上海市复兴高级中学2023届高三适应性练习数学试题（含解析）

这是一份上海市复兴高级中学2023届高三适应性练习数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，若，则实数__________.
2．不等式的解集为_________.
3．的二项展开式中项的系数为___________.
4．已知是关于x的方程的一个根，则q=____________.
5．曲线在处的切线的倾斜角大小为___________.
6．将向量绕坐标原点O顺时针旋转得到，则___________.
7．供电公司为了分析某小区的用电量y（单位:kw·h）与气温x（单位:℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表:
利用最小二乘法得到的回归方程为，则____________.
8．从，，，，中随机选取三个不同的数，在这三个数之积为偶数的条件下，它们的和不小于9的概率为____________.
9．已知，则的最小值为____________．
10．如图，已知，是相互垂直的两条异面直线，直线与，均相互垂直，且，动点，分别位于直线，上，若直线与所成的角，三棱锥的体积的最大值为________.
11．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A，椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率e=___________.

12．已知定义在R上的偶函数满足.若，且在单调递增，则满足的x的取值范围是__________.
二、单选题
13．数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（ ）.
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
14．下列命题中不正确是（ ）
A．中位数就是第百分位数
B．已知随机变量，若，则
C．已知随机变量，且数为偶函数，则
D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为132.25
15．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）

①圆的面积为；
②椭圆的长轴长为；
③双曲线两渐近线的夹角正切值为；
④抛物线的焦点到准线的距离为
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．已知，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数n，甲:；乙:为严格减数列，则（ ）.
A．甲正确，乙正确B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确D．甲错误，乙错误
三、解答题
17．设.
(1)判断函数的奇偶性，并写出最小正周期；
(2)求函数在上的最大值.
18．如图，在三棱锥中，，O为AC的中点．
(1)证明：⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角为，求的值．
19．新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为.如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
（1）是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离天，请用概率的知识解释其合理性；
（ii）以题目中的样本频率估计概率，设个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值.
附：
若，则，，.
20．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，且．
①求证：直线经过定点．
②设和的面积分别为、，求的最大值．
21．已知.
(1)求函数的极小值；
(2)当时，求证:；
(3)设），记函数在区间上的最大值为，当最小时，求a的值.
气温x
18
13
10
-1
用电y
24
34
m
64
年龄/人数
长期潜伏
非长期潜伏
50岁以上
60
220
50岁及50岁以下
40
80
0.1
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
参考答案：
1．1
【分析】根据元素与集合的关系，将代入方程中，即可求得答案.
【详解】由，可得，
故答案为：1
2．
【分析】利用零点分段法，分三种情况进行求解，得到答案.
【详解】，当时，，解得，故解集为，
当时，，解集为，
当时，，解得，故解集为，
综上：不等式的解集为.
故答案为：
3．
【分析】根据二项式展开式的通项，即可求得答案.
【详解】由题意知的展开式的通项为，
故展开式中项的系数为，
故答案为；
4．4
【分析】根据实系数一元方程复数根互为共轭复数，可求得另一个根，在利用韦达定理结合复数的乘法运算求出.
【详解】因为是关于的方程的一个根，
所以时方程的另一个根，
则.
故答案为：4.
5．
【分析】先求出，根据导数的几何意义即可求解.
【详解】由，所以，
所以 ，即处的切线的斜率为，
故切线的倾斜角为.
故答案为：
6．
【分析】由条件求，再由数量积的坐标运算公式求.
【详解】因为，所以点的坐标为，
记点在轴上的投影为，则，
所以，又，
所以点的坐标为，
所以向量，
所以，
故答案为：.

