2022-2023学年高一数学下学期期末考试全真模拟试卷及答案三（苏教版2019必修第二册）

这是一份2022-2023学年高一数学下学期期末考试全真模拟试卷及答案三（苏教版2019必修第二册），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（ ）
A. 3B. 3.5C. 3.6D. 4
2．设复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3．下列说法中正确的是（ ）
A. 以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体叫圆台
B. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
C. 若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
D. 过直线外一点有无数条直线与该直线垂直
4．若向量，满足，，，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
5．中，，，，为的中点，则长为（ ）
A. B. C. D.
6．现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7．已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
8．数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（ ）

A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等
D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为
10．按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币，则（ ）
A. 第一枚正面朝上的概率是
B. “第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的
C. “至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的
D. “至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的
11．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则满足条件的三角形有且只有一个
C. 若不是直角三角形，则
D. 若，则为钝角三角形
12．任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当，时，
C．当，时，
D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为__________
14.已知三棱锥，若平面ABC，，则异面直线PB与AC所成角余弦值为______．
15.如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为______．
16．已知正方体的棱长为，其内有2个不同的小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，则球的体积等于______，球的表面积等于______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某城市100户居民的月平均用电量（单位：千瓦时），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图.
（1）求直方图中的值；
（2）在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
18．如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，点F为侧棱上一点．
（1）若，求证：平面；
（2）若，求证：平面平面．
19．在中，，，分别为角A，，的对边，且满足．
（1）求A；
（2）若点满足，，求的取值范围．
20．某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．
（1）求产品需要进行第2个过程的概率；
（2）求产品不可以出厂的概率．
21．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
22．如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，.
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，直线与平面所成角的大小为.
①画出平面与平面的交线，并写出画图步骤；
②求的最大值.
2022-2023学年高一数学下学期期末考试全真模拟试卷03
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（ ）
A. 3B. 3.5C. 3.6D. 4
【答案】D
【解析】由660%=3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分位数是第四个数，
故选：D
2．设复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，
.
故选：D
3．下列说法中正确的是（ ）
A. 以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体叫圆台
B. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
C. 若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
D. 过直线外一点有无数条直线与该直线垂直
【答案】D
【解析】由圆台定义知，以直角梯形的一条直角边为轴旋转，其余三边旋转形成的面围成的旋转体是圆台，故A错误；
由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误；
若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面有可能相交，也可能平行，故C错误；
在空间中，由于过直线外一点存在一个平面与该直线垂直，在该平面内过这个点的所有直线都和这条直线垂直，故过直线外一点有无数条直线与该直线垂直，故D正确，
故选：D
4．若向量，满足，，，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】，，，，
，，，．
故选：B．
5．中，，，，为的中点，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，在中，，
在中，，解得，即.
故选：C.
6．现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作轴截面图如下：为圆锥的轴截面，点为与侧面相切球的球心，点为切点，
由已知，可得，，，，
在中，，，，
所以，又，
所以，所以圆台的母线长为，
因为，，
所以为等边三角形，所以，
所以圆台的侧面积.
故选：D.
7．已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，
整理得：，
，
，
因为，
所以，
所以，
解得：
故选：D.
8．数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以
，
由正弦定理可得：，代入面积公式可得：
，
所以当时，取得最大值，
所以面积的最大值为，
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（ ）

