2023年湖南省益阳市沅江市团山学校中考数学模拟试卷（含解析）

2023年湖南省益阳市沅江市团山学校中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  四个数：，，，中最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列结论：的底数是；若有理数，互为相反数，那么；把精确到约等于；；式子的最大值是，其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.  函数中，自变量的取值范围在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知函数，当时，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  不透明的袋子中装有个球，除颜色外无其他差别，其中有个红球，个黄球，个绿球从袋子中随机摸出一个球，那么摸出的球是红球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  从，，，，，，这七个数中，随机抽取一个数，记为，若使关于的不等式组的解集为，且使关于的分式方程的解为非负数，那么取到满足条件的值的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，平行四边形的周长为，若点是的中点，则线段与线段的和为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，是的角平分线，于，、分别是边、上的点，若和的面积分别为和，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，为内一定点，、分别是射线、上一点，当周长最小时，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  ______ ．

12.  计算：______．

13.  已知，则代数式 ______ ．

14.  当 ______ 时，函数的图象在第二、四象限内．

15.  如图，某一时刻在灯塔处观测到游轮在它的北偏西方向，同时又观测到货轮在它的北偏东方向，则的度数是______
 

16.  某单位购买甲、乙两种纯净水共用了元，其中甲种水每桶元，乙种水每桶元；乙种水比甲种水多买了桶．设甲种水买了桶，则可列方程：______．

17.  如图所示的网格由边长为的小正方形组成，点、、在小正方形的顶点上，为的中点，则长为______．

18.  如图，在中，，，正方形的边长为，将正方形绕点旋转一周，连接，点为的中点，连接，则线段的最大值是______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且求证：≌．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．

求一次函数和反比例函数的表达式；
求面积的最大值．

22.  本小题分
某文具店为了了解学生对去年销量较好的、、、四种圆规的喜爱程度，调查了去年销量较好的、、、四种圆规的销量情况，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
将统计图补充完整；
该文具店去年销量最好的是哪种圆规？
今年中考前，该文具店老板计划再购进一批圆规，请结合去年的销量统计结果，给该文具店老板一个合理的进货建议．

 

23.  本小题分
如图，在中，点在边上，且，已知，．
求的度数；
我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比或者底边长与腰长的比等于黄金比．
写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
求的长；

24.  本小题分
新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进、两种消毒液，购买种消毒液花费了元，购买种消毒液花费了元，且购买种消毒液数量是购买种消毒液数量的倍，已知购买一桶种消毒液比购买一桶种消毒液多花元．
求购买一桶种、一桶种消毒液各需多少元？
为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资，其中、两种消毒液准备购买共桶且购买种消毒液数量不多于购买种消毒液数量，恰逢商场对两种消毒液的售价进行调整，种消毒液售价比第一次购买时提高了，种消毒液按第一次购买时售价的折出售，那么学校此次如何购买消毒液才能使学校此次购买、两种消毒液的总费用最少？最少费用是多少？

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴交于点．
Ⅰ求抛物线的解析式及顶点坐标；
Ⅱ为第一象限内抛物线上的一个点，过点作轴于点，交于点，连接，当线段时，求点的坐标；
Ⅲ以原点为圆心，长为半径作，点为上的一点，连接，，求的最小值．

26.  本小题分
在平行四边形中，，，的顶点在上，交直线于点．

如图，若，，连接，求的长．
如图，，当时，求证：是的中点；
如图，若，对角线，交于点，点关于的对称点为点，连接交于点，连接、、，求的长，请直接写出答案．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
四个数：，，，中最大的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：的底数是，错误；
若有理数，互为相反数，那么，正确；
把精确到约等于，正确；
化简，正确；
式子的最小值是，错误，
则其中正确的个数个，
故选：．
各项计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了整式的加减，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，得到，
解得：，
表示在数轴上，如图所示：，
故选B
根据负数没有算术平方根求出的范围，表示在数轴上即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

4.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
、，
则原式

，
故选：．
根据方程的解的定义及韦达定理得出、，据此代入原式计算可得．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及方程的解的定义和整体代入思想的运用．
 

5.【答案】 

【解析】解：当时，，
，
解得：，
故选：．
把，代入，即可求解．
本题主要考查了求函数解析式，熟练掌握利用待定系数法解答是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：有个红球，个黄球，个绿球，共个，
摸到红球的概率为；
故选：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解．
此题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集为，
，
解得：，
解方程，得：，
分式方程的解为非负数，
且，
解得：且，
在，，，，，，这七个数中满足且有、，
取到满足条件的值的概率为，
故选：．
根据题意先求出满足不等式组的的范围，再求出满足分式方程的的范围，最后从个数中找到满足条件的数，根据概率公式即可得．
本题主要考查概率的计算、解不等式组、解分式方程，根据题意确定出的范围是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：平行四边形的周长为，
，
四边形是平行四边形，
是的中点，
又点是的中点，
是的中位线，
，，
．
故选：．
结合已知得出是的中位线，进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出是的中位线是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过作于，

