2023高考数学二轮复习专项训练《定积分》

这是一份2023高考数学二轮复习专项训练《定积分》，共12页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）李华同学利用“随机模拟的方法”估计图中由曲线y=lg2x与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S，他用计算机分别产生了15个在区间[1,2]上的均匀随机数xi和15个在区间[0,1]上的均匀随机数yi，i∈N*，1⩽i⩽15，其数据如下表的前两行.
根据以上数据可估算S的一个近似值为( )

A. 715B. 815C. 35D. 23
2.（5分）在如图算法框图中，若a=-33(2x+1+sinx)dx，程序运行的结果S为二项式(2+x)5的展开式中x3的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是( )
A. k<3B. k>3C. k<4D. k>4
3.（5分）(理)设函数f(x)=(x+1)2(x-2),则limx→-1f'(x)x+1等于( )
A. 6B. 2C. 0D. -6
4.（5分）若12(x-a)dx=0π6csxdx，则a等于( )
A. -1B. 1C. 2D. 4
5.（5分） 由曲线y=x2+1、直线y=-x+3，x轴与y轴所围成图形的面积为( )
A. 3B. 103C. 73D. 83
6.（5分）lim Δx→0f(x0+3Δx)-f(x0) Δx=1，则f'(x0)等于( )
A. 1B. 0C. 3D. 13
7.（5分） 一物体在力F(x)=ex+2x(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=3处(单位：m)，则力F(x)所作的功为( )
A. e3+9B. e3+8C. e3+2D. e3+1
8.（5分）函数f(x)=1x与两条平行线x=e，x=4及x轴围成的区域面积是( )
A. -2ln2+1B. 2ln2-1C. -ln2D. ln2
9.（5分）若a=π22sinxdx，b=01csxdx，则a与b的关系是( )
A. abC. a=bD. a+b=0
10.（5分）由曲线y=2x，直线x=1，直线x=3以及x轴围成的平面区域绕x轴旋转一周形成的几何体体积表达式为( )
A. 13πx2dxB. 134πxdxC. 13πxdxD. 134dx
11.（5分）在直角坐标平面内，由曲线xy=1，y=x，和x=3所围成的封闭图形的面积为( )
A. 12+ln3B. 4-ln3C. 1+ln3D. 2-ln3
12.（5分）已知M=011x+1dx,N=01csxdx，由图示程序框图输出的S为( )
A. 1B. ln 2C. π2D. 0
13.（5分）m=01exdx与n=1e1xdx的大小关系是( )
A. m>nB. m二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积是 ______ .
15.（5分）-10(1-2x)(1-3x2)dx=______．
16.（5分）设随机变量X～N(10,1)，P(9⩽x<10)=a，其中a=19141xdx，则P(X⩾11)=______．
17.（5分）由y=x2，y=x所围成的图形绕y轴旋转所得到的旋转体的体积V=__________.
18.（5分）已知函数y=x3的图象和直线y=2x围成的封闭图形是平面图形，则这封闭图形的面积是______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知曲线y=ex及直线y=-x+1,x=1.
(1)求它们围成的平面图形的面积；
(2)求将此平面图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积。
20.（12分）已知f(x)为二次函数，且f(-1)=2，f'(0)=0，01f(x)dx=-2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值．
21.（12分）求曲线xy=1及直线y=x，y=3所围成图形的面积．
22.（12分）求由抛物线y=-x2+4x-3与它在点A(0,-3)和点B(3,0)的切线所围成的区域的面积．
23.（12分）如图，在区间[0,1]上给定曲线y=x2，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积S1+S2最小．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】
此题主要考查定积分在解决实际问题中的应用，根据条件向矩形区域1⩽x⩽20⩽y⩽1内随机抛掷15个点，其中有7个点落在阴影区域内，根据频率即可得出答案，属于基础题.

解：由题表可知，向矩形区域1⩽x⩽20⩽y⩽1内随机抛掷15个点，
其中满足y其频率为S1×1=715，得到S=715.
故选A.
2.【答案】C;
【解析】
根据微积分和二项式定理的内容求出a，S，结合程序框图进行模拟运算即可．
此题主要考查程序框图的识别和判断，求出a，S的值，利用模拟运算法是解决本题的关键．

解：a=-33(2x+1+sinx)dx=(x2+x-csx)|-33=9+3-cs3-9+3+cs3=6，
二项式(2+x)5的展开式中x3的系数为C53.22=40，即S=3×40=120，
a=6，S=6，k=5，
S=6×5=30，k=4，k不满足条件．
S=30×4=120，k=3，则k=3满足条件．，
输出S=120，
故选：C．

