河南省开封市祥符区天成学校2023届高三考前预测卷文科数学A卷（含解析）

这是一份河南省开封市祥符区天成学校2023届高三考前预测卷文科数学A卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若a与b均为实数，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知集合，那么（ ）
A．B．C．D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不允分也不必要条件
4．溶液酸碱度是通过计量的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某溶液的值为2.921，则该溶液中氢离子的浓度约为（ ）（取，）
A．摩尔/升B．摩尔/升
C．摩尔/升D．摩尔/升
5．函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则等于（ ）
A．37B．35C．31D．29
8．过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
9．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）
A．甲的极差是29B．甲的中位数是24
C．甲罚球命中率比乙高D．乙的众数是21
10．如图，边长为3的正方形所在平面与矩形所在的平面垂直，．为的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．B．C．D．
11．已知双曲线的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
12．锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是________．
14．已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为________．
15．已知抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于两点，的中点纵坐标为，则__________.
16．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为，则______．
三、解答题
17．如图，在中，，点在边上，．
(1)求的长；
(2)若的面积为，求的长．
18．已知直棱柱的底面为菱形，且，点为的中点．

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
19．2021年，党中央、国务院印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，也就是我们现在所称的“双减”政策.某地为了检测双减的落实情况，从某高中选了6名同学，检测课外学习时长（单位：分钟），相关数据如下表所示.
(1)若从被抽中的6名同学中随机抽出2名，则抽出的2名同学课外学习时长都不小于210分钟的概率；
(2)下表是某班统计了本班同学2022年1-7月份的人均月课外劳动时间（单位：小时），并建立了人均月课外劳动时间关于月份的线性回归方程，与的原始数据如下表所示：
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知.
（i）求，的值；
（ii）求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值（残差即样本数据与预测值之差）.
附：，，.
20．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，椭圆的短轴长为2，点是左，右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)点是坐标原点，直线经过点，并且与椭圆交于直线与直线交于点，设直线的斜率分别为，求证：为定值．
21．已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
(2)已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于两点，求的值．
23．已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若函数，求的取值范围．
学生序号
1
2
3
4
5
6
学习时长/分
220
180
210
220
200
230
月份
1
2
3
4
5
6
7
人均月劳动时间
8
9
12
19
22
参考答案：
1．C
【分析】由复数相等确定参数值，进而求复数的模.
【详解】因为，所以，，
所以.
故选：C
2．B
【分析】求出集合，由交集的定义求解即可.
【详解】，，
．
故选：B．
3．B
【分析】分别求解与，再根据充分性与必要性判断即可.
【详解】由“”解得，由“”解得，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．A
【分析】根据的计算公式，可知，再根据参考数据以及对数运算法则即可求得结果.
【详解】设该溶液中氢离子的浓度约为t摩尔/升，则，
从而，
即该溶液中氢离子的浓度约为摩尔/升．
故选：A
5．A
【分析】利用排除法，先对函数化简，然后判断函数的奇偶性，再取特殊值可求得结果.
【详解】，定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以图象关于原点对称，
所以排除B、D；
因为，且，
所以，所以排除C；
故选：A．
6．C
【分析】根据面面平行的性质定理可得选项A的正误；考虑直线是否在平面内可得选项B的正误；选项C根据面面垂直的判定定理可得正误；选项D考虑直线与平面的位置关系可得正误.
【详解】对于选项A，缺少共面的条件，因此得不到，直线还可以互为异面直线，故A错误；
对于选项B，直线还可以在平面内，故B错误；
对于选C，由得分别为的垂线，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面互相垂直，故C正确；
对于选项D，直线与平面或平行，或相交，或直线在平面内，故D错误.
故选：C.
7．C
【分析】根据等差中项及等比数列的通项公式求出公比，利用等比数列求和公式得解.
【详解】，，
解得，
与的等差中项为，解得，
设等比数列的公比为，
则，解得，
，，
故选：C．
8．D
【分析】由距离公式结合勾股定理得出，进而由面积公式得出四边形MAPB的面积最小值.
【详解】圆M：的圆心到直线l：的距离，
故的最小值是3，又因为，则，
故的面积的最小值是，故四边形MAPB的面积的最小值是.
故选：D.
9．B
【分析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．
【详解】由茎叶图知
甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对
甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为故B不对
甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对
乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对
故选B．
【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．
10．A
【分析】根据线面垂直可得，，结合直角三角形分析可得为外接球直径，结合球的表面积公式运算求解.
【详解】由题意可知，，可得，
所以，所以，
又因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，平面，所以，
又平面，
则平面，平面，可得，
取的中点，连接，则，
所以为外接球直径，设其半径为R，
在中，，即，故外接球表面积为．
故选：A．