是的角平分线，于，
，，
在与中，
，
≌，
在与中，
，
≌，
，，
和的面积分别为和，
，
，
，
故选：．
过作于，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：作关于，的对称点，连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，连接、，
关于对称，
，，，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
，
，
故选：．
作关于，的对称点，连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质可以证得：，，根据等腰三角形的性质即可求解．
本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得是等腰三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据绝对值的意义解答即可．
本题考查了绝对值的意义，属于基础知识，比较简单．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
先通分，再把分子相加减即可．
本题考查的是分式的加减，熟知异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，即，
，
故答案为：．
根据等式的性质将等式的两边都乘以即可．
本题考查代数式求值，掌握等式的性质是得出正确答案的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：函数的图象在第二、四象限内．
，
．
由双曲线在第二、四象限，可知即可解答．
本题考查了反比例函数图象与性质，熟记，图象位于第二、四象限是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据角的和差即可得到结论．
此题主要考查了方向角，关键是根据题意找出图中角的度数．
 

16.【答案】 

【解析】解：设甲种水买了桶，则乙种水买了桶，
，
故答案为：．
设甲种水买了桶，则乙种水买了桶，根据共用了元列方程即可．
此题考查的是由实际问题抽象出一元一次方程，关键找出等量关系．
 

17.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，为的中点，
，
故答案为：．
先运用勾股定理求出，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案．
本题考查了勾股定理、直角三角形的性质，熟练运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：延长到，使，连接，，
在中，，
，
正方形的边长为，
为等腰直角三角形，
，
共线时相等，
即，
为的中点，为的中点，
故F是的中位线，
，
，
故答案为：．
延长到，使，连接，根据三角形的三边关系确定的取值范围，载根据是的中位线得出，得出的取值范围即可．
本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识点，根据三角形三边关系得出的取值范围是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】先分别化简负整数指数幂，绝对值，零指数幂，代入特殊角三角函数值，然后去括号，先算乘法，最后算加减．
本题考查实数的混合运算，理解，，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
 

20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】结合平行线的性质，由“”可证≌．
本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．
 

21.【答案】解：把、代入一次函数得，
，解得，，
一次函数的关系式为，
当时，，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
即一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为；
点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，
点，点，
，
，
当时，最大，
即面积的最大值是． 

【解析】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是求函数关系式的常用方法，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解，是解决问题的基本思路．
由、的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，确定反比例函数的关系式；
根据题意，要使三角形的面积最大，可用点的横坐标，表示三角形的面积，利用二次函数的性质求最值即可．
 

22.【答案】解：调查的总人数是：人，
类型的人数是：人，所占的百分比是：，
所占的百分比是：，


由统计图知，该文具店去年销量最好的是种圆规；

该文具点应该多进种圆规，少进中圆规． 

【解析】根据类有人，占，据此即可求得总人数，然后求得类的人数以及所占的比例，所占的百分比，即可作出统计图；
由条形图知中圆规销量最好，最受欢迎；
由种销量最少、种销量最多解答可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】解：设，
，
，
，
，
，
，
，解得，
即的度数为；
、、都是黄金三角形．
理由如下：，，
为黄金三角形；
，
而，
，
而，
为黄金三角形；
，
而，
为黄金三角形；
为黄金三角形，
，
而，
，
，
，
． 

【解析】设，利用等腰三角形的性质得到，则，再表示出，利用三角形外角性质得到，解方程求出即可；
利用黄金三角形的定义可判断、、都是黄金三角形．
根据黄金三角形的定义得到，则，所以，然后计算即可．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．
 

24.【答案】解：设购买一桶种消毒液需元，则购买一桶种消毒液需元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一桶种消毒液需元，购买一桶种消毒液需元．
设学校此次购买桶种消毒液，桶种消毒液，费用为元，
依题意，得：，
，
，
，
最的增大而减小，
当时，的值最小，
此时，
答：学校此次购买桶种消毒液，桶种消毒液才能使学校此次购买、两种消毒液的总费用最少，最少费用是元． 

【解析】设购买一桶种消毒液需元，则购买一桶种消毒液需元，根据数量总价单价结合用元购买种消毒液的数量是用元购买种消毒液数量的倍，列出分式方程，解方程即可；
设学校此次购买了桶种消毒液，则购买了桶种消毒液，费用为元，依题意得：，再由题意：购买种消毒液数量不多于购买种消毒液数量，得，解得，然后由一次函数的性质求解即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：Ⅰ对称轴是直线，
故，解得，
故抛物线的表达式为，
抛物线的顶点为；

Ⅱ对于，令，解得或，令，则，
故点、、的坐标分别为、、，
设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
当线段时，则点在的中垂线上，即，
即，
解得舍去或，
故点的坐标为；

Ⅲ在上取点，使，即，则，则点，

，，
∽，
，故，
则，
故当、、三点共线时，最小，最小值为，
则的最小值． 

【解析】Ⅰ由，解得，即可求解；
Ⅱ当线段时，则点在的中垂线上，即，即可求解；
Ⅲ在上取点，使，即，则∽，故，故当、、三点共线时，最小，最小值为，进而求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
 

26.【答案】解：≌，
，
，
，
在中，，
．

证明：如图，在上取点，使，连接，则为等边三角形，
，
．
四边形为平行四边形，，
，
．
，，
，
，
∽，
，
，
，
，，
是的中点．

解：由题意得，为线段的垂直平分线，设与交点为，
，
平行四边形为矩形，
，，，
，
点为的中点，点为的中点，
，且，
∽，
，
．
 

【解析】运用三角形全等可求出，的长，再求出的长，即可求解；
先构造等边三角形，再运用三角形相似，求出的长，再求出，的长即可证明；
运用已知条件和三角形相似的边的比例关系即可求解．
本题考查了四边形的综合运用，利用已知条件，构造等边三角形，找出相似和全等三角形，得出边的比例关系后即可得出答案．