2022-2023学年湖北省武汉市华师大一附中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市华师大一附中高一（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则“x1y1=x2y2”是“a//b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图(图中虚线分别与x′轴和y′轴平行)，则△OAB的面积为( )
A. 8 2
B. 12 2
C. 24
D. 48
3. 将正弦函数f(x)=sinx的图象先向左平移π3个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，最后得到函数g(x)的图象，则g(x)=( )
A. g(x)=sin(2x+2π3)B. g(x)=sin(2x+π3)
C. g(x)=sin(x2+π3)D. g(x)=sin(x2+π6)
4. 已知α，β为关于x的实系数方程x2−4x+5=0的两个虚根，则|α|+|β|α+β=( )
A. 52B. − 52C. 5D. − 5
5. 已知 2cs2θcs(θ+π4)= 3sin2θ，则sinθ⋅csθ=( )
A. 13B. −13C. 23D. −23
6. 如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，M为棱AA1的中点，N为棱CC1上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V，则四棱锥B−AMNC的体积为( )
A. 512V
B. 518V
C. 524V
D. 536V
7. 在△ABC中，Q是边AB上一定点，满足QB=14AB，且对于边AB上任意一点P，恒有PB⋅PC≥QB⋅QC，则( )
A. ∠ABC=90°B. ∠BAC=30°C. AB=ACD. AC=BC
8. 如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=π3，若csBsinCAB+csCsinBAC=2mAO，则m=( )
A. 12
B. 22
C. 32
D. 1
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 代数基本定理是数学中最重要的定理之一.由代数基本定理可以得到：任何一个一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计).在复数范围内，若ω是x3=1的一个根，则ω2+ω+1=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则a>b
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
C. 若B=30°，b= 2，c=2，则符合条件的三角形有2个
D. 若△ABC的面积S= 34(b2+c2−a2)，则A=π3
11. 一对不共线的向量a，b的夹角为θ，定义a×b为一个向量，其模长|a×b|=|a|⋅|b|sinθ，其方向同时与向量a，b垂直(如图1所示).在平行六面体OACB−O′A′C′B′中(如图2所示)，下列结论正确的是( )
A. S△OAB=12|OA×OB|
B. 当∠AOB∈(0,π2)时，|OA×OB|=OA⋅OBtan∠AOB
C. 若|OA|=|OB|=2，OA⋅OB=2，则|OA×OB|= 3
D. 平行六面体OACB−O′A′C′B′的体积V=|OO′⋅(OA×OB)|
12. 已知平面向量a，b，c满足|a|=2,|c|=1，且|a−b|=|b−c|=1，下列结论可能正确的是( )
A. 向量a，b的夹角为π6B. 向量a，c共线
C. |b|=12D. b⋅c=54
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在复平面内，把与复数3− 3i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，则所得向量对应的复数为______ (用代数形式表示)．
14. 如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=8，∠APB=∠APC=∠BPC=40°，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为______ ．
15. 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且csC=2 23，bcsA+acsB=2，则△ABC的外接圆面积为______．
16. 德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛.如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.若该等边三角形ABC的边长为1，P为弧AB上的一个动点，则PA⋅(PB+PC)的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
在复平面内，复数z1对应的点为Z1，i为虚数单位，且_____．
从条件①z1=(1+i)2+3+i20231−i；②z1为关于x的方程x2−2x+5=0的一个根，且点Z1位于第一象限；③z1=2 2(csθ+i⋅sinθ)−1，其中θ=π4.中选择一个填在横线上，并完成下列问题.(注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
(1)求|z1|；
