2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》

这是一份2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》，共14页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔.某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60∘，在塔底C处测得A处的俯角为45∘.已知山岭高CD为256米，则塔高BC为()
A. 256(2-1)米B. 256(3-1)米
C. 256(6-1)米D. 256(23-1)米
2.（5分）已知函数f(x)=2cs(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示，点A(0,3)，B(π6,0)，则函数f(x)图象的一条对称轴方程为( )

A. x=-π3B. x=-π12C. x=π18D. x=π24
3.（5分）稳定房价是我国近几年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响.某市某房地产中介对本市一楼盘对今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y（每平方米的价格，单位：元）与第x季度之间近似满足：y=500sin(ωx+φ)+9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如表所示：
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是（ ）
A. 10000元B. 9500元C. 9000元D. 8500元
4.（5分）某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，AB=BC=CD，BC//AD，∠ABC=∠BCD=120∘.甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，AD=()
A. 10cmB. 102cmC. 103cmD. 56cm
5.（5分）设函数f(x)=Acs(ωx+φ)（其中A＞0，|ω|<;4,0<;φ<;π)的大致图象如图所示，则f（x）的最小正周期为（）
A. π2B. πC. 2πD. 4π
6.（5分）电流IA随时间ts变化的关系式是I=5sin100πt+π3，则当t=1200s时，电流I为( )
A. 5AB. 2.5AC. 2AD. -5A
7.（5分）函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为（ ）
A. [-1+4kπ，1+4kπ]（k∈Z）
B. [-3+8kπ，1+8kπ]（k∈Z）
C. [-1+4k，1+4k]（k∈Z）
D. [-3+8k，1+8k]（k∈Z）
8.（5分）一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径为30m，AM=BP=2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)=()
A. 30sin(π12t-π2)+30B. 30sin(π6t-π2)+30
C. 30sin(π6t-π2)+32D. 30sin(π6t-π2)
9.（5分）设y=f(t)是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0⩽t⩽24，表格中是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）
A. y=12+3sinπ6t,t∈[0，24]
B. y=12+3sin(π6t+π2)，t∈[0，24]
C. y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]
D. y=12+3sin(π12t+π2)，t∈[0,24]
10.（5分）商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sint2(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的（）
A. [0，5]B. [5，10]
C. [10，15]D. [15，20]
11.（5分）若炮弹的初速度大小为v0(v0>0)，发射角(发射方向与水平方向所成的角)为θ(0°<θ<90°)，则炮弹上升的高度h与v0之间的关系式为 ( )
A. h=v0tB. h=v0tsinθ-12gt2
C. h=v0tsin θD. h=v0tcsθ-12g2
12.（5分）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sint2(0⩽t⩽20)给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的（ ）
A. [0，5]B. [5，10]
C. [10，15]D. [15，20]
13.（5分）若把单位时间内通过入海口的鱼的条数定义为鱼流量，若某段时间内长江入海口的鱼流量满足函数F(t)=50+4sint2(t⩾0)，则下列时间段中鱼流量是增加的是（ ）
A. [0，5]B. [5，10]
C. [10，15]D. [15，20]
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系.
若该港口的水深y(m)和时刻t(0⩽t⩽24)的关系可用函数y=Asinωt+h(其中A>0，ω>0，h>0)来近似描述，则该港口在11:00的水深为__________m.
15.（5分）一物体相对于某一固定位置的位移y（cm）和时间t（s）之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________.
16.（5分）(情境创新)［2021合肥十中高一期末］智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波抵消噪音，已知某噪音的声波曲线y=Asin(x+φ)(A>0,0⩽φ<π2)的振幅为2，经过点(π6,3)，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波曲线为___________.
17.（5分）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A，B两点间的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d=__________，t∈[0,60].
18.（5分）在国际气象界， 二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期.某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值(太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值).设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足y=23.4393911·sin(0.0172025x)，则一个回归年对应的天数约为__________(精确到0.01);已知某年的春分日是星期六，则4个回归年后的春分日应该是星期__________(π0.0172025≈182.624)(本小题第一空2分，第二空3分)
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC与扇形OCD组成，OA=30米，AB=50米，∠COD=π6，经营者决定在O点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF=π3，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E在弧CD上，点F在线段AB上．设∠FOC=θ.
(1)求该监控摄像头所能监控到的区域面积S关于的函数关系式，并求出tanθ的取值范围：
(2)求监控区域面积S最大时，角的正切值．
20.（12分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于滩坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为 124米，设置有 36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要 30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|⩽π2)，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到 52米?
21.（12分）某实验室一天的温度（单位℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系式：f(t)=12-2cs(π12t-π6),t∈[0,24).
（1）求该实验室一天当中上午10时的温度；
（2）若某实验需要在不低于13°C的条件下才可以做，那么该实验应该在一天当中的哪个时间段进行？
22.（12分）今年2月底俄罗斯与乌克兰冲突爆发以来，大量的乌克兰人民离开故土开启了逃亡之路，截止3月底，联合国难民事务高级专员表示，乌克兰难民人数已经超过400万，其中大多数逃往波兰、匈牙利、摩尔多瓦、罗马尼亚和斯洛伐克等邻国．各邻国都在陆续建立难民收容所，波兰某地准备在一个废弃的汽车停车场，临时建一处形状为矩形的收容所供乌克兰难民所用，已知停车场是近似如图所示半径为50米，圆心角为2π3的扇形区域AOB，C为弧AB的中点，设∠QOC=θ.
(1)用θ来表示矩形PQRS的面积f(θ)，并指出θ的取值范围．
(2)θ为多少时，f(θ)取得最大值，并求出此最大值．
23.（12分）如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上．记梯形ABCD的周长为y.

