2022-2023学年宁夏吴忠中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年宁夏吴忠中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若sinα=−513，且α为第三象限角，则tanα的值等于( )
A. 125B. −125C. 512D. −512
2. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )
A. 如图是棱台B. 如图是圆台
C. 如图是棱锥D. 如图不是棱柱
3. 已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=i，则z−在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=c2+a2−ca，且sinA=2sinC，则△ABC的形状为( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A=( )
A. 30°或150°B. 30°C. 150°D. 45°
6. 已知向量，b=(−1,m)，c=(−1,1)，若(2a+b)⊥c，则m=( )
A. 13B. 3C. 15D. 5
7. 中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为56π，扇面所在大圆的半径为20cm，所在小圆的半径为10cm，那么这把折扇的扇面面积为( )
A. 125πB. 144πC. 485πD. 以上都不对
8. 在△ABC中，点D在BC边上，且BD=DC，点E在AC边上，且，连接DE，若DE=mAB+nAC，则m+n=( )
A. −15B. 45C. −45D. 15
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 设m∈R，复数z=(m+2)+(m−3)i，则下列说法正确的是( )
A. 若z是实数，则m=3
B. 若z是虚数，则m=−2
C. 当m=1时，z的模为 13
D. 当m=2时，在复平面上z对应的点为Z(4,1)
10. 下列说法中正确的是( )
A. 非零向量a和b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a+b的夹角为60°
B. 向量e1=(2,−3)，e2=(12,−34)不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若a/​/b，则a在b方向上的投影向量的模为|a|
D. 若a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞)
11. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列判断正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若sin2B+sin2CC. 若B=2π3，b=6，则△ABC面积的最大值是3 3
D. 若sin2A=sin2B，则△ABC为直角三角形
12. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. f(x)=2sin(2x+π6)
B. 要想得到y=2cs2x的图象，只需将f(x)的图象向左平移π3个单位
C. 函数y=f(x)在区间(kπ−π3,kπ+π6)(k∈Z)上单调递增
D. 函数y=f(x)在区间[7π12,π]上的取值范围是[− 3,1]
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=9，a=2c，B=π3，则△ABC的周长为______ ．
14. 函数y=tan(2x−π6)的定义域为______ ．
15. 已知，且π4<α<3π4，求csα的值______ ．
16. 已知等边△ABC的边长为 3，P为△ABC所在平面内的动点，且|PA|=1，则PB⋅PC的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
已知|a|=4，|b|=2，且a与b夹角为120°，求：
；
(2)a与a−b的夹角的余弦值．
18. (本小题12.0分)
已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(−8,m)，且sinα=−35．
(1)求m的值；
(2)求的值．
19. (本小题12.0分)
已知0<α<π2，−π2<β<0，csα= 210，sinβ=− 55．
(1)求cs(α−β)的值；
(2)求α−2β的大小．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2csx(sinx− 3csx)+ 3．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和f(x)的单调递减区间；
(Ⅱ)当x∈[π2,π]时，求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的值．
21. (本小题12.0分)
为了帮助山区群众打开脱贫致富的大门，某地计划沿直线AC开通一条穿山隧道.如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为α=30°，β=45°，γ=30°，且测得AD=m，EB=n，BC=t.用以上数据(或部分数据)表示以下结果．
(1)求出线段PB的长度；
(2)求出隧道DE的长度．
22. (本小题12.0分)
在△ABC中，b=2 3，从条件① 3ccsB=bsinC；条件②2a−c=2bcsC．
两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题．
(1)若a=2，求△ABC的面积；
(2)若△ABC为锐角三角形，求a+c的取值范围．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵sinα=−513，且α为第三象限角，∴csα=− 1−sin2α=−1213，
则tanα=sinαcsα=512，
故选：C．
利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tanα的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号．属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于学习A，不是由棱锥截来的，所以A不是棱台，故A错误；
对于学习B，上、下两个面不平行，所以不是圆台；
对于学习C，是棱锥．
