浙江省台州市名校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷（含答案）

浙江省台州市名校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若a，，i是虚数单位，且，则的值为(   )

A.1 B.2 C.3    D.4

2、已知向量，，若，则(   )

A.3 B.5 C.6    D.9

3、已知圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为(   )

A. B. C.    D.

4、在中，已知，，，则角(   )

A.30° B.45° C.60°    D.30°或45°

5、已知非零向量，满足，且，则与的夹角为(   )

A. B. C.    D.

6、设非零向量，的夹角为150°，且，则的最小值是(   )

A. B. C.    D.

7、如图，在中，M为BC边上一点，，，，的面积为，则等于(   )

A. B. C.    D.

8、如图，在棱长为1的正方体中，P为正方形ABCD内（包括边界）的一动点，E，F分别为棱AB，BC的中点，若直线与平面无公共点，则线段的长度范围是(   )

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题

9、已知i为虚数单位，以下说法正确的是(   )

A.

B.复数的虚部为2

C.复数在复平面对应的点在第一象限

D.为纯虚数，则实数

10、如图，已知正方体，M，N，分别为和的中点，则下列四种说法中正确的是(   )

A.  B.

C.与AC所成的角为60° D.CD与BN为异面直线

11、已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是(   )

A.若，则

B.若，则一定是锐角三角形

C.若，则一定为直角三角形

D.若，则一定是等腰三角形

12、如图，以为圆心，1为半径的圆C，为圆C的内接正三角形，M为边BD的中点，当绕圆心C转动，同时N在边AB上运动时，的取值有可能为(   )

A. B. C.   D.

三、填空题

13、设复数z满足（其中i是虚数单位），则__________.

14、中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若，，，则的面积为___________.

15、如图，已知球O的面上四点A，B，C，P，平面ABC，，，，，则球O的体积等于___________.

16、设P是边长为2的等边三边上一动点，则的取值范围为___________.

四、解答题

17、已知复数.

（1）若，求a的值；

（2）求的最小值.

18、已知向量，，.

（1）求；

（2）若，求k的值.

19、如图，正三棱柱中，，，点D为BC的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

20、在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角A的⼤小；

（2）若，求周长的取值范围.

21、如图，在直三棱柱中，，且，点P为线段上的动点.

（1）当P为线段中点时，求证平面平面；

（2）当直线AP与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.

22、如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为AB的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N.

（1）用，表示；

（2）若，，求的值；

（3）求的取值范围.

参考答案

1、答案：D

解析：因为，由复数相等知，所以，选D

2、答案：C

解析：,

,

故选C

3、答案：B

解析：

4、答案：A

解析：在中, 已知，, ,

由正弦定理可以知道,

，或，

，，

综上所述,

故选A.

5、答案：D

解析：

6、答案：A

解析：

7、答案：C

解析：

8、答案：B

解析：

9、答案：AD

解析：为纯虚数,

则, 故 A,D 对.

复数 的虚部为-2，, 对应的点为, 不在第一象限, 故B,C 错误.

故选: AD

10、答案：BCD

解析：

11、答案：AC

解析：对于A,若成立,由正弦定理可得,所以,故正确

对于B:若, 故, 解得C为锐角, 并不能说明一定是锐角三角形, 故B错误

由正弦定理可得,又,则.因为,所以,所以,因为,所以,故C正确

由正弦定理及大边对大角可知A正珎;由得,即或,则是等腊三角形或直角三角形,故D错误

12、答案：ABC

解析：

13、答案：

解析：，则.

14、答案：

解析：由余弦定理知， ， 所以，即，

解得或-2(负舍) ，

所以 的面积

故答案为.

15、答案：

解析：

16、答案：

解析：

17、答案： (1) 或

(2)

解析：（1）由复数，得

所以，

所以，解得或.

（2）由复数，

可得

所以当时，有最小值，最小值为.

18、答案： (1)

(2)

解析：（1）由得

.

.

（2）若，则，

，

.

.

19、答案：(1)见解析

(2)

解析：（1）连接，与相交于M，连接DM，则M是的中点，

又D为BC的中点，所以，

平面，平面，所以平面；

（2）取的中点，连，则，且

又面，，且，

面

20、答案：(1)

(2)

解析：（1）由正弦定理得，

又，则，

化简得，

又，所以，则，

因为.

所以

（2）由正弦定理得：，

，，

；

为锐角三角形，

，

解得：

即△ABC的取值范围为

21、答案：(1)见解析

(2)

解析：（1）由题意，，，，BC，平面，故平面，

，

P为的中点，

，且

平面

又平面ABP，

平面平面

（2）由（1）得平面，

所以直线AP与平面所成角即为，

故，解得.

作，，连接PN如图.

则平面ABC，又平面ABC，故.

又，故平面PMN，故为二面角的平面角

又，，故，

故，

即二面角P-AB-C的余弦值为

22、答案：(1)

(2)3

(3)

解析：（1）因为D为BC中点，

又，所以，

（2）若，，

，

，

M，O，N三点共线，

，

（3）由（2）得，

，，

由得，，

令，，则

得，

则，

，

所以的取值范围为