2023年福建省福州市连江县重点学校中考数学模拟试卷（4月份）-普通用卷

这是一份2023年福建省福州市连江县重点学校中考数学模拟试卷（4月份）-普通用卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列平面图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列各数中，负数是( )
A. −(−2)B. (−2)0C. (−2)2D. −|−2|
3. 在数轴上，点A表示−2.若从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是( )
A. −6B. −4C. 2D. 4
4. 下列计算正确的是( )
A. 3a2−a2=2B. (−3a3)2=6a6
C. (a−2)2=a2−4D. a3⋅a2=a5
5. 下列说法正确的是( )
A. 要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式
B. 一组数据2，2，2，2，2，2，2，它的方差是0
C. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
D. 一组数据4，6，7，6，7，8，9，它的中位数和众数都是6
6. 方程x2=2x的根是( )
A. x=2B. x=0
C. x1=−2，x2=0D. x1=2，x2=0
7. 《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列出的方程组为( )
A. 8x−y=−37x−y=4B. 8y−x=37y−x=4C. 8y−x=−37y−x=−4D. 8x−y=37x−y=−4
8. 如图，△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕着点A旋转至△ADE，点B的对应点点D恰好落在BC边上，若AC=2 3，∠B=60°，则CD的长为( )
A. 2
B. 3
C. 2 3
D. 4
9. 在反比例函数y=−3x图象上有三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，若x1<0A. y310. 已知二次函数y=−(x−h)2+1(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为−3，则h的值为( )
A. 3或4B. 0或4C. 0或7D. 7或3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. “比a的2倍小1的数”用代数式表示是______．
12. 分解因式：a3−4a=______．
13. 已知x2−4x−13=0，则代数式−3x2+12x+5的值是______ ．
14. 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系数a，b，c满足4a+2b+c=0，则方程有一个根为______ ．
15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−3,−4)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则线段OA′的中点坐标是______ ．
16. 如图，正比例函数y1=k1x(k1<0)的图象与反比例函数y2=k2x(k2<0)的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y1>y2时，x的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算2sin60°+(−12)−2− 12+|1− 3|．
18. (本小题8.0分)
先化简，再求值：1a+2÷a2−4a+4a2−4−2a−2，其中a= 5+2．
19. (本小题8.0分)
下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成填空．
解不等式：2x−13<3x−22−1．
解：2(2x−1)<3(3x−2)−6第①步
4x−2<9x−6−6第②步
4x−9x<−6−6+2第③步
−5x<−10第④步
x<2第⑤步
(1)以上解题过程中，第②步是依据______(运算律)进行变形的；
(2)第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
(3)该不等式的正确解集为______．
20. (本小题8.0分)
如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF=EC，AB=DE，∠B=∠E.求证：∠A=∠D．
21. (本小题8.0分)
已知关于x的方程2x2−kx+2=0的一个解与方程2x+11−x=4的解相同．
(1)求k的值；
(2)求方程2x2−kx+2=0的另一个解．
22. (本小题8.0分)
如图，已知△ABO．
(1)尺规作图：求作△CDO，使得△CDO与△ABO关于点O对称，其中A，C为对称点(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接AD，BC，若E，F分别是AD，BC的中点，求证：点E、O、F在一条直线上．
23. (本小题8.0分)
小明参加一个知识竞赛，该竞赛试题由10道选择题构成，每小题有四个选项，且只有一个选项正确．其给分标准为：答对一题得2分，答错一题扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则额外奖励5分．小明对其中的8道题有绝对把握答对，剩下2道题完全不知道该选哪个选项．
(1)对于剩下的2道题，若小明都采用随机选择一个选项的做法，求两小题都答错的概率；
(2)从预期得分的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题更合算？
24. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CD=3cm，DE=52cm，求⊙O直径的长．
25. (本小题8.0分)
如图，已知抛物线y=−x2+bx+c的对称轴为直线x=1，交x轴于点A，B，交y轴于点C，且点A坐标为A(−1,0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)直线y=mx+n(m<0)与抛物线交于点P、Q(点P在点Q的右边)，交y轴于点H．
①若n=7，△CPQ的面积为4 3，求m的值；
