2023高考数学复习专项训练《平面向量的基本定理及坐标表示》

这是一份2023高考数学复习专项训练《平面向量的基本定理及坐标表示》，共15页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）已知平面向量a→=(1,-2)，b→=(2,m)，且a→//b→，则3a→+2b→=( )
A. (7,2)B. (7,-14)C. (7,-4)D. (7,-8)
2.（5分）已知向量a→=(3,1)，b→=(-6,k)，若a→//b→，则k=( )
A. 18B. -18C. -2D. -6
3.（5分）已知向量a→=(2,1)，b→(0,-1)，c→=(k,3).若(2a→-b→)//(b→+c→)，则k的值为( )
A. 83B. 2C. -1D. 43
4.（5分）如图所示，在△ABC中，CB→=3CD→，AD→=2AE→，若AB→=a→，AC→=b→，则CE→=()
A. 16a→-13b→B. 16a→-23b→
C. 13a→-13b→D. 16a→-56b→
5.（5分）已知集合M={ 1,2,3,…,n}(n∈N*)，若集合A={a1,a2}⊆M，且对任意的b∈M，存在λ，μ∈{-1,0,1}使得b=λai+μaj，其中ai，aj∈A，1⩽i⩽j⩽2，则称集合A为集合M的基底．下列集合中能作为集合M={ 1,2,3,4,5,6}的基底的是( )
A. { 1,5}B. { 3,5}C. {2,3}D. {2,4}
6.（5分）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC，M,N分别是对边OB,AC的中点，点G在线段MN上，MG→=2GN→，现用基向量OA→,OB→,OC→表示向量OG→，设OG→=xOA→+yOB→+zOC→，则x,y,z的值分别是()
A. x=13,y=13,z=13B. x=13,y=13,z=16
C. x=13,y=16,z=13D. x=16,y=13,z=13
7.（5分）已知向量a→=(-2,2)，b→=(1,-2λ)，若(a→+3b→)//(a→-b→)，则实数λ的值为()
A. 0B. 12C. 1D. 43
8.（5分）已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定定点M与点A、B、C一定共面的是( )
A. OM→=OA→+OB→+OC→B. OM→=2OA→-OB→-OC→
C. OM→=OA→+12OB→+13OC→D. OM→=12OA→+13OB→+16OC→
9.（5分）设P为等边三角形ABC所在平面内的一点，满足AP→=AB→+2AC→，若AB=1，则PB→⋅PC→=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
10.（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作一条渐近线的垂线，垂足为A，B0,-13b.若向量F1→A与F2→B共线，则双曲线C的离心率为( )
A. 5B. 3+52C. 2+52D. 1+52
11.（5分）已知向量a→=(1,x)，b→=(-1,2)，若a→//b→，则x=
A. -2B. -12C. 2D. 12
12.（5分）若非零平面向量a→,b→,c→满足(a→.b→).c→=a→.(b→.c→)，则( )
A. a→,c→一定共线B. a→,b→一定共线
C. b→,c→一定共线D. a→,b→,c→无确定位置关系
13.（5分）已知平面向量a+b=(-3,4),c=(m-4,2m+2)(m∈R),且向量c与a+b的夹角为,则实数m的值为
A. -2 B. -4 C. 2D. 4
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知向量a→=(1,2)，b→=(1,1)，若a→与a→+λb→的夹角为直角，则实数λ=__________，若a→与a→+λb→的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________.
15.（5分）已知梯形ABCD中，AD=DC=CB=12AB，P是BC边上一点，且AP→=xAB→+yAD→，当P在BC边上运动时，x+y的最大值是______．
16.（5分）如图，在ΔABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH⊥BC于点H，若AH→=λAB→+μBC→，则λ+μ=______
17.（5分）在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP→=xOA→+yOB→，且BP→=4PA→，则x=_______，y=_______．
18.（5分）已知向量a→=(1,λ)，b→=(3,1)，c→=(1,2)，若向量2a→-b→与c→共线，则向量a→在向量c→方向上的投影为__________.