(1)设∠CAB=θ，将y表示成θ的函数；
(2)求梯形ABCD周长的最大值．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合思想和运算求解能力，属于基础题．
根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高BC的值．解：如图所示，

在Rt△ACD中，∠CAD=45°，CD=256，
所以AD=256，
在Rt△ABD中，∠BAD=60°，
所以BD=ADtan∠BAD=2563，
所以BC=BD-CD=2563-256，
即塔高BC为256(3-1)米．
故选：B.
2.【答案】D;
【解析】
此题主要考查三角函数的图象与性质，为中档题．
根据图象上的特殊点可求出ϕ的值，进而求出ω=12k+4，k∈Z，表示出对称轴即可求解．

解：根据函数f(x)=2cs(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象，
可得f(0)=2csϕ=3，
结合ω>0，|ϕ|<π2及点A的位置，可得ϕ=-π6，
所以f(x)=2cs(ωx-π6)，
所以f(π6)=2cs(π6ω-π6)=0，
根据点B的位置可得π6ω-π6=2kπ+π2，k∈Z，
即ω=12k+4，k∈Z，
令ωx-π6=k'π，k'∈Z，
可得函数f(x)的对称轴方程为x=k'π+π612k+4，k∈Z，k'∈Z，
令k=0，k'=0，
可得函数f(x)的一条对称轴方程为x=π24.
故选D.
3.【答案】C;
【解析】略
4.【答案】B;
【解析】
此题主要考查三角函数的应用，考查数学建模的核心素养，属于中档题.解：如图，过O点作OE⊥BC，分别交BC，AD于E，F两点，设∠AOF=θ，
则OF=10csθ，AD=20sinθ，由BC//AD，∠ABC=∠BCD=120∘，
得AB=BC=CD=12AD=10sinθ，
则BE=12BC=5sinθ，EF=3BE=53sinθ，
OB2=OE2+BE2=25sin2θ+(53sinθ+10csθ)2=100+503sin2θ，
当2θ=π2，即θ=π4时，OB取得最大值，
此时AD=20sinθ=102cm.
5.【答案】C;
【解析】略
6.【答案】B;
【解析】由题t=1200s时，I=5sin100π×1200+π3=5csπ3=2.5A
故选B.
7.【答案】D;
【解析】略
8.【答案】B;
【解析】此题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质.
由实际问题确定解析式中A的值以及函数的周期，从而求得ω，再由h(0)=0求得φ.解：设h(t)=Asin(ωt+φ)+k，
易知最大值为60，最小值为0，
所以A=60-02=30,又T=12以及T=2πω可得ω=π6，k=602=30，
当t=0时，h(t)=0,所以φ=-π2；
所以解析式为h(t)=30sin(π6t-π2)+30，
故选B.
9.【答案】A;
【解析】略
10.【答案】C;
【解析】略
11.【答案】B;
【解析】根据题可得，上升的高度h=v0tsinθ-12gt2，
故选B．
12.【答案】C;
【解析】略
13.【答案】C;
【解析】略
14.【答案】4;
【解析】
此题主要考查了三角函数模型的运用，正弦型函数解析式的求法及求函数值，属于中档题.
根据条件先求出函数的解析式y=2sinπ6t+5，再求t=11时函数值即可.
解：由题意得函数y=Asinωt+h(其中A>0，ω>0，h>0)的周期为T=12，
{h+A=7,h-A=3,解得{A=2,h=5
∴ω=2π12=π6，∴y=2sinπ6t+5，
该港口在11:00的水深为y=2sin116π+5=4(m).
故答案为4.
15.【答案】y=-4cs5π2t;
【解析】略
16.【答案】y=-2sin(x+π6);
【解析】因为曲线的振幅为2，所以2sin(π6+φ)=3，又曲线经过点(π6,3)，则有2sin(π6+φ)=3，所以sin(π6+φ)=32，因为0≤φ<π2，所以φ=π6，故噪音的声波曲线为y=2sin(x+π6)，又反向声波曲线与噪音的声波曲线关于x轴对称，所以反向声波曲线为y=-2sin(x+π6)．
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查解三角形在解决实际问题中的应用，属于基础题.
根据题意得到秒针转过的角度为∠AOB=πt30，取AB中点C，连接OC，则OC⊥AB，则|AB|=2|BC|，即可求出答案.