对于学习D，前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以D是棱柱．
故选：C．
利用几何体的结构特征进行分析判断．
本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握几何体的基本概念和性质．
3.【答案】D
【解析】解：由z(1+i)=i可知，，
∴z−=12−12i，
∴z−在复平面内对应的点坐标为(12,−12)，故点位于第四象限．
故选：D．
根据除法运算求出复数z，得到z−，即可确定点的位置．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=c2+a2−ca，
整理得：csB=a2+c2−b22ac=12，
由于B∈(0,π)，
所以B=π3，
由于sinA=2sinC，利用正弦定理：a=2c，
所以b2=4c2+c2−2c2=3c2，解得b= 3c，
由于a2=b2+c2，故△ABC为直角三角形．
故选：B．
首先利用余弦定理判断B=π3，进一步利用正弦定理和勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，勾股定理的逆定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：因为，
所以由正弦定理asinA=bsinB，可得，
又因为a所以A=30°．
故选：B．
由已知利用正弦定理可得sinA=12，又a本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：，b=(−1,m)，
，
，(2a+b)⊥c，
，
∴m=3．
故选：B．
利用向量垂直的坐标运算求解即可．
本题考查向量垂直的坐标运算，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可得，大扇形的面积为，
小扇形的面积为，
故扇面的面积为．
故选：A．
根据已知条件，结合扇形的面积公式求出大扇形，小扇形的面积，进而相减，即可求解．
本题主要考查扇形的面积，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意得，
．
故选：A．
由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求m，n，进而可求m+n．
本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：z=(m+2)+(m−3)i，
当z是实数时，m−3=0，解得m=3，故A正确；
当z是虚数时，m−3≠0，解得m≠3，故B错误；
当m=1时，z=3−2i，|z|= 32+(−2)2= 13，故C正确；
当m=2时，z=4−i，在复平面上z对应的点为Z(4,−1)，故D错误．
故选：AC．
根据已知条件，结合实数、虚数的定义，复数模公式，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查实数、虚数的定义，复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，非零向量a和b满足|a|=|b|=|a−b|，
，
所以，即，
所以，
所以cs〈a,a+b〉=a⋅(a+b)|a|⋅|a+b|=32|a|2 3|a|2= 32，
所以a与a+b的夹角为30°，故A错误；
对于B：由e1=(2,−3)，e2=(12,−34)，所以e1=4e2，则e1与e2共线，
故向量e1=(2,−3)，e2=(12,−34)不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；
对于C：a/​/b，则〈a,b〉=0或〈a,b〉=π，则a在b方向上的投影向量的模为，故C正确；
对于D：由a=(1,2)，b=(1,1)，则a+λb=(1+λ,2+λ)，
若a与a+λb的夹角为锐角，则a⋅(a+λb)>0且a与a+λb不能同向，
即，解得λ>−53且λ≠0，故D错误．
故选：BC．
利用数量积的运算律可得，再求出|a+b|，最后根据夹角公式计算即可判断A，
由e1=4e2即可判断B，
根据投影的定义判断C，
根据a⋅(a+λb)>0且a与a+λb不能同向，即可得到不等式组，解得即可判断D．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于A：由于sinA>sinB，利用正弦定理：a>b，根据大边对大角，所以A>B，故A正确；
对于B：由于sin2B+sin2C对于C：由于B=2π3，b=6，利用余弦定理b2=a2+c2−2accsB=a2+c2+ac≥2ac+ac=3ac，整理得ac≤12，所以，故C正确；
对于D：sin2A=sin2B，由于A、B∈(0,π)，所以2A=2B或2A=π−2B，整理得：A=B或A+B=π2，则△ABC为直角三角形或等腰三角形，故D错误．
故选：ABC．
直接利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的性质判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：由图得，所以T=2πω=π，ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+φ)，因为点(π6,2)在图象上，所以，sin(π3+φ)=1，因为−π2<φ<π2，所以φ=π6，可得f(x)=2sin(2x+π6)，故A正确；
对于B，将f(x)的图象向左平移π3个单位，得到的图象，故B错误；
对于C，由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)得−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)，
所以函数y=f(x)在区间(kπ−π3,kπ+π6)(k∈Z)上单调递增，故C正确；
对于D，时，，所以sin(2x+π6)∈[−1,12]，
函数y=f(x)在区间[7π12,π]上的取值范围是[−2,1]，故D错误．
故选：AC．
由图得A、ω，点(π6,2)在图象上求得φ及f(x)的解析式可判断A；根据图象平移规律可判断B；利用正弦函数的单调性可判断C；根据x的范围求得sin(2x+π6)可判断D．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
13.【答案】9+9 3
【解析】解：由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=9，a=2c，B=π3，
利用余弦定理：，
所以c=3 3，，
所以．
故答案为：9+9 3．
直接利用余弦定理求出a和c的值，进一步求出三角形的周长．
