2023高考数学复习专项训练《平面向量的数量积》

这是一份2023高考数学复习专项训练《平面向量的数量积》，共15页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）已知|a→|=1，|b→|=2，且a→与b→的夹角为90°，则|2a→+b→|等于 ()

A. 23B. 22C. 7D. 2
2.（5分）下列说法正确的是( )
A. 向量就是有向线段B. 单位向量都是相等向量
C. 若|a→|>|b→|，则a→>b→D. 零向量与任意向量平行
3.（5分）已知向量a→⊥b→，|b→|=1，则|a→|a→|+b→|=( )
A. 2B. 3C. 5D. 7
4.（5分）已知向量a→=(m,2),b→=(2,-2)，且a→⊥b→，则|a→-b→|a→.(a→+b→)等于( )
A. -12B. 12C. 0D. 1
5.（5分）设向量a→，b→满足a→=(1,2)，a→.b→=-5，b→在a→方向上的投影是( )
A. 5B. 55C. -5D. -55
6.（5分）已知AB→=(2,1)，点C(-1,0)，D(4,5)，则向量AB→在CD→方向上的投影为( )
A. 322B. -35C. -355D. 35
7.（5分）设(AB→+CD→)+(BC→+DA→)=a→,b→≠0，则在下列结论中，正确的有( )
①a→//b→；②a→+b→=a→； ③a→+b→=b→； ④|a→+b→|<|a→|+|b→|
A. ①②B. ③④C. ②④D. ①③
8.（5分）设向量a→=(4,2)，b→=(2-k,k-1)且a→⊥b→，则实数k的值为( )
A. -1B. 1C. 2D. 3
9.（5分）已知向量|a→|=2，|b→|=3且a→与b→的夹角为π3，则|2a→+b→|=( )
A. 5B. 37C. 7D. 37
10.（5分）已知|OA→|=1，|OB→|=2，OP→=(1-t)OA→，OQ→=tOB→，0⩽t⩽1.|PQ→|在t0时取得最小值，问当0A. (π3,2π3)B. (π6,π3)
C. (π2,2π3)D. (π6,2π3)
11.（5分）已知向量a→=(1,-1)，b→=(-1,2)，则|2a→+b→|=()
A. 1B. 2C. 3D. 0
12.（5分）已知M，N为单位圆O：x2+y2=1上的两个动点，且满足|MN→|=1，P(3,4)，则|2PM→-PN→|的最大值为( )
A. 5+3B. 5-3C. 5+23D. 5
13.（5分）已知|a→|=3，|b→|=23，a→．b→=-3，则a→与b→的夹角是( )
A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若互相垂直的两向量a→,b→，满足|a→+b→=λ|a→|，且a→+b→与a→-b→的夹角为60°，则实数λ的值为______.
15.（5分）如图，一物体在水平面内的三个力F1、F2、F3的作用下保持平衡，如果F1=5N，F2=7N，∠α=120°，则F3=______ N.
16.（5分）已知单位向量a→，b→的夹角为60°，且|c→-3a→|+|c→+2b→|=19，则|c→+a→|的取值范围为 ______ ．
17.（5分）已知向量a→，b→满足(2a→-b→).(a→+b→)=6，且|a→|=2，|b→|=1，则a→与b→的夹角为 ______ ．
18.（5分）在ΔABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，csA=34，BA→⋅BC→=272，则b=______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知a→=(2,0)，|b→|=1．
(Ⅰ)若a→与b→同向，求b→；
(Ⅱ)若a→与b→的夹角为120°，求a→+b→．
20.（12分）设函数f(x)=a→.b→，其中向量a→=(2csx,1)，b→=(csx,3sin2x)，x∈R．
(1)求函数f(x)的周期与对称轴方程；
(2)若f(x)=1-3且x∈[-π3,π3]，求x；
(3)若存在两个不同的实数x∈[-π3,π3]，使得f(x)=a，求实数a的取值范围．
21.（12分）富比尼原理，又称为算两次思想，即对待同一个量，从不同的角度去考虑，以此建立等量关系或不等关系，从而达到解决问题的目的．如图所示，正九边形ABCDEFGHI中，AB=2，J为边AB的中点．
(1)求正九边形每个内角的弧度数；
(2)求FJ→·AB→,AB→·AF→；
(3)请结合(2)中AB→·AF→的值，运用富比尼原理，求csπ9+cs3π9+cs5π9+cs7π9的值．
22.（12分）已知ΔABC的三内角分别为A，B，C，B=π3，向量m→=(1+cs2A,-2sinC)，n→=(tanA,csC)，记函数f(A)=m→⋅n→，
(1)若f(A)=0，b=2，求ΔABC的面积；
(2)若关于A的方程f(A)=k有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．
23.（12分）设向量a→=(4csa,sina)，b→=(sinβ,4csβ)，c→=(csβ,-4sinβ)
(1)若a→与b→-2c→垂直，求tan(α+β)的值；
(2)求|b→+c→|的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标计算，属于基础题．
根据题意，由(2a→+b→)2=4a→2+b→2+4a→⋅b→，代入数据可得(2a→+b→)2的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意|a→|=1，|b→|=2，则(2a→+b→)2=4a→2+b→2+4a→⋅b→=8，
则|2a→+b→|=22，
故选B.