解：由题意知秒针转过的角度为∠AOB=t60×2π=πt30，
取AB中点C，连接OC，则OC⊥AB，

则|AB|=2|BC|=2×5×sin∠AOB2=10sinπt60，
故答案为10sinπt60.
18.【答案】365.25;四;
【解析】
此题主要考查了正弦型函数的实际应用，考查了正弦型函数的周期性，是中档题．
解：∵y=23.4393911·sin(0.0172025x)，
∴T=2π0.0172025≈182.624×2=365.248≈365.25，即一个回归年对应的天数约为365.25，
∴4个回归年经过的天数为365.25×4=1461，
又∵1461=208×7+5，
∴4个回归年后的春分日应该是星期四.
19.【答案】解：(1)扇形EOC的面积为12×(π3-θ)×502=2500π6-25002θ.
四边形OCBF的面积为30×50-12×30×30tanθ.
故阴影部分的面积为S(θ)=1500+2500π6-50(9tanθ+25θ).
因为θ∈[θ0,π3]，tanθ0=35，所以tanθ∈[35,3].
(2)设h(θ)=9tanθ+25θ，
则h'(θ)=-9sin2θ-9cs2θsin2θ+25=-9sin2θ+25.
令h'(θ)=0得tanθ=34∈[35,3].
记其解为θ1，并且h(θ)在[θ0,θ1)上单调递减，在(θ1,π3]上单调递增，
所以h(θ)的最小值为h(θ1)，阴影部分的面积最大值为1500+2500π6-50h(θ1)，
此时tanθ1=34.
即监控区域面积S最大时，角θ的正切值为34.;
【解析】此题主要考查三角函数模型的实际运用，考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题.
(1)由题意得到阴影部分的面积为S(θ)=1500+2500π6-50(9tanθ+25θ)，结合角的范围即可求tanθ∈[35,3]；
(2)设h(θ)=9tanθ+25θ，利用导数求出函数的单调性与最值即可.
20.【答案】解：(1)由题意，H(t)=Asin(ω⋅t+φ)+B
(其中A>0，ω>0，|φ|⩽π2)，
摩天轮的最高点距离地面为145米，最低点距离地面为145-124=21米，
则{B+A=145B-A=21，得A=62，B=83，
又函数周期为30分钟，
所以ω=2π30=π15，
所以H(t)=62sin(π15t+φ)+83，
又H(0)=62sin(π15×0+φ)+83=21，
所以sinφ=-1，
因为|φ|⩽π2，
所以φ=-π2.
所以H(t)=62sin(π15t-π2)+83，0⩽t⩽30；
(2)H(t)=62sin(π15t-π2)+83=-62csπ15t+83，
所以-62csπ15t+83=52，
即csπ15t=12，
所以t=5(分钟)，
所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米．.;
【解析】此题主要考查了三角函数模型的实际应用问题，考查了数学建模问题，属于中档题．
(1)根据函数关系式H(t)=Asin(ωt+φ)+B，求出A、B、φ和ω的值即可得解；
(2)令H(t)=52，求出t∈(0,30)内的值即可；
21.【答案】解：（1）∵f(t)=12-2cs(π12t-π6)，t∈[0,24),
∴f(10)=12-2cs(5π6-π6)=12-2cs2π3=13(℃)，
∴该实验室一天当中上午10时的温度为13℃.
（2）令f(t)=12-2cs(π12t-π6)≥13，即cs(π12t-π6)≤-12，
∴2kπ+2π3≤π12t-π6≤2kπ+4π3,k∈Z,
∴24k+10≤t≤24k+18,k∈Z.
∵0≤t<24
∴10≤t≤18,
故该实验室应该在一天中t∈[10,18]这个时间段进行.即10时至18时进行.;
【解析】（1）依题意t=10时，f(10)=12-2cs(5π6-π6)=12-2cs2π3=13(℃)，从而解得；
（2）因为t∈[0，24]，
所以令f(t)=12-2cs(π12t-π6)≥13，
可得2kπ+2π3≤π12t-π6≤2kπ+4π3,k∈Z，从而解出t的范围即可．
22.【答案】解：(1)设QR、PS分别交OC于点D、E，