②若m=−13n，当直线AQ和直线CP的交点在抛物线的对称轴上时，求m的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形；
故选：D．
根据中心对称图形的定义判断即可．
本题考查的是中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2.【答案】D
【解析】解：A、原式=2，2是正数，故此选项不合题意；
B、原式=1，1是正数，故此选项不合题意；
C、原式=4，4是正数，故此选项不符合题意；
D、原式=−2，−2是负数，故此选项合题意；
故选：D．
直接利用相反数，有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及有理数的乘方运算、零指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
点B表示的数为−2+4=2，
故选：C．
根据数轴的特点，可知从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数为−2+4，然后计算即可．
本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，点向左平移表示的数值变小，向右平移表示的数值变大．
4.【答案】D
【解析】解：3a2−a2=2a2，因此选项A不符合题意；
(−3a3)2=9a6，因此选项B不符合题意；
(a−2)2=a2−4a+4，因此选项C不符合题意；
a3⋅a2=a5，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及合并同类项法则进行计算即可．
本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及合并同类项法则，正确的计算是判断的前提．
5.【答案】B
【解析】解：要了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，因此选项A不正确；
一组数据2，2，2，2，2，2，2的平均数是2，各个数据与平均数的差都是0，因此方差为0，选项B正确；
投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数不一定为50次，可能多于或少于50次，因此选项C不正确；
一组数据4，6，7，6，7，8，9，它的中位数是7，众数是6，因此选项D不正确；
故选：B．
根据抽查、方差、中位数、众数以及概率的意义，逐项进行判断即可．
考查中位数、众数、方差、抽查的意义，准确把握概念的内涵是正确判断的前提．
6.【答案】D
【解析】解：x2=2x，
x2−2x=0，
x(x−2)=0，
∴x=0，x−2=0，
∴x1=0，x2=2，
故选：D．
把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．
本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右边化为0，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．
7.【答案】D
【解析】解：依题意，得：8x−3=y7x−y=−4．
故选：D．
根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，AC=2 3，∠B=60°，
∴AB=2，BC=4，
由旋转得，AD=AB，
∵∠B=60°，
∴BD=AB=2，
∴CD=BC−BD=4−2=2，
故选：A．
先在直角三角形ABC中，求出AB，BC，然后判断出BD=AB=2，简单计算即可．
此题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，解本题的关键是判断出BD=AB．
9.【答案】C
【解析】解：∵A(x1,y1)在反比例函数y=−3x图象图象上，x1<0，
∴y1>0，
对于反比例函数y=−3x，在第四象限，y随x的增大而增大，
∵0∴y2∴y2故选：C．
分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵函数图象开口方向向下，
∴当xh时，y随x增大而减小，
∴①若h<2≤x≤5，当x=2时，y取最大值−3，
可得：−3=−(2−h)2+1，
解得h=0或4(舍去)，
②若2≤x≤5可得：−3=−(5−h)2+1，
解得h=7或3(舍去)，
∵2≤h≤5时，y的最大值为1，
∴不符合题意，
综上，h的值为0或7，
故选：C．
由函数解析式可知当x=h时，函数有最大值为1，且当xh时，y随x增大而减小，根据x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为−3，可分情况讨论h的值．
本题主要考查二次函数的图象，根据函数图象确定最值是解题的关键．
11.【答案】2a−1
【解析】解：“比a的2倍小1的数”用代数式表示是：2a−1，
故答案为：2a−1．
根据题意列出代数式即可．
本题考查了列代数式，掌握数字与字母相乘，省略乘号，数字要写在字母的前面是解题的关键．
12.【答案】a(a+2)(a−2)
【解析】解：原式=a(a2−4)
=a(a+2)(a−2)．
故答案为：a(a+2)(a−2)
本题首先提取a，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.【答案】−34
【解析】解：∵x2−4x−13=0，
∴x2−4x=13，
∴−3x2+12x+5
=−3(x2−4x)+5
=−3×13+5
=−34；
故答案为：−34．
根据题意易得x2−4x=13，然后整体代入进行求解即可．
本题主要考查求代数式的值，熟练掌握利用整体思想进行求解代数式的值是解题的关键．
14.【答案】x=2
【解析】解：在ax2+bx+c中，令x=2，则ax2+bx+c=4a+2b+c，
即当x=2时，方程的左右两边相等，即x=2是方程的解．
故答案是：x=2．
方程的根就是方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，根据定义即可判断．
本题主要考查了方程的解的定义，是需要熟练掌握的内容．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
15.【答案】(2,−32)
【解析】解：如图，过A作AB⊥y轴于B，
把△OAB绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△OA′B′，则A′B′=AB=3，OB′=OB=4，∠OB′A′=∠OBA=90°，
所以点A′的坐标为(4,−3)，
∴线段OA′的中点坐标是(2,−32).