2.【答案】D;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，向量用有向线段来表示，A错误；
对于B，单位向量是模为1的向量，方向不同，不是相等向量，B错误；
对于C，向量是有大小，有方向的量，若|a→|>|b→|，不一定有a→>b→，C错误，
对于D，零向量的方向是任意的，与任意向量平行，D正确；
故选：D.
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
此题主要考查向量的基本定义，涉及零向量、向量模的定义，属于基础题．
3.【答案】A;
【解析】

利用向量的模的运算法则，通过向量的数量积求解即可．
该题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．

解：向量a→⊥b→，|b→|=1，
则|a→|a→|+b→|=(a→|a→|)2+2a→⋅b→|a→|+b→2=1+1=2．
故选：A．
4.【答案】B;
【解析】解：向量a→=(m,2),b→=(2,-2)，且a→⊥b→，
所以a→⋅b→=2m-4=0，
解得m=2；
所以a→=(2,2)，
所以(a→-b→)2=a2→-2a→⋅b→+b2→=8-0+8=16，
所以|a→-b→|=4，
所以a→⋅(a→+b→)=a2→+a→.b→=8+0=8，
所以|a→-b→|a→.(a→+b→)=48=12．
故选：B．
由a→⊥b→列方程求出m的值，再计算|a→-b→|和a→⋅(a→+b→)和|a→-b→|a→.(a→+b→)的值．
该题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C;
【解析】解：∵a→=(1,2)，a→.b→=-5，
∴b→在a→方向上的投影|b→|cs=a→.b→|a→|=-512+22=-5．
故选：C．
由已知直接结合投影的概念得答案．
此题主要考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中档题．
6.【答案】A;
【解析】
此题主要考查向量的数量积的坐标表示，以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．
运用向量的加减运算可得CD→=(5,5)，运用向量的数量积的坐标表示，以及向量AB→在CD→方向上的投影为AB→.CD→|CD→|，即可得到所求值．

解：AB→=(2,1)，点C(-1,0)，D(4,5)，
可得CD→=(5,5)，
AB→⋅CD→=2×5+1×5=15，
|CD→|=52，
可得向量AB→在CD→方向上的投影为：
AB→.CD→|CD→|=1552=322.
故选：A.
7.【答案】D;
【解析】解：a→=(AB→+CD→)+(BC→+DA→)=AB→+BC→+CD→+DA→=0→，b→≠0→，
则a→//b→，∴①正确；
a→+b→=b→，∴②错误，③正确；
|a→+b→|=|a→|+|b→|，∴④错误；
综上，正确的命题序号是①③．
故选：D．
化简向量a→=0→，再判断所给的命题是否正确．
该题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．
8.【答案】D;
【解析】解：∵a→⊥b→；
∴a→.b→=0；
即4(2-k)+2(k-1)=0；
解得k=3．
故选：D．
根据a→⊥b→即可得出a→.b→=0，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．
考查向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件．
9.【答案】B;
【解析】解：向量|a→|=2，|b→|=3且a→与b→的夹角为π3，
则|2a→+b→|=4a2→+4a→.b→+b2→=16+24×12+9=37．
故选：B．
利用向量的数量积以及向量的模的运算法则转化求解即可．
该题考查向量的模的求法，向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．
10.【答案】C;
【解析】解：设OA→与OB→的夹角为θ，θ∈[0,π]，
由题意可得OA→⋅OB→=2×1×csθ=2csθ，
PQ→=OQ→-OP→=tOB→-(1-t)OA→，
∴|PQ→|2=t2OB→2+(1-t)2OA→2-2t(1-t)OA→⋅OB→
=(1-t)2+4t2-4t(1-t)csθ=(5+4csθ)t2+(-2-4csθ)t+1，
由二次函数知当上式取最小值时，t0=1+2csθ5+4csθ，
由题意可得0<1+2csθ5+4csθ<15，
解得-12∴π2<θ<2π3，
故向量OA→与OB→夹角的取值范围是(π2,2π3)，
故选：C.