由题意知OQ=50，∠QOC=θ，
所以QE=PD=50sinθ，OE=50csθ，
所以QR=2QE=100sinθ，OD=PDtan∠POD=50sinθtanπ3=5033sinθ，
所以ED=OE-OD=50csθ-5033sinθ，
所以S=f(θ)=QR⋅ED=100sinθ(50csθ-5033sinθ)
=5000sinθcsθ-500033sin2θ=2500(sin2θ-233sin2θ)
=2500(sin2θ-233×1-cs2θ2)=2500(sin2θ+33cs2θ-33)
=2500[233sin(2θ+π6)-33]=500033sin(2θ+π6)-250033，
其中θ的取值范围是(0,π3).
(2)因为S=500033sin(2θ+π6)-250033(0<θ<π3)，
所以当sin(2θ+π6)=1，即θ=π6时，f(θ)取得最大值250033.;
【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用、二倍角正弦公式、二倍角余弦公式、逆用两角和与差的正弦公式、辅助角公式、求正弦型函数的最值，属于中档题．
(1)设QR、PS分别交OC于点D、E，根据题意解三角形求出QR、ED关于θ的表达式，进而用θ来表示矩形PQRS的面积f(θ)并求出θ的取值范围，利用二倍角正弦和余弦公式以及辅助角公式化简f(θ).
(2)由(1)知f(θ)的解析式，根据正弦型函数的值域求出f(θ)的最大值和此时θ的值．
23.【答案】解：(1)作CF⊥AB于点F，
因为∠CAB=θ，∠ACB=π2，
所以CB=2sinθ，
BF=CBsinθ=2sin2θ，
故CD=2-2BF=2-4sin2θ，
所以梯形ABCD的周长为
y=CD+2CB+AB
=2-4sin2θ+4sinθ+2
=-4sin2θ+4sinθ+4，
因为四边形ABCD为等腰梯形，所以θ∈(0,π4)，
所以y=-4sin2θ+4sinθ+4，θ∈(0,π4).

(2)因为θ∈(0,π4)，所以sinθ∈(0,22)，
因为y=-4sin2θ+4sinθ+4=-4(sinθ-12)2+5，
所以当sinθ=12时，即θ=π6，ymax=5，
所以，梯形周长的最大值为5.;
【解析】
此题主要考查三角函数的模型的应用，考查含sinx型函数的最值问题，考查数学建模思想和运算能力，属于中档题．
(1)作CF⊥AB于点F，可得CB=2sinθ，BF=CBsinθ=2sin2θ，CD=2-2BF=2-4sin2θ，可得y=-4sin2θ+4sinθ+4，从而求出解析式；
(2)由y=-4(sinθ-12)2+5，sinθ∈(0,22)，结合二次函数在给定区间上的图象可求出函数的最大值．
x
1
2
3
y
10000
9500
？
时刻t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
水深(m)
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
-4.0
-2.8
0
2.8
4.0
2.8
0
-2.8
-4.0