2023高考数学二轮复习专项训练《函数的概念及其表示》

这是一份2023高考数学二轮复习专项训练《函数的概念及其表示》，共15页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合.若A={x|x=2n+1,n∈N,n⩽4}，B={2,3,4,5,6,7}，则A⊗B=()
A. {2,4,6,1}B. {2,4,6,9}
C. {2,3,4,5,6,7}D. {1,2,4,6,9}
2.（5分）已知U=R，集合A={ x|x>1}，集合B={ x|-1A. { x|x>1}B. { x|x>-1}
C. { x|-13.（5分）函数f(x)={ex-3,x<1lnx,x⩾1，则关于函数f(x)的说法不正确的是( )
A. 定义域为RB. 值域为(-3,+∞)
C. 在R上为增函数D. 只有一个零点
4.（5分）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题¬p为（ ）
A. 某班至多有一个男生爱踢足球B. 某班至少有一个男生不爱踢足球
C. 某班所有的男生都不爱踢足球D. 某班所有的女生都爱踢足球
5.（5分）设直线x=t与函数f(x)=x2，g(x)=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )
A. 1B. 12C. 52D. 22
6.（5分）函数f(x)=x+csxx2的大致图象为()
A. B.
C. D.
7.（5分）a>b的一个充要条件是()
A. 1a<1bB. ac2>bc2C. lg2a>lg2bD. 1.7a>1.7b
8.（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2-1，值域为{ 1,7}的“孪生函数”共有( )
A. 10个B. 9个
C. 8个D. 4个
9.（5分）给出下列四个说法：
①函数就是两个集合之间的对应关系；
②若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素；
③若f（x）=5（x∈R），则f（π）=5一定成立；
④若定义域和对应关系确定，值域也就确定了.其中正确说法的个数为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.（5分）函数f(x)=x2(ex-e-x)的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
11.（5分）已知正数x，y满足x+y=4，则xy的最大值()
A. 2B. 4C. 6D. 8
12.（5分）已知函数f(x)=|x-1|-1，下列结论正确的是()
A. f(x)是偶函数
B. f(x)在(0,+∞)上单调递增
C. f(x)的图象关于直线x=1对称
D. f(x)的图象与x轴围成的三角形面积为2
13.（5分）已知不等式xy⩽ax2+2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. [-1,+∞)B. (-∞,1]C. (0,2]D. [-1,2]
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）函数f(x)=lg2(3x-1)的定义域为______．
15.（5分）已知函数y=f(x)在R上是奇函数，且当x⩾0时，f(x)=x2-2x，则x<0时，f(x)的解析式为______．
16.（5分）若关于x的不等式|asin2x+bsinx+c|⩽1(a>0)的解集为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，则a的取值范围是 ______.
17.（5分）已知实数a>0，b>0，且1a+1b=1，则3a-1+2b-1的最小值为__________.
18.（5分）已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数m的取值范围是______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知集合A={x|x+63-x⩾0}，集合B={x|x2⩽16}，C={x|3x+m<0}.
(1)求A∪B,A∩B，∁R(A∪B)；
(2)若x∈C是x∈A的必要条件，求m的取值范围．
20.（12分）已知函数f(x)对一切实数x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)=-2．
(1)试判定该函数的奇偶性；
(2)试判断该函数在R上的单调性；
(3)求f(x)在[-12,12]上的最大值和最小值．
21.（12分）某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元
(1)求该设备给企业带来的总利润y(万元)与使用年数xx∈N*的函数关系；
(2)试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？
22.（12分）设f(x)=ax2+bx+c，若6a+2b+c=0，f(1)f(3)>0，
(1)若a=1，求f(2)的值
(2)求证：f(x)=0必有两实数根x1，x2，且323.（12分）已知二次函数f(x)的图象过原点和点(1,-3)，且满足f(-1+x)=f(-1-x).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)=lga(x2-2x+2)(a>0,且a≠1)，若存在x1∈[-3,0]，使得对任意x2∈[1,2]，都有f(x1)⩾g(x2)成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：由Venn图可知，A⊗B={x|x∈(A∪B),x∉(A∩B)}，
因为A={x|x=2n+1,n∈N,n⩽4}={1,3,5,7,9}，B={2,3,4,5,6,7}，
则A∪B={1,2,3,4,5,6,7,9}，A∩B={3,5,7}，
因此，A⊗B={1,2,4,6,9}.
故选：D.
分析可知A⊗B={x|x∈(A∪B),x∉(A∩B)}，求出集合A、A∪B、A∩B，即可得集合A⊗B.
此题主要考查集合的应用，属于基础题．
2.【答案】D;
【解析】
根据阴影部分对应的集合为∁U(A∩B)∩(A∪B)，然后根据集合的基本运算进行求解即可．
这道题主要考查集合的基本运算，利用阴影部分表示出集合关系是解决本题的关键．

