2023高考数学复习专项训练《三角恒等变换》

这是一份2023高考数学复习专项训练《三角恒等变换》，共13页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）在ΔABC中，若sinC=2csAcsB，则cs2A+cs2B的最大值为( )
A. 1B. 2C. 2+22D. 1+22
2.（5分）已知-π6<α<π6，且cs(α+π6)=45，则sin(2α+π12)的值为( )
A. 17250B. 31250C. 7210D. 210
3.（5分）在△ABC中，若tan A•tan B＜1，则△ABC的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4.（5分）cs70°•cs20°-sn70°•sin20°的值是（ ）
A. 0B. 1
C. sin50°D. cs50°
5.（5分）已知函数f(x)=23sinωxcsωx+2cs2ωx-1(ω>0)的最小正周期为π2，则当x∈[0,π4]时，函数f(x)的值域是( )
A. [-2,1]B. [-2,2]C. [-1,1]D. [-1,2]
6.（5分）已知函数f(x)=23sinxcsx+cs2x+2m，若x∈[0,π2]时，f(x)的最小值为5，则m=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.（5分）若sinα-π4csπ+2α=-2，则sin2α的值是( )
A. 14B. 34C. -14D. -34
8.（5分）函数f(x)=3cs4x+sin4x(x∈R)的递减区间为( )
A. [-5π24+12kπ,π24+12kπ](k∈Z)
B. [π24+12kπ,7π24+12kπ](k∈Z)
C. [-π6+12kπ,π12+12kπ](k∈Z)
D. [π12+12kπ,π3+12kπ](k∈Z)
9.（5分）已知sinα-π3=-3csα-π6，则tan2α=( )
A. -43B. -32C. 43D. 32
10.（5分）在ΔABC中，D为AB的中点，E为AC边上靠近点A的三等分点，且BE⊥CD，则cs2A的最小值为( )
A. 267B. 27C. -17D. -149
11.（5分）若当x=θ时，函数f(x)=3sinx+4csx取得最大值，则csθ=( )
A. 35B. 45C. -35D. -45
12.（5分）已知cs(α+β)=3cs(α-β)，则tanαtanβ=( )
A. 12B. -12C. 2D. -2
13.（5分）已知cs(x-π6)=-13，csx+cs(x-π3)的值为( )
A. 33B. 3C. -33D. -3
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）函数y=sinxcsx+3的最大值为 ______ .
15.（5分）函数f(x)=cs(x+2θ)+2sinθsin(x+θ)的最小值为 ______ ．
16.（5分）在ΔABC中，A=π4，csB=1010，则sinC=__________.
17.（5分）已知π2<θ<π，且csθ=-45，则tan2θ=______ .
18.（5分）已知tanθ=-3，则sinθ(sinθ+csθ)sin2θ=______.
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知ΔABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2=c2+ac．
(Ⅰ)求证：B=2C；
(Ⅱ)若ΔABC是锐角三角形，求ac的取值范围．
20.（12分）(1)已知tanα=12，求1+2sin(π-α)cs(-2π-α)sin2(-α)-sin2(3π2-α)的值．
(2)已知π4<β<α<3π4，cs(α-β)=1213,sin(α+β)=-35，求sin2α的值．
21.（12分）在ΔABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2cs(B-C)+1=4(sin2B2-cs2B2)(2sin2C2-1)．
(Ⅰ)求角A；
(Ⅱ)若a=7，b=3，求ΔABC的外接圆半径R与内切圆半径r之比．
22.（12分）已知4sin2α+3cs2α=0，π4<α<π2，-π2<β<0.
(1)求cs2α的值；
(2)若csβ=255，求cs(α-β)的值．
23.（12分）设函数f(x)=sin(2x+π6)+cs2x+3sinxcsx.
(1)已知x∈[0,π2]，求函数f(x)的值域；
(2)设A，B，C为ΔABC的三个内角，若csB=13，f(C2)=52，求sinA.
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了三角函数中两角和与差的函数公式的相关知识点，结合基本不等式求最大值是解答该题的关键，属难题.

解：∵sinC=2csAcsB，
即sin(A+B)=2csAcsB，
有sinAcsB+csAsinB=2csAcsB，
∴tanA+tanB=2，
cs2A+cs2B=cs2Asin2A+cs2A+cs2Bsin2B+cs2B
=1tan2A+1+1tan2B+1
=tan2A+tan2B+2(tanAtanB)2+tan2A+tan2B+1
=(tanA+tanB)2-2tanAtanB+2(tanAtanB)2+(tanA+tanB)2-2tanAtanB+1
=6-2tanAtanBtanAtanB2-2tanAtanB+5，
∵分母tanAtanB2-2tanAtanB+5>0，
令6-2tanAtanB=t(t>0)，
cs2A+cs2B=4tt2-8t+32=4t+32t-8⩽2+12(当且仅当“t=42”时取等)，
∴cs2A+cs2B的最大值为1+22 .
故选D.