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）设两个非零向量e1→与e2→不共线．
(1)如果AB→=e1→+e2→，BC→=2e1→+8e2→，CD→=3(e1→-e2→)，求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k的值，使ke1→+e2→和e1→+ke2→共线．
20.（12分）已知a→=(-2,4)，b→=(x,-2)，其中x≠1.
(1)若a→+3b→与ka→-2b→平行，求实数k的值；
(2)若a→⊥b→，证明：对任意实数λ，λa→-b→与a→+λb→垂直．
21.（12分）如图，在同一个平面内，向量OA→，OB→，OC→的模分别为1，1，2，OA→与OC→的夹角为α，且tana=7，OB→与OC→的夹角为45°.若OC→=mOA→+nOB→(m,n∈R)，
(1)求lg57n-lg57m的值；
(2)若函数f(x)=ax2-2ax+18(a<0)在[m,n]上的最大值为2，求a的值．
22.（12分）在平面直角坐标系中，给定△ABC，点M为BC的中点，点N满足AN→=2NC→，点P满足AP→=λAM→,BP→=μBN→.
(1)求λ与μ的值；
(2)若A、B、C三点坐标分别为(2,-2)，(5,2)，(-3,0)，求P点坐标.
23.（12分）设ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c=3，且sin(C-π6)⋅csC=14．
(1)求角C的大小；
(2)若向量m→=(1,sinA)与n→=(2,sinB)共线，求a、b的值．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：因为平面向量a→=(1,-2)，b→=(2,m)，且a→//b→，
所以1×m-(-2)×2=0，
解得m=-4，
所以b→=(2,-4)，
所以3a→+2b→=3(1,-2)+2(2,-4)=(7,-14)．
故选：B．
通过向量平行的坐标表示求出m的值，然后直接计算3a→+2b→的值．
该题考查了平面向量平行的充要条件以及向量加减法的基本运算问题，是基础题目．
2.【答案】C;
【解析】
该题考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系．
根据a→//b→即可得出3k+6=0，解出k的值即可．

解：∵a→//b→；
∴3k+6=0；
∴k=-2．
故选：C．
3.【答案】A;
【解析】解：∵向量a→=(2,1)，b→(0,-1)，c→=(k,3)．
∴由题意得2a-b=(4,3)，b+c=(k,2)．
∵(2a-b)//(b+c)，∴8-3k=0，
解得k=83，
故选：A．
由平面向量运算法则求出2a-b=(4,3)，b+c=(k,2).再由(2a-b)//(b+c)，能求出k的值．
该题考查实数值的求法，考查平面向量运算法则、平面向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B;
【解析】解：∵CB→=3CD→，∴CD→=13CB→，
∵AD→=2AE→，
∴CE→=12(CA→+CD→)=12CA→+16(AB→-AC→)=16AB→-23AC→=16a→-23b→，
故选：B.
根据平面向量运算的三角形法则，进行推导即可．
本题考查了平面向量运算的三角形法则，属基础题．
5.【答案】C;
【解析】
此题主要考查新定义，属中档题．
根据题目中基底的定义可得．

解：∵1=-1×2+1×3；
2=1×2+0×3；
3=0×2+1×3；
4=1×2+1×2；
5=1×2+1×3；
6=1×3+1×3；
根据题意可得A={ 2,3}能作为集合M={ 1,2,3,4,5,6}的基底．
故选：C．
6.【答案】D;
【解析】【分析】
本题考查了向量的三角形法则和共线定理、平行四边形法则，属于基础题．
利用向量的三角形法则及平行四边形法则和向量形式的中点公式即可得出．
【解答】
解：∵M、N分别是对边OA、BC的中点，
∴OM→=12OA→，ON→=12(OB→+OC→)，
∴OG→=OM→+MG→=OM→+23MN→
=OM→+23(ON→-OM→)
=13OM→+23ON→
=13×12OA→+23×12(OB→+OC→)
=16OA→+13OB→+13OC→，
∵OG→=xOA→+yOB→+zOC→，
∴x=16，y=z=13，
故选D.