3.【答案】D;
【解析】解：∵f'(x)=2(x+1)(x-2)+(x+1)2
=3(x+1)(x-1)，
∴limx→-1f'(x)x+1=limx→-13(x+1)(x-1)x+1
=limx→-13(x-1)=-6.
故选D.
由f'(x)=2(x+1)(x-2)+(x+1)2=3(x+1)(x-1)，知limx→-1f'(x)x+1=limx→-13(x+1)(x-1)x+1，由此能求出其结果．
此题主要考查导数的求法和函数的极限的求法，解题时要认真审题，是基础题．
4.【答案】B;
【解析】解：∵12(x-a)dx=0π6csxdx，
∴(12x2-ax)|12=sinx|0π6，
即32-a=12，
解得a=1．
故选：B．
利用定积分的运算法则列出方程，求出a的值即可．
该题考查了定积分的求法问题，求出积分函数的原函数是解答该题的关键，是基础题．
5.【答案】B;
【解析】
求出交点坐标，利用定积分知识，即可求解．
此题主要考查了利用定积分求曲边梯形的面积，关键是利用定积分表示出面积．

解：如图，

曲线y=x2+1、直线y=-x+3联立可得x2+x-2=0，∴x=-2或1，
∴由曲线y=x2+1、直线y=-x+3，x轴与y轴所围成图形的面积为01(x2+1)dx+12×2×2=(13x3+x)|01+2=103，
故选B．
6.【答案】D;
【解析】解：∵lim Δx→0f(x0+3Δx)-f(x0) Δx=3lim Δx→0f(x0+3Δx)-f(x0) 3Δx=3f'(x0)=1
∴f'(x0)=1 3
故选D

依导数定义，f'(x0)=lim Δx→0Δy Δx=lim Δx→0f(x0+Δx)-f(x0) Δx，本题中的自变量的增量为3Δx时正好符合导数定义，即可变换出f'(x0)的值
该题考查了导数的定义．
7.【答案】B;
【解析】解：W=03(ex+2x)dx=(x2+ex)| 03=9+e3-e0=e3+8．
故选B．
由定积分的物理意义，变力F(x)所作的功等于力在位移上的定积分，进而计算可得答案．
这道题主要考查了定积分在物理中的应用，同时考查了定积分的计算，属于基础题．
8.【答案】B;
【解析】解：由已知，得S=e41xdx=lnx|e4=ln4-1=2ln2-1．
故选：B．
直接套用定积分公式计算即可．
该题考查定积分的计算公式，属于基础题．
9.【答案】A;
【解析】解：∵a=π22sinxdx=(-csx)|π22=(-cs2)-(-csπ2)=-cs2≈-cs114.6°=sin24.6°，
b=01csxdx=sinx|01=sin1-sin0=sin1≈sin57.3°，
∴b>a．
故选A．
a=π22sinxdx=(-csx)|π22=(-cs2)-(-csπ2)=-cs2≈sin24.6°，b=01csxdx=sinx|01=sin1-sin0=sin1≈sin57.3°．
此题主要考查定积分的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
10.【答案】B;
【解析】V=13π(2x)2dx=134πxdx.
11.【答案】B;
【解析】
此题主要考查定积分的几何意义及微积分基本定理，根据题意，确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，进而计算即可得到结论．