2.【答案】A;
【解析】
该题考查了“构造思想”，以及二倍角和和与差的公式的灵活运用．属于中档题．
利用“构造思想”，结合二倍角和和与差的公式即可求解．

解：sin(2α+π12)=sin(2α+π3-π4)=sin(2α+π3)csπ4-cs2α+π3sinπ4，
∵-π6<α<π6，
∴0<α+π6<π3，
∴0<2α+π3<2π3，
cs(α+π6)=45，
可得sin(α+π6)=35，
则sin(2α+π3)=2sin(α+π6)cs(α+π6)=2425，
则cs(2α+π3)=2cs2(α+π6)-1=725，
∴sin(2α+π12)=sin(2α+π3-π4)=22(2425-725)=17250．
故选A．
3.【答案】C;
【解析】解：∵tanA•tanB＜1，
∴1-
＞0，即
=
=-
＞0，
∴
＜0．
∴A、B、C中必有一角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形．
故选：C．
4.【答案】A;
【解析】解：cs70°•cs20°-sn70°•sin20°=cs（70°+20°）=cs90°=0，
故选：A．
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y=f(x)的值域．

解：∵函数f(x)=23sinωxcsωx+2cs2ωx-1，=3sin2ωx+cs2ωx
=2sin(2ωx+π6) (ω>0)，
因为函数的最小正周期为π2，∴2π2ω=π2，∴ω=2，
f(x)=2sin(4x+π6).当x∈[0,π4]时，4x+π6∈[π6,7π6]，
∴sin(4x+π6)∈[-12,1]，f(x)∈[-1,2].故选D.
6.【答案】B;
【解析】解：∵函数f(x)=23sinxcsx+cs2x+2m=3sin2x+cs2x+2m=2sin(2x+π6)+2m，
若x∈[0,π2]时，则2x+π6∈[π6,7π6]，故当2x+π6=7π6时，f(x)取得最小值为-1+2m=5，则m=3，
故选：B.
由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最小值，可得m的值．
此题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
7.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了三角函数的化简和求值，涉及到两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、同角三角函数关系，属于基础题.
首先利用正弦的差角公式和二倍角公式、诱导公式将sinα-π4csπ+2α=-2化简，再将sinα+csα=-12平方即可求解此题.
解：因为sinα-π4csπ+2α=-2，
所以sinα-π4csπ+2α=sinαcsπ4-csαsinπ4-cs2α
=22sinα-csαsinα-csαsinα+csα=-2，
即sinα+csα=-12，
所以sinα+csα2=-122，
即1+sin2α=14，
解得sin2α=-34，
故选D.
8.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
由两角和与差的正弦函数公式可得f(x)=2sin(4x+π3)，由2kπ+π2⩽4x+π3⩽2kπ+3π2，k∈Z可解得递减区间．

解：∵f(x)=3cs4x+sin4x=2sin(4x+π3)，
∴由2kπ+π2⩽4x+π3⩽2kπ+3π2，k∈Z可解得递减区间为：[π24+12kπ,7π24+12kπ](k∈Z)
故选：B.
9.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了两角差的正、余弦公式，考查了二倍角公式以及同角三角函数基本关系式，属于基础题.
由两角差公式及同角三角函数关系式可得tanα=-32，再由二倍角公式可得结果.

解：由sinα-π3=-3csα-π6，
有sinαcsπ3-csαsinπ3=-3(csαcsπ6+sinαsinπ6)，
故12sinα-32csα=-332csα-32sinα，
合并同类项有2sinα=-3csα，
显然csα≠0，所以tanα=-32，
故tan2α=2tanα1-tan2α=-31-34=-43.
故选A.
10.【答案】D;
【解析】解：设AB→=c→，AC→=b→，
则：BE→=13b→-c→，CD→=12c→-b→，
由于BE⊥CD，
所以BE→.CD→=0，
则：(13b→-c→).(12c→-b→)=76c→.b→-12c2→-13b2→=0，
所以76bccsA-12c2-13b2=0，
所以csA=12c2+13b276bc⩾216b2c276bc=267．
当且仅当3c=2b时，等号成立．
所以cs2A=2cs2A-1=-149．
故选：D．
直接利用平面向量的数量积和向量垂直的充要条件和基本不等式的应用求出结果．
该题考查的知识要点：平面向量的数量积，向量垂直的充要条件，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
11.【答案】B;
【解析】
此题主要考查辅助角公式和正弦型函数的性质，属于中档题．
利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质即可求解.

