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2023届辽宁省东北育才学校高中部高三最后一次模拟考试 数学
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这是一份2023届辽宁省东北育才学校高中部高三最后一次模拟考试 数学，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知P，Q为R的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知随机变量 分别满足，，且期望，又，则（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
5. 若等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 设函数，已知在上有且仅有个零点，则下列说法错误的是（ ）
A. 的取值范围是
B. 的图象与直线在上的交点恰有个
C. 的图象与直线在上的交点可能有个
D. 在上单调递减
7. 已知函数定义域为，若为奇函数，为偶函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 函数的周期为3B.
C. D.
8. 已知圆和，动圆M与圆，圆均相切，P是的内心，且，则a的值为（ ）
A. 9B. 11C. 17或19D. 19
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 在中，内角，，所对的边分别，，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 外接圆的半径为
C. 取得最小值时，D. 时，取得最大值为
10. 在正方体中，分别为棱，，上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则（ ）
A. 当时，平面
B. 当时，平面
C. 当时，存在点，使四点共面
D. 当时，存在点，使，，三条直线交于同一点
11. 已知，，，，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若轴，则周长为
B. 若直线交双曲线的左支于点，则
C. 面积的最小值为
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则值为___________.
14. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．
15. 已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值________
16. 设n∈N*，an为(x＋4)n－(x＋1)n的展开式的各项系数之和，（[x]表示不超过实数x的最大整数），则 (t∈R )的最小值为____.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求面积．
18. 已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若记为满足不等式的正整数的个数，数列的前项和为，求关于的不等式的最大正整数解．
19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.
（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
20. 近年来随着新能源汽车的逐渐普及，传统燃油车市场的竞争也愈发激烈.近日，各地燃油车市场出现史诗级大降价的现象，引起了广泛关注.2023年3月以来，各地政府和车企打出了汽车降价促销“组合拳”，被誉为“史上最卷”的汽车降价促销潮从南到北，不断在全国各地蔓延，据不完全统计，十几家车企的近40个传统燃油车品牌参与了此次降价，从几千元到几万元助力汽车消费复苏.记发放的补贴额度为（千元），带动的销量为（千辆）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.
（1）根据表中数据，求出关于的线性回归方程.
（2）（i）若该省城市在2023年4月份准备发放额度为1万元的补贴消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少销量？
（ii）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省城市4月份发放额度为1万元的消费补贴券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为3万辆，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.
参考公式：.
参考数据：.
21. 已知抛物线的焦点为F，，点是在第一象限内上的一个动点，当DP与轴垂直时，，过点作与相切的直线交轴于点，过点作直线的垂线交抛物线于A，B两点．
（1）求C的方程；
（2）如图，连接PD并延长，交抛物线C于点Q．
①设直线AB，OQ（其中O为坐标原点）的斜率分别为，，证明：为定值；
②求的最小值．
22 已知函数，．
（1）若，证明：当时；
（2）当时，，求a的取值范围．
3
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知P，Q为R的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知随机变量 分别满足，，且期望，又，则（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
5. 若等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 设函数，已知在上有且仅有个零点，则下列说法错误的是（ ）
A. 的取值范围是
B. 的图象与直线在上的交点恰有个
C. 的图象与直线在上的交点可能有个
D. 在上单调递减
7. 已知函数定义域为，若为奇函数，为偶函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 函数的周期为3B.
C. D.
8. 已知圆和，动圆M与圆，圆均相切，P是的内心，且，则a的值为（ ）
A. 9B. 11C. 17或19D. 19
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 在中，内角，，所对的边分别，，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 外接圆的半径为
C. 取得最小值时，D. 时，取得最大值为
10. 在正方体中，分别为棱，，上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则（ ）
A. 当时，平面
B. 当时，平面
C. 当时，存在点，使四点共面
D. 当时，存在点，使，，三条直线交于同一点
11. 已知，，，，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若轴，则周长为
B. 若直线交双曲线的左支于点，则
C. 面积的最小值为
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则值为___________.
14. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．
15. 已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值________
16. 设n∈N*，an为(x＋4)n－(x＋1)n的展开式的各项系数之和，（[x]表示不超过实数x的最大整数），则 (t∈R )的最小值为____.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求面积．
18. 已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若记为满足不等式的正整数的个数，数列的前项和为，求关于的不等式的最大正整数解．
19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.
（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
20. 近年来随着新能源汽车的逐渐普及，传统燃油车市场的竞争也愈发激烈.近日，各地燃油车市场出现史诗级大降价的现象，引起了广泛关注.2023年3月以来，各地政府和车企打出了汽车降价促销“组合拳”，被誉为“史上最卷”的汽车降价促销潮从南到北，不断在全国各地蔓延，据不完全统计，十几家车企的近40个传统燃油车品牌参与了此次降价，从几千元到几万元助力汽车消费复苏.记发放的补贴额度为（千元），带动的销量为（千辆）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.
（1）根据表中数据，求出关于的线性回归方程.
（2）（i）若该省城市在2023年4月份准备发放额度为1万元的补贴消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少销量？
（ii）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省城市4月份发放额度为1万元的消费补贴券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为3万辆，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.
参考公式：.
参考数据：.
21. 已知抛物线的焦点为F，，点是在第一象限内上的一个动点，当DP与轴垂直时，，过点作与相切的直线交轴于点，过点作直线的垂线交抛物线于A，B两点．
（1）求C的方程；
（2）如图，连接PD并延长，交抛物线C于点Q．
①设直线AB，OQ（其中O为坐标原点）的斜率分别为，，证明：为定值；
②求的最小值．
22 已知函数，．
（1）若，证明：当时；
（2）当时，，求a的取值范围．
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