2022-2023学年新疆乌鲁木齐四中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐四中高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列角中终边与330°相同的角是( )
A. 30°B. −30°C. 630°D. −630°
2. 函数f(x)=sin(32x−π8)的图象的一条对称轴方程是( )
A. x=4π3B. x=πC. x=7π12D. x=−π4
3. 在△ABC中，a=(1,2),b=(m,2)，若a⊥b，则m=( )
A. −4B. −2C. 2D. 4
4. 要得到函数y=cs(2x−π3)的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )
A. 向左平移π12个单位B. 向右平移π12个单位
C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位
5. 已知cs170°=m，则tan10°的值为( )
A. 1−m2mB. − 1−m2mC. m 1−m2D. −m 1−m2
6. 在△ABC中，AB=a，AC=b，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=( )
A. 14a+34bB. 14a−34bC. 34a+14bD. 34a−14b
7. 已知向量a，b的夹角为π3，|a|=1，b=(−3,4)，则|4a+b|=( )
A. 5B. 6C. 7D. 61
8. 下列选项正确的为( )
A. 若a与b都是单位向量，则a=b
B. 若a与b是平行向量，则a=b
C. 若a与b平行，则存在唯一实数λ，满足b=λa
D. |a+b|≤|a|+|b|
9. 已知tanα=34，则sinα−2csα2sinα+csα=( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
10. 若扇形的圆心角是π3，半径为R，则扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为( )
A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：4
11. 已知a=(1,2)，b=(−3,2)，ka+b与a−3b平行，则k的值为( )
A. 3B. 13C. 12D. −13
12. 在△ABC中，a=x厘米，b=2厘米，B=45°.若利用正弦定理解△ABC有两解，则x的取值范围是( )
A. 22D. 2≤x≤2 2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知sinα=1517，α∈(π2,π)，则cs(π3−α)= ______ ．
14. 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2).若|c|=2 5，且c//a，则c的坐标为______ ．
15. 已知向量a=(3,−1)，b−a=(−4,2)，则a⋅b=______．
16. 已知a>0，函数f(x)=mcsx+sinx的图象过点(π6,2)，若函数f(x)在区间[−a,a]上单调递增，则a的取值范围为______．
三、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题14.0分)
已知向量a=(1,2),b=(−3,4)．
(1)求|3a−b|的值；
(2)若a⊥(a+λb)，求λ的值．
18. (本小题14.0分)
(1)已知角α的终边经过点P(x,− 2),(x≠0)，且csα= 36x，求sinα+csαsinα的值；
(2)求值：sin420°cs750°+sin(−690°)cs(−660°)+tan(−1380°)．
19. (本小题14.0分)
°某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶40分钟到达C点．
(1)求P、C间的距离；
(2)求在点C测得油井P的位置？
20. (本小题14.0分)
已知平面向量a=(sinx+csx,2sinx)，b=(sinx−csx,− 3csx)，函数f(x)=a⋅b(x∈R)．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(Ⅱ)若m∈(0,π)，f(m2)=−23，求sinm的值．
21. (本小题14.0分)
在△ABC中，AB= 3，AC=2，∠BAC=5π6，O是△ABC的外接圆圆心，若AO=λAB+μAC．
(1)求AO⋅AB及|AO|；
(2)求λ，μ．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为330°的终边与−30°的终边相同，
所以B满足题意．
故选B．
直接利用终边相同的角判断即可．
本题考查终边相同的角的表示方法，考查基本知识的熟练程度．
2.【答案】D
【解析】解：由题意令32x−π8=π2+kπ,k∈Z，
解得x=5π12+2kπ3,k∈Z，
令k=−1，则x=−π4，
故选：D．
根据正弦函数的性质令32x−π8=π2+kπ,k∈Z，求出x的表达式，再给k赋值即可求解．
本题考查了正弦函数的对称性，考查了学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：a=(1,2),b=(m,2)，a⊥b，
则1×m+2×2=0，解得m=−4．
故选：A．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
先根据诱导公式化简可得y=sin[2(x+π12)]，再根据左加右减的原则进行平移从而可得到答案．