7.【答案】B;
【解析】解：∵向量a→=(-2,2)，b→=(1,-2λ)，∴a→+3b→=(1,2-6λ)，a→-b→=(-3,2+2λ).
∵(a→+3b→)//(a→-b→)，∴2+2λ-(2-6λ)×(-3)=0，∴λ=12，
故选：B.
由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得实数λ的值．
此题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
8.【答案】D;
【解析】解：由共面向量定理可得：若定点M与点A、B、C一定共面，则存在实数x，y，使得AM→=xAB→+yAC→，
化为OM→=(1-x-y)OA→+xOB→+yOC→，
A.C.中的系数不满足和为1，而B的可以化为：OM→=BA→+CA→，因此OM平行与平面ABC，不满足题意，舍去．
而D中的系数：12+13+16=1，可得定点M与点A、B、C一定共面．
故选：D．
由共面向量定理可得：若定点M与点A、B、C一定共面，则存在实数x，y，使得AM→=xAB→+yAC→，即OM→=(1-x-y)OA→+xOB→+yOC→，即可判断出．
该题考查了共面向量定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【答案】B;
【解析】解：∵P为等边三角形ABC所在平面内的一点，AP→=AB→+2AC→，若AB=1，
则PB→⋅PC→=(AB→-AP→)⋅(AC→-AP→)=(-2AC→)⋅(-AB→-AC→)=2AB→⋅AC→+2AC2→=2⋅1⋅1⋅cs60°+2=3，
故选：B．
利用两个向量的数量积的定义，把要求的式子化为2AB→⋅AC→+2AC2→，再利用两个向量的数量积的定义，求得要求式子的值．
这道题主要考查向量在几何中的应用中的三角形法则，在解决向量问题中，三角形法则和平行四边形法则是很常用的转化方法，属于中档题．
10.【答案】B;
【解析】
此题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．
设出双曲线的一条渐近线方程，因为AF2与直线y=bax垂直，所以AF2的方程为y=-abx-c，解得Aa2c,abc，所以F1→A=a2c+c,abc，由已知得F2→B=-c,-13b，所以a2c+a×-13b=abc×-c，所以e2-3e+1=0，计算可得所求值.

解：双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a,b>0)，
一条渐近线方程为y=bax，
因为AF2与直线y=bax垂直，所以AF2的方程为y=-abx-c，
联立{y=-abx-cy=bax，解得{x=a2cy=abc，即Aa2c,abc，
因为F1(-c,0)，所以F1→A=a2c+c,abc，
由已知得F2→B=-c,-13b，
所以a2c+c×-13b=abc×-c，
所以a2-3ac+c2=0，
所以e2-3e+1=0，
解得e=3±52，因为3-52<1，故舍去，
所以e=3+52，
故选B.
11.【答案】A;
【解析】【分析】
本题考查了向量共线的充要条件，属于基础题.
由题意和向量共线的充要条件可得-x=2，解之即可.
【解答】
解：因为向量a→=(1,x)，b→=(-1,2)，且a→//b→，，
所以-x=2，可得x=-2.
故选A.
12.【答案】A;
【解析】解：∵(a→.b→).c→=a→.(b→.c→)，
∴两个向量之间满足a→=λc→，
∴这两个向量一定共线，
故选：A．
根据两个向量的数量积是一个实数，根据所给的等式可以知道两个向量之间的关系是一个是另一个的实数倍，得到两个向量共线．
该题考查向量的共线定理，本题解答该题的关键是看出两个向量之间的实数倍关系，即数乘关系，本题所给的条件是向量这一部分的一个典型的错误．
13.【答案】B;
【解析】因为a+b=(-3,4),c=(m-4,2m+2),且c与a+b的夹角为,所以(a+b)·c=-3(m-4)+4(2m+2)=0,解得m=-4.故选B.
14.【答案】-53
;(-53,0)∪(0,+∞);略;
【解析】【分析】
本题考查向量数量积运算、向量垂直应用、向量夹角，属于中档题.