(2)若点Z为曲线|z−2z1−|=1(z1−为z1的共轭复数)上的动点，求Z与Z1之间距离的取值范围．
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|sinB，利用正弦定理：a2R>b2R，所以a>b，故A正确；
对于B：若sin2A=sin2B，整理得：sin2A=sin(π−2B)则：2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B=π2，△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C：在△ABC中，由于B=30°，b= 2，c=2，则b= 2>csinB=1，故满足条件的△ABC有两个，故C正确；
对于D：若△ABC的面积S= 34(b2+c2−a2)，整理得12bcsinA= 34⋅2bccsA，所以tanA= 3，由于A∈(0,π)，所以A=π3，故D正确．
故选：ACD．
直接利用正弦定理，余弦定理和三角形的面积公式及三角形的解的情况判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式，三角形解的情况，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：A．S△OAB=12|OA||OB|sin∠AOB=12|OA×OB|，A正确；
B.|OA×OB|=|OA||OB|sin∠AOB=|OA||OB|cs∠AOB⋅tan∠AOB=OA⋅OBtan∠AOB，B正确；
C.∵|OA|=|OB|=2,OA⋅OB=2，∴cs∠AOB=1，sin∠AOB=0，∴|OA×OB|=0，C错误；
D.设平行六面体的高为h，向量OO′与OA×OB的夹角为θ，则：V=S平行四边形OACB⋅h=|OA||OB|sin∠AOB⋅|OO′||csθ|=|OO′⋅(OA×OB)|，D正确．
故选：ABD．
根据三角形的面积公式及|a×b|的定义即可判断A的正误；根据数量积的计算公式及|a×b|的定义即可判断B，C的正误；根据a×b的方向和|a×b|的定义及向量数量积的计算公式，以及平行六面体的体积公式即可判断D的正误．
本题考查了a×b的方向的定义，|a×b|的定义，三角形的面积公式，向量数量积的计算公式，平行六面体的体积公式，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：作OA=a，OB=b，∵|a−b|=1，∴B点在以点A为圆心，1为半径的圆上，如下图所示：

当OB与⊙A相切时，AB⊥OB，sin∠BOA=12，∴∠BOA=π6，即向量a,b的夹角为π6，A正确；
由上图可看出1≤|b|≤3，∴C错误；
作OC=c，且|b−c|=1，∴点B在以C为圆心，1为半径的圆上，如下图所示：

∴0≤|b|≤2，∴1≤|b|≤2，
a,c共线时，设a=2c，∴|2c−b|=|b−c|=1，∴|b|= 3，B正确；
由上图知0≤b⋅c≤2，∴b⋅c=54正确，D正确．
故选：ABD．
可作OA=a,OB=b，根据|a−b|=1知点B在以点A为圆心，1为半径的圆上，从而得出OB与圆A相切时，a,b的夹角为π6，从而判断A正确；根据图形可得出1≤|b|≤3，从而判断C错误；再根据|b−c|=1可得出1≤|b|≤2，若a,c共线，可设a=2c，可得出|b|= 3，从而判断出B的正误；而根据上面的图形可得出0≤b⋅c≤2，从而判断出D的正误．
本题考查了向量减法的几何意义，向量数量积的计算公式，数形结合解题的方法，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于中档题．
13.【答案】−2 3i
【解析】解：复数3− 3i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，
则所得向量对应的复数为(3− 3i)[cs(−π3)+isin(−π3)]=(3− 3i)(12− 32i)=−2 3i．
故答案为：−2 3i.
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
14.【答案】8 3
【解析】解：将三棱锥由PA展开，如图，
则图中∠APA1=120°，
AA1为所求，
由余弦定理可得AA1= 82+82+2×8×8×12=8 3，
故答案为：8 3．
画出侧面展开图，不难求得结果．
本题考查棱锥的侧面展开图，表面距离的最小值的求法，是基础题．
15.【答案】9π
【解析】
【分析】
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由余弦定理化简已知等式可求c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值，利用圆的面积公式即可计算得解．
【解答】
解：∵bcsA+acsB=2，
∴由余弦定理可得：b×b2+c2−a22bc+a×a2+c2−b22ac=2，整理解得：c=2，
又∵csC=2 23，可得：sinC=13，
∴设三角形的外接圆的半径为R，
则2R=csinC=213=6，可得：R=3，
∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=9π．
故答案为：9π．
16.【答案】52− 7
【解析】解：设∠PCB=θ，0≤θ≤π3，则：PA⋅(PB+PC)=(CA−CP)⋅(CB−CP−CP)=(CA−CP)⋅(CB−2CP)=CA⋅CB+2CP2−2CA⋅CP−CP⋅CB=12+2−2cs(π3−θ)−csθ=52−2csθ− 3sinθ=52− 7sin(θ+φ)，其中tanφ=2 33> 33，∴π6