本题考查的知识要点：余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：解得，，k∈Z，
∴原函数的定义域为：．
故答案为：．
根据正切函数的定义域，解，k∈Z，即可得出原函数的定义域．
本题考查了函数定义域的定义及求法，正切函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．
15.【答案】7 226
【解析】解：，且π4<α<3π4，，
则，
则．
故答案为：7 226．
根据角的范围，求出cs(α+π4)，再根据展开求解即可．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式的应用，属于基础题．
16.【答案】[−12,112]
【解析】解：已知等边△ABC的边长为 3，P为△ABC所在平面内的动点，且|PA|=1，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B( 3,0)，C( 32,32)，P(csθ,sinθ)，其中θ∈[0,2π]，
则PB=( 3−csθ,−sinθ)，PC=( 32−csθ,32−sinθ)，
则PB⋅PC=( 3−csθ)( 32−csθ)+(−sinθ)(32−sinθ)=52−32sinθ−3 32csθ=52−3sin(θ+π3)，
又sin(θ+π3)∈[−1,1]，
则PB⋅PC的取值范围是[−12,112]．
故答案为：[−12,112]．
先建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
17.【答案】解：(1)∵|a|=4，|b|=2，且a与b夹角为120°，
；
，
，
∴a与a−b的夹角的余弦值为．
【解析】(1)运用向量的平方即为模的平方求解即可；
(2)求出和|a−b|，再由向量的夹角公式计算即可．
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量夹角公式和求模公式，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵sinα<0，
∴m<0，
又，解得：m=−6．
(2)由(1)得：，
．
【解析】(1)根据三角函数定义可直接构造方程求得m；
(2)根据三角函数定义可得tanα，利用诱导公式化简所求式子，代入tanα的值即可求得结果．
本题主要考查三角函数的诱导公式，考查转化能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵0<α<π2，−π2<β<0，csα= 210，sinβ=− 55，
，，
；
(2)由(1)得tanα=sinαcsα=7，，，
，
由0<α<π2，−π2<β<0得，
∴α−2β=3π4．
【解析】(1)先通过条件求出sinα，csβ，再利用两角差的余弦公式计算cs(α−β)即可；
(2)通过(1)求出tanα，tan2β，再利用两角差的正切公式计算tan(α−2β)，即可求出α−2β的大小．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2sinxcsx−2 3cs2x+ 3=sin2x−2 3×1+cs2x2+ 3=sin2x− 3cs2x=2(12sin2x− 32cs2x)=2sin(2x−π3)，
则函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，
由2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2，k∈Z，
得2kπ+5π6≤2x≤2kπ+11π6，k∈Z，
即kπ+5π12≤x≤kπ+11π12，k∈Z，即函数的单调递减区间为[kπ+5π12,kπ+11π12]，k∈Z，
(Ⅱ)当x∈[π2,π]时，2x∈[π,2π]，则2x−π3∈[2π3,5π3]，
则当2x−π3=3π2，即2x=11π6，即x=11π12时，函数f(x)取得最小值，最小值f(x)=2sin3π2=−2．
【解析】(Ⅰ)利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的单调性进行求解即可．
(Ⅱ)求出角的范围，利用三角函数的最值进行求解即可．
本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的单调性和最值性是解决本题的关键，是中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得，β=45°，γ=30°，
所以∠BCP=30°，∠BPC=15°，又BC=t，，
在△PCB中，由正弦定理得，即，
解得；
(2)因为α=30°，β=45°，所以∠A=30°，∠APB=105°，
又由(1)知，sin105°=sin(60°+45°)= 6+ 24，，
在△APB中，由正弦定理得ABsin∠APB=PBsin∠PAB，
所以，即，
所以．
【解析】(1)由条件求出角∠BCP，∠BPC，在△PCB中由正弦定理即可得结果；
(2)在△PAB中由正弦定理求出AB，从而求解得DE．
本题考查解三角形相关知识，属于中档题．
22.【答案】解：(1)选条件①，∵ 3ccsB=bsinC，∴ 3sinCcsB=sinBsinC，
又sinC≠0，∴tanB= 3，而B∈(0,π)，故B=π3；
选条件②，∵2a−c=2bcsC，∴2a−c=2bcsC=2b×a2+b2−c22ab=a2+b2−c2a，
即a2+c2−b2=ac，∴csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，又B∈(0,π)，故B=π3；
在△ABC中，当b=2 3,a=2,B=π3时，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB得：12=4+c2−4c×12，
即c2−2c−8=0，∴c=4(负值舍去)，
所以S△ABC=12acsinB=12×2×4sinπ3=2 3；
(2)由题设及(1)可知：B=π3,b=2 3，
故由正弦定理得：a+c=bsinB(sinA+sinC)=2 3sinπ3(sinA+sinC)=4(sinA+sinC)
=4[sin(C+π3)+sinC]=4[12sinC+ 32csC+sinC]=4 3sin(C+π6)，
∵B=π3，∴C∈(0,2π3),故2 3<4 3sin(C+π6)≤4 3(当且仅当A=C=π3时等号成立)，
即2 3综上，△ABC的面积为2 3,a+c的取值范围是(2 3,4 3]．
【解析】(1)根据条件求出角B，再运用正弦定理和余弦定理求出c，用面积公式计算即可；
(2)运用正弦定理，再做恒等变换，根据三角函数的性质求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题．