故答案为：(2,−32).
先构建Rt△OAB，再把△OAB绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△OA′B′，根据旋转的性质得到A′B′=AB=3，OB′=OB=4，∠OB′A′=∠OBA=90°，然后写出A′点的坐标，最后根据中点坐标公式即可求解．
本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.通过把线段旋转的问题转化为直角三角形的性质解决问题．
16.【答案】x<−2或0【解析】解：由双曲线的对称性得点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为−2，
∴当y1>y2时，x<−2或0故答案为：x<−2或0根据双曲线的对称性得到点A的横坐标为−2，根据图象即可求出当y1>y2时，x的取值范围为x<−2或0本题考查了双曲线的对称性和反比例函数与不等式的关系，理解函数与不等式的关系，根据双曲线的对称性求出点A的横坐标是解题关键．
17.【答案】解：2sin60°+(−12)−2− 12+|1− 3|
=2× 32+(−2)2−2 3+ 3−1
= 3+4−2 3+ 3−1
=3．
【解析】根据负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质，进行计算即可得到答案．
本题主要考查了负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质，熟练掌握相应的计算法则是解题的关键．
18.【答案】解：原式=1a+2×(a+2)(a−2)(a−2)2−2a−2=1a−2−2a−2=−1a−2，
∵a= 5+2，
∴原式=−1a−2=−1 5+2−2=− 55．
【解析】先对分式进行化简，然后代值求解即可．
本题主要考查分式的化简求值及分母有理化，熟练掌握分式的化简是解题的关键．
19.【答案】(1)乘法分配律；
(2)⑤；不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变．(或不等式性质2)
(3) x>2
【解析】解：(1)以上解题过程中，第②步是依据乘法分配律(运算律)进行变形的．
故答案为：乘法分配律；
(2)第⑤步开始出现错误，这一步错误的原因是：不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变．(或不等式性质2)．
故答案为：⑤；不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变．(或不等式性质2)；
(3)该不等式的正确解集为x>2．
故答案为：x>2．
去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解．
本题考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
20.【答案】证明：∵BF=EC，
∴BF+CF=EC+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE ∠B=∠E BC=EF ，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠A=∠D．
【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
利用SAS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得解．
21.【答案】解：(1)解方程2x+11−x=4，
得x=12．
经检验x=12是原方程的解．
把x=12代入方程2x2−kx+2=0，
得12−12k+2=0，
解得k=5；
(2)当k=5时，方程为2x2−5x+2=0．
由根与系数关系得方程另一个解为：x=52−12=2．
【解析】(1)先解分式方程2x+11−x=4可得出x=12，再将x=12代入方程2x2−kx+2=0，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k值；
(2)根据两根之和=−ba即可求得方程的另一解．
本题考查了根与系数的关系以及分式方程的解，通过解分式方程找出一元二次方程的一个解是解题的关键．
22.【答案】(1)解：如图，△CDO即为所求；

(2)证明：∵△CDO与△ABO关于点O对称，
∴△AOB≌△COD，
∴∠OAB=∠OCD，OA=OC，OB=OD，
∴AB//CD，
∵AE=ED，BF=CF，
∴OE//CD，OF//AB，
∴OF//CD，
∵OE//CD，
∴E，O，F共线．
【解析】(1)延长AO，BD，即为OC=OA，OD=OB，连接CD即可；
(2)证明OE//CD，OF//CD，可得结论．
本题考查作图−旋转变换，三角形的中位线定理，平行公理等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)因为每小题有四个选项，且只有一个选项是正确的，
所以有三个选项是错误的，
不妨用“对，错，错，错”来表示．因此可列表：
由表格可知，共有16种等可能的结果，
其中两题都答错的有9种结果，
所以两小题都答错的概率为916；
(2)小明有3种可能的解答方式分别为：
①两题都不答；
②一题不答，一题随机选择；
③两题都采用随机选择．
①当两题都不答时，预期得分为0+16=16分；
②当一题不答，一题随机选择时，
∵P(对)=14，P(错)=34，
∴预期得分为：2×14−1×34+0+16=1534分；