由向量的运算可得|PQ→|2=(5+4csθ)t2+(-2-4csθ)t+1，由二次函数可得0<1+2csθ5+4csθ<15，解不等式可得csθ的范围，可得夹角的范围．
此题主要考查数量积与向量的夹角，涉及二次函数和三角函数的运算，属中档题．
11.【答案】A;
【解析】解：∵2a→+b→=(1,0)，
∴|2a→+b→|=1.
故选：A.
根据向量a→,b→的坐标即可求出2a→+b→的坐标，进而可求出|2a→+b→|的值．
本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】A;
【解析】解：PM→=OM→-OP→，PN→=ON→-OP→，
则|2PM→-PN→|=|2(OM→-OP→)-(ON→-OP→)|=|2OM→-ON→+OP→|⩽|2OM→-ON→|+|OP→|，
∵|MN→|=1，P(3,4)，∴ΔOMN为等边三角形，|OP→|=5，
|2OM→-ON→|=(2OM→-ON→)2=3，
则|2PM→-PN→|⩽5+3，(当2OM→-ON→与OP→反向时取等号)，
故选：A．
只需求得|⩽|2OM→-ON→|，|OP→|，利用|2PM→-PN→|=|2(OM→-OP→)-(ON→-OP→)|=|2OM→-ON→+OP→|⩽|2OM→-ON→|+|OP→|，即可求解．
该题考查了圆的性质、平面向量的数量积、属于中档题．
13.【答案】B;
【解析】解：设两个向量的夹角为θ
∵a→.b→=-3
∴|a→||b→|csθ=-3
∴csθ=-33×23=-12
∵θ∈[0,π]
∴θ=120°
故选B
设出两个向量的夹角，利用向量的数量积公式列出方程，求出夹角的余弦，利用夹角的范围求出夹角．
求两个向量的夹角，一般先利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦，注意向量夹角的范围，求出向量的夹角．
14.【答案】233;
【解析】解：∵a→⊥b→；
∴|a→+b→|=|a→-b→|=a2→+b2→；
∵|a→+b→|=λ|a→|；
∴(a→+b→)2=λ2a2→；
∴a2→+b2→=λ2a2→；
∴b2→=(λ2-1)a2→；
又=60°；
∴cs=(a→+b→).(a→-b→)|a→+b→||a→-b→|=a2→-b2→a2→+b2→=a2→-(λ2-1)a2→λ2a2→=2-λ2λ2=12；
解得λ=233.
故答案为：233.
根据a→⊥b→即可得出|a→+b→|=|a→-b→|=a2→+b2→，再由|a→+b→|=λ|a→|即可得出a2→+b2→=λ2a2→及b2→=(λ2-1)a2→.这样根据a→+b→与a→-b→的夹角为60°即得cs60°=(a→+b→).(a→-b→)|a→+b→||a→-b→|=2-λ2λ2=12，这样解方程即可求出λ的值．
考查向量垂直的充要条件，向量加法、减法的几何意义，以及向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式．
15.【答案】8;
【解析】解：根据题意得F1→+F3→=-F2→，两边平方，得 F 1 → 2 + 2øverrightarrw F 1 . F 3 → + F 3 → 2 = F 2 → 2 ，即25+2×5×F3×cs120°+F32=49，解得F3=8N
根据题意得F1→+F3→=-F2→，然后两边平方，即可算出F3的值．
此题主要考查了平面向量的应用以及数量积，属于中档题．
16.【答案】[45719，4];
【解析】解：如图，记OA→=3a→，OB→=-2b→，
因为单位向量a→，b→的夹角为60°，
则点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(-1,-3)，
因为∠AOB=120°，
所以|AB|=32+22-2×3×2×cs120°=19，
因为|c→-3a→|+|c→+2b→|=19，
记OC→=c→，得点C的轨迹为线段AB，
|c→+a→|的几何意义是点P(-1,0)到线段AB上的点的距离，
又点P到直线AB的距离d最小，|PA|最大，
直线AB的方程为3x-4y-33=0，
所以d=433+16=45719，|PA|=4，
所以|c→+a→|的取值范围是[45719,4]．
故答案为：[45719,4]．
由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义，即可得到最值．
此题主要考查了向量的坐标运算、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式，关键是利用几何意义和坐标法解决，属于中档题．
