安徽省江南十校2022-2023学年高二下学期阶段联考数学试卷（含答案）

安徽省江南十校2022-2023学年高二下学期阶段联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则(   )

A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4

2、设，则“”是“直线与直线平行”的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

3、某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为(   )

A.7.6 B.7.8 C.8 D.8.2

4、已知等比数列的公比为q（且），若，则q的值为(   )

A. B. C.2 D.4

5、若双曲线C：（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为(   )

A. B.2 C. D.

6、甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A，B，C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率为(   )

A. B. C. D.

7、数列满足，，现求得的通项公式为，，若表示不超过x的最大整数，则的值为(   )

A.43 B.44 C.45 D.46

8、若任意两个不等正实数，，满足，则m的最小值为(   )

A. B.1 C.e D.

二、多项选择题

9、已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是(   )

A.  B.

C.的最大值为 D.的前10项和为

10、已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则(   )

A. B.的一个周期是4

C.是偶函数 D.

11、已知抛物线C：（）的焦点为F，过F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，若，则下列说法正确的是(   )

A. B. C. D.以为直径的圆与y轴相切

12、如图，正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为棱上的点，且（），则(   )

A.当时，平面

B.当时，点C到平面的距离为

C.当时，三棱锥外接球的表面积为

D.对任意，直线与都是异面直线

三、填空题

13、已知空间向量，，，若，，共面，则_______.

14、某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天.已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为________.

15、已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于两点（点M位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为___________.

16、进入秋冬季以来某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为10%，且每人是否感染这种病毒相互独立.为确保校园安全，某校组织该校的3000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测3000次，但实际上在检测时都是随机地按人一组分组，然后将各组k个人的检测样本混合再检测.如果混合样本呈阴性，说明这k个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次.当检测次数最少时k的值为__________.

参考数据：，，，，，，，，.

四、解答题

17、已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求的展开式中：

（1）所有二项式系数之和.

（2）系数绝对值最大的项.

18、在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：设数列的前n项和为，且__________.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

19、如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.

（1）在线段上是否存在点F，使得平面?说明理由；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值.

20、地球上生命体内都存在生物钟.研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况,控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER.PER分为（导致早起倾向）和（导致晚睡倾向）.某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验.

以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERI突变的Sd指标：

长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重.

（1）从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；

（2）若编号1～8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9～16的为非GRPE蛋白干预对照组,，试依据小概率值的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关?

附:（其中）.

21、已知椭圆C：的上、下顶点分别为，，点在C上，且.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设坐标原点为O，若不经过点P的直线与C相交于M、N两点，直线与的斜率互为相反数，当的面积最大时，求直线的方程.

22、已知函数（）.

（1）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若，求证：.

参考答案

1、答案：B

解析：.

2、答案：C

解析：当时，，，，可得两直线平行；

若与平行，则，解得或舍，

故为充要条件，

故选：C.

3、答案：B

解析：依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6、7、8、9、9，所以平均数为，故选B.

4、答案：C

解析：已知等比数列的公比为q（且），若，

则，所以，解得.

故选：C.

5、答案：B

解析：解：双曲线C：（，）的渐近线方程为，由对称性，不妨取，即.圆的圆心坐标为，半径为，则圆心到准线的距离，

，解得.故选B.

6、答案： B 

解析：依题意，5名志愿者到三个小区参加活动的试验的基本事件有种，

设事件A为每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区，则事件A所包含的基本事件个数为：，

所以每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率．

7、答案：D

解析：

8、答案：D

解析：因为对任意两个不等正实数，，满足，

不妨令，则，所以，

即，所以，

令，则，即在上单调递减，

由，当时，，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即m的最小值为.故选D.

9、答案：BCD

解析：等差数列的公差为d，则由，，得，，所以.

所以，，，

所以A不正确，B正确；又，当时，最大，故C正确；对于D，，所以

，D正确，故选BCD.

10、答案：BC

解析：因为函数是奇函数，，所以，

所以，即：，故的周期为4，

所以，故的一个周期为4，故B项正确；

，故A项错误；

因为函数是奇函数，所以，

所以，即：，所以为偶函数，故C项正确；

因为，所以，

令，可得，解得：，故D项错误.故选BC.

11、答案：BD

解析：数形结合作出抛物线图象，由过焦点直线斜率及抛物线定义可得，

故A错误；由图知为钝角知C错误，故选：BD.