解：U=R，集合A={ x|x>1}，集合B={ x|-1由题意可知阴影部分对应的集合为∁U(A∩B)∩(A∪B)，
∴A∩B={ x|1-1}，
即∁U(A∩B)={ x|x⩽1或x⩾2}，
∴∁U(A∩B)∩(A∪B)={ x|-1故选：D．
3.【答案】B;
【解析】
该题考查了函数定义域和值域，分段函数，函数的单调性的判断，函数的零点，考查了计算和推理能力，属于基础题．
根据f(x)的解析式即可判断f(x)的定义域为R，且在R上为增函数，只有一个零点x=1，从而判断出说法不正确的选项．

解：f(x)={ex-3,x<1lnx,x⩾1
∴f(x)的定义域为R，
当x<1时，f(x)=ex-3单调递增，此时f(x)∈(-3,e-3)，
当x⩾1时，f(x)=lnx单调递增，此时f(x)∈[0,+∞)，
因为e-3<0，
故函数f(x)的值域为(-3,e-3)∪[0，+∞)，
∴f(x)在R上为增函数，
f(1)=0，∴f(x)只有一个零点．
故选：B．
4.【答案】B;
【解析】略
5.【答案】D;
【解析】
该题考查导数知识的运用，解答该题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值，属中档题．
可以结合两个函数的草图，发现在(0,+∞)上x2>lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．
将两个函数作差，得到函数y=f(x)-g(x)，再求此函数的最小值对应的自变量x的值．

解：设函数y=f(x)-g(x)=x2-lnx，求导数得
y'=2x-1x=2x2-1x，
当0当x>22时，y'>0，函数在(22,+∞)上为单调增函数，
所以当x=22时，所设函数的最小值为12+12ln2，
所求t的值为22．
故选D．
6.【答案】A;
【解析】解：由f(-x)=-x+cs(-x)(-x)2=-x+csxx2≠±f(x)，
故函数为非奇非偶函数，排除B、C；
由f(-π)=-π+cs(-π)(-π)2=-π+csππ2=-π-1π2，
f(-π2)=-π2+cs(-π2)(-π2)2=-π2，所以f(-π)故选：A.
应用定义判断函数奇偶性，比较f(-π),f(-π2)，结合排除法即可得答案．
此题主要考查函数的图象问题，函数的奇偶性，特值点，属中档题．
7.【答案】D;
【解析】解：A，当a=2，b=-1时，满足a>b，但1a>1b，∴错误，
B，当a=2，b=-1，c=0时，满足a>b，但ac2=bc2，∴错误，
C，当a=2，b=-1时，满足a>b，但lg2b无意义，∴错误，
D，∵y=1.7x在R上为增函数，∴a>b⇔1.7a>1.7b，∴正确．
故选：D.
利用举实例判断ABC，利用指数函数的性质、充要条件的定义判定D.
此题主要考查了指数函数的性质、充要条件的判定，属于基础题．
8.【答案】B;
【解析】此题主要考查的知识点是新定义，函数的三要素，基本用列举法，是解答此类问题的常用方法，但列举时，要注意一定的规则，以免重复和遗漏，属于基础题.解：由已知中“孪生函数”的定义：一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，
当函数解析式为y=2x2-1，值域为{ 1,7}时，
函数的定义域可能为：{-2,-1}，{-2,1}，{ 2,-1}，{ 2,1}，{-2,-1,1}，{-2,-1,2}，{-1,1,2}，{-2,1,2}，{-2,-1,1,2}，共9个
故选B.

9.【答案】B;
【解析】略
10.【答案】A;
【解析】
该题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，属于基础题．
判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．

解：∵f(x)=x2(ex-e-x)，
∴f(-x)=(-x)2(e-x-ex)=-x2(ex-e-x)=-f(x)，
∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，
当x→+∞时，f(x)→+∞，故排除C
故选：A．
11.【答案】B;
【解析】解：∵x>0，y>0，且x+y=4，
∴xy⩽(x+y)24=424=4，
当且仅当x=y=2时，等号成立．
故选：B.
直接利用基本不等式求最值即可．
此题主要考查不等式的性质，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．
12.【答案】C;
【解析】解：A选项，f(x)=|x-1|-1={x-2,x⩾1-x,x<1，
画出其函数图象，如下：