17.【答案】120°;
【解析】解：由(2a→-b→).(a→+b→)=6，且|a→|=2，|b→|=1，
得2a2→-b2→+a→.b→=6，即8-1+2cs=6，
所以cs=-12，
所以a→与b→的夹角为120°．
故答案为：120°．
将已知等式展开，利用向量的平方与模的平方相等以及向量的数量积公式，得到关于 向量夹角的等式解之．
该题考查了向量的数量积的运算以及向量夹角的求法；关键是熟练利用数量积公式．
18.【答案】5;
【解析】解：∵C=2A，csA=34>0，
∴csC=cs2A=2cs2A-1=2×(34)2-1=18>0，
∵0∴0∴sinA=1-cs2A=74，sinC=1-cs2C=378，
∴csB=cs[π-(A+C)]=-cs(A+C)=-(csAcsC-sinAsinC)=916；
∵BA→⋅BC→=272，
∴accsB=272，
∴ac=24，
∵asinA=csinC=csin2A=c2sinAcsA，
∴a=c2csA=23c，
由a=23cac=24解得a=4c=6，
∴b2=a2+c2-2accsB=42+62-2×24×916=25，
∴b=5．
故答案为：5．
由C=2A，得到csC=cs2A，cs2A利用二倍角的余弦函数公式化简，将csA的值代入求出csC的值，发现csC的值大于0，由A和B为三角形的内角，得到A和B都为锐角，进而利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sinC的值，最后利用三角形的内角和定理及诱导公式化简csB，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入即可求出csB的值；利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式BA→⋅BC→=272，由csB的值，求出ac的值，由a，c，sinA和sinC，利用正弦定理列出关系式，将C=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，用c表示出a，代入ac=24中，求出c的值，进而得到a的值，最后由a，c及csB的值，利用余弦定理即可求出b的值．
此题主要考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
19.【答案】解：（I）设b→=（x，y），
由题意可得，存在实数λ＞0，使得b→=λa→，
即（x，y）=λ（2，0）=（2λ，0），
所以x=2λ，y=0，
由|b→|=1可得4λ2=1，即λ=12或λ=-12（舍），
所以b→=（1，0），
（II）设b→=（x，y），
所以a→.b→=|a→||b→|cs120°=2×1×(-12)=-1，
又因为a→.b→=（2，0）•（x，y）=2x，
故2x=-1即x=-12，
因为|b→|=1，所以x2+y2=1，
故y=±32，
当y=32，x=-12时，a→+b→=（32，32），
当y=-32，x=-12时，a→+b→=（32，-32）．;
【解析】
(I)由已知根据向量共线定理即可求解；
(II)由已知结合向量数量积的定义及数量积的坐标表示即可求解．
这道题主要考查了向量共线定理及向量数量积的定义及性质的简单应用，属于中档试题．
20.【答案】解：（1）∵f（x）=a→.b→=2cs2x+3sin2x
=1+cs2x+3sin2x=1+2sin（2x+π6），
f（x）的周期为T=2π2=π；
令2x+π6=kπ+π2，得f（x）的对称轴方程为x=12kπ+π6，k∈Z；
（2）由（1）令f（x）=1-3，
即2sin（2x+π6）+1=1-3，
∴sin（2x+π6）=-32，
∵x∈[-π3，π3]，
∴-π2≤2x+π6≤5π6，
∴2x+π6=-π3，
∴x=-π4；
（3）∵f（x）=2sin（2x+π6）+1，又x∈[-π3，π3]，
∴-π2≤2x+π6≤5π6，
∴-1≤sin（2x+π6）≤1，
∴-2≤2sin（2x+π6）≤2，
-1≤2sin（2x+π6）+1≤3，
又f（x）=a在[-π3，π3]上有两解，
∴直线y=a与曲线y=f（x）在x∈[-π3，π3]上有两个交点，
∴2≤a＜3．;
【解析】
(1)运用向量数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式，化简f(x)，再由周期公式和对称轴方程可得所求；
(2)由(1)的结论解三角方程，可得所求值；