A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等
D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为
【答案】CD
【解析】对选项A，圆柱的侧面积为，故A错误；
对选项B，圆锥的母线为，
圆锥的侧面积为，故B错误.
对选项C，球的表面积为，故C正确.
对选项D，圆柱的体积，
圆锥的体积，球的体积，
所以圆柱､圆锥､球的体积之比为，故D正确.
故选：CD
10．按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币，则（ ）
A. 第一枚正面朝上的概率是
B. “第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的
C. “至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的
D. “至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的
【答案】BD
【解析】对A，第一枚正面朝上的概率是，故A错误；
对B，第一枚正面朝上的概率，三枚硬币朝上的面相同的概率，又，因为，故“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的，故B正确；
对C，“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”可能同时发生，不是互斥的，故C错误；
对D，“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的，故D正确；
故选：BD
11．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则满足条件的三角形有且只有一个
C. 若不是直角三角形，则
D. 若，则为钝角三角形
【答案】BC
【解析】对于A：由正弦定理得，则，
则中或，故A错误；
对于B：由，则，
可得，故，满足条件的三角形有一个，故B正确；
对于C：由不是直角三角形且，
则，
所以，故C正确；
对于D，即，
为锐角，故不一定为钝角三角形，故D错误；
故选：BC
12．任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当，时，
C．当，时，
D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数
【答案】AC
【解析】对于A选项，，则，可得，，A选项正确；
对于B选项，当，时，，B选项错误；
对于C选项，当，时，，则，C选项正确；
对于D选项，，
取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为__________
【答案】
【解析】由题得, 半圆形纸片弧长为,设圆锥的底面半径为,则,
故圆锥的高为.
故答案为：
14.已知三棱锥，若平面ABC，，则异面直线PB与AC所成角余弦值为______．
【答案】
【解析】过B作，且，则四边形为菱形，如图所示：
或其补角即为异面直线PB与AC所成角．
设.
，，
平面ABC，
，
．
异面直线PB与AC所成的角的余弦值为．
故答案为:．
15.如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】过点作交半圆弧于点，连接，如图，
而是正三角形，则，令夹角为，
当点P在弧上时，，当点P在弧上时，，于是，
显然，，
所以
.
故选：B
16．已知正方体的棱长为，其内有2个不同的小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，则球的体积等于______，球的表面积等于______．
【答案】
【解析】因为正方体的棱长为,
所以三棱锥是边长为的正四面体,的高为,
设底面的中心为,连接,则,,
则球是三棱锥的内切球,设其半径为,
则有
所以, 所以球的体积为,
又球与三棱锥的三个面和球都相切,
则设平面平面,且球和球均与平面相切于点,如下图所示,

则球是三棱锥的内切球,设其半径为,
故,
因此正四面体中,,
所以球的表面积为,
故答案为:;.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某城市100户居民的月平均用电量（单位：千瓦时），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图.
（1）求直方图中的值；
（2）在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
【答案】（1）0.0125；（2）3户.
【解析】（1）由频率分布直方图得：
，
解得．
（2）月平均用电量在，的用户有（户，
月用电量在，的用户有（户，
月平均用电量在，的用户有（户，
抽取比例为：，
月平均用电量在，的用户中应该抽取：（户）．
18．如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，点F为侧棱上一点．
（1）若，求证：平面；
（2）若，求证：平面平面．
【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析.
【解析】（1）设，的交点为O，连接，
因为底面为菱形，且O为中点，，
所以，又平面，平面，
故平面．
（2）因为底面为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，、平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，又平面，故平面平面.
19．在中，，，分别为角A，，的对边，且满足．
（1）求A；
（2）若点满足，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），，
解得，又，；
（2）设，
因为点满足，，所以，
在中，由余弦定理可得：，
所以，，
所以，
即，
因为，所以，，
所以.
20．某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．
（1）求产品需要进行第2个过程的概率；
（2）求产品不可以出厂的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）记事件A为“产品需要进行第2个过程”．
在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率，
在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率，
故．
（2）记事件B为“产品不可以出厂”．
在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，
产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，
故．
21．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由，即，
得，
由正弦定理可得，
所以，
所以，因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理，
所以
.
因为为锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，，
所以，，
所以的取值范围为
22．如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，.
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，直线与平面所成角的大小为.
①画出平面与平面的交线，并写出画图步骤；
②求的最大值.
【答案】（1）证明见解析 （2）①作图见解析；②
【解析】（1）因为，，故，所以.又直四棱柱，故平面，又平面，故，又，平面，故平面
（2）①过作于，连接，分别交于，连接，则直线为平面与平面的交线.
②由①，因为，故四点共面，设，则直线为平面与平面的交线，故三点共线.过作于，连接，又，且根据线面平行的性质可得，故平面 ，所以，又，平面.故直线与平面所成角为.当不重合，即与不重合时，易得，又均为锐角，故.当重合时，有与重合，此时由（1）平面，故平面，故为与平面所成角.故当与重合时，取得最大值，此时，故的最大值为