本题主要考查两角和与差的公式和三角函数的平移，三角函数平移时一定要遵循左加右减上加下减的原则．
【解答】
解：∵y=cs(2x−π3)=cs(−2x+π3)=sin(2x+π6)=sin[2(x+π12)]，
∴只需将函数y=sin2x的图象向左平移π12个单位即可得到函数y=cs(2x−π3)的图象．
故选：A．

5.【答案】B
【解析】解：因为cs170°=m，
所以sin170°= 1−m2，
则tan10°=sin10°cs10∘=sin170°−cs170∘= 1−m2−m=− 1−m2m．
故选：B．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin170°= 1−m2，进而根据诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
EB=AB−AE
=AB−12AD
=AB−12×12(AB+AC)
=34AB−14AC
=34a−14b
故选：D．
运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵a，b的夹角为π3，|a|=1，|b|=5，
∴a⋅b=|a||b|csπ3=1×5×12=52，
∴(4a+b)2=16a2+b2+8a⋅b=16+25+20=61，
∴|4a+b|= 61．
故选：D．
根据条件可求出|b|=5,a⋅b=52，然后进行数量积的运算求出(4a+b)2，然后即可得出|4a+b|的值．
本题考查了向量数量积的计算公式和运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：若a与b都是单位向量，则|a|=|b|=1，但a与b方向不一定相同，故A错误；
若a与b是平行向量，则a与b方向相同或相反，且a与b的模不一定相同，故B错误；
若a与b平行，且a=0时，b为非零向量，则找不到实数λ使得b=λa，故C错误；
当a与b方向相同时，|a+b|=|a|+|b|，当a与b不共线时，由三角形三边关系可知，|a+b|<|a|+|b|，故D正确．
故选：D．
利用向量的概念判断A，B选项；若a与b平行，且a=0时，b为非零向量，来判断C选项；利用向量三角不等式来判断D选项．
本题主要考查向量的概念，以及向量三角不等式，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：∵tanα=34，
∴sinα−2csα2sinα+csα=tanα−22tanα+1=−12．
故选：C．
由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，确定扇形的内切圆的半径是关键，属于中档题．
确定扇形的内切圆的半径，分别计算扇形的内切圆面积与扇形的面积，即可得到结论．
【解答】
解：∵扇形的圆心角是π3，半径为R，
∴S扇形==12lR=12·π3·R2=πR26，
∵扇形的内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，
设内切圆的半径为r，
∴结合扇形圆心角为π3，由几何知识得r+2r=R，所以内切圆的半径为r=R3，
∴S圆形=πR29，
∴扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为πR29：πR26=2:3．
故答案选：C．

11.【答案】D
【解析】解：a=(1,2)，b=(−3,2)，
∴ka+b=(k−3,2k+2)，a−3b=(10,−4)，
∵ka+b与a−3b平行，
∴−4(k−3)=10(2k+2)，
∴k=−13，
故选：D．
根据向量的平行的条件和向量的坐标运算即可求出．
本题考查了向量的坐标运算和向量平行的条件，属于基础题．
12.【答案】B
【解析】解：如图，

B=45°，CD⊥AB，则CD=BC⋅sin45°=asin45°=xsin45°，
以C为圆心，CA=b=2为半径画圆弧，要使△ABC有两个解，则圆弧和BA边应该有两个交点，
故CA>CD且CA解得2故选：B．
以C为圆心，CA为半径画圆弧，圆弧与BA边应该有两个交点，此时三角形有两解，数形结合即可求出x的范围．
本题考查了数形结合的应用，属于基础题．
13.【答案】15 3−834
【解析】解：∵sinα=1517，α∈(π2,π)，
∴csα=− 1−sin2α=− 1−(1517)2=−817，
则cs(π3−α)=csπ3csα+sinπ3sinα
=12×(−817)+ 32×1517=15 3−834．
故答案为：15 3−834．
由已知求得csα，再把cs(π3−α)展开两角差的余弦求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题．
14.【答案】(2,4)或(−2,−4)
【解析】解：∵c//a，a=(1,2)，
∴设c=λ(1,2)，且|c|=2 5，
∴ 5|λ|=2 5，解得λ=±2，
∴c=(2,4)或(−2,−4)．
故答案为：(2,4)或(−2,−4)．
根据题意设c=λ(1,2)，然后根据|c|=2 5可求出λ的值，进而可得出c的坐标．
本题考查了共线向量基本定理，根据向量坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
15.【答案】−4
【解析】解：由已知可得b=(−1,1)，所以a⋅b=(3,−1)⋅(−1,1)=−4．
故答案为：−4
求出b，利用平面向量数量积的运算性质计算即可
本题考查平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算，属于基础题．
16.【答案】(0,π6]
【解析】解：∵a>0，函数f(x)=mcsx+sinx的图象过点(π6,2)，
∴ 32⋅m+12=2，∴m= 3，函数f(x)=mcsx+sinx=2( 32csx+12sinx)=2sin(x+π3).
