广西玉林市2023届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

这是一份广西玉林市2023届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．或B．
C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．2B．C．D．1
3．我国在2020年开展了第七次全国人口普查，并于2021年5月11日公布了结果．自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，下图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比（以女性为100，男性相对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势
B．我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增
C．第五次全国人口普查时，我国总人口数不足12亿
D．第七次人口普查时，我国总人口性别比最低
4．已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（ ）
A．B．C．D．2
5．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
7．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知抛物线的焦点为，准线为，一圆以为圆心且与相切，若该圆与抛物线交于点，则的值为（ ）
A．或B．或2C．D．
11．如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A．B．
C．D．
12．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．若，则的最小值是__________．
14．的展开式中的系数为_____________．
15．椭圆的左､右焦点分别为，离心率为为椭圆的左顶点，且，过原点的直线交椭圆于两点，则的取值范围为___________.
16．给出下列命题：（1）函数不是周期函数；（2）函数在定义域内为增函数；（3）函数的最小正周期为；（4）函数，的一个对称中心为．其中正确命题的序号是______．
三、解答题
17．在中，内角，，所对的边分别为､､，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
18．年月日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种，月日时分，重组新冠疫苗获批启动临床试验.月日，中国新冠病毒疫苗进入期临床试验截至月日，全球当前有大约种候选新冠病毒疫苗在研发中，其中至少有种疫苗正处于临床试验阶段现有、、三个独立的医疗科研机构，它们在一定时期内能研制出疫苗的概率分别是、、．求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
19．如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，，，分别是棱，，的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，求点到平面的距离．
20．已知抛物线C1：与椭圆C2：（）有公共的焦点，C2的左､右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C2的方程；
(2)如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互为补角，求△F1QR面积S的最大值.
21．已知函数．
（1）当a＝3时，求f(x)的单调区间；
（2）当a＝1时，关于x的不等式在[0，）上恒成立，求k的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，曲线(是参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
（1）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；
（2）设，直线与曲线交于两点，求的值.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若，求实数的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】分别化简求解集合、，根据交集的运算即可得到结果.
【详解】因为，所以，
又，
所以．
故选：D．
2．D
【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简得到复数，再根据复数的模长公式求得结果.
【详解】因为，
所以．
故选：D．
3．C
【分析】根据统计图提供的数据即可判断.
【详解】由图易得近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势，故选项A正确；
由图易得我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增，故选项B正确；
由图易得2000年即第五次全国人口普查男女总数均突破6亿，即总人口数已经突破12亿，故选项C错误；
由图易得2020年即第七次人口普查时，我国总人口性别比最低，故选项D正确．
故选：C.
4．B
【分析】根据等比中项定义和等比数列通项公式得，解得，化简.
【详解】设等比数列的公比为，
由题意得，即，
，，
，
故选：B.
5．D
【分析】由二倍角公式得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据二倍角正弦公式计算可得；
【详解】解：由，得，
即，解得（舍去），或．
∵，则，故．
故选：D
6．D
【分析】先求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为，
所以.
故选：D
7．A
【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项；再利用特殊值即可排除选项，进而求解.
【详解】函数的定义域为，
且，
所以是奇函数，图象关于原点对称，排除选项，
只需研究的图象，当时，，则，排除选项.
故选：．
8．B
【分析】由三视图可知，该几何体为三棱锥和三棱柱的组合体，分别求出面积即可得到.
【详解】由三视图可知，该几何体为三棱锥和三棱柱的组合体，三棱锥的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1；三棱柱的的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1.所以三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，
所以该几何体的体积是.
故选：B.
9．A
【分析】根据同角三角函数关系，求得，再利用余弦的差角公式，即可求得结果.
【详解】由，得，则，
．
故选：．
10．B
【分析】首先根据条件求出圆的方程，再与抛物线方程联立，求出点的坐标，即可求出的值.
【详解】因为抛物线的焦点为，准线的方程为，所以圆.
联立方程得，消元得，即，所以，所以或(不合题意，舍去)，即，所以，所以点的坐标为或，所以或2.
故选：B.
11．D
【分析】根据球的截面圆即为正三棱柱底面三角形的内切圆，求得截面的半径，再利用球的截面性质求解.
【详解】解：设球的半径为R，球的截面圆的半径为r，即为正三棱柱底面三角形的内切圆的半径，
则，
解得，
由球的截面性质得： ，
解得，
所以球的体积为，
故选：D
12．D
【分析】构造函数以及函数，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小.
【详解】令，，
当时，，，，单调递增，
，即，，即，
令，
，
令，
令，，
当时，，单调递增，
在上单调递减，，
，在上单调递减，
，即，
综上：.
故选：D.
13．0
【分析】根据约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．
【详解】根据约束条件画出可行域（如图），
把变形为，得到斜率为－1，在轴上的截距为，随变化的一族平行直线．
由图可知，当直线过原点时，截距最小，
所以的最小值为0．
故答案为：0．
14．9
【分析】利用二项式定理求指定项的系数.