解：函数f(x)=3sinx+4csx=5sin(x+ϕ)，
其中sinϕ=45，csϕ=35，
当x=θ时，f(x)取得最大值，
即θ+ϕ=π2+2kπ，k∈Z，
∴θ=π2-ϕ+2kπ，k∈Z，
∴csθ=cs(π2-ϕ+2kπ)=sinϕ=45.
故选B.
12.【答案】B;
【解析】解：已知cs(α+β)=3cs(α-β)，
所以：csαcsβ-sinαsinβ=3csαcsβ+3sinαsinβ，
所以：4sinαsinβ=-2csαcsβ，
故：tanαtanβ=-12．
故选：B．
直接利用和角公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．
该题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
13.【答案】C;
【解析】解：∵cs(x-π6)=-13，
∴csx+cs(x-π3)=csx+12csx+32sinx
=32csx+32sinx=3cs(x-π6)=-33.
故选：C.
利用两角和差的三角公式即可求解．
此题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．
14.【答案】24;
【解析】解：∵x∈R，
∴根据y=sinxcsx+3，得
y(csx+3)=sinx，
∴sinx-ycsx-3y=0，
∴1+y2sin(x-α)=3y，
∴sin(x-α)=3y1+y2，
∴3|y|1+y2⩽1，
∴-24⩽y⩽24.
∴函数y=sinxcsx+3的最大值为24.
故答案为：24.
首先，根据y=sinxcsx+3，得y(csx+3)=sinx，从而得到1+y2sin(x-α)=3y，进而得到sin(x-α)=3y1+y2，然后，利用三角函数的有界性进行求解．
本题重点考查了三角恒等变换、三角公式及其应用等知识，属于中档题．本题解题技巧是利用三角函数的有界性求解最值问题，切实理解与掌握该种方法．
15.【答案】-1;
【解析】解：f(x)=cs(x+2θ)+2sinθsin(x+θ)
=cs(x+θ)csθ-sin(x+θ)sinθ+2sinθsin(x+θ)
=cs(x+θ)csθ+sin(x+θ)sinθ
=cs(x+θ-θ)
=csx，
根据余弦函数的图象与性质得函数f(x)的最小值为-1．
故答案为：-1．
利用两角和与差的余弦公式，对f(x)化简，再根据余弦函数的图象与性质得出函数f(x)的最小值．
此题主要考查了两角和与差的余弦公式以及余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
16.【答案】255;
【解析】
此题主要考查两角和与差的三角函数公式及同角三角函数公式的应用，属于基础题目.
解：由题意可得sinA=csA=22，sinB=31010，
sinC=sin(A+B)=sinAcsB+sinBcsA=22×1010+22×31010=255.
故答案为255.
17.【答案】;
【解析】解：因为π2<θ<π，且csθ=-45，
所以sinθ=1-cs2θ=1-(-45)2=35，可得tanθ=sinθcsθ=-34，
则tan2θ=2tanθ1-tan2θ=2×(-34)1-(-34)2=-247.
故答案为：-247.
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，tanθ的值，进而利用二倍角的正切公式即可求解tan2θ的值．
此题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18.【答案】-1;
【解析】解：因为tanθ=-3，
所以sinθ(sinθ+csθ)sin2θ=sinθ(sinθ+csθ)2sinθcsθ=sinθ+csθ2csθ=tanθ+12=-3+12=-1.
故答案为：-1.
由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
此题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)证明：b2=c2+ac，
可得sin2B=sin2C+sinAsinC，
即有1-cs2B2-1-cs2C2=sinAsinC，
即12(cs2C-cs2B)=sinAsinC，
又cs2C=cs[(B+C)-(B-C)]=cs(B+C)cs(B-C)+sin(B+C)sin(B-C)，
cs2B=cs[(B+C)+(B-C)]=cs(B+C)cs(B-C)-sin(B+C)sin(B-C)，
所以12(cs2C-cs2B)=sin(B+C)sin(B-C)=sinAsin(B-C)=sinAsinC，
由sinA>0，可得sinC=sin(B-C)，
即有C=B-C或C+B-C=π(舍去)，
可得B=2C；
(Ⅱ)若ΔABC是锐角三角形，可得0即为0<π-3C<π2，0<2C<π2，可得π6则ac=sinAsinC=sin(π-3C)sinC=sin3CsinC=sin2C+CsinC=2cs2C+cs2C=3-4sin2C∈(1,2)．;
【解析】
(Ⅰ)运用三角形的正弦定理和二倍角公式和和差公式、诱导公式，化简可得所求结论；
(Ⅱ)由锐角三角形可得C的范围，sinC的范围，再由正弦定理以及倍角公式，计算可得所求范围．
该题考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)1+2sin(π-α)cs(-2π-α)sin2(-α)-sin2(3π2-α)=1+2sinαcsαsin2α-cs2α=(sinα+csα)2(sinα+csα)(sinα-csα)
=sinα+csαsinα-csα=tanα+1tanα-1，
由于tanα=12，
所以原式=12+112-1=32-12=-3；
(2)由于π4<β<α<3π4，
∴0<α-β<π2，π2<α+β<3π2，
又cs(α-β)=1213,sin(α+β)=-35，
∴sin(α-β)=513,cs(α+β)=-45，
∴sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]
=-35×1213+(-45)×513
=-5665.;
【解析】
此题主要考查诱导公式的运用，考查同角三角函数的基本关系，考查两角和与差的三角函数，属于基础题.
(1)利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简求解；
(2)根据题中角的范围，利用同角三角函数基本关系求出sin(α-β)=513,cs(α+β)=-45，再利用sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]进行求解.