利用a→·(a→+λb→)=0可得λ，a→与a→+λb→的夹角为锐角，转化为a→·(a→+λb→)>0，且a→与a→+λb→不共线，利用坐标运算可得实数λ的取值范围.
【解答】
解：a→+λb→=(1+λ,2+λ)，a→⊥(a→+λb→)，
∴a→·(a→+λb→)=λ+1+2(λ+2)=0，
解得λ=-53;
∵a→与a→+λb→的夹角为锐角，
∴a→·(a→+λb→)>0，且a→与a→+λb→不共
线，
∴{λ+1+2(λ+2)>02+λ-2(1+λ)≠0，
解得λ>-53，且λ≠0，
∴λ的取值范围是(-53,0)∪(0,+∞).
故答案为：-53，(-53,0)∪(0,+∞).
15.【答案】32;
【解析】解：设AB的中点为E，则由题意可得ΔBCE为等边三角形，且BC→=EC→-EB→=AD→-12AB→，
再根据BP→、BC→共线，可得BP→=λBC→=λ(AD→-12AB→)，λ∈[0,1]，
∴AP→=AB→+BP→=(1-λ2)AB→+λAD→．
又AP→=xAB→+yAD→，∴x=1-λ2y=λ，∴x+y=1-λ2+λ=1+λ2⩽1+12=32，
故x+y的最大值是32，
故答案为：32．
由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得AP→=AB→+BP→=(1-λ2)AB→+λAD→，λ∈[0,1]，再根据AP→=xAB→+yAD→，求得x、y 的值，可得x+y的最大值．
此题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
16.【答案】43;
【解析】解：∵AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH⊥BC于点H，
又AH→=λAB→+μBC→，
∴AH→.BC→=(λAB→+μBC→)⋅BC→=λAB→.BC→+μBC2→=0，
∴λ×2×3×(-12)+9μ=0，
整理可得，λ=3μ，
∴AH→=3μAB→+μBC→=3μAB→+μAC→-μAB→=2μAB→+μAC→，
又B，H，C共线，
∴2μ+μ=1，
∴μ=13，λ=1，
则λ+μ=43，
故答案为：43．
由已知结合向量数量积的性质可知AH→.BC→=(λAB→+μBC→)⋅BC→=λAB→.BC→+μBC2→=0，从而可得，λ=3μ，然后把AB→，AC→作为基底表示AH→，结合B，H，C共线及向量共线定理即可求解．
此题主要考查了向量共线定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．
17.【答案】45；15;略;
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量基本定理的应用，属于基础题．
根据向量的基本运算以及平面向量的基本定理进行表示即可得到结论．
【解答】
解：OP→=OB→+BP→
=OB→+45BA→
=OB→+45(OA→-OB→)
=45OA→+15OB→．
∴x=45,y=15，
故答案为：45，15
18.【答案】0;
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算、向量共线的条件的应用、向量的投影的运算以及平面向量的数量积运算等知识，属于基础题.
根据向量共线求出λ，计算a→·c→，代入投影公式即可.
【解答】
解：∵向量a→=(1,λ)，b→=(3,1)，
∴向量2a→-b→=(-1,2λ-1).
∵向量2a→-b→与c→共线，c→=(1,2)，
∴2λ-1=-2，解得λ=-12，
∴向量a→=(1,-12)，
∴向量a→在向量c→方向上的投影为|a→|⋅cs=a→·c→|c→|=1×1-2×1212+22=0.
故答案为0.


19.【答案】(1)证明：∵BD→=BC→+CD→=2e1→+8e2→+3(e1→-e2→)
=5(e1→+e2→)=5AB→，
∴BD→//AB→，
又BD→,AB→有公共点B，
∴A,B,D三点共线；
(2)解：设ke1→+e2→=λ(e1→+ke2→)，
化为(k-λ)e1→+(1-λk)e2→=0→，
∴{k-λ=01-λk=0 ，
解得k=±1.;
【解析】本题重点考查向量共线，属于基础题.