故f(x)不是偶函数，A错误；
B选项，f(x)在(0,1)上单调递减，故B错误；
C选项，f(x)的图象关于直线x=1对称，C正确；
D选项，f(x)的图象与x轴围成的三角形面积为2×12=1，D错误．
故选：C.
去掉绝对值，得到f(x)={x-2,x⩾1-x,x<1，画出其图象，进而判断出四个选项．
此题主要考查了分段函数的图象和性质，属于基础题．
13.【答案】A;
【解析】解：由题意可知：不等式xy⩽ax2+2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，
即：a⩾yx-2(yx)2，对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，
令t=yx，则1⩽t⩽3，
∴a⩾t-2t2在[1,3]上恒成立，
∵y=-2t2+t=-2(t-14)2+18，
∴ymax=-1，
∴a⩾-1．
故选：A．
由题意可知a⩾yx-2(yx)2，对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，令t=yx，则1⩽t⩽3，a⩾t-2t2在[1,3]上恒成立，由此能求出结果．
此题主要考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
14.【答案】（0，+∞）;
【解析】解：由题意得：
3x-1>0，解得：x>0，
故答案为：(0,+∞)．
根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．
此题主要考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．
15.【答案】f（x）=-x2-2x;
【解析】解：由题意可得：设x<0，则-x>0；
∵当x⩾0时，f(x)=x2-2x，
∴f(-x)=x2+2x，
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(-x)=-f(x)，
所以x<0时f(x)=-x2-2x，
故答案为：f(x)=-x2-2x；
由题意设x>0利用已知的解析式求出f(-x)=x2+2x，再由f(x)=-f(-x)，求出x<0时的解析式．
本题的考点是利用函数的奇偶性求函数的解析式(即利用f(x)和f(-x)的关系)，把x的范围转化到已知的范围内求对应的解析式．
16.【答案】;
【解析】解：令t=sinx，
若关于x的不等式|asin2x+bsinx+c|⩽1(a>0)的解集为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，
等价于若关于t的不等式|at2+bt+c|⩽1(a>0)的解集为[0,1]，
即关于t的不等式-1⩽at2+bt+c⩽1(a>0)的解集为[0,1]，
若a>0，可知函数y=at2+bt+c的对称轴为t=1+02=12，开口向上，
∴函数y=|at2+bt+c|图象如图所示，

当t=0时，c=1，当t=1时，a+b+c=1，∴b=-a，
最小值为t=12时，14a+12b+c⩾-1，
∴14a-12b+1⩾-1，解得0故答案为：(0,8].
令t=sinx，将问题转化为关于t的不等式-1⩽at2+bt+c⩽1(a>0)的解集为[0,1]，结合二次函数的性质，即可求出结果．
此题主要考查含绝对值不等式、一元二次不式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】26;
【解析】
此题主要考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题，
由1a+1b=1可得b=aa-1，则3a-1+2b-1=3a-1+2(a-1)，根据基本不等式即可求出．

解：由1a+1b=1，可得1b=1-1a=a-1a>0，则a-1>0，
则b=aa-1，则b-1=aa-1--a=1a-1，
∴3a-1+2b-1=3a-1+2(a-1)⩾23a-1.2(a-1)=26，当且仅当3a-1=2(a-1)，即a=1+62时取等号，
故3a-1+2b-1的最小值为26，
故答案为26.