7．
【分析】利用样本中心点在回归直线上即可求解.
【详解】由题意可知，，
，
所以样本中心点的坐标为.
将代入，得，解得.
故答案为：.
8．
【分析】根据题意，由列举法分析从，，，，中随机选取三个不同的数的取法，进而可得其中三个数的积为偶数和三个数的和不小于的取法数目，由条件概率公式计算即可.
【详解】根据题意，
从，，，，中随机选取三个不同的数，
取法有、、、、、
、、、、，共种，
其中三个数的积为偶数的有种，
分别为、、、、
、、、、，
三个数的和不小于的有种，
分别为、、、、，
则三个数之积为偶数的条件下，
它们的和不小于9的概率为.
故答案为：
9．4
【分析】将构造变形为，然后利用基本不等式即可求解．
【详解】由，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，
故答案为：4．
10．/
【分析】根据直线三条直线两两垂直，将图形还原为长方体，再根据，可得即为直线与所成的角的平面角，由此可求得，从而可得，再根据棱锥的体积公式结合基本不等式即可得解.
【详解】因为直线三条直线两两垂直，
如图，将图形还原为长方体，
因为，所以即为直线与所成的角的平面角，
则，
因为平面，平面，所以，
在中，由，得，
所以，
，
当且仅当时，取等号，
所以三棱锥的体积的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据直线三条直线两两垂直，将图形还原为长方体，从特殊几何体入手是解决本题的关键.
11．
【分析】建立平面直角坐标系，结合直线方程和点到直线距离公式得到与，解出，求出离心率.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意得，，
则直线，即，
设，则，
所以点到直线的距离为，解得，
所以，即，
直线，即，
所以点到直线的距离为，解得或，
因为，所以，即直线，
令得，即，
所以，即，
联立与，解得，
故椭圆离心率为.
故答案为：
12．
【分析】由题意可知，是周期为的周期函数，的最小正周期为8，结合与的单调性，易知在一个周期内，由，可得，再结合周期求出范围即可.
【详解】因为是偶函数，所以，
由，可得关于对称，
因为，所以，
则，
因为是偶函数，所以，
因为，所以，
则，
所以函数是周期为的周期函数.
因为是偶函数，且在单调递增，所以在单调递减，
令中，则，则，
又因为关于对称，所以在上单调递增，上单调递减，
结合函数是周期为的周期函数，
综上可得在，上单调递增，，上单调递减.
因为的最小正周期为，结合图象可知，
在，上单调递增，在上单调递减，
令中，则，则，
当，又，所以，
当，又，所以，
所以当时，，解得.
又因为与均为周期函数，且8均为其周期，
所以的x的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题解题的关键是求出与的周期性，由，，结合函数的单调性和周期性求解即可.
13．B
【分析】结合等比数列的定义，判断“”和“{}是公比为2的等比数列”之间逻辑推理关系，即得答案.
【详解】对数列{}，，若，则可得，
此时{}不是公比为2的等比数列；
若{}是公比为2的等比数列，则，即，
故”是“{}是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件，
故选：B
14．B
【分析】根据题意，由百分位数的定义即可判断A，由二项分布的方差性质即可判断B，由正态分布密度曲线的性质即可判断C，由方差的计算公式即可判断D.
【详解】对于A：中位数就是第百分位数，选项A正确；
对于B：，则，因此，故B错误；
对于C：，函数为偶函数，
则，
区间与关于对称，
故，故C正确；
对于D：分层抽样的平均数，
按分成抽样样本方差的计算公式，故D正确.
故选：B.
15．B
【分析】对于①，利用圆锥的几何性质确定圆的半径，即可求得圆的面积；对于②，结合圆锥的轴截面可求得椭圆的长轴长；对于③，建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线上的点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得双曲线两渐近线的夹角正切值；对于④，建立平面直角坐标系，设抛物线方程，确定抛物线上的点的坐标，即可求得参数，由此可判断出答案.
【详解】对于①，M为母线的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的，

即截面圆半径为2，则圆的面积为，故①正确；
对于②，如图，在圆锥的轴截面中，作,垂足为C，
由题意可得M为母线的中点，则,

故椭圆的长轴长为,②正确；
对于③，如图，在与平面垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点与点P到底面距离相等，