11．A
【分析】设，，的方程为：，与双曲线的方程联立可得点的坐标，设，，直线的倾斜角为， 则，运用三角形面积相等，双曲线的定义，可得关于、的方程，由即可得离心率.
【详解】设双曲线的左焦点、右焦点，
设双曲线的一条渐近线方程为：，
可得直线的方程为：，
由可得： ，即，
设，，
可得，
即，整理可得：，
即，
由双曲线的定义可得：，
所以，
设直线的倾斜角为，在中，，
，，所以，
所以，
所以，整理可得：，
解得：或（舍），
所以双曲线的离心率为，
故选：A.
12．B
【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得，再求出的范围即可.
【详解】由，得，由余弦定理得，
∴，即，
由正弦定理得，
∵，
∴，
即.
∵，∴，∴，
又为锐角三角形，∴，
∴，解得，
又，，，∴，
∴.
故选：B.
13．
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】所求切线方程为，即．
故答案为：
14．
【分析】代入余弦函数的零点满足的公式判断即可.
【详解】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．
故答案为：
15．或
【分析】由题可设直线的方程为，，与抛物线联立可得交点坐标关系，根据相交弦长公式及中点坐标公式即可求得的值.
【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为，，
所以，则，
联立，消去得：，恒成立，
所以，所以，则，
又，
整理得：，所以，解得或.
故答案为：或.
16．/
【分析】观察图形可知周长形成的数列是首项，公比为的等比数列，即可求解作答.
【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列，
从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，
因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有，
因此数列是首项，公比为的等比数列，，，
所以.
故答案为：
17．(1)6
(2)6
【分析】（1）先求根据正弦定理可得.
（2）由的面积先求，再由余弦定理可得.
【详解】（1），
，
且，
根据正弦定理，
可得；
（2），
，
，得，
又，
由余弦定理得，
．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，由已知条件可证得四边形为平行四边形，从而得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由题意可证得平面，再由可求得结果.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，

在直四棱柱中，∥，
四边形为平行四边形，
∥，
又底面为菱形，
∴点为的中点．
∵为的中点，
∴点为的中点，
∥，
四边形为平行四边形，
∥，
又平面平面，
∥平面；
（2）解：在直棱柱中，平面平面，
，
又上底面为菱形，，
又平面，
平面，
在中，，且点为的中点，
，
．
19．(1)
(2)（i），；（ii）
【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可；
（2）（i）根据题中所给的公式进行求解即可；
（ii）利用代入法，结合残差的定义进行求解即可.
【详解】（1）用表示从被抽中的6名同学中随机抽出2名同学的序号分别为和，则基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，
将“抽出的2名同学的课外学习时长都不小于210分钟”记为事件，
由已知，序号为1，3，4，6的同学课外学习时长都不小于210分钟，
∴事件中基本事件有，，，，，，共6个，
∴；
（2）（i）由表知，
，
∴，
∴，即，①
∵回归直线恒过样本点的中心，∴，即，②
由①②，得，，③
∵，∴，④
由③④，得，.
（ii）∵线性回归方程为，
∴当时，预测值，此时残差为.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得，再结合，可求出，从而可求出椭圆方程；
（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，由于直线过点，可得，设，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，表示出直线和，从而可表示出点的坐标，进而可表示出，化简可得结果.
【详解】（1）由题意，由的离心率为，可得椭圆的离心率为．
由题意可得，
解得，
所以椭圆的方程为；
（2）证明：由（1）可得，
显然直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，由题意，即，
设，
联立，整理可得：，
由，得，
，
直线的方程为，直线的方程为，
两式联立，可得，
即，
所以，
所以
，
即证得为定值．

21．(1)单调递增区间为，无单调递减区间
(2)
【分析】（1）求导，由指数函数，余弦函数的单调性确定，得出的单调区间；
（2）讨论，，利用导数得出的最小值，进而由得出的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，.
当时，，，则，
故的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）因为，所以.
若，则由（1）可知，在上恒成立，
则在上单调递增，故，符合题意.
若，令函数，则在上恒成立，
故在上单调递增.
因为，且当时，，所以，.
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键将问题转化为最值问题，由得出的取值范围.
22．(1)，
(2)
【分析】（1）消去参数可得的直角坐标方程，由化简可得的直角坐标方程；
（2）求出直线的参数方程，并代入曲线的直角坐标方程可得，设点对应的参数分别为，求得，结合，即可求解.
【详解】（1）∵曲线C的参数方程为（t为参数），
∴曲线C的普通方程为．
∵直线l的极坐标方程为．
∴，
∵，
∴直线l的直角坐标方程为；
（2）由（1）知，点P在直线l上，
∴直线l的参数方程为（m为参数），
代入得，．
设是上述方程的两根．
，
．
23．(1)
(2)
【分析】（1）分，和三种情况求解不等式；
（2）先利用绝对值三角不等式的性质可求出的最小值，然后将问题转化为，从而可求出的取值范围.
【详解】（1）当时，不等式，
可化为：．
当时，不等式可化为；，解得：；
当时，不等式可化为：，不成立；
当时，不等式可化为；，解得：；
所以不等式的解集为；
（2）根据绝对值不等式的性质知
，
当且仅当时，等号成立，
因为，所以，
解得或，即或，
所以的取值范围是．