(3)由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，可得所求范围．
该题考查向量的数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及方程有解的条件，考查运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）正九边形每个内角的弧度数为(9-2)π9=7π9．
（2）由正九边形的对称性知，FJ⊥AB，所以FJ→•AB→=0，
AB→•AF→=AB→•（AJ→+JF→）=AB→•12AB→+AB→•JF→=12×2²+0=2．

（3）分别延长HI，GH，FG，与BA的延长线交于点K，L，M，
则AB→与AI→的夹角为7π9，
AB→与IH→的夹角为∠BKH=∠BAI-∠AIK=7π9-2π9=5π9，
AB→与HG→的夹角为∠BLG=∠BKH-∠KHL=5π9-2π9=3π9，
AB→与GF→的夹角为∠BMF=∠BLG-∠MGL=3π9-2π9=π9，
所以AB→•AF→=AB→•（AI→+IH→+HG→+GF→）=AB→•AI→+AB→•IH→+AB→•HG→+AB→•GF→=2×2×cs7π9+2×2×cs5π9+2×2×cs3π9+2×2×csπ9=4（cs7π9+cs5π9+cs3π9+csπ9），
由（2）知，AB→•AF→=2，
所以4（cs7π9+cs5π9+cs3π9+csπ9）=2，
所以cs7π9+cs5π9+cs3π9+csπ9=12．;
【解析】
(1)根据正多边形的内角和定理，即可得解；
(2)结合正九边形的对称性，平面向量的数量积运算法则，得解；
(3)分别延长HI，GH，FG，与BA的延长线交于点K，L，M，由AB→⋅AF→=AB→⋅(AI→+IH→+HG→+GF→)，根据三角形的外角和定理，分别求得AB→与向量AI→，IH→，HG→，GF→的夹角，再由平面向量数量积的运算法则，得解．
此题主要考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性和数量积的运算法则，正九边形的特点是解答该题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：（1）由B=π3，得A+C=2π3，
∵函数f（A）=m→•n→，m→=（1+cs2A，-2sinC），n→=（tanA，csC），
∴f（A）=（1+cs2A）tanA+（-sinC）csC=sin2A-sin2C=sin2A-sin2（2π3-A）=sin（2A+π3），
∵0＜A＜2π3，∴π3＜2A+π3＜5π3
∵f（A）=0，
∴sin（2A+π3）=0，
∴2A+π3=π，
即A=π3，
∴△ABC为正三角形，
∴S△ABC=34b2=3．
（2）∵关于A的方程f（A）=k有两个不同的实数解，
∴sin（2A+π3）=k，有两个不同的实数解，
∴32＜k＜1，或-1＜k＜-32，
即，(-1，-32)∪(32，1)．;
【解析】
(1)利用向量的数量积求出f(A)表达式，根据f(A)=0，得到三角形为正三角形，面积求出即可，
(2)根据(1)2A+π3范围即可求出．
此题主要考查了向量的数量积，以及三角函数公式，注意角的范围．
23.【答案】解：（1）∵a→=（4csα，sinα），b→=（sinβ，4csβ），c→=（csβ，-4sinβ）
若a→与b→-2c→垂直，
则a→•（b→-2c→）=0，
即a→•b→-2a→•c→=0，
即4csαsinβ+4sinαcsβ-2（4csαcsβ-4sinαsinβ）=0，
即4sin（α+β）-8cs（α+β）=0，
则sin（α+β）=2cs（α+β），
即tan（a+β）=2；
（2）∵b→=（sinβ，4csβ），c→=（csβ，-4sinβ）
∴b→+c→=（sinβ+csB，4csβ-4sinβ），
..|b→+c→|2=（sinβ+csB）2+（4csβ-4sinβ）2=sin2β+2sinβcsβ+cs2β+16cs2β-32sinβcsβ+16sin2β
=17-30sinβcsβ=17-15sin2β，
∴当sin2β=-1时，取得最大值为17+15=32，
∴|b→+c→|的最大值为32=42．;
【解析】
(1)根据向量垂直的数量积公式进行化简，结合同角三角函数进行求解．
(2)求出向量的坐标，结合向量数量积与模长的关系，结合三角函数的运算进行求解
此题主要考查平行向量数量积的应用，结合向量垂直以及向量数量积的模长公式转化为三角函数是解决本题的关键．