2022北京首经贸附中初三（上）期中数学（教师版）

这是一份2022北京首经贸附中初三（上）期中数学（教师版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022北京首经贸附中初三（上）期中
数 学
一、单选题
1. 下列图形是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2. 下列事件中必然发生的事件是（　　）
A. 一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B. 不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C. 200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A B. C. D.
4. 把抛物线y=x2 向下平移2个单位，得到抛物线解析式为（ ）
A y=x2+2 B. y=x2-2 C. y=( x+2)2 D. y=( x-2)2
5. 用配方法解方程x2－4x＋1＝0，变形正确的是(　　)
A. (x＋2)2＝5 B. (x－2)2＝5 C. (x＋2)2＝3 D. (x－2)2＝3
6. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）

A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
7. 如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）

A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点M
8. 市政府为了解决市民看病难问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ）
A B.
C. D.
二、填空题
9. 小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2概率是_____．
10. 若点与点关于原点成中心对称，则的值为______．
11. 请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为(0，-3)的抛物线的解析式____________．
12. 抛物线与y轴的交点坐标是____________．
13. 若x＝2是一元二次方程x2＋ax－6＝0的一个根，则a＝_________．
14. 如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离为3，则半径为_________．

15. 已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=________(度)

16. 如图1，在△ABC中，AB>AC，D是边BC上的动点．设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y， 表示 y与x的函数关系的图象如图2所示．线段AC的长为_________________，线段AB的长为____________．

三、解答题
17. 计算：．
18. 解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
19. 已知二次函数．

（1）画出函数图象．
（2）求抛物线的顶点坐标．
（3）求图象与x轴的交点坐标．
（4）求顶点及图象与x轴两交点围成的三角形面积．
（5）当时，求x的取值范围．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．
21. 如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此， 我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．

如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理的依据是： ．
经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝ cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝ cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
，解得r＝75
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
22. 如图，点、坐标分别为、，将绕点按逆时针方向旋转到．

（1）画出平面直角坐标系和；
（2）直接写出点的坐标．
23. 如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？

24. 为了解我国2022年第一季度25个地区快递业务收入的情况，收集了这25个地区第一季度快递业务收入（单位：亿元）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
a．排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：
534.9，437.0，270.3，187.7，104.0
b．其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：
快递业务收入x




频数
6
10
1
3
c．第一季度快递业务收入的数据在这一组的是：
20.2 20.4 22.4 24.2 26.5 26.5 28.5 34.4 39.1 39.8
d．排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：

前5位的地区
其余20个地区
全部25个地区
平均数
p
29.9
n
中位数
270.3
m
28.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为______________；
（2）在下面的3个数中，与表中n的值最接近的是______________（填写序号）
①75； ②80； ③85．
（3）根据（2）中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务收入约为______________亿元．
25. 在正方形中，是边上一点，且点不与、重合，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．

（1）依题意补全图1；
（2）①连接，若点，，恰好在同一条直线上，求证：；
②若点，，恰好在同一条直线上，则与的数量关系为： ．

参考答案
一、单选题
1. 【答案】D
【解析】
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 【答案】C
【解析】
【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．
【详解】A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；
B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；
C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．
3. 【答案】B
【解析】
【分析】根据顶点式的顶点坐标为：，判断即可.
【详解】抛物线中，
∴抛物线的顶点坐标是
故选B.
【点睛】此题考查的是顶点式的顶点坐标，掌握顶点式的顶点坐标为：是解决此题的关键.
4. 【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，按照“左加右减，上加下减”的规律即可得出解析式．
【详解】解：将抛物线y=x2向下平移2个单位抛物线变为y=x2-2，
故选B．
【点睛】本题考查抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减，难度适中．
5. 【答案】D
【解析】
【分析】方程两边加上4，利用完全平方公式变形得到结果，即可做出判断．
【详解】方程x2-4x=-1，
配方得：x2-4x+4=3，即（x-2）2=3，
故选D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6. 【答案】B
【解析】
【详解】解：∵△ADE是由△ABC绕点A旋转100°得到的，
∴∠BAD=100°，AD=AB，
∵点D在BC的延长线上，
∴∠B=∠ADB=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角∠BAD=100°，对应边AB=AD及点D在BC的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形中：两底角相等求得∠B的度数了．
7. 【答案】B
【解析】
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．
【详解】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：B．

【点睛】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
8. 【答案】A
【解析】
【分析】根据题意直接列出方程即可．
【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，第一次降价后的价格为；第二次降价后的价格为，
即，
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．
二、填空题
9. 【答案】
【解析】
【分析】首先解不等式得x＜1，然后找出这六个数中符合条件的个数，再利用概率公式求解.
【详解】解：∵x+1＜2
∴x＜1
∴在﹣1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式x+1＜2的有﹣1、0这两个，
∴满足不等式x+1＜2的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
10. 【答案】
【解析】
【分析】平面内关于原点对称的点的坐标特点为：横坐标、纵坐标都互为相反数，由此可求解．
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．
11. 【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】设二次函数的解析式为y＝ax2＋c（a≠0），根据二次函数图象的开口方向及与y轴的交点坐标，可得出a＜0，c＝-3，取a＝−1，即可得出结论（答案不唯一）．
【详解】设二次函数的解析式为y＝ax2＋c（a≠0）．
∵二次函数的图象开口向下，与y轴的交点坐标为（0，-3），
∴a＜0，c＝-3，
∴二次函数的解析式可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数a＜0时开口向下，c为图象与y轴交点的纵坐标解题的关键．
12. 【答案】
【解析】
【分析】把代入抛物线，即得抛物线与轴的交点坐标．
【详解】解：由题意得，当时，抛物线与轴相交，
把代入，得，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数，求抛物线与轴的交点坐标，令代入抛物线是解题的关键．
13. 【答案】1
【解析】
【分析】把x＝2代入一元二次方程x2＋ax－6＝0即可解题．
详解】解：把x＝2代入一元二次方程x2＋ax－6＝0得，
4+2a－6=0
解得a=1,
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元一次方程等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
14. 【答案】5
【解析】
【分析】连接，由题意得：于，，再由垂径定理得，然后由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：连接，如图：