18.【答案】{m|1≤m＜19};
【解析】解：由题意，①m2+4m-5=0时，m=-5或m=1
其中m=1时，不等式是3>0，符合对任意实数x，函数值恒大于零
②当m2+4m-5>0，且Δ=16(m-1)2-12(m2+4m-5)<0时，对任意实数x，函数值恒大于零
即m<1或m>-51 所以1综上，实数m的取值范围是{ m|1⩽m<19}
故答案为：{ m|1⩽m<19}
分类讨论，考虑二次项的系数为0与不为0.①二次项的系数为0时，m=1满足题意；②二次项的系数不为0时，m2+4m-5>0，且Δ=16(m-1)2-12(m2+4m-5)<0，解不等式即可得结论．
本题以函数为载体，考查恒成立问题，解答该题的关键是分类讨论及利用二次函数的图象性质求解．
19.【答案】解：(1)由A={x|x+63-x⩾0}得A={x|-6⩽x<3}，B={x|-4⩽x⩽4}，
所以A∩B={x|-4⩽x<3}，A∪B={x|-6⩽x⩽4}，∁R(A∪B)={x|x<-6或x>4}.
(2)由3x+m<0得，x<-m3，
∴C={x|x<-m3}，
∵x∈C是x∈A的必要条件，∴A⊆C，
∴-m3⩾3，得m⩽-9，
故m的取值范围(-∞,-9].;
【解析】此题主要考查集合的混合运算以及集合间的关系，不等式求解，属于基础题.
(1)先化简集合A，B，再由交集、并集、补集的概念即可求出结果;
(2)先由题意得到A⊆C，进而可得出结果.
20.【答案】解 （1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）任取x1＜x2，则x2-x1＞0，
∴f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，
即f（x2）＜f（x1），
∴f（x）为R上的减函数，
（3）∵f（x）在[-12，12]上为减函数，
∴f（12）最小，f（-12）最大，
又f（12）=f（6）+f（6）=2f（6）=2[f（3）+f（3）]=4f（3）=-8，
∴f（-12）=-f（12）=8，
∴f（x）在[-12，12]上的最大值是8，最小值是-8;
【解析】
(1)取x=y=0有f(0)=0，取y=-x可得，f(-x)=-f(x)；
(2)设x1(3)根据函数为减函数，得出f(12)最小，f(-12)最大，关键是求出f(12)=f(6)+f(6)=2f(6)=2[f(3)+f(3)]=4f(3)=-8，问题得以解决
该题考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与单调性及函数的最值，赋值法是解决抽象函数的常用方法，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意知，x年总收入为100x万元x年维护总费用为10(1+2+3+⋯+x)=5x(x+1)万元，
∴总利润y=100x-5x(x+1)-180，x∈N*即y=-5x2-19x+36，x∈N*；
(2)年平均利润为yx=-5x+36x+95，
∵x>0，∴x+36x⩾2x.36x=12，当且仅当x=36x，即x=6时取“=”，
∴yx⩽35
答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元.;
【解析】此题主要考查了函数模型应用问题，也考查了利用基本不等式求最值问题，是中档题．
(1)利用x年的总收入减去x年维护总费用，即可得出总利润函数；(2)计算年平均利润函数，利用基本不等式求出它的最大值，以及取得最大值时对应x的值．
22.【答案】（1）解：a=1时，6+2b+c=0，∴2b+c=-6．
f（2）=22+2b+c=4-6=-2．
（2）证明：∵6a+2b+c=0，∴b2=(6a+c)24．
f（x）=0，Δ=b2-4ac=36a2-4ac+c24=9(a-c18)2+8c29＞0，
∴f（x）=0必有两实数根x1，x2，
∵6a+2b+c=0，∴c=-（6a+2b）．
∵f（1）f（3）＞0，
∴（a+b+c）（9a+3b+c）＞0，
∴（a+b-6a-2b）（9a+3b-6a-2b）＞0，
化为(-ba-3)(-ba-5)＜0，
∴3＜-ba＜5，
即3＜x1+x2＜5．;
【解析】
(1)a=1时，由6+2b+c=0，可得2b+c=-6.即可得出f(2)；
(2)6a+2b+c=0，可得b2=(6a+c)24.f(x)=0，证明Δ>0即可，由6a+2b+c=0，可得c=-(6a+2b).
利用f(1)f(3)>0，可得(a+b+c)(9a+3b+c)>0，化为(-ba-3)(-ba-5)<0，即可．
此题主要考查了二次函数的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
23.【答案】解：（1）由题可设f（x）=ax2+bx，
∵f（-1+x）=f（-1-x），
∴f（x）的对称轴方程为x=-b2a=-1，
又函数的图象经过点（1，-3），
∴a+b=-3，两式联立，解得a=-1，b=-2，
∴f（x）=-x2-2x；
（2）由题意可知f（x）max≥g（x）max，
∵f（x）=-x2-2x，x∈[-3，0]，
∴f（x）在（-3，-1）单调递增，（-1，0）单调递减，
当x=-1时，f（x）max=1，
∵y=x2-2x+2在[1，2]上单调递增，当0＜a＜1时，y=lgax单调递减，
∴函数g(x)=lga(x2-2x+2)在[1，2]上单调递减，
∴g（x）max=0，适合题意；
当a＞1时，y=lgax单调递增，
∴函数g(x)=lga(x2-2x+2)在[1，2]上单调递增，
∴g(x)max=lga(22-2×2+2)=lga2，
则lga2≤1=lgaa，解得a≥2；
综上所述，实数a的取值范围为（0，1）∪[2，+∞）．;
【解析】
(1)设函数f(x)=ax2+bx，当满足f(-1+x)=f(-1-x)时，函数关于x=-1对称，再由函数过的点，代入，利用待定系数法可求得函数的解析式；
(2)根据题意可知f(x)max⩾g(x)max，分别求两个函数的的最大值，求解不等式即得．
此题主要考查了二次函数的图象与性质，函数解析式的求法和恒成立与能成立问题，考查了方程思想和转化思想，属中档题．