21.【答案】解：（Ⅰ）∵2cs（B-C）+1=4（sin2B2-cs2B2）（2sin2C2-1），
∴2cs（B-C）+1=4（cs2B2-sin2B2）（1-2sin2C2）=4csBcsC
∴2csBcsC+2sinBsinC+1=4csBcsC
∴2csBcsC-2sinBsinC=1，
∴2cs（B+C）=1，
∴csA=-12，
∵A∈（0，π），
∴A=2π3，
（Ⅱ）由正弦定理得asinA=732=2R，
∴R=73，
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccsA，
∴49=9+c2+3c，
解得c=5，
利用△ABC的等面积可得12bcsinA=12（a+b+c）r，
∴12×3×5×32=12×（3+5+7）r，
解得r=32，
∴Rr=7332=143
∴△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r之比14：3．;
【解析】
(Ⅰ)根据二倍角公式和两角和差的余弦公式和诱导公式即可求出，
(Ⅱ)先根据正弦定理求出R，再根据余弦定理求出c，再根据等面积即可求出r，问题得以解决
此题主要考查了三角函数的恒等变化和正弦定理和余弦定理和三角形得面积公式，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
22.【答案】解：（1）∵4sin2α+3cs2α=0，∴tan2α=-34．
∵π4＜α＜π2，∴2α∈（π2，π），∴tan2α=-34=1-cs22αcs2α，且cs2α＜0，
求得cs22α=1625，∴cs2α=-45．
（2）由已知可得，tan2α=-34=2tanα1-tan2α，求得tanα=3，或tanα=-13．
∵π4＜α＜π2，∴tanα=3=sinαcsα．
再结合sin2α+cs2α=1，可得sinα=31010，csα=1010．
∵csβ=255，-π2＜β＜0，∴sinβ=-1-cs2β=-55，tanβ=sinβcsβ=-12．
∴cs（α-β）=csαcsβ+sinαsinβ=1010×255+31010×(-55)=-210．;
【解析】
(1)由题意利用同角三角函数的基本关系式求得tan2α的值，可得cs2α的值．
(2)由题意利用二倍角公式求得tanα=3，可得sinα和 csα的值，再根据csβ求得sinβ，可得cs(α-β)=csαcsβ+sinαsinβ的值．
此题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．
23.【答案】解：(1)f(x)=32sin2x+12cs2x+1+cs2x2+32sin2x
=3sin2x+cs2x+12
=2sin(2x+π6)+12
x∈[0,π2]，2x+π6∈[π6,7π6]，
所以函数f(x)的最大值是52，函数f(x)的最小值是-12，
故函数f(x)的值域为[-12,52].
(2)f(c2)=2sin(C+π6)+12=52，
所以sin(C+π6)=1，
又C为ΔABC的内角，所以C=π3，
又因为在ΔABC中，csB=13，所以sinB=233，
所以sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC=223×12+13×32=22+36.;
【解析】本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，两角和与差的余弦函数，学生的计算能力，属于中档题．
(1)化简f(x)=2sin(2x+π6)+12，由于x∈[0,π2]，2x+π6∈[π6,7π6]，所以函数f(x)的最大值是52，函数f(x)的最小值是-12，即可求出值域．
(2)f(c2)=2sin(C+π6)+12=52，所以sin(C+π6)=1，又C为ΔABC的内角所以C=π3，又因为在ΔABC中，csB=13，所以sinB=233，所以sinA的值为22+36.

sinAsinB
csAcsB
csAcsB-sinAsinB
csAcsB
cs(A+B)
csAcB
csC
csAcB
csC
csAcB