由题意得：于，，，
，
，
即半径为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．
15. 【答案】60
【解析】
【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．
【详解】解：连接AB，

根据题意得：OB=OA=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故答案为60
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．
16. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】从图象看，当x=1时，y=，即BD=1时，AD=，当x=7时，y=，即BD=7时，C、D重合，此时y=AD=AC=，则CD=6，即当BD=1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解．
【详解】解：从图象看，当x=1时，y=，
即BD=1时，AD=，
当x=7时，y=，即BD=7时，C、D重合，
此时y=AD=AC=，则CD=6，
即当BD=1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：

过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，，
则，
在Rt△ABH中，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，解题的关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
三、解答题
17. 【答案】7-2
【解析】
【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，绝对值的意义和二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可．
详解】解：


=
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂的运算法则，绝对值的意义和二次根式的性质，是解题的关键．
18.【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【解析】
【分析】（1）利用直接开方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）利用配方法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可；
（5）利用公式法解方程即可；
【小问1详解】
解：，
，
，
∴；
【小问2详解】
解：，
，
∴；
小问3详解】
解：，
，
，
，
∴；
【小问4详解】
解：，
，
∴；
【小问5详解】
解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程是解题关键．
19. 【答案】（1）见解析 （2）
（3），
（4）8 （5）或
【解析】
【分析】（1）将抛物线上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；
（2）利用配方法将把一般式转化为顶点式即可得出；
（3）当时，求解，即可得到；
（4）不妨把与轴的交点用表示，顶点用来表示，根据三角形面积的公式求解即可；
（5）利用数形结合的思想求解即可．
【小问1详解】
解：列表：





0
1



0



0

描点连线，图象如图所示：

【小问2详解】
解：，
顶点坐标为：；
【小问3详解】
解：，
当时，，
解得：；
所以该抛物线与轴的交点坐标是，；
【小问4详解】
解：不妨把与轴的交点用表示，顶点用来表示，如下图：

，
；
【小问5详解】
解：由图象知，当时，
或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，画二次函数图象、顶点式、二次函数与轴的交点问题，解题的关键是画出图象，利用数形结合的思想求解．
20. 【答案】（1）见详解；（2）k＜-4
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2= k+3，根据方程有一根小于-1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】（1）证明：∵在方程中，Δ=[-（k+5）]2-4×1×（6+2k）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵，
∴x1=2，x2=k+3．
∵此方程恰有一个根小于，
∴k+3＜-1，解得：k＜-4，
∴k的取值范围为k＜-4．
【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于-1，找出关于k的一元一次不等式．
21. 【答案】垂直于弦的直径平分弦；45；；
【解析】
【分析】根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦（非直径）的直径平分弦．
经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=45cm；
用含r的代数式表示OD，OD=（r-15）cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2=452+（r-15）2，
解得r=75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：垂直弦的直径平分弦，45,（r-15），452+（r-15）2．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22. 【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）把点、两点分别绕点逆时针旋转，得到点，，顺次连接即可得到所求三角形；
（2）根据已知点的坐标建立坐标系，根据点所在象限或坐标轴，求得相关坐标即可．
【小问1详解】
解：如图所示：

【小问2详解】
解：利用（1）中图形以及，坐标建立坐标系得出：．
【点睛】此题考查了旋转作图的知识以及确定点的坐标，解题的关键是要仔细审题，找到旋转三要素，然后找到各点的对应点，注意规范作图．
23. 【答案】每条道路的宽为1米．
【解析】
【分析】设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，根据“草坪的面积为570”列出方程即可解答．
【详解】解：设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，
，

解得：（不合题意，舍去）
答：每条道路的宽为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设出未知数，列出方程，并掌握一元二次方程的解法．
24. 【答案】（1）25.35；
（2）③； （3）8500．
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可；
（2）由平均数的计算法则进行计算即可；
（3）利用（2）中的结果进行计算即可．
【小问1详解】
解：将这20个地区的第一季度快递业务收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为=25.35，即中位数m=25.35，
故答案为：25.35；
【小问2详解】
解：∵n=
=85.276≈85，
∴表中n的值最接近的是85；
所以答案为:③；
【小问3详解】
解：85×25×4=8500（亿元），
故答案为：8500．
【点睛】本题考查频数分布表，平均数、中位数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数的定义及计算方法是正确解答的前提．
25. 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）①连接，如图2，只要证明，即可解决问题；②结论：，如图3中，连接，延长到，使得，连接，．由，，推出，，由，推出，由，可得．
【小问1详解】
解：补全图形如图：

【小问2详解】
解：①证明：连接，如图2，

线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
四边形是正方形，
，，
．
，
，，
在中，，
，
在中，，
又，，
．
②解：结论：．
理由：如图3中，连接，延长到，使得，连接，．

，，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．