(1)利用向量共线定理证明向量BD→与AB→共线即可；
(2)利用向量共线定理即可求出．
20.【答案】解：(1)∵x≠1，∴(-2)×(-2)≠4x，∴a→与b→不共线，
又∵a→+3b→与ka→-2b→平行，∴存在实数λ，使得ka→-2b→=λ(a→+3b→).
∴(λ-k)a→+(3λ+2)b→=0→，{λ-k=03λ+2=0，解得：k=λ=-23；
(2)证明：∵a→⊥b→，∴a→⋅b→=0，
即-2x+4×(-2)=0，解得：x=-4，
∴b→=(-4,-2).∴a→2=b→2=20，
∴(λa→-b→)(a→+λb→)=λa→2+(λ2-1)a→⋅b→-λa→2=20λ+(λ2-1)×0-20λ=0.
∴对任意实数λ，λa→-b→与a→+λb→垂直．;
【解析】本题考查了平面向量的共线定理，考查平面向量垂直的判定与证明以及数量积应用，是基础题．
(1)利用已知可判断a→与b→不共线，根据向量共线定理可得使得ka→-2b→=λ(a→+3b→)，即可求解；
(2)利用a→⊥b→可求出x，再证明(λa→-b→)(a→+λb→)=0即可.
21.【答案】解：（1）示，建立直角坐标系．A（1，0）．
OA→与OC→的夹角为α，且tanα=7，

得到：csα=152，
sinα=752，C（15，75），
解得：cs（α+45°）=-35，sin（α+45°）=45，
所以：B（-35，45），
利用OC→=mOA→+nOB→（m，n∈R），
解得：m=54，n=74
故：lg57n-lg57m=lg_57nm=-1
（2）由（1）得m=54，n=74，
又f（x）=ax2-2ax+18=a（x-1）2+18-a；a＜0．
在[54，74]单调递减，所以f（54）=2⇒a=-2．;
【解析】
(1)建立坐标系求出各点坐标即可求得结论；
(2)利用二次函数的单调性以及第一问的结论即可求解
该题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力
22.【答案】解：(1)设BM→=a→，CN→=b→，
则AM→=AC→+CM→=-a→-3b→，BN→=2a→+b→，
AP→=λAM→=-λa→-3λb→，BP→=μBN→=2μa→+μb→，
故BA→=BP→-AP→=(λ+2μ)a→+(3λ+μ)b→，
而BA→=BC→+CA→=2a→+3b→，
由平面向量基本定理得{λ+2μ=23λ+μ=3，解得{λ=45μ=35，

(2)∵A(2,-2)、B(5,2)、C(-3,0)，
由于M为BC中点，∴M(1,1)，
又由(1)知AP→=4PM→，可得P点的坐标为(65,25).;
【解析】
本题考查了平面向量基本定理，解题的关键是选择适当的基向量表示所需向量.
(1)设BM→=a→，CN→=b→，选择这两个向量作为基向量，把BA→用这两个向量表示，然后由平面向量基本定理得关于λ,μ的方程组，即可解出λ,μ的值;
(2)利用中点坐标公式求出M点坐标，根据AP→=4PM→，可求出P点坐标.

23.【答案】解：（1）sin（C-π6）•csC=（sinCcsπ6-csCsinπ6）•csC
=32sinCcsC-12cs2C
=34sin2C-1+cs2C4
=12sin（2C-π6）-14=14，
∴sin（2C-π6）=1；
又0＜C＜π，
∴-π6＜2C-π6＜11π6，
∴2C-π6=π2，
解得C=π3；
（2）向量m→=（1，sinA）与n→=（2，sinB）共线，
∴2sinA-sinB=0，
∴sinB=2sinA，
即b=2a①；
又c=3，C=π3，
∴c2=a2+b2-2abcsC=a2+b2-ab=9②；
由①②联立解得a=3，b=23．;
【解析】
(1)利用三角恒等变换化简sin(C-π6)⋅csC=14，即可求出C的值；
(2)根据向量m→、n→共线，得出sinB=2sinA，即b=2a①；
由余弦定理得出a2+b2-ab=9②，①②联立解得a、b的值．
该题考查了三角恒等变换以及向量共线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．