若函数f(x)在区间[−a,a]上单调递增，
则−a+π3≥−π2a+π3≤π2a>0，求得0故答案为：(0,π6].
由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性求出a的取值范围．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于基础题．
17.【答案】解：(1)3a−b=(6,2)，
∴|3a−b|= 36+4=2 10；
(2)a+λb=(1−3λ,2+4λ)，且a⊥(a+λb)，
∴a⋅(a+λb)=1−3λ+2(2+4λ)=0，解得λ=−1．
【解析】(1)可求出向量3a−b的坐标，然后即可求出|3a−b|的值；
(2)可得出a+λb=(1−3λ,2+4λ)，然后根据a⊥(a+λb)即可得出a⋅(a+λb)=0，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出λ的值．
本题考查了向量坐标的减法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵csα=x x2+2= 36x(x≠0)，
∴x2+2=12，解得x=± 10，
当x= 10时，sinα=− 22 3=− 66，csαsinα= 10− 2=− 5，sinα+csαsinα=− 66− 5；
当x=− 10时，sinα=− 22 3=− 66，csαsinα=− 10− 2= 5，sinα+csαsinα=− 66+ 5；
(2)sin420°cs750°+sin(−690°)cs(−660°)+tan(−1380°)
=sin(360°+60°)cs(720°+30°)+sin(−720°+30°)cs(−720°+60°)+tan(−1440°+60°)
=sin60°cs30°+sin30°cs60°+tan60°
=sin90°+tan60°
=1+ 3．
【解析】(1)利用三角函数的定义由csα=x x2+2= 36x(x≠0)可求得x，进一步可求得sinα+csαsinα的值；
(2)利用三角函数的诱导公式化简求值即可．
本题考查了任意角的三角函数的定义、诱导公式及其应用，考查了运算求解能力，属于中档题
19.【答案】解：(1)在△ABP中，AB=30×4060=20，∠APB=30°，∠BAP=120°，
由正弦定理：2012=BP 32，解得BP=20 3，
在△PBC中，BC=30×4060=20，又∠PBC=90°，根据勾股定理得PC=40．
P，C间的距离为40海里．
(2)在△PBC中，∠PBC=90°，BC=20，PC=40，
∴sin∠BPC=12，即∠BPC=30°，
又∠ABP=∠BPC=30°，
∴CP//AB，即在点C测得油井P在C的正南40海里处．
【解析】(1)可得∠PBC=90°，根据勾股定理得PC的长度；(2)求∠BPC的度数即可得井P的位置．
本题考查正弦定理，考查方向角，属于基础题．
20.【答案】解：(1)f(x)=a⋅b=sin2x−cs2x−2 3sinxcsx
=−cs2x− 3sin2x=−2sin(2x+π6)，
故T=2π2=π，又令2x+π6∈[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)，
解得单调递减区间为：x∈[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)．
(2)f(m2)=−23⇒sin(m+π6)=13，
又sin(m+π6)=13<12=sinπ6⇒m+π6∈(0,π6)∪(5π6,π)，
又m∈(0,π)，故m+π6∈(5π6,π)⇒cs(m+π6)=−2 23，
sinm=sin[(m+π6)−π6]= 32sin(m+π6)−12cs(m+π6)= 3+2 26．
【解析】(1)先利用数量积的定义结合三角恒等变换将函数f(x)化简成Asin(ωx+α)的形式，然后结合正弦函数的单调性构造关于x的不等式求解即可；
(2)先根据题意求出sin(m+π6)，cs(m+π6)的值，然后借助于角的变换即m=(m+π6)−π6和三角公式求值即可．
本题考查三角恒等变换以及数量积的运算，同时考查学生的运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：建立如右图的平面直角左边系，则A(0,0)，
∵AB= 3，∴B( 3,0)，又AC=2，∠BAC=5π6，
∴C(− 3,1)∴CA中点坐标为(− 32,12)，又kAC=−1 3，
∴CA的垂直平分线l2方程为：y−12= 3(x+ 32)，
又AB的垂直平分线l1方程为：x= 32，代入l2方程中可得O( 32,72)，
∴AO=( 32,72)，AB=( 3,0)，AC=(− 3,1)，
∴(1)AO⋅AB= 32× 3=32，|AO|=34+494=13；
(2)∵AO=λAB+μAC，
∴( 32,72)=λ( 3,0)+μ(− 3,1)，
∴ 32= 3λ− 3μ72=μ，∴λ=4，μ=72．
【解析】建系，利用坐标法，结合数量积坐标运算，直线方程即可求解．
本题考查平面向量数量积及其坐标运算，属中档题．