则点M坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为D，其坐标为，
则设双曲线方程为，
则，将代入双曲线方程，得，
设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则，
故双曲线两渐近线的夹角正切值为，③错误；
对于④，如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线与底面圆的一个交点为H，

则，则,
设抛物线方程为，则，
即抛物线的焦点到准线的距离为，④错误，
故正确的命题有2个，
故选：B
16．A
【分析】将函数的极值点转化为两个函数图像的交点的横坐标，由图象判断命题甲，结合函数图像利用极限思想判断命题乙.
【详解】函数的定义域为，导函数，
令，得，
所以函数的极值点为函数与函数的图象的交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与函数的图象，
如图所示，由图可知，在区间内，函数函数与函数的图象，有且仅有个交点，且，
所以命题甲正确；
因为，函数为增函数，
所以，
所以随着的增大，与越来越接近，距离越来越小，
所以数列为递减数列，命题乙正确.
故选：A.

【点睛】知识点点睛：本题考查的知识点有极值点的定义，余弦函数的图象，反比例函数的图象，利用图象研究方程的根等，考查数形结合，极限等数学思想，属于综合题.
17．(1)非奇非偶函数，
(2)
【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简，结合函数奇偶性的定义以及正弦函数的周期，即可求得答案；
（2）化简，结合，求得，结合正弦函数的性质，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得，
故
，令，,
由于不恒等于，也不等于，
故为非奇非偶函数，
其最小正周期为；
（2）由题意可得
，
因为，所以，故，
故的最大值为，
即函数在上的最大值为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，利用空间向量及二面角列出方程，求出答案.
【详解】（1）在中，，O为AC的中点．
则中线，且；
同理在中有，则；
因为，O为AC的中点．
所以且；
在中有，则，
因为，平面ABC，
所以⊥平面ABC．
（2）由（1）得⊥平面ABC，故建立如图所示空间直角坐标系，
则，
设，则，
而，
，
，
设平面PAM的一个法向量为，
由得，，
令，
又x轴所在直线垂直于平面PAC，
∴取平面PAC的一个法向量，
，
平方得，令，
，
．
19．（1）有；（2）（i）答案见解析；（ii）250.
【分析】（1）根据列联表中的数据，利用求得，与临界表值对比下结论；
（2）(ⅰ)根据，利用小概率事件判断； (ⅱ)易得一个患者属于“长潜伏期”的概率是，进而得到，然后判断其单调性求解.
【详解】（1）依题意有，
由于，故有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
（2）(ⅰ)若潜伏期，
由，
得知潜伏期超过天的概率很低，因此隔离天是合理的；
(ⅱ)由于个病例中有个属于长潜伏期，
若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，
于是，
则，
，
当时，；
当时，；
∴，.
故当时，取得最大值.
【点睛】方法点睛：利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．
20．(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）①分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点、.将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可得出直线所过定点的坐标；
②写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值.
【详解】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，
且最大值为，
由题意可得，解得，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：①设点、.
若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意.
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，
联立可得，
，可得，
由韦达定理可得，，则，
所以，
，解得，
即直线的方程为，故直线过定点.
②由韦达定理可得，，
所以，
，
，则，
因为函数在上单调递增，故，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
21．(1)函数的极小值为；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）首先求导函数，求导函数的零点，分析零点两侧导数值的符号，由此确定极值点；
（2）由题意证得，即可证得题中的结论；
（3）由题意结合（2）中的结论分类讨论即可求得a的值.
【详解】（1）函数的定义域为，导函数，
令可得，，解得或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，函数取极小值，极小值为；
（2）设，，
令得或者，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
而，，，
所以当时，，
所以；
（3）由（2）知，
所以，
又，
设，则，
函数在区间上的最大值为在时的最大值，
所以是中的较大者，
若，即时，；
若，即时，；
所以当最小时，，此时.
【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的极值，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.