解：如下图，

由xy=1y=x解得B(1,1)，由{xy=1x=3解得C(3,13)，由{y=xx=3解得A(3,3)，

所以由曲线xy=1，y=x和x=3所围成的封闭图形的面积S=13(x-1x)dx=(x22-lnx)|13=4-ln3.
故选B.
12.【答案】B;
【解析】解：根据题意，M=011x+1dx=ln(x+1)|01=ln2-ln1=ln2，
N=01csxdx=sinx|01=sin1-sin0=sin1，
又由ln2≈0.6931，sin1≈0.841
则ln2程序框图输出的S为M、N中的较小者，故输出的S为ln2，
故选：B．
根据题意，求出M、N的值，分析可得程序框图输出的S为M、N中的较小者，即可得答案．
此题主要考查定积分的计算以及程序框图的分析，关键是计算两个定积分．
13.【答案】A;
【解析】解：由于m=01exdx=ex|01=e1-e0=e-1，n=1e1xdx=lnx|1e=lne-ln1=1．
由于e≈2.71828，∴e-1>1，即m>n．
故答案选A．
先求出m，n的值，再比较m，n的大小关系．
此题主要考查的是定积分的值的大小比较．(ex)'=ex,(lnx)'=1x．
14.【答案】18;
【解析】解：由{y2=2xy=4-x，解得y=2或y=-4，
由y2=2x得y=2x或y=-2x
所以抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积为
02(2x-(-2x))dx+28(4-x-(-2x))dx=02(22⋅x12)dx+28(4-x+2⋅x12)dx
=22(23x32)|02+(4x-12x2+2⋅23x32)|28
=163+643-(6+83)=18.
故答案为：18.
先求出两个曲线的交点坐标，然后利用定积分的应用求区域面积．
此题主要考查积分的基本应用，利用积分求平面图象的面积是积分的基本应用，考查学生的运算能力．
15.【答案】-12;
【解析】解：-10(1-2x)(1-3x2)dx=-10(1-2x-3x2+6x3)dx
=(x-x2-x3+32x4)| -10=0-(-1-1+1+32)=-12，
故答案为：-12．
根据定积分的计算法则计算即可．
该题考查了定积分的计算，属于基础题．
16.【答案】16;
【解析】解：a=19141xdx=2x|1914=13，
∴P(9⩽x<10)=13．
∴随机变量X～N(10,1)，
∴曲线关于X=10对称，
∴P(X⩾11)=P(X⩽9)=0.5-P(9⩽x<10)=16．
故答案为：16．
随机变量X～N(10,1)，得到曲线关于X=10称，根据曲线的对称性得到P(X⩾11)=P(X⩽9)=0.5-P(9⩽x<10)，根据概率的性质得到结果．
这道题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．
17.【答案】π6;
【解析】曲线y=x2与直线y=x交于点0,0和1,1，所以根据旋转体的积分计算公式，可得该旋转体的体积为V=01πy-y2dy=π(12y2-13y3)|01=π6.
18.【答案】2;
【解析】解：令y=x3y=2x，解得x=0，或x=±2；
所以由函数y=x3的图象和直线y=2x围成封闭图形的面积为：
S=202(2x-x3)dx=2×(x2-14x4)| 20=2×(2-1)=2．
故答案为：2．
由题意知两块封闭图形的面积之和，上部直接积分减去下部积分，根据积分的运算公式进行求解即可．
这道题主要考查定积分的计算问题，是基础题．
19.【答案】解：(1)S=01(ex+x-1)dx=(ex+12x2-x)|01=e-32；
(2)V=01π(ex)2dx-01π(-x+1)2dx=π2e2x|01-π(13x3-x2+x)|01=3e2-56π.;
【解析】此题主要考查直线与曲线围成的曲边梯形的面积与曲线旋转围成的几何体的体积，属于中档题目.
(1)利用定积分求出曲边梯形的面积即可；
(2)利用定积分求出几何体的体积即可.
20.【答案】解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
则f'(x)=2ax+b．
由f(-1)=2，f'(0)=0，
得a-b+c=2b=0即c=2-ab=0
∴f(x)=ax2+(2-a)．
又01f(x)dx=01[ax2+(2-a)]dx
=[13ax3+(2-a)x]|01=2-23a=-2，
∴a=6，∴c=-4．
从而f(x)=6x2-4．
(2)∵f(x)=6x2-4，x∈[-1,1]，
所以当x=0时f(x)min=-4；
当x=±1时，f(x)max=2．;
【解析】这道题主要考查了定积分，以及函数的最值，属于基础题．
(1)先利用待定系数法设出二次函数，根据条件建立三个方程，求出参数即可．
(2)本题是二次函数在闭区间上求最值，对称轴为x=0，故在对称轴处取最小值，在±1处取最大值．
21.【答案】解：由xy=1，y=3可得交点坐标为（13，3），
由xy=1，y=x可得交点坐标为（1，1），
由y=x，y=3可得交点坐标为（3，3），
∴由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为
131(3-1x)dx+13(3-x)dx=（3x-lnx）|131+（3x-12x2）|13=（3-1-ln3）+（9-92-3+12）=4-ln3．;
【解析】
确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．
该题考查面积的计算，解答该题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积．
22.【答案】解：y'=-2x+4，k1=y'（0）=4，k2=y'（3）=-2，
所以过点A（0，-3）和点（3，0）的切线方程分别是y=4x-3和y=-2x+6，
两条切线的交点是(32，3)，围成的区域被直线x=32分成了两部分，分别计算再相加，得：
S=[032(4x-3)dx-032(-x2+4x-3)dx]+[323(-2x+6)dx-323(-x2+4x-3)dx]=（2x2-3x）[032-(-13x3+2x2-3x)]032+（-x2+6x）[323-(-13x3+2x2-3x)]323=94，
即所求区域的面积是94．;
【解析】
利用函数的导数求出切线方程，然后通过定积分求解图形的面积即可．
该题考查函数的导数的应用，切线方程以及定积分的应用，考查计算能力．
23.【答案】解：S1=t.t2-0tx2dx=23t3，
S2=t1x2dx-t2(1-t)=23t3-t2+13…（4分）
∴S=S1+S2=43t3-t2+13(0＜t≤1)…（6分）
S'(t)=4t2-2t=4t(t-12)
令S′（t）=0，得t=12或t=0（舍去）
当0＜t＜12时，S′（t）＜0；当12＜t≤1时，S′（t）＞0；
∴当t∈(0，12]时，S（t）为减函数，当t∈(12，1]时，S（t）为增函数…（10分）
所以，当t=12时，Smin=S(12)=14…（12分）;
【解析】
先利用定积分分别表示出阴影部分的面积S1与S2，然后求出S1+S2关于t的函数解析式和定义域，利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最小值．
这道题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及利用导数研究函数的单调性和求函数最值，属于中档题．
x
1.30
1.33
1.72
1.19
1.27
1.25
1.69
1.11
1.05
1.21
1.08
1.08
1.98
1.91
1.63
y
0.10
0.77
0.14
0.62
0.99
0.36
0.45
0.32
0.43
0.06
0.85
0.67
0.22
0.79
0.32
lg2x
0.38
0.41
0.79
0.25
0.35
0.32
0.76
0.14
0.07
0.28
0.11
0.11
0.98
0.94
0.70