③当两题都采用随机选择时，有两题都对，一对一错，两题都错三种可能，
所得的分数分别为9分，1分，−2分，
相应的概率分别为：
P(答对2题)=116，
P(答对1题)=616，
P(两题都答错)=916，
∴预期得分为：
9×116+1×616−2×916+16=151316．
∵1534<151316<16，
∴小明采用都不答的解答方式更合算．
【解析】(1)由只有一个选项是正确的，所以有三个选项是错误的，则用“对，错，错，错”来列表求概率即可；
(2)分别按①两题都不答：②一题不答，题随杋选择；③两题都釆用随机选择三种情况求出概率，最后比较即可．
本题考查了列表法或树状图法求概率，解决本题的关键是掌握列表法或树状图法．
24.【答案】(1)证明：连接DO，如图，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=CE=BE，
∴∠EDC=∠ECD，
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，
∴DE⊥OD，
∵OD是半径，
∴DE与⊙O相切；
(2)解：由(1)得，∠BDC=90°，
∵CE=BE，
∴DE=12BC，
∴BC=2DE=2×52=5(cm)，
∴BD= BC2−CD2= 52−32=4(cm)，
∵∠BCA=∠BDC=90°，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BDC，
∴ACCD=BCBD，
∴AC3=54，
∴AC=154(cm)，
∴⊙O直径的长为154cm．
【解析】(1)连接DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC=90°，E为BC的中点得到DE=CE=BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD，由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；
(2)根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．
25.【答案】解：(1)∵抛物线与x轴的一个交点A的坐标为(−1,0)，抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(3,0)，
∴抛物线的解析式为y=−(x+1)(x−3)，
即y=−x2+2x+3；
(2)①n=7，直线解析式为y=mx+7，则H(0,7)，
当x=0时，y=−x2+2x+3=3，则C(0,3)，
设P、Q点的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2为方程−x2+2x+3=mx+7的两根，
即x2+(m−2)x+4=0，
∴x1+x2=−(m−2)，x1x2=4
∵S△CPQ=S△PCH−S△QCH，
∴12×4×(x1−x2)=4 3，
即x1−x2=2 3，
∴(x1−x2)2=12，即(x1+x2)2−4x1x2=12，
∴(m−2)2−4×4=12，
解得m1=2+2 7(舍去)，m2=2−2 7，
∴m的值为2−2 7；
②当m=−13n时，即n=−3m，直线PQ的解析式为y=mx−3m，
当y=0时，mx−3m=0，解得x=3，
∴P点与B点重合，
设直线PC的解析式为y=kx+q，
把C(0,3)，P(3,0)分别代入得q=33k+q=0，
解得q=3k=−1，
∴直线PC的解析式为y=−x+3，
当x=1时，y=−x+3=2，
∴点(1,2)为直线AQ和直线CP的交点，
设直线AQ的解析式为y=ax+t，
把A(−1,0)，(1,2)分别代入得−a+t=0a+t=2，
解得a=1t=1，
∴直线AQ的解析式为y=x+1，
解方程组y=−x2+2x+3y=x+1得x=−1y=0或x=2y=3，
∴Q(2,3)，
把Q(2,3)代入y=mx−3m得2m−3m=3，
解得m=−3，
当Q点与B点重合，
AQ为x轴，AQ与直线x=1的交点为(1,0)，
此时PC的解析式为y=−3x+3，
解方程−x2+2x+3=−3x+3，
解得x1=0，x2=5，
∴P(5,−12)，
把P(5,−12)代入y=mx−3m得5m−3m=−12，
解得m=−6，
综上所述，m的值为−3或−6．
【解析】(1)利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(3,0)，然后利用交点式写出抛物线解析式；
(2)①n=7，直线解析式为y=mx+7，易得H(0,7)，C(0,3)，设P、Q点的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2为方程−x2+2x+3=mx+7的两根，利用根与系数的关系得x1+x2=−(m−2)，x1x2=4，根据三角形面积公式，利用S△CPQ=S△PCH−S△QCH得到12×4×(x1−x2)=4 3，再利用完全平方公式得到(x1+x2)2−4x1x2=12，所以(m−2)2−4×4=12，然后解方程即可；
②当m=−13n时，直线PQ的解析式为y=mx−3m，则P点与B点重合，求出直线PC的解析式为y=−x+3，则可判断点(1,2)为直线AQ和直线CP的交点，再求出直线AQ的解析式为y=x+1，接着解方程组y=−x2+2x+3y=x+1得Q(2,3)，然后把Q(2,3)代入y=mx−3m中可求出m的值；当Q点与B点重合时，用同样方法可求得m=−6．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求函数解析式．