)= 7−2 6sin(θ+π4)，θ∈(0,π)；
②由①可得CD= 7−2 6sin(θ+π4)，θ∈(0,π)；
所以可得θ+π4∈(π4,5π4)，
所以当θ+π4=π2，即θ=π4时CDmin= 7−2 6．
所以CD的最小值 7−2 6，此时角θ的值为π4．
【解析】(1)△ABC中，由余弦定理可得AB的值，再由正弦定理可得sin∠BAC的值，进而求出cs∠BAC，由AB=AD，AB⊥AD可得AD的值及sin∠DAC的值，代入三角形的面积公式可得两个三角形的面积，即可得四边形的面积；
(2)①由余弦定理可得BA的表达式，再由正弦定理可得以sin∠BAC的值，由题意可得cs∠DAC=sin∠BAC，由余弦定理求出CD的表达式，即求出f(θ)的解析式；
②由①及θ范围可得CD的最小值及相应的θ的值．
本题考查正余弦定理的应用及三角函数最值的求法，属于中档题．