12、答案：BCD

解析：如图，建立空间直角坐标系，

对于A，，，，，

则，，，

设平面的法向量为，

则，令，则，

所以，所以与不垂直，所以与平面不平行，所以A错误，

对于B，，，，设平面的法向量为，则

，令，则，

所以点C到平面的距离为，所以B正确，

对于C，连接交于O，过O作平面的垂线，则外接球球心在此垂线上，设三棱锥外接球的半径为R，

则，所以三棱锥外接球的表面积为，所以C正确，

对于D，对任意，因为A、B、M在平面内，点N在平面外，且直线与平面交于点B，直线不经过点B，

所以直线与都是异面直线，所以D正确，故选BCD.

13、答案：－6

解析：若，，共面，则存在实数x，y，使，

即，

所以，解得，，.所以.

14、答案：14

解析：①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为；

②若甲不安排在最后一天，则不同的安排数为.

综上，不同的安排种数为14.

15、答案：

解析：设的内切圆为圆，与三边的切点分别为，如图所示，

设，，，设的内切圆为圆，

由双曲线的定义可得，得，

由此可知，在中，轴于点，同理可得轴于点，所以轴，

过圆心作的垂线，垂足为，

因为，

所以，∴，即

∴，即 故答案为：.

16、答案：4

解析：设每个人检测总人数为X，若混合为阴性，则；若混合为阳性，则.

则，，

，

故当最小时，检测次数最少.

当时，；当时，；当时，；当时，

；当时，；当时，；当时，；当时，，当时，.故当当时，最小.

17、答案：（1）1024

（2）

解析：（1）因为展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，

所以且，解得，

所以展开式的二项式系数之和为；

（2）展开式的通项为，

设展开式第项的系数的绝对值最大，

则，解得，又因，所以，

所以展开式中，系数绝对值最大的项为.

18、答案：（1）

（2）

解析：（1）选①，因为，所以，

所以，所以，

则.

因为满足上式，所以.

选②，因为，所以，

所以.

因为满足上式，所以，

则，因为满足上式，所以.

（2）由（1）可得，则

.

19、答案：（1）存在，理由见解析

（2）

解析：（1）记中点为M，连结，为正三角形，,

则，且.

因为平面平面，平面平面，

平面,

所以平面，又因平面，

所以.

延长,交于点G，则为平面与平面的交线，

因为，故，所以B为的中点，

取中点F，连结，则，因为平面，平面，

所以平面.

即线段上存在点F，当时，平面.

（2）连结，则为平面与平面的交线，

在平面内，过点B作的垂线，垂足为H，连结，

因为平面，平面，故,

,,平面，故平面，

平面，故,

则为平面与平面所成的二面角的平面角.

为正三角形，，故，则,

且,,

故在中，，

故，而，

故,又因为，

所以，

即平面与平面所成的锐二面角的正切值为.

20、答案：（1）X的分布列为

；

（2）GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况无关.

解析：（1）由题意得，X的可能取值有0，1，2，3，所以

，，，，

所以X的分布率为

所以X的数学期望.

（2）由题意得，根据所给数据，得到列联表：

零假设为：：实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系.

利用列联表中的数据得，，

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可认为成立，即认为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没无关.

21、答案：（1）

（2）.

解析：（1）由题意椭圆C：的上、下顶点分别为，，

故，，点在C上，故，

又，即，

即，解得，结合可得，故椭圆C的标准方程为.

（2）由题意知直线斜率存在，故设为k，

则直线的方程为，联立，

可得，

由题意知该方程有一根为，设，

则，，

则，

因为直线与的斜率互为相反数，设，故以代换k,

可得，，

由题意可得，故，

所以直线的斜率为，

即直线的斜率为，则设其方程为，联立，

可得，需满足，，

则，，故,

原点O到直线的距离为，

故的面积为，

当，即时，的面积取到最大值，此时直线的方程.

22、答案：（1）

（2）证明见解析.

解析：（1）由题意知，，

令，则≥0，所以在上单调递增，

即在上单调递增.

当时，，所以在上单调递增，

所以，符合题意.

当时，.

令，则，当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以.

所以，又在上单调递增，

所以，使得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，不合题意.

综上所述，实数a的取值范围是.

（2）证明：由（1）得，当时，时，，即.

要证明不等式，只需证，

只需证，即证，

设（），则，

当时，，在上单调递增，

又，所以恒成立，所以原不等式成立.