【详解】，
展开式中的系数为．
故答案为：9
15．
【分析】根据已知先求出的值，记，得到，记，再利用导数求函数的最值得解.
【详解】解：由题可知，即，
又
由题可知，，
记，则，
记，
则在上恒成立，
在上恒成立，
故在上单调递减，在上单调递增，又，
.
故答案为：
16．（1）（4）
【详解】（1）函数它是偶函数,不是周期函数,正确;
（2）函数在每一个单调区间是增函数,定义域内不是增函数.
（3）函数的周期是,所以不正确;
（4）把代入函数成立,正确.
故本题正确答案为（1）（4）.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理得到，再利用正弦定理得到，计算得到答案.
（2）根据余弦定理计算得到，再利用面积公式计算即可.
【详解】（1），即，
根据正弦定理：，
，，故，，故.
（2），即，或（舍去）
18．(1)
(2)
(3)
【分析】令事件在一定时期内能研制出疫苗，事件在一定时期内能研制出疫苗，事件在一定时期内能研制出疫苗.
（1）他们都研制出疫苗，即事件、、同时发生，根据相互独立事件同时发生的概率公式求解；
（2）他们都失败，即事件、、同时发生，根据相互独立事件同时发生的概率公式求解；
（3）“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，根据对立事件的概率公式，即可求解．
【详解】（1）解：令事件在一定时期内能研制出疫苗，事件在一定时期内能研制出疫苗，
事件在一定时期内能研制出疫苗，
由题意可知，事件、、相互独立，且，，.
若他们都研制出疫苗，即事件、、同时发生，
所以，，即他们都研制出疫苗的概率为．
（2）解：他们都失败，即事件、、同时发生，
所以，.
即他们都失败的概率为．
（3）解：“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，
结合对立事件间的概率关系，可得所求事件的概率.
即他们能研制出疫苗的概率为．
19．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取的中点，连接，，易证四边形为平行四边形，从而有∥，故而得证；
(2) 过点作于，连接，以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系,用向量法求解即可.
【详解】（1）取的中点，连接，，
因为，分别是棱，的中点，
则∥∥，，
四边形为平行四边形， ，
平面，平面，
∥平面；
（2）在平面中过点作于，连接，
平面平面，平面平面，
平面，
又因为，
所以,,
因为点为的中点，，
故以为原点，、、分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
所以,,,
设平面的法向量为，
则有，令，则可得，
所以，
设点到平面的距离为，
则，
即点到平面的距离.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线角点可得椭圆半焦距，结合离心率可解；
（2）由题可知，设直线方程，联立椭圆方程消元，利用韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，化简，由基本不等式可得.
【详解】（1）由题意可得，抛物线的焦点为，
所以椭圆的半焦距，又椭圆的离心率，所以，则，即，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，，
∵与互补，
∴，所以，
化简整理得①，
设直线PQ为，联立直线与椭圆方程
化简整理可得，
，
可得②，
由韦达定理，可得，③，
将，代入①，
可得④，
再将③代入④，可得，解得，
∴PQ的方程为，
且由②可得，，即，
由点到直线PQ的距离，
令，，则
，当且仅当时，等号成立，
所以面积S最大值为.
21．（1）减区间为（－1，2），增区间为（2，＋∞）；（2）．
【分析】（1）利用导数求得的单调区间；
（2）化简为，构造函数，结合对进行分类讨论，利用求得的取值范围.
【详解】（1）的定义域为
当a＝3时，，
，
当时，是减函数，
是增函数，
所以，f(x)的减区间为（－1，2），增区间为（2，＋∞）．
（2）当a＝1时，，
，即，
设，则只需在恒成立即可．
易知，
，
①当时，，此时g(x)在上单调通减，
所以，与题设矛盾；
②当时，由得，
当时，，当时，，
此时在上单调递减，
所以，当时，，与题设矛盾；
③当时，，故在上单调递增，所以恒成立．
综上，．
【点睛】利用导数求得函数的单调区间时，要首先求得函数的定义域.
22．（1），；（2）.
【分析】（1）直接利用参数方程公式得到曲线方程，三角函数展开代入公式得到答案.
（2）写出直线的参数方程，代入曲线方程，利用韦达定理得到答案.
【详解】解：（1）由得
所以，即曲线的普通方程是.
由，得，
又，，
所以，即直线的直角坐标方程为.
（2）因为直线经过点，且倾斜角是，
所以直线的参数方程是(是参数).
设，对应的参数分别为，，
将直线的参数方程代入，整理得，
所以，.
所以.
23．(1)或.
(2)
【分析】(1)将函数表示为分段函数形式，分类讨论求解不等式即可；
(2)数形结合即可求解.
【详解】（1）依题意，
或或
解得或，
故不等式的解集为或.
（2）作出函数的大致图象如下所示，其中，
故直线的斜率为，
结合图象可